变量之间的关系知识点及常见题型
变量之间的关系（带答案）
变量之间的关系（带答案）变量之间的关系、表达⽅法复习知识要点表⽰变量的三种⽅法：列表法、解析法（关系式法）、图象法◆要点1 变量、⾃变量、因变量(1) 在⼀变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。
(2) 在⼀变化的过程中，主动发⽣变化的量，称为⾃变量，⽽因变量是随着⾃变量的变化⽽发⽣变化的量。
例如⼩明出去旅⾏，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V⼀定，路程S则随着时间T的变化⽽变化。
则T为⾃变量，路程为因变量。
◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表⽰变量之间关系的⽅法之⼀，可表⽰因变量随⾃变量的变化⽽变化的情况。
(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是⾃变量，谁是因变量。
找⾃变量和因变量时，主动发⽣变化的是⾃变量，因变量随⾃变量的增⼤⽽增⼤或减⼩◆要点3 ⽤关系式表⽰变量之间的关系(1) ⽤来表⽰⾃变量与因变量之间关系的数学式⼦，叫做关系式，是表⽰变量之间关系的⽅法之⼀。
(2) 写变化式⼦，实际上根据题意，找到等量关系，列⽅程，但关系式的写法⼜不同于⽅程，必须将因变量单独写在等号的左边。
即实质是⽤含⾃变量的代数式表⽰因变量。
(3) 利⽤关系式求因变量的值，①已知⾃变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每⼀个确定的⾃变量的值，因变量都有⼀个确定的与之对应的值。
◆要点4 ⽤图象法表⽰变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的⼜⼀重要⽅式，特点是⾮常直观。
(2) 通常⽤横轴（⽔平⽅向的数轴）上的点表⽰⾃变量，⽤纵轴（竖直⽅向的数轴）上的点表⽰因变量。
(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。
如利⽤图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进⾏简单计算，从图象上变量的变化规律进⾏预测，判断所給图象是否满⾜实际情景，所给变量之间的关系等。
(4) 对⽐看：速度—时间、路程—时间两图象★若图象表⽰的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表⽰速度在增加；“⽔平线段”②表⽰速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表⽰速度在减少。
变量之间的关系,附练习题含答案
变量之间的关系学案知识梳理:1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量；变量分为自变量和因变量．2.表示变量之间的关系通常有三种方法，它们是列表法、图像法、表达式法．1.看图的方法：一看轴；二看点；三看线练习题1. 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．下面是测得的弹簧长度y 与所挂物体质量x 的一组对应值． 所挂物体质量x /kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y /cm 182022242628（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当所挂物体质量为3 kg 时，弹簧多长？不挂重物时，弹 簧多长？（3）若所挂物体质量为7 kg （在允许范围内），你能说出此时 的弹簧长度吗？2. 如图，若输入x 的值为-5，则输出的结果是_______；若输入x 的值为5，则输出的结果是_______．3. 如图是某地一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：（1）在这一天中，什么时间气温最高？什么时间气温最低？ 最高气温和最低气温各是多少？ （2）20 h 的气温是多少？ （3）什么时间气温为6 ℃？ （4）哪段时间内气温保持不变？4. 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，过了一段时间后，汽车减速到达下一个车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面哪一个图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？（ ）A ．B ．C ．D ．时间O速度时间速度O时间速度O时间速度O是 否 y =x +1输入xx 大于0吗？ y =x 1输出yt /hT /°C-4-22468100242220161814121086425.某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区．如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下列图象中能大致表示水的深度和放水时间之间的关系的是（）A．B．C．D．6.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的关系大致是图中的（）A．B．C．D．7.星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，图中反映了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用的时间t（分）之间的关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）A．从家里出发到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家里出发到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前走了一段，然后回家了C．从家里出发一直散步（没有停留），然后回家了D．从家里出发散一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回8.小李讲了一个龟兔赛跑的故事，并用图象描绘了比赛过程中路程随时间的变化情况，请先回答下列问题，再讲述这个故事．（1）兔子和乌龟是否在同一地点同时出发？（2）兔子和乌龟在比赛途中相遇过几次？（3）哪一个先到达终点？9.男、女运动员在100米跑道的两端同时起跑，往返练习跑步，测得男运动员每跑一百米用12秒，女运动员每跑一百米用15秒，图中实线和虚线分别为这两名运动员距女运动员起跑点的距离s（米）与时间t（秒）之间的关系图象，请根据图象回答问题：（1）图中实线是_____运动员跑步的图象，虚线是_____运动员跑步的图象（填“男”或“女”）；（2）在百米跑道上两运动员第一次在同一端点相遇时，两人均跑了________秒，其中男运动员跑了________米，女运动htt员跑了________米；（3）两运动员从开始起跑到第一次在同一端点相遇止，共相 遇了__________次．10. 甲、乙两人在一次赛跑中，路程s （米）与时间t （秒）的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A ．这是一次100米赛跑B ．甲比乙先到达终点C ．乙跑完全程需12.5秒D ．甲的速度为8米/秒第10题图第11题图11. 明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程s （千米）与时间t （分）之间的关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为（ ） A ．12分B ．13分C ．14分D ．15分12. 一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关闭进水管．在打开进水管到关闭进水管这段时间内，容器内的水量y （升）与时间x （分钟）之间的关系如图所示，则关闭进水管后，经过______分钟，容器中的水恰好放完.13. 如图，小明从家骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买一本练习册，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校，他离家的距离s （米）与时间t （分）之间的关系如图所示，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的距离是多少米？书店到学校的距离是多少米？ （2）小明在书店停留了多少分钟？本次上学途中，小明一共行驶了多少米？ （3）在整个上学的途中，哪个时间段小明骑车速度最快？最快速度是多少？（4）如果小明不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟？本次上学比往常多用多少分钟？x /分钟14.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离．．．．．．．为y（km），图中的折线表示y与x之间的关系．根据图象进行以下探究：（1）甲、乙两地之间的距离为________km；（2）请解释图中点B的实际意义；（3）求慢车和快车的速度．15.如图是某空蓄水池的横断面示意图，分为深水区和浅水区．若以固定的流量往这个空蓄水池中注水，则下列图象中，能大致表示水的深度h与时间t之间的关系的是（）A．B．C．D．16.小明某天上午9时骑车离家，15时回家，如图描绘了他离家的距离与时间的具体变化情况，请结合图象回答以下问题：（1）小明经过多长时间到达离家最远的地方？此时他离家多远？（2）11时到12时，他行驶了多少千米？（3）他由离家最远的地方返回的平均速度是多少？【思路分析】读图，从图象中提取信息．①看轴：明确横轴、纵轴表示的意义．横轴表示____________，纵轴表示___________________．②看点：看起点、终点、状态转折点，与实际情景对应．起点表示上午9时从家出发，终点表示15时回家，与实际情景相符．状态转折点：10时离家__________，10.5时离家___________，11时离家________，12时离家________，13时离家_________．③看线，观察线段的变化趋势．线的变化较为复杂，9时—10时，距离增加了_________，此段的速度为________；10时—10.5时，速度为________；10.5时—11时，距离未发生变化；11时—12时，距离增加了________，此段的速度为________；12时—13时，距离未发生变化；13时—15时，距离减少了________，此段的速度为________．【过程书写】解：时浅水区深水区17.在利用太阳能热水器加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）A．太阳光强弱B．水的温度C．所晒时间D．热水器18.如图，当输入数值x为-2时，输出的结果是（）A．-2B．3C．-3D．2t y t y t O yt【参考答案】1.（1）表中反应了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；所挂物体质量是自变量；弹簧长度是因变量（2）当所挂物体质量为3kg时，弹簧长24cm；不挂重物时，弹簧长18cm（3）32cm2.-6；63.（1）16h气温最高；4h气温最低；最高气温是10℃；最低气温是-4℃；（2）20h的气温是8℃；（3）10h和22h的气温是6℃；（4）12h到14h的气温持续不变4. B5. A6. B7. B8.（1）否；（2）两次；（3）乌龟9.（1）男；女；（2）60；500；400；（3）510. D11. C12.813.（1）1500米；900米；（2）4分钟；2700米；（3）12-14分钟小明骑车速度最快；450米/分钟；（4）如果不买书需要7.5分钟；本次比往常多用了6.5分钟14.（1）900；（2）点B的实际意义是甲、乙两车在出发4h时相遇；（3）慢车的速度是75km/h；快车的速度是150km/h15. C16.（1）3小时，30千米（2）13千米（3）15千米/小时思路分析：①时间，离家的距离②10千米，17千米，17千米，30千米，30千米③10千米，10千米/小时14千米/小时13千米，13千米/小时30千米，15千米/小时17.B18.B19.（1）时间，气温（2）16，2，10，-2（3）5（4）9和2220.B21.D22.C23.D24.（1）甲教师的平均速度是0.25千米/分钟，乙教师的平均速度是1千米/分钟（2）乙出发后追上甲所用的时间是6分钟25.（1）a=20，b=1 100，c=50（2）60分钟。
数学七年级下册知识点总结之变量之间的关系
数学七年级下册知识点总结之变量之间的关系变量之间的关系知识点：一理论理解1、若Y随X的变化而变化，则X是自变量 Y是因变量。
自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量，数值保持不变的量叫做常量。
2、能确定变量之间的关系式：相关公式①路程=速度时间②长方形周长=2(长+宽)③梯形面积=(上底+下底)高2 ④本息和=本金+利率本金时间。
⑤总价=单价总量。
⑥平均速度=总路程总时间3、若等腰三角形顶角是y，底角是x，那么y与x的关系式为y=180-2x.二、列表法：采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。
列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。
列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。
三.关系式法：关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。
四、图像注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象;b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义(坐标)，特别是图像的起点、拐点、交点八、事物变化趋势的描述：对事物变化趋势的描述一般有两种：1.随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而增加(大));2. 随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐减小(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而减小).注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)等等.九、估计(或者估算) 对事物的估计(或者估算)有三种：1.利用事物的变化规律进行估计(或者估算).例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况;平均每次(年)的变化情况(平均每次的变化量=(尾数-首数)/次数或相差年数)等等;2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值;3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.拓展：数学学习技巧一、课内重视听讲，课后及时复习。
变量之间的关系(带答案)
变量之间的关系、表达方法复习知识要点表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。
(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。
则T为自变量，路程为因变量。
◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。
找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小◆要点3 用关系式表示变量之间的关系(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。
(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
即实质是用含自变量的代数式表示因变量。
(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。
◆要点4 用图象法表示变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。
(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。
(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。
如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。
(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解85---变量间的相关关系及回归模型
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第85讲变量间的相关关系及回归模型考向预测核心素养两个变量线性相关的判断及应用，经验回归方程的求法及应用是高考考查的热点，各种题型均会出现.数据分析、数学运算一、知识梳理1．变量的相关关系(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)散点图每一个成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图．我们把这样的统计图叫做散点图．(3)相关关系的分类：正相关和负相关．(4)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关．2．样本相关系数(1)r＝∑ni＝1（x i－x）（y i－y）∑ni＝1（x i－x）2∑ni＝1（y i－x）2.(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．3．一元线性回归模型参数的最小二乘估计(1)我们将y^＝b^x＋a^称为Y关于x的经验回归方程，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑ni ＝1（x i－x ）（y i－y ）∑ni ＝1（x i－x ）2，a ^＝y －b ^x .(2)残差分析①对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y ^称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．②残差的散点图比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则满足一元线性回归模型对随机误差的假设．在R 2表达式中，∑i ＝1 n （y i －y ）2与经验回归方程无关，残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2与经验回归方程有关．因此R 2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R 2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．[提醒](1)经验回归直线过样本的中点(x ，y )．(2)回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断 ，得出的结论都可能犯错误．二、教材衍化1．(人A 选择性必修第三册P 103习题8.1T 1改编)下列四个散点图中，变量x 与y 之间具有负的线性相关关系的是( )解析：选D.观察题图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系，故选D.2．(人A选择性必修第三册P138复习T1改编)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x－＝3，y－＝3.5，则由该观测数据算得的经验回归方程可能是( )A.y^＝0.4x＋2.3B.y^＝2x－2.4C.y^＝－2x＋9.5D.y^＝－0.3x＋4.4解析：选A.由题意，x与y正相关，故排除C，D，将(x－，y－)代入经验回归方程检验得A正确．3．(人A选择性必修第三册P120习题8.2T2(2)改编)已知x，y的对应取值如下表，可得到经验回归方程为y^＝0.95x＋a^，则a^＝( )x 013 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A.3.25B.2.6C.2.2D.0解析：选B.经验回归直线过点(2，4.5)，所以4.5＝0.95×2＋a^，所以a^＝2.6.4．(人A选择性必修第三册P120习题8.2T2(2)改编)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得经验回归方程y^＝0.67x＋54.9.零件数x/个1020304050加工时间y/min62758189 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．解析：由x＝30，得y＝0.67×30＋54.9＝75.设表中的“模糊数字”为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，所以a＝68.答案：68一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系来表示．( )(2)经验回归直线y^＝b^x＋a^至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的一个点．( )(3)任何一组数据都对应着一个经验回归方程．( )答案：(1)√(2)×(3)×二、易错纠偏1．(回归模型意义不明致误)一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据(略)，由此建立的身高与年龄的一元线性回归模型为y^＝7.19x＋73.93，用这个模型预报这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )A．身高一定是145.83 cmB．身高在145.83 cm以上C．身高在145.83 cm左右D．身高在145.83 cm以下解析：选C.由一元线性回归模型可得y^＝7.19×10＋73.93＝145.83，所以预报这个孩子10岁时的身高在145.83 cm左右．2．(忽视经验回归直线过样本点中心致误)已知变量x和y的统计数据如下表：x 34567y 2.534 4.5 6根据上表可得经验回归方程为y^＝b^x－0.25，据此可以预测当x＝8时，y^＝( ) A．6.4 B.6.25C.6.55D.6.45解析：选 C.由题中图表可知，x－＝5，y－＝4，因为经验回归方程经过样本的中心(x－，y－)，则4＝5b^－0.25，得b^＝0.85，则经验回归方程为y^＝0.85x－0.25，再将x＝8代入方程，得y^＝6.55.3．(决定系数的意义及应用不清致误)x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用y＝c1e c2x拟合时的决定系数为R21，用y^＝b^x＋a^拟合时的决定系数为R22，则R21，R22中较大的是________．解析：由题图知，用y＝c1e c2x拟合的效果比y^＝b^x＋a^拟合的效果要好，所以R21>R22，故较大者为R21.答案：R21考点一成对数据的相关性判断(自主练透)复习指导：通过收集现实问题中的成对数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．1．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图①，对变量u，v有观测数据(u，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判i断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C.由题图可得两组数据均线性相关，且图①的经验回归方程斜率为负，图②的经验回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关．2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3解析：选A.由题图知图①与图③是正相关，故r1>0，r3>0，图②与图④是负相关，故r2<0，r4<0，且图①与图②的样本点集中在一条直线附近，因此r2<r4<0<r3<r1，故选A.3．某公司在2020年上半年的月收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x 12.314.515.017.019.820.6支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18 根据统计资料，则( )A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系解析：选C.月收入的中位数是15＋172＝16，收入增加，支出增加，故x 与y 有正线性相关关系．判定两个变量相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：当r >0时，正相关；当r <0时，负相关；|r |越接近于1，相关性越强．(3)经验回归方程：当b ^>0时，正相关；当b ^<0时，负相关．考点二 一元线性回归模型(多维探究)复习指导：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的一元线性回归模型系数公式建立经验回归方程，并进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用．角度1 经验回归方程(2022·贵州凯里第一中学高二期中)某市2017至2021年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代号t12 3 4 5 人均纯收入y 3.13.53.94.64.9从表可以看出，人均纯收入y 与年份代号t 线性相关，已知i ＝15t i y i ＝64.70.(1)求y 关于t 的经验回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；(2)预测2025年的人均纯收入为多少．(附：参考公式：【解】 (1)由题中表格知，n ＝5，t －＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y －＝15(3.1＋3.5＋3.9＋4.6＋4.9)＝4，i ＝15t 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55，则b ^＝＝64.7－5×3×455－5×32＝0.47，a ^＝y －－b ^t －＝4－0.47×3＝2.59，故经验回归方程为y ^＝0.47t ＋2.59.(2)当年份为2025年时，对应的年份代码t ＝9， 所以y ^＝0.47×9＋2.59＝6.82， 故2025年的人均纯收入约为6.82千元． 角度2 相关系数足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球．为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：年份x 2016 2017 2018 2019 2020 足球特色学校y (百个)0.30 0.60 1.00 1.40 1.70根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关程度． (已知：0.75≤|r |≤1，则认为y 与x 线性相关程度很强；0.3≤|r |<0.75，则认为y 与x 线性相关程度一般；|r |≤0.25，则认为y 与x 线性相关程度较弱．参考公式和数据：r ＝∑ni ＝1（x i －x ）（y i －y ）∑ni ＝1（x i －x ）2∑ni ＝1（y i －y ）2，∑ni ＝1(x i －x )2＝10，∑ni ＝1(y i －y )2＝1.3，13≈3.605 6)【解】 由题得x ＝2 018，y ＝1，所以r＝∑ni＝1（x i－x）（y i－y）∑ni＝1（x i－x）2∑ni＝1（y i－y）2＝3.610 × 1.3＝3.63.605 6≈0.998>0.75，所以y与x的线性相关程度很强．一元线性回归模型应用要点(1)建立经验回归方程的步骤①计算出x，y，x21＋x22＋…＋x2n，x1y1＋x2y2＋…＋x n y n的值；②利用公式计算参数a^，b^；③写出经验回归方程y^＝b^x＋a^.(2)经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越接近于1时，两变量的线性相关程度越强.|跟踪训练|某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销售量y(单位：万件)之间的关系如下表：x 123 4y 12284256(1)在图中画出表中数据的散点图；(2)根据散点图选择合适的回归模型拟合y与x的关系(不必说明理由)；(3)建立y 关于x 的经验回归方程，预测第5年的销售量．参考公式：经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑ni ＝1 （x i －x ）（y i －y ）∑ni ＝1 （x i －x ）2＝∑ni ＝1x i y i －nx y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x . 解：(1)作出的散点图如图：(2)根据散点图观察，可以用一元线性回归模型拟合y 与x 的关系． (3)观察(1)中散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格：i x i y i x 2i x i y i 1 1 12 1 12 2 2 28 4 56 3 3 42 9 126 4 4 56 16 224 ∑1013830418可得x ＝52，y ＝692，所以b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y ∑4i ＝1x 2i －4x 2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ^＝y －b ^x ＝692－735×52＝－2.故经验回归方程为y ^＝735x －2.当x ＝5时，y ^＝735×5－2＝71.故预测第5年的销售量大约为71万件．考点三 非线性回归模型(综合研析)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值．x y w∑8i ＝1(x i －x )2∑8i ＝1(w i －w )2∑8i ＝1(x i －x )·(y i －y )∑8i ＝1(w i －w )·(y i －y ) 46.6 563 6.8 289.81.61469108.8表中w i ＝x i ，w ＝18∑8i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：①当年宣传费x ＝49千元时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u n，v n)，其回归直线v^＝a^＋b^u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b^＝∑ni＝1（u i－u）（v i－v）∑ni＝1（u i－u）2，a^＝v－b^u.【解】(1)由散点图可以判断y＝c＋d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝x，先建立y关于w的经验回归方程，由d^＝∑8i＝1（w i－w）·（y i－y）∑8i＝1（w i－w）2＝108.81.6＝68.得c^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6.所以y关于w的经验回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的非线性经验回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x ＋20.12.所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．非线性回归分析问题求解策略有些非线性回归分析问题并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量进行变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：|跟踪训练|中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球．为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“排骨茶”，为了解每壶“排骨茶”中所放茶叶量x(单位：克)与食客的满意率y的关系，通过调查研究发现可选择函数模型y＝1100e kx＋c来拟合y与x的关系，根据以下数据：茶叶量x/克1234 5ln(100y) 4.34 4.36 4.44 4.45 4.51 可求得y关于x的回归方程为( )A.y^＝1100e0.043x＋4.291B.y^＝1100e0.043x－4.291C.y^＝e0.043x＋4.291D.y^＝e0.043x－4.291解析：选 A.由表中数据可知x－＝1＋2＋3＋4＋55＝3，4.34＋4.36＋4.44＋4.45＋4.515＝4.42.对于A，y^＝1100e0.043x＋4.291化简变形可得100y^＝e0.043x＋4.291，两边同时取对数可得ln(100y^)＝0.043x＋4.291，将x－＝3代入可得ln(100y^)＝0.043×3＋4.291＝4.42，与题中数据吻合，故选项A正确；对于B，y^＝1100e0.043x－4.291化简变形可得100y^＝e0.043x－4.291，两边同时取对数可得ln(100y^)＝0.043x－4.291，将x－＝3代入可得ln(100y^)＝0.043×3－4.291＝－4.162≠4.42，所以选项B错误；对于C，y^＝e0.043x＋4.291，两边同时取对数可得ln y^＝ 0.043x＋4.291，而表中所给数据为ln(100y^)的相关量，所以C错误；对于D，y^＝e0.043x－4.291，两边同时取对数可知ln y^＝0.043x－4.291，而表中所给数据为ln(100y^)的相关量，所以D错误；故选A.[A 基础达标]1．对两个变量x，y进行线性回归分析，计算得到相关系数r＝－0.996 2，则下列说法中正确的是( )A．x与y正相关B．x与y具有较强的线性相关关系C．x与y几乎不具有线性相关关系D．x与y的线性相关关系还需进一步确定解析：选B.因为相关系数r＝－0.996 2，所以x与y负相关，因为|r|＝0.996 2，非常接近1，所以相关性很强，故选B.2．(2022·四川省彭山一中高三入学考试)下列命题错误的是( )A．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱B．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量C．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，标准差也变为原来的a倍D．若回归直线的斜率估计值为0.25，x＝2，y＝3，则回归直线的方程为y＝0.25x＋2.5解析：选A.对于A，线性相关系数|r|越接近于1，则相关性越强，所以A错误；对于B，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量，所以B正确；对于C，由标准差的定义可知将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，标准差也变为原来的a倍，所以C正确；对于D，因为回归直线的斜率估计值为0.25，x＝2，y＝3，所以b^＝0.25，a^＝y－b^x＝3－2×0.25＝2.5，则回归直线的方程为y＝0.25x＋2.5，所以D 正确．3.(多选)(2022·重庆巴蜀中学高三月考)为了建立茶水温度y随时间x变化的函数模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y)，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下2个函数模型来拟合茶水温度y随时间nx的变化情况，函数模型一：y＝kx＋b(k<0，x≥0)；函数模型二：y＝ka x＋b(k>0，0<a<1，x≥0)，下列说法正确的是( )A．变量y与x具有负的相关关系B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得y＝ka x＋b的图象一定经过点(x－，y－)D．当x＝5时，通过函数模型二计算得y＝65.1，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为0.1解析：选ABD.观察散点图，变量x与y具有负的相关关系，A正确；由于函数模型二中的函数y＝ka x＋b(k>0，0<a<1，x≥0)，在x≥0时，函数单调递减，可得B正确；若选择函数模型二，利用最小二乘法求出的回归方程一定经过(a x，y)，C错误；由于残差＝真实值－预测值，因此残差为65.2－65.1＝0.1，故D正确．4．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的经验回归方程：y^＝0.245x＋0.321，可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：x变为x＋1，y^＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．答案：0.2455．(2022·合肥检测)某公司一种型号的产品近期销售情况如下表：根据上表可得到经验回归方程y^＝0.75x＋a^，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为________万元．解析：由题意，x＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y＝15.1＋16.3＋17.0＋17.2＋18.45＝16.8，经验回归直线y^＝0.75x＋a^过(x，y)，可得a^＝13.8，当x＝7时，可得y^＝0.75×7＋13.8＝19.05.答案：19.056．(2020·高考全国卷Ⅱ)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i，yi)(i＝1，2，…，20)，其中x i和y i分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑20i ＝1x i ＝60，∑20i ＝1y i ＝1 200，∑20i ＝1(x i －x )2＝80，∑20i ＝1(y i －y )2＝9 000，∑20i ＝1(x i －x )(y i －y )＝800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ，y i )(i ＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r ＝∑ni ＝1（x i －x ）（y i －y ）∑ni ＝1 （x i －x ）2∑ni ＝1（y i －y ）2，2≈1.414.解：(1)由已知得样本平均数y ＝120∑20i ＝1y i ＝60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12 000.(2)样本(x i ，y i )(i ＝1，2，…，20)的相关系数r ＝∑20i ＝1（x i －x ）（y i －y ）∑20i ＝1 （x i －x ）2∑20i ＝1（y i －y ）2＝80080×9 000＝223≈0.94.(3)分层随机抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层随机抽样．理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．7．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x 个月)和市场占有率(y %)的几组相关对应数据：(1)根据上表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程；(2)根据上述经验回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精准到月)．解：(1)根据表中数据，计算x －＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y －＝15×(0.02＋0.05＋0.1＋0.15＋0.18)＝0.1，所以b ^＝1×0.02＋2×0.05＋3×0.1＋4×0.15＋5×0.18－5×3×0.112＋22＋32＋42＋52－5×32＝0.042，所以a ^＝0.1－0.042×3＝－0.026， 所以经验回归方程为y ^＝0.042x －0.026.(2)由上面的经验回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关， 即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.042个百分点； 由y ^＝0.042x －0.026>0.5， 解得x ≥13；预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.[B 综合应用]8．(2022·河南省湘豫名校联盟高三联考)如下表，根据变量x 与y 之间的对应数据可求出y ^＝－0.32x ＋b .其中y －＝8.现从这5个样本点对应的残差中任取一个值，则残差不大于0的概率为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C.由表中的数据可知，x ＝10＋15＋20＋25＋305＝20，设y 的最后一个数据为n ，则y ＝11＋10＋8＋6＋n5＝8，所以n ＝5，将x ，y 代入y ^＝－0.32x ＋b 得b ＝14.4， 这5个样本点对应的残差分别为：y 1－y ^1＝11－(－0.32×10＋14.4)＝－0.2， y 2－y ^2＝10－(－0.32×15＋14.4)＝0.4， y 3－y ^3＝8－(－0.32×20＋14.4)＝0， y 4－y ^4＝6－(－0.32×25＋14.4)＝－0.4， y 5－y ^5＝5－(－0.32×30＋14.4)＝0.2， 所以残差不大于0的概率为35.9．(多选)(2022·石家庄市藁城新冀明中学阶段性测试)某市对2016年至2020年这五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表所示：根据所给数据，得出y 关于t 的经验回归方程为y ^＝b ^t ＋273，则下列说法正确的是( )A ．该市2016年至2020年全市烧烤店盈利店铺个数的平均数y ＝219B ．y 关于t 的经验回归方程为y ^＝－18t ＋273 C ．估计该市2022年烧烤店盈利店铺的个数为147D ．预测从2027年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100解析：选ABC.由已知数据得t －＝3，y －＝219，故A 正确；因为y 关于t 的经验回归直线过点(3，219)，所以219＝3b ^＋273，所以b ^＝－18，所以y 关于t 的经验回归方程为y ^＝－18t ＋273.故B 正确；2022年的年份代码为7，故2022年该市烧烤店盈利店铺的个数约为y ^＝－18×7＋273＝147.故C 正确；令－18t ＋273≤100，由t ∈N *，得t ≥10，故从2025年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100.故D 不正确，故选ABC.[C 素养提升]10．(2022·江苏省南通市高三教学质量监测)紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数呈增长的趋势．下表给出了2019年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数．经计算，x ＝16∑i ＝16 x i ＝26，y ＝16∑i ＝16y i ＝33，∑i ＝16 （x i －x ）·（y i －y ）＝557，∑i ＝16（x i －x ）2＝84，∑i ＝16 （y i －y ）2＝3 930，∑i ＝16(y i －y ^i )2＝236.64，e 8.060 5≈3 167，其中x i ，y i 分别为试验数据中的温度和死亡株数，i ＝1，2，3，4，5，6.(1)若用一元线性回归模型，求y 关于x 的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(结果精确到0.1)；(2)若用非线性回归模型求得y 关于x 的非线性经验回归方程y ^＝0.06e 0.230 3x ，且决定系数为R 2＝0.884 1.①试与(1)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好；②用拟合效果好的模型预测温度为35 ℃时该批紫甘薯的死亡株数(结果取整数)．解：(1)由题意，得b^＝∑i＝16（x i－x－）（y i－y－）∑i＝16（x i－x－）2＝55784≈6.6，所以a^＝33－6.6×26＝－138.6，所以y关于x的经验回归方程为y^＝6.6x－138.6. (2)①经验回归方程y^＝6.6x－138.6对应的决定系数为R2＝1－∑i＝16（y i－y^i）∑i＝16（y i－y－）2＝1－236.643 930≈0.939 8，因为0.939 8>0.884 1，所以经验回归方程y^＝6.6x－138.6比非线性经验回归方程y^＝0.06e0.230 3x的拟合效果更好．②当x＝35时，y＝6.6×35－138.6＝92.4≈92，即当温度为35 ℃时，该批紫甘薯的死亡株数为92.21 / 21。
《变量之间的关系》知识梳理
知识梳理：变量之间的关系我们生活在一个变化的世界中，如时间、温度，还有我们的身高、体重等都在悄悄地发生变化. 若能从数学的角度研究变化的量，将有助于我们了解自己、认识世界和预测未来. 为帮助同学们学好本章知识，特作如下知识梳理：一、理解变量、自变量和因变量的概念所谓变量．．，就是处于变化的量. 变量是相对于不变的量而言的.如，（1）小明的体重随年龄的增长而增加. 这里的体重和年龄都是变量；（2）自然界的气温随着季节的变化而变化. 这里的气温和季节都是变量.上述两例中，年龄和季节都是首先变化的量，则称之为自变量．．．；而体重因年龄的增长而增加，气温因季节的变化而变化，则我们把体重、气温称之为因变量．．．. 因此，因变量随自变量的变化而变化，它们都是某一变化过程中的量.二、掌握“变量之间的关系”的三种表示方法1、表格法：通过列表格可以得到变量之间的关系信息，进一步预测其变化趋势，从而作出科学的判断. 一般地，因变量随自变量的变化呈现一定的规律，依据此规律对结论作出预测.2、关系式法：关系式是表示变量之间关系的另一种方法，它能准确地反应出因变量与自变量之间的数值对应关系. 也就是说，当自变量每一个确定的值，因变量就有惟一一个确定的值与它对应.3、图象法：图象是表示变量之间关系的又一种方法，图象能非常直观形象地反映出因变量随自变量的变化的趋势. 其通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.三、学会用三种方法分析实际问题学会运用“变量之间的关系”的三种表示方法，能作出正确的分析，从中获得相关信息，并加以处理，依据其变化趋势作出预测.例1某试验小组研究表明，玉米的产量与施肥量的关系统计数据如下表：1/ 32 / 3（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当施肥量为40千克/亩时，玉米的产量是多少？如果不施肥呢？（3）依据上表中数据，你认为施肥量是多少时比较适宜？请说明理由.（4）简单分析一下施肥量对玉米产量的影响.解析：（1）上表反映了施肥量与玉米产量这两个变量之间的关系，施肥量是自变量，玉米产量是因变量.（2）由上表知，）当施肥量为40千克/亩时，玉米的产量是401.1千克，如果不施肥玉米的产量是192.4千克.（3）依据上表中数据，认为施肥量在56千克左右时比较适宜.理由是：由上表的数据表明：每亩玉米肥量56千克产量较高，施肥量达80千克，玉米产量增加甚微，再增加玉米产量降低.（4）在一定的范围内（0—56千克），施肥量与玉米产量成正比，但并不是施肥量越多越好，施肥量超出范围会造成玉米烧苗，从而玉米产量降低.例2 如图所示，梯形的上底长是5厘米，下底长是13厘米. 当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化.（1）在这个变化过程中，自变量是 、因变量是 .（2）梯形的面积y （厘米2）与高x （厘米）之间的关系式为 .（3）当梯形的高有10厘米变化到1厘米时，梯形的面积由 厘米2变化到 厘米2.解析：（1）在这个变化过程中，自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积.（2）由梯形的面积公式，得 y =21（5＋13）×x = 9x. 所以，梯形的面积y 与高x 之间的关系式为：y = 9x.（3）当x = 10厘米时，y = 9x = 9×10 = 90（厘米2）；当x = 1厘米时，y = 9x = 9×1= 9（厘米2）.所以，当梯形的高有10厘米变化到1厘米时，梯形的面积由90厘米2变化到9厘米2.13例 3 某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?解析：⑴由图象知，第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的，它的体温从最低上升到最高需要12小时.⑵由图象知，前两天12时这头骆驼的体温是39℃，又因在这四天中每昼夜的体温变化情况相同，所以第三天12时这头骆驼的体温仍是39℃.例 4 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。
七年级下册数学知识点-篇三：变量之间的关系
一理论理解1、若Y随X的变化而变化，则X是自变量Y是因变量。
自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量，数值保持不变的量叫做常量。
3、若等腰三角形顶角是y，底角是x，那么y与x的关系式为y=180-2x.2、能确定变量之间的关系式：相关公式①路程=速度×时间②长方形周长=2×(长+宽)③梯形面积=(上底+下底)×高÷2④本息和=本金+利率×本金×时间。
⑤总价=单价×总量。
⑥平均速度=总路程÷总时间二、列表法：采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。
列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。
列表法的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。
三.关系式法：关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。
四、图像注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象;b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义(坐标)，特别是图像的起点、拐点、交点八、事物变化趋势的描述：对事物变化趋势的描述一般有两种：1.随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而增加(大));2.随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐减小(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而减小).注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)等等.九、估计(或者估算)对事物的估计(或者估算)有三种：1.利用事物的变化规律进行估计(或者估算).例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况;平均每次(年)的变化情况(平均每次的变化量=(尾数-首数)/次数或相差年数)等等;2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值;3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.。
七年级变量间的关系知识点
七年级变量间的关系知识点在七年级数学学习中，变量是一个重要的概念。
变量是可以赋值而不是具体的数字或者对象，因此它可以用来表示一组不同的数值或者自然语言中的实体。
在本篇文章中，我们将会详细讨论七年级中变量间的关系知识点。
一、变量的定义和使用在代数表达式中，我们通常使用字母来表示一个变量。
这个变量可以代表任意实数，我们可以将其赋值为特定的数字或表达式，来求得代数式的值。
例如：设 a = 2，则 a + 3 = 5b = 4，则 b - 1 = 3我们用变量来存储一组数字，这些数字可以是实数、整数、分数等。
通过变量的方式，我们可以轻松地对表达式进行变化和操作，大大方便了数学问题的解决。
二、变量间的关系1. 变量的相等关系在使用变量的时候，我们经常会碰到一些等式。
比如：2x + 1 = 5y - 3 = 2这里的“=”代表两边的值相等。
这种关系被称为“等式”。
在等式中，我们可以将其中一个变量用另一个变量表示出来，从而建立两个变量之间的关系。
例如：2x + 1 = 52x = 4x = 2由此可见，不同变量之间可以建立相等和不等的关系。
2. 变量的大于小于关系有时候我们需要判断两个变量之间的大小关系。
比如：3x + 2 > 5x - 1y + 4 < 2y - 3这里的“>”和“<”分别代表“大于”和“小于”，用于判断两个变量之间的大小关系。
我们可以通过移项、合并同类项、化简等方法，将不等式变形为关于变量的简单形式。
3x + 2 > 5x - 1-2x > -3x < 3/23. 变量之间的比例关系变量之间的比例关系在我们的日常生活中也经常出现。
比如：小明比小红高出 10 厘米，小明的身高是小红身高的 1.2 倍。
这里的“高出”“身高”“倍数”等词汇涉及到了变量之间的比例关系。
我们可以通过设置比例、计算比例中的变量，来解决涉及到变量间的比例关系的问题。
小明比小红高出 10 厘米，小明的身高是小红身高的 1.2 倍。
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变量之间的关系及常见题型一、基础知识1、常量：在变化过程中一组数据中或者关系式中数值保持不变的量；2、变量：数值发生变化的量在一变化过程中一般有两个变量1自变量：在一定范围内主动发生变化的变量；2因变量：随自变量的变化而变化的变量.二、表示方式1、表格法1一般第一栏表示自变量,第二栏表示因变量；2从表格中可以获取一些信息,发现因变量随自变量的变化存在一定规律；2、关系式1表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫关系式；关系式一般用含自变量的代数式表示因变量的等式2能利用关系式进行计算；3、图像法（1）水平方向的数轴横轴表示自变量；竖直方向的数轴纵轴表示因变量；（2）利用图像尽可能地获取自变量因变量的信息,特点是直观.练习：1、明明从广州给远在上海的爷爷打电话,电话费随着时间的变化而变化,在这个过程中,因变量是A、明明B、电话费C、时间D、爷爷2、某城市大剧院地面的一部分为扇形,观众席的座位按下列方式设置：上述问题中,第五排、第六排分别有个、个座位；第排有个座位.3、据世界人口组织公布,地球上的人口从1600年到1999年一直呈递增趋势,即随时间的变化,地球上的人口数量在逐渐地增加,如果用t表示时间,y表示人口数量, 是自变量, 是因变量.4、下表中的数据是根据某地区入学儿童人数编制的：1上表反映了哪两个变量之间的关系哪个是自变量哪个是因变量2随着自变量的变化,因变量变化的趋势是什么3你认为入学儿童的人数会变成零吗5、心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x单位：分之间有如下关系其中0≤x≤301上表中反映了哪两个变量之间的关系那个是自变量哪个是因变量2当提出概念所用时间是10分钟时,学生的接受能力是多少3根据表格中的数据,你认为提出概念几分钟时,学生的接受能力最强4从表格中可知,当时间x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强当时间x 在什么范围内,学生的接受能力逐步降低5 根据表格大致估计当时间为23分钟时,学生对概念的接受能力是多少6 下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的数据：1时间为8分钟时,水的温度是多少2上表反应了哪两个变量之间的关系哪个是自变量哪个是因变量3水的温度是怎样随时间变化的4根据表格,你认为13分钟、14分钟时水的温度是多少5为了节约能源,在烧开水时,你认为应在几分钟左右关闭煤气巩固练习：一、选择题每小题3分,共24分1．我们都知道,圆的周长计算公式是c=2πr,下列说法正确的是A. c,π,r 都是变量B. 只有r 是变量C. 只有c 是变量D. c,r 是变量2．一汽车以平均速度60千米/时速度在公路上行驶,则它所走的路程s 千米与所用的时间t 时的关系式为 A.t s +=60 B. ts 60= C. 60ts =D. t s 60= 3．雪撬手从斜坡顶部滑了下来,下图中可以大致刻画出雪撬手下滑过程中速度—时间变化情况的是4．“人间四月芳菲尽,山寺桃花始盛开”,说明温度随者海拔的升高而降低,已知某地面温度为20℃,且每升高1千米温度下降6℃,则山上距离地面h 千米处的温度t 为 A. 206t h =- B. 206h t =-C. 206h t -= D. 206t h -=5．根据图示的程序计算变量y 的对应值,若输入变量x 的值为-1,则输出的结果为A. –2B. 2C. –1D. 0 6．如下图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为t ,正方形除去圆部分的面积为S 阴影部分,则S 与t 的大致图象为7．星期天,小王去朋友家借书,下图是他离家的距离y 千米与时间x 分钟的图象,根据图象信息,下列说法正确的是 A ．小王去时的速度大于回家的速度 B ．小王在朋友家停留了10分钟C ．小王去时所花的时间少于回家所花的时间D ．小王去时走上坡路,回家时走下坡路DCBA时间时间时间速度速度速度时间速度100y 千米x 分钟220 30 40 stOA ．st OB ．stOC ．stOD ．8．如图,四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形,动点P 在ABCD 的边上沿A B C D →→→的路径以1cm/s 的速度运动点P 不与A D ，重合．在这个运动过程中,APD △的面积2(cm )S 随时间()t s 的变化关系用图象表示,正确的为二、填空题：每小题3分,共24分9．某公司销售部门发现,该公司的销售收入随销售量的变化而变化,其中________是自变量, 是因变量.10．在体积为20的圆柱中,底面积S 高h 的关系式是 ．11．飞机着陆后滑行的距离s 单位：米与滑行时间t 单位：秒之间的关系是s=60t －,当t=40时,s=______________.12．小雨拿5元钱去邮局买面值为80分的邮票,小雨买邮票后所剩钱数y 元与买邮票的枚数x 枚之间的关系式为 .13．声音在空气中传播的速度y m/s 与气温x oC 之间在如下关系：33153+=x y .当气温x =15 oC 时,声音的速度y = m/s.若某人看到烟花燃放5s 后才听到声音响,则此人与燃放的烟花所在地相距 m.14．如图所示的图象反映的过程是：小明从家去书店,又去学校取封信后马上回家,其中x 表示时间,y 表示小明离他家的距离,则小明从学校回家的平均速度为 千米∕小时15．一支原长为20cm 的蜡烛,点燃后,其剩余长度与燃烧时间的关系可以从下表看出：则剩余长度y cm 与燃烧时间x 分的关系式为______________,估计这支A ． O t s 1 2ＢO ts12ＣO ts 12 ＤO ts12 AＤ ＣＢ P蜡烛最多可燃烧___________分钟.16．有一本书,每20页厚为1mm,设从第1页到第x 页的厚度为y mm,则y 与x 之间的关系式为_______________.三、解答题：本大题共8小题,共52分17．本题6分小华粉刷他的卧室共花去10小时,他记录的完成工作量的百分数如下:15小时他完成工作量的百分数是 ； 2小华在 时间里工作量最大；3如果小华在早晨8时开始工作,则他在 时间没有工作.18．本题8分弹簧挂上物体后会伸长, 已知一弹簧的长度cm 与所挂物体的质量kg 之间的关系如下表：1上表反映的变量之间的关系中哪个是自变量 哪个是因变量 2当所挂物体是3kg 时,弹簧的长度是多少 不挂重物时呢19．本题8分如图,长方形ABCD 的边长分别为AB=12cm,AD=8cm,点P 、Q 都从点A 出发,分别沿AB,AD 运动,且保持AP=AQ,在这个变化过程中,图中的阴影部分的面积也随之变化.当AP 由2cm 变到8cm 时,图中阴影部分的面积是增加了,还是减少了增加或减少了多少平方厘米20．本题10分如图是一辆汽车的速度随时间变化的图象.根据图象填空： 1汽车在整个行驶过程中,最高时速是________千米/时；2汽车在________,________保持匀速行驶,时速分别是________,________；3汽车在________、________、________时段内加速行驶,在________、________时 段内减速行驶；4出发后,12分到14分之间可能发生________情况；21．本题10分如图,小明的爸爸去参加一个重要会议,小明坐在汽车上用所学知识绘制了一张反映小车速度与时间的关系图,第二天,小明拿着这张图给同学看,并向同学提出如下问题,你能回答吗 1在上述变化过程中,自变量是什么因变量是什么 2小车共行驶了多少时间最高时速是什么 3小车在哪段时间保持匀速行驶,时速达到多少 4用语言大致描述这辆汽车的行驶情况PQ DCBA102030405060708090100110102040503060速度(千米/时)时间/分课后练习：1、骆驼被称为“沙漠之舟”,它的体温随时间的变化而变化,在这一问题中,因变量是A、沙漠B、体温C、时间D、骆驼2、正常人的体温一般在37℃左右,但一天中的不同时刻不尽相同.下图反映了一天24小时内小明体温的变化情况,下列说法错误的是A．清晨5时体温最低 B．下午5时体温最高C．这一天中小明体温T单位：℃的范围是≤T≤D．从5时至24时,小明体温一直是升高的.3、下列图象中,哪个图象能大致刻画在太阳光的照射下,太阳能热水器里面的水的温度与时间的关系.水温水温水温水温0 时间 0 时间 0 时间 0A．B．C． D．4.某市一天的温度变化如图所示,看图回答下列问题：1这一天中什么时间温度最高是多少度什么时间温度最低是多少度2在这一天中,从什么时间到什么时间温度开始上升在这一天中,从什么时间到什么时间温度开始下降5某种动物的体温随时间的变化图如图示：1一天之内,该动物体温的变化范围是多少2一天内,它的最低和最高体温分别是多少是几时达到的．3一天内,它的体温在哪段时间内下降．4依据图象,预计第二天8时它的体温是多少课堂检测1、在平地上投掷手榴弹,下面哪幅图可以大致刻画出手榴弹投掷过程中落地前速度变化情况A B C D2、某种储蓄的月利率是%,现存入本金100元,本金与利息的和y 元与所存月数x 月之间的关系式为A 、x y 36.0100+=B 、x y 6.3100+=C 、x y 36.11+=D、x y 36.1001+= 3、有一旅客携带了30公斤行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津,按民航规定,旅客最多可免费携带20公斤行李,超重部分每公斤按飞机票价格的%购买行李票,现该旅客购买了120元的行李票,则他的飞机票价格应是A 、1000元B 、800元C 、600元D 、400元4、某人骑车外出,所行的路程S 千米与时间t 小时的关系如图所示,现有下列四种说法：①第3小时中的速度比第1小时中的速度快； ②第3小时中的速度比第1小时中的速度慢； ③第3小时后已停止前进； ④第3小时后保持匀速前进.其中说法正确的是A 、②、③B 、①、③C 、①、④D 、②、④5、李老师骑车外出办事,离校不久便接到学校要他返校的紧急电话,李老师急忙赶回学校.下面四个图象中,描述李老师与学校距离的图象是 S 距离距离 S 距离距离0 0 0 0t 时间 t 时间 t 时间t 时间A 、B 、C 、D 、6、三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水,如果平均每天流入库区的水量为a 立方米米时,a b <；当天变化的大致图象是A 、B 、C 、D 、。