双曲线的标准方程和几何性质
双曲线和抛物线
双曲线和抛物线双曲线和抛物线一、知识梳理1.双曲线的定义双曲线是平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a（2aF1F2时，P的轨迹不存在；当PF1-PF2=2a=F1F2时，P的轨迹为以F1、F2为端点的两条射线。
2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0），y^2/b^2-x^2/a^2=1（a>0,b>0）。
双曲线的范围为x≥a或x≤-a，对称轴为坐标轴，对称中心为原点。
双曲线有两条渐近线y=±b/a*x，顶点为（0,0），离心率为e=√(1+b^2/a^2)。
实轴长度为2a，虚轴长度为2b。
3.抛物线的定义抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
当定点F在定直线l时，动点的轨迹是过点F与直线l垂直的直线。
4.抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程为y^2=2px或x^2=2py（p>0）。
抛物线的范围为x≥0或x≤0，对称轴为y轴或x轴，顶点为（0,0），离心率为e=1.焦点F在y轴上时，抛物线的准线方程为x=-p/2，焦点F在x轴上时，抛物线的准线方程为y=-p/2.二、方法归纳1.双曲线的离心率需要分两种情况计算，共渐近线的双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=λ或y^2/b^2-x^2/a^2=λ（λ≠0）。
渐近线方程为y=±b/a*x。
2.抛物线的标准方程为y^2=2px或x^2=2py（p>0），焦点在y轴上时，准线方程为x=-p/2，焦点在x轴上时，准线方程为y=-p/2.关于双曲线的渐近线，可以得出以下结论：对于已知双曲线方程为$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $或$ \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 $的情况，它们的渐近线方程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线方程的形式即可；对于已知双曲线的两渐近线的情况，先将它们写成一个方程$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $的形式，再设出双曲线方程的形式$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda(\lambda\neq 0)$。
双曲线及其标准方程
双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当a >c 时，P 点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线．2．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(（4）．双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是m （5）．若双曲线x )x ±ny ＝0.( )2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 222．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )()A ．2B ．22C ．4D ．423．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.454．(教材改编)过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是()A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．825．已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为__________．双曲线的定义的应用例题：（1）已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A.x 22－y 216＝1(x ≤－2) B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 216＝1 D.x 22－y 214＝1（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______________(4)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝__________.(5)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为()A ．1B ．52C ．2D ．5(6)．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2(8)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为()A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1(9)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16(10)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A的坐标为(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋317双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法:(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)．例题：（1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为()A.y 24－x 25＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1(3)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是()A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1（4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1（5）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A ．x12－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝1（6）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(7)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON |－|NF 2|＝2b ，∠ONF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为23，则该双曲线的方程为__________．双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程例：（1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x（2）已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为()A ．y ＝±153xB ．y ＝±53xC ．y ＝±33x D ．y ＝±55x (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x(4)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±32x B ．y ＝±233xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x求双曲线的离心率(范围)例：(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13（2）．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__________．(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为()A ．3B ．1＋3C ．2＋3D ．4＋23(4)(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(5)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A ．(2，5)B.⎪⎭⎫⎝⎛2535，C.⎪⎭⎫⎝⎛2545，D ．(5，2＋1)双曲线几何性质的综合应用例：（1）已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3333， B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6363，C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322322， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332332，逻辑推理(2020·新高考卷Ⅰ)(多选)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.()A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线直线与双曲线的位置关系例题：若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．双曲线课后练习1．方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为()A.3B．23C．33D．433.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|为()A．13B．14C．15D．224．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则C的渐近线方程为()A．y＝±13x B．y＝±33x C．y＝±3x D．y＝±3x5．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A到一条渐近线的距离为223a，则双曲线的离心率为()A．223B．13C．3D．226．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________7．已知双曲线x24－y25＝1的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为(1,3)，则△PMF周长的最小值为()A．5＋10B．10＋10C．5＋13D．9＋138．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB 的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．12B．1C．2D．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|.若cos ∠F 1PF 2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22 B.52C ．2 D.3＋110．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．3211．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°，若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝()A ．11＋43B ．13＋53C ．16－63D ．19－10312．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为()A.52 B.5C.2D ．213．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为)______________14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线C 的实轴长为4，则△F 1PF 2的面积为__________．15．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于_____________16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N .若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|＝|NF 2|，则双曲线的离心率为____________.17．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为_____________，其离心率为__________.18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．19．(2021·山东淄博二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论错误的是()A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14。
双曲线和椭圆的标准方程
双曲线和椭圆的标准方程双曲线和椭圆是常见的二次曲线，它们具有重要的数学应用和丰富的几何性质。
本文将介绍双曲线和椭圆的标准方程，以及它们的基本性质和图像特征。
一、双曲线的标准方程双曲线是平面直角坐标系中的一种曲线，它与直线的距离之差等于常数的点的集合。
它的标准方程分为两种形式，即横轴双曲线和纵轴双曲线。
1. 横轴双曲线的标准方程横轴双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长度。
双曲线的中心位于坐标原点，对称轴平行于横轴，焦点在横轴上。
横轴双曲线的图像呈现出两条分离的曲线，称为左、右支，两支曲线均向外扩张。
2. 纵轴双曲线的标准方程纵轴双曲线的标准方程为：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长度。
双曲线的中心位于坐标原点，对称轴平行于纵轴，焦点在纵轴上。
纵轴双曲线的图像呈现出两条分离的曲线，称为上、下支，两支曲线均向外扩张。
二、椭圆的标准方程椭圆也是平面直角坐标系中的一种曲线，它与两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
和双曲线一样，椭圆的标准方程也分为两种形式，即横轴椭圆和纵轴椭圆。
1. 横轴椭圆的标准方程横轴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长度。
椭圆的中心位于坐标原点，对称轴平行于横轴，长轴在横轴上。
横轴椭圆的图像呈现出一个类似于圆形的形状，但是在两端被“压扁”，长的轴变为短的轴。
2. 纵轴椭圆的标准方程纵轴椭圆的标准方程为：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长度。
椭圆的中心位于坐标原点，对称轴平行于纵轴，长轴在纵轴上。
双曲线标准方程及几何意义
9 16
焦点（-5，0）和（5，0）.焦距10
y 2 x2 1 在y 轴. a2=1，b2=3，c2=a2+b2=4
3
焦点（0，-2）和（0，2）.焦距4
判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在系数为正的那个轴上。
练习1
判断下列双曲线焦点在哪个轴上， 并写出焦点坐标
x2 y 2 1 X轴（-3，0），（3，0） 45
A1A2叫实轴,其长为2a(和焦点在同一个坐标轴上) B1B2叫虚轴,其长为2b,F1F2叫焦距,其长为2c
焦点：F1(0,-c), F2(0,c)
c2 a2 b2
双曲线呢？
看x2、y2
的系数正负
椭圆的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
双曲线的标准方程：
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0).
y2 a2
x2 b2
1
a b 0
y2 x2 1(a 0,b 0). a2 b2
中职数学拓展课程
（一）双曲线定义及方程
数学 实验
如图，把一条拉开 一部分的拉链分成一长 一短两支，将拉开的两 头把分笔别尖固放定在在拉头F1和处F，2处随， 着拉链的开合，移动笔 尖M，可画出一支曲线， 再把拉链的长短两端互 换，用同样的方法可画 出另一支曲线，这两支 曲线构成的是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
演示
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线的定义:
平面内与两定点F1，F2的距离的 差的绝对值等于常数2a (小于的F1F2 )
第59讲 双曲线及其标准方程
(2)经过点(2,1),且渐近线与圆 x2＋(y－2)2＝1 相切的
双曲线的标准方程为( )
A.1x12 －1y12 ＝1 3
B.x22－y2＝1
C.1y12 －1x12＝1 3
D.1y12 －1x12 ＝1 3
解：(2) 设双曲线的方程为ax22－by22＝λ(a>0,b>0,λ≠0),
(3)双曲线ax22－by22＝1 的渐近线为ax22－by22＝0.一般地，双 曲线的一个焦点到它的渐近线的距离 d＝b.
【变式探究】
3．(1)(2017·新课标卷Ⅱ)若 a＞1，则双曲线ax22－y2＝1
的离心率的取值范围是( )
A．( 2，＋∞)
B．( 2，2)
C．(1， 2)
D．(1,2)
解：(1)由题意得双曲线的离心率 e＝
a2＋1 a.
所以 e2＝a2a＋2 1＝1＋a12.
因为 a>1，所以 0<a12<1，所以 1<1＋a12<2， 所以 1<e< 2.
答案：C
(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2＝ 2py(p>0)交于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双 曲线的渐近线方程为
曲线 C：x2－my2＝4m(m>0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一
条渐近线的距离为( )
A．2
B．4
C．2m
D．4m
解：双曲线 C：4xm2 －y42＝1，双曲线的焦点到一条渐近
线的距离为虚轴的一半，即 2.
答案：A
圆锥曲线-双曲线
圆锥曲线-双曲线一、双曲线的定义，标准方程 1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：x a y ba b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b 23.双曲线的几何性质：（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222x x a y ba b -=>>()1x a x a <>≤-≥范围：，或<2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。
<3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。
<>=>41离心率：e ca e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。
<>±5渐近线：y b ax = <>=±62准线方程：x a c5．若双曲线的渐近线方程为：x ab y ±= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：)0(2222≠=-λλby a x1 22121x y m m m -=++若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A mB m m ..-<<-<->-2121或C m mD m R ..≠-≠-∈21且2. 220ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（） A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 22sin sin cos x y αααα-=设是第二象限角，方程表示的曲线是（） A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线4.曲线3sin 2x 2+θ+2sin y 2-θ=1所表示的图形是（ ）。
双曲线知识点归纳
高考双曲线知识点归纳2．双曲线的标准方程及其几何性质3.等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线，其标准方程为()220x y λλ-=≠，离心率为，渐近线方程为y x =±（互相垂直）4.共轭双曲线：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的共轭双曲线是22221(0,0)y x a b b a-=>>，性质如下：⑴双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线；⑵双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距，四焦点共圆； ⑶双曲线与它的共轭双曲线离心率分别为12,e e ,则有2212111e e +=和12e e +≥. 5.双曲线系:,a y a x R ≤-≥∈或(0,)a ±⑴与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>共渐近线的双曲线系方程为2222(0,00)x y a b a bλλ-=>>≠，,它们的渐近线为22220(0,0)x y a b a b -=>> ⑵与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>共焦点的双曲线系方程为222221(0,0,)x y a b k a a k b k-=>>>-+- 6.点与双曲线的位置关系⑴点P ()00,x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>内2200221(0,0)x y a b a b ⇔->>>⑵点P ()00,x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上2200221(0,0)x y a b a b⇔-=>>⑶点P ()00,x y 在双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>外2200221(0,0)x y a b a b⇔-<>>7.直线与双曲线的位置关系可将双曲线方程与直线方程联立方程组消元后产生关于X （或Y ）的一元二次(或一元一次)方程的解来判定。
双曲线标准方程及其简单的性质
双曲线及其性质1．双曲线的定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12222=-b y a x ，焦点在 轴上；12222=-b x a y ，焦点在 轴上．其中：a 0，b0，=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式：)0(122<=+nm ny mx3．双曲线的几何性质(对0,0,12222>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围：∈x ，∈y ．(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，渐近线方程为 ．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ．(5) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ．例1根据下列条件，写出双曲线的标准方程(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．（2）与双曲线14y 16x 22=-有公共焦点，且过点（23，2）.（3）已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线例2．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2,且过点P （4，-10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：1MF ·2MF =0； （3）求△F 1MF 2的面积.[当堂检测]1. 如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是(A)364 (B)362 (C)62 (D)32 2．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+my m x 的焦距是 （ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4.过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．125．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线6.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m = .7.双曲线2222by ax -=1和椭圆2222b y m x +=1 (a ＞0,m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ,b ,m 为边长的三角形是 三角形. 8 .如图，F 1和F 2分别是双曲线2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为 .9.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 . 10．过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .11.已知椭圆2222by ax +=1（a ＞b ＞0）与双曲线2222ny mx -=1（m ＞0,n ＞0）有相同的焦点（-c ，0）和（c ，0）.若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于 .12.设F 1、F 2分别是双曲线2222by ax -=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为 .13.已知P 是双曲线9222y a x -=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -y =0,设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF 2|=3，则|PF 1|= .14.双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为__________________________．15．与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为____________．16．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________．17.已知动圆M 与圆C 1：（x +4）2+y 2=2外切，与圆C 2：（x -4）2+y 2=2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.作业： 1．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2． 已知双曲线的离心率为，则的范围为 （ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ．5.若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为 ．6．椭圆4x2＋a2y2＝1与双曲线a2x2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.7．双曲线以椭圆9x2＋25y2＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质.1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线。
两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示。
(1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a =2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线. (4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线；22a y -22bx =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线. 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上. 3.双曲线的简单几何性质： 标准方程 22221x y a b -=（0,0a b >>） 22221y x a b -=（0,0a b >>） 图 象,,a b c 关系222a b c +=范 围 ||,x a y R >∈ ||,y a x R >∈ 顶 点 (,0)a ± (0,)a ± 对 称 性 关于,x y 轴成轴对称、关于原点成中心对称渐 近 线 b y x a =± a y b=±离 心 率 (1)ce a=>焦 点(,0)F c ± (0,)F c ±等轴双曲线：x 2-y 2＝a 2(a ≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．（2）若得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标，且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 ( )A ．x 2－y 2＝1B ．x 2－y 2＝2C ．x 2－y 2＝ 2D ．x 2－y 2＝12解析：由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a >0)，则c ＝2a ，渐近线y ＝x ，∴|2a |2＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. 答案：B例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点)2,3(-P ，离心率25=e ． (2)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，双曲线离心率为2且︒=∠6021PF F ，31221=∆F PF S ．解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下．如双曲线的实轴在x 轴上，设12222=-b y a x 为所求． 由25=e ，得4522=a c ． ①由点)2,3(-P 在双曲线上，得12922=-ba ．②， 又222cb a =+，由①、②得12=a ，412=b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上，设12222=-by a x 为所求． 同理有4522=a c ，19222=-b a ，222c b a =+．解之，得2172-=b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为1422=-y x ．(2)设双曲线方程为12222=-by a x ，因c F F 221=，而2==a c e ，由双曲线的定义，得c a PF PF ==-221．由余弦，得212122212cos 2)2(PF F PF PF PF PF c ∠⋅⋅-+=)60cos 1(2)(21221︒-⋅⋅+-=PF PF PF PF ，∴21224PF PF c c ⋅+=．又31260sin 212121=︒⋅=∆PF PF S F PF ，∴4821=⋅PF PF ． ∴4832=c ，162=c ，得42=a ，122=b ．∴所求双曲线的方程为112422=-y x ． 三、巩固测试题1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点5．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ） A ．28 B ．22C ．14D ．126．双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为 ( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y ＝3x 或y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d ＝|43＋0|3＋1＝2 3. 7．以椭圆15822=+y x 的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（ ）A A ．15322=-y x B ．13522=-y x C ．181322=-y x D ．151322=-y x 8．过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 29＝1只有一个交点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．9．经过两点)3,72(),26,7(B A --的双曲线的方程为 （ ）CA ．1257522=-y x B ．1257522=-x y C ．1752522=-y x D ．1752522=-x y 10．已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 11．已知P 是双曲线191622=-y x 上的一点，21,F F 是双曲线的两个焦点，且 12021=∠PF F 则21F PF ∆的面积为 （ ）DA ．316B ．39C ．34D ．3312．双曲线222516400x y -=的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，顶点坐标为 ， 焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，离心率等于 ．13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =________ 12．6414．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 。
13．0543=-+y x15．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。
双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为2214x y -+=，∴ m=14-。
16．已知双曲线的离心率e ＝52，且与椭圆x 213＋y23＝1有共同的焦点，求该双曲线的方程．解：在椭圆中，焦点坐标为(±10，0)， ∴c ＝10，又e ＝c a＝10a＝52，∴a 2＝8，b 2＝2.∴双曲线方程为x 28－y 22＝1.17．已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F∵ 9021=∠PF F ，∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF ，∴1622021=-PF PF ，∴221=⋅PF PF∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F 18．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,右顶点为 (2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程； 18.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为1422=+y x (2)设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x 0,y 0),由x=210+x得x 0=2x －1 y=2210+y y 0=2y －21 由,点P 在椭圆上,得1)212(4)12(22=-+-y x , ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是1)41(4)21(22=-+-y x .19．已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:2219x y +=.联立方程组22192x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得, 21036270x x ++=. 设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y )那么: 12185x x +=-,0x =12925x x += 所以0y =0x +2=15.也就是说线段AB 中点坐标为(-95,15).20．求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为338的双曲线方程。