初中八年级上册有关勾股定理的动点问题
勾股定理中的常考问题(6种类型48道)—2024学年八年级数学上册(解析版)
勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。
第三章 勾股定理与动点、实际问题 能力提升 苏科版八年级数学上册
勾股定理与动点问题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，AB =12 cm，∠BAC= 60°，动点M从点B 出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为ts(0 < t < 6)．连接MN，若△BMN 是等腰三角形，求t的值．2．如图，在矩形ABCD中，AB= 16 cm，AD =6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到到达点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．点P，Q从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10 cm?3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B =90°，AD =8 cm，AB =6 cm，BC= l0 cm，点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2 cm/s的速度在线段BC 上向点C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为ts，且0 < t < 5．若DP≠DQ，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC =BC =8 cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2 cm的速度向点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒1 cm的速度向点C运动（当P，Q两点有一点到达终点时运动停止）．设P，Q两点的运动时间为ts，当PQ =PC时，求t的值．5.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A(10，0)，C(0，4)，D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，∠A =30°，AB =8 cm，动点P从点A出发，在AB边上以每秒2 cm的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，运动时间为ts(0 < t < 4)，连接PQ，若△APQ是直角三角形，求t的值．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B =90°，AB =8 cm，AD= 24 cm，BC =26 cm，点P从点A出发，以l cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ= CD需要多少秒？勾股定理与实际问题建模知识点：分析实际问题，构建几何图形，运用勾股定理或勾股逆定理解决．1．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是40 m/min，甲客轮用15 min到达点A，乙客轮用20 min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000 m，甲客轮沿着北偏东30°方向航行，则乙客轮的航行方向可能是．2．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240 km的点B处，以每时12 km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150 km的范围为受影响区域，如果A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间为．3．如图，某船向正东方向航行，在点A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到点B，测得该岛在北偏东30°方向，已知该岛周围6海里内有暗礁，若该船继续向东航行，3 1.732）有无触礁危险？请说明理由．（参考数据：4．如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平面选取C，D两点，在点C处测得点A 的仰角力45°，距点C为10 m的点D处测得点A的仰角为60°，且点C，D，B在同一水平直线上，求铁塔AB的高度．5．如图，一艘游轮在点A处测得北偏东45°方向上有一灯塔B．游轮以202诲里/时的速度向正东方向航行2小时到达点C处，此时测得灯塔B在点C处北偏东15°方向上，求点A处与灯塔B相距多少海里？3．如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160 m ，假设拖拉机行驶时，周围100 m 以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？7．如图，在某沿海城市A 正南方向220 km 的点B 处有一台风中心，其最大风力为十二级，每远离台风中心20 km ，风力就会减弱一级，该台风中心现在以15 km/h 的速度沿北偏东30°方向往点C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．(1)该城市是否会受到这次台风影响？请说明理由；(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？8．如图，铁路上A ，B 两点相距25 km ，C ，D 两点为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=15 km ，CB =10 km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ．(1)若C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离点A 多少千米处？(2)若E 站到C ，D 两村的距离之和最短，则E 站应建在高点A 多少千米处？(3)受此启发，请解决以下问题：正数a ，b 满足条件a+b=5，且91622+++=b a d ，则d 的最小值为 ．。
专题3：勾股定理动点问题
117.17专题3：勾股定理动点问题一．【知识要点】1.勾股定理动点问题二．【经典例题】1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）求AC 的长及斜边AB 上的高；（2）①当点P 在CB 上时，CP 的长为 ．（用含t 的代数式表示）②若点P 在∠BAC 的角平分线上，则t 的值为 ．2．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6BC =，若点P 是边AB 上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A B A →→运动，同时点Q 从B C →以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t ，若BPQ ∆为直角三角形，则t 的值为 ．3.(2021·武昌)在△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°,AB=4,点D 是直线BC 上一动点，连接AD ，在直线AD 的右侧作等边△ADE ，连接CE ，当线段CE 的长度最小时，线段CD 的长度为 .2C 0G F ED B A三．【题库】【A 】1．(此题12分）在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。
【B 】【C 】【D 】1.（10分）如图，矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 边上一点，DE=1nAD （n 为大于2的整数），连接BE ，作BE 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点F ，G ，FG 与BE 的交点为O ，连接BF 和EG ．（1）试判断四边形BFEG 的形状，并说明理由；（2）当AB=a （a 为常数），n=3时，求FG 的长；（3）记四边形BFEG 的面积为S 1，矩形ABCD 的面积为S 2，当121730S S 时，求n 的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）3。
勾股定理中的动点题
勾股定理中的动点题动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要"以静制动〞，即把动态问题，变为静态问题来解。
一般方法是抓住变化中的"不变量〞，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量*、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个根本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。
第三，确定自变量的取值围，画出相应的图象。
这类题目难度较大从数学知识点来看，一般考察几何图像的判定和性质〔如梯形，相似三角形，直角三角形等〕以及函数和方程的知识等综合性很强. 从数学思想方法看有：数形结合的思想方法，转化的思想方法，分类讨论的思想方法，方程的数学，函数的思想方法等关键:动点中的分类讨论：抓住运动中的关键点，动中求静.1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，∠A=120°．动点P、E、M分别从B、A、D三点同时出发，其中点P沿BA向终点A运动，点E沿AD向终点D运动，点M沿DC向终点C运动，且它们的速度都为每秒2个单位．连接PE、PM、EM，设动点P、E、M运动时间为t〔单位：秒〕，△PEM的面积为S．〔1〕判断△PAE与△EDM是否全等，说明理由；〔2〕连接BD，求证：△EPM∽△ABD；〔3〕求S与t的函数关系式，并求出△PEM的面积的最小值．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定；勾股定理；梯形。
解答：解：〔1〕△PAE≌△EDM，理由如下：根据题意，得BP=AE=DM=2t，∵AB=AD=DC=4，∴AP=DE=4﹣2t〔1分〕∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴∠PAE=∠EDM；〔2分〕又AP=DE，AE=DM，∴△PAE≌△EDM．〔3分〕〔2〕证明：∵△PAE≌△EDM，∴PE=EM，∠1=∠2〔4分〕∵∠3+∠2=∠1+∠BAD，∴∠3=∠BAD；〔5分〕∵AB=AD，∴；〔6分〕∴△EPM∽△ABD．〔7分〕〔3〕过B点作BF⊥AD，交DA的延长线于F，过P点作PG⊥AD交于G；在Rt△AFB中，∠4=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，∴BF=AB•sin∠4=4•sin60°=∴S△ABD=．〔8分〕在Rt△APG中，PG=AP•sin∠4=〔4﹣2t〕•sin60°= 〔2﹣t〕．AG=AP•cos∠4=〔4﹣2t〕•cos60°=2﹣t，∴GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t．∵PE2= PG2+ GE2 ∴[ 〔2﹣t〕]2+〔2+t〕2=4t2﹣8t+16．∵△EPM∽△ABD，∴= 〔9分〕∴S△EPM=4 ×=；∴S与t的函数关系式为S= 〔0≤t≤2〕〔10分〕即S=∴当t=1，S有最小值，最小值为．〔12分〕另一解法〔略解〕在Rt△APG中，PG=AP•sin∠4=〔4﹣2t〕•sin60°=〔2﹣t〕．AG=AP•cos∠4=〔4﹣2t〕•cos60°=2﹣t．在Rt△MFD中，FM=DM•sin∠MDF=2t•sin60°=，DF=DM•cos∠MDF=2t•cos60°=t．∴GF=AG+AD+DF=2﹣t+4+t=6，GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t，EF=ED+DF=4﹣2t+t=4﹣t；∴S△EPM=S梯形PGFM﹣S△PEG﹣S△EFM=．〔0≤t ≤2〕2、〔2010•〕如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒〔0＜t＜5〕．〔1〕求证：△ACD∽△BAC；〔2〕求DC的长；〔3〕设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质。
八年级数学动点题型归纳
八年级数学动点题型归纳一、动点与三角形相关题型1. 动点在三角形边上运动求线段长度或周长题目：在等腰三角形公式中，公式，公式，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，设运动时间为公式秒。
当公式时，求公式的长度。
解析：过点公式作公式于点公式。
因为公式，等腰三角形三线合一，所以公式。
在公式中，根据勾股定理公式。
当公式时，公式，则公式。
在公式中，根据勾股定理公式。
2. 动点运动过程中三角形面积的变化题目：在公式中，公式，公式，公式，点公式从点公式出发，沿公式向点公式以每秒公式个单位长度的速度运动，同时点公式从点公式出发，沿公式向点公式以每秒公式个单位长度的速度运动，设运动时间为公式秒公式，求公式的面积公式与公式的函数关系式。
解析：已知公式，则公式，公式。
根据三角形面积公式公式，对于公式，底为公式，高为公式。
所以公式。
二、动点与四边形相关题型1. 动点在四边形边上运动判断四边形形状题目：在矩形公式中，公式，公式，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，设运动时间为公式秒。
当公式时，四边形公式是什么四边形？解析：当公式时，公式，公式。
因为四边形公式是矩形，所以公式，公式。
则公式，公式。
在四边形公式中，公式（因为公式），公式，公式（此时公式运动到公式点），公式。
因为公式且公式，所以四边形公式是梯形。
2. 动点运动过程中四边形面积的变化题目：在平行四边形公式中，公式，公式，公式，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，设运动时间为公式秒。
求四边形公式的面积公式与公式的函数关系式。
解析：四边形公式的面积公式。
过点公式作公式于点公式，在公式中，公式，公式，则公式，公式。
所以公式。
因为公式，则公式。
公式。
所以公式。
三、动点与函数图象相关题型1. 根据动点运动情况确定函数图象题目：如图，在边长为公式的正方形公式中，点公式以每秒公式个单位长度的速度从点公式出发，沿公式的路径运动，到点公式停止。
专题08勾股定理在动点直角三角形存在性问题中的应用（解析版）
专题08勾股定理在动点直角三角形存在性问题中的应用（解析版）专题08 勾股定理在动点直角三角形存在性问题中的应用动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的直角三角形存在性问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握转化、分类讨论、数形结合的数学思想方法，尤其对勾股定理的运用炉火纯青，才能准确、快速的解答. 这类题目的基本思路是什么，解答的难点在哪？我们将通过以下几个例题加以说明. 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质，角的关系、边的关系等，这些性质在求线段的长度等方面有广泛的应用.需掌握以下几个基本图形：题1. 如图1-1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5m ，AC ＝3m ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1m /s 的速度移动，设运动的时间为t s .图1-1(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）4m ；（2）见解析【解析】解：（1）∵∠C ＝90°，AB ＝5m ，AC ＝3m在Rt △ABC 中，由勾股定理得：4BC ==∴BC =4m .（2）由题意可知，∠ABP ≠90°，分两种情况讨论：①当∠APB =90°时，此时P 点与C 点重合，如图1-2所示.123412图1-2由（1）知BP =4，所以t =4 s . ②当∠BAP =90°时，如图1-3所示.图1-3由题意得：BP =t ，CP =t －4 在Rt △ABP 中，由勾股定理得：AP 2=BP 2－AB 2在Rt △ACP 中，由勾股定理得： AP 2=AC 2+CP 2所以BP 2－AB 2=AC 2+CP 2 即：()2222534t t -=+- 解得：254t =综上所述，当△ABP 为直角三角形时，t =4或254t =. 【点睛】直角三角形存在性问题，分类讨论的出发角度是直角的位置，此题分∠APB 和∠BAP 为直角时，进行分类讨论，准确画出图形，根据勾股定理列方程求解.题2. 如图2-1，在四边形ABCD 中，∠D =90°，AB ∥DC ，AB =3，DC =4，AD =7. 若点P 是线段AD 上一动点，当AP 为何值时，△BCP 是直角三角形？AB AB图2-1【答案】见解析.【解析】解：∵∠D =90°，AB ∥DC ，∴∠A =90°过B 作BE ⊥CD 于E ，如图2-2所示. 则四边形ABED 为矩形所以BE =AD =7，DE =AB =3，CE =CD －DE =1图2-2在Rt △BCE 中，由勾股定理得： BC 2=CE 2+BE 2=50.因为∠C <90°，P 在线段AD 上运动，所以当△BCP 是直角三角形时，∠BCP ≠90°，分两种情况讨论：①当∠BPC =90°时，如图2-3所示.图2-3设AP =x ，则PD =7-x在Rt △ABP 中，由勾股定理得： BP 2=AP 2+AB 2=x 2+9.在Rt △DCP 中，由勾股定理得： PC 2=PD 2+CD 2= (7-x ) 2+16.BADC E BADC P在Rt △BCP 中，由勾股定理得： PC 2=PB 2+BC 2=x 2+9+50. ∴(7-x )2+16= x 2+9+50 解得：37x =. 即AP =37. ②当∠PBC =90°时，如图2-4所示.图2-4设AP =x ，则PD =7-x在Rt △ABP 中，由勾股定理得： BP 2=AP 2+AB 2=x 2+9.在Rt △DCP 中，由勾股定理得： PC 2=PD 2+CD 2= (7-x ) 2+16. 在Rt △BCP 中，由勾股定理得： PC 2= BC 2-PB 2 = 50-x 2-9. ∴(7-x )2+16=50- x 2-9 解得：1234x x ==，. 即AP =3或4. 综上所述，当AP 为37或3或4时，△BCP 是直角三角形. 【点睛】直角三角形的存在性问题用到的数学方法是分类讨论，针对直角所在不同的位置进行讨论，解题方法除了利用勾股定理外，也可用相似三角形、三角函数等求解. 以图2-4为例，是典型的“一线三直角”模型. 易知△ABP ∽△DPC ，所以AB APDP CD=BADC P即374xx =-，解得1234x x ==，. 因此在日常学习过程中，我们要针对每一个题多思考，有没有多种求解方法，这样对拓展眼界有很大的好处.题3. 如图3-1，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1 cm /s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm /s 的速度运动. 若点M ，N 分别从A ，B 同时出发． (1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．图3-1【答案】见解析.【解析】解：（1）设经过x 秒，△BMN 为等边三角形，则AM ＝x ，BN ＝2x ，∴BM ＝AB －AM ＝30－x ，根据题意得30－x ＝2x ，解得x ＝10.所以经过10 s ，△BMN 为等边三角形. （2）设经过x 秒，△BMN 是直角三角形. 根据题意分两种情况讨论：图3-2①当∠NMB =90°时，如图3-2所示. ∵∠B ＝60°，∴∠BNM ＝30°，∴BN ＝2BM ，BCAMN即2x＝2 (30－x)，解得x＝15；图3-3②当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BM＝2BN，即30－x＝2×2x，解得x＝6，即经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．【点睛】(1)设时间为x，用x表示出AM、BN、BM，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；(2)分①∠BNM ＝90°时，即可知∠BMN＝30°，依据2BN＝BM列方程求解可得；②∠BMN＝90°时，∠BNM＝30°，依据2BM ＝BN列方程求解可得．题4. 已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)如图4-1，点O是AB的中点，OM⊥AC于M，求证：AM=CM；(2)如图4-2，若∠A=30°，AB=8 cm，动点P从点A出发，在AB 边上以每秒2 cm的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CA的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜4），连接PQ．若△APQ是直角三角形，求出t的值.图4-1 图4-2 【答案】见解析.B CA MN【解析】（1）证明：连接OC . 如图4-3所示.图4-3∵∠ACB =90°，O 是AB 的中点∴OC =OA =OB . ∵OM ⊥AC ，∴∠OMA =∠OMC =90°. 在Rt △OMA 和Rt △OMC 中，∵OM =OM ，OA =OC ∴Rt △OMA ≌Rt △OMC ∴AM =MC .（2）∵∠A =30°，AB =8 cm ∴BC =4，根据勾股定理可得，AC=由题意得：AP =2t ，CQ，AQ=. 当△APQ 是直角三角形时，分两种情况讨论图4-3①当∠AQP =90°时，如图4-3所示. ∵∠A ＝30°，ABCOMABCQ P∴AP =2PQ ，AQPQ即AP AQ =∴()23t =，解得t ＝2；②当∠APQ ＝90°时，如图4-4所示.图4-4∵∠A ＝30°，∴AQ ＝2PQ ，APPQ，即AP AQ =，即)22t =-，解得t ＝127，综上所述，当△APQ 是直角三角形时，t 为2秒或127秒．题5. 如图5-1所示，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：（1）在图中画一条线段MN ，使MN =17；（2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF ．ABC QP图5-1【答案】见解析.【解析】（1）如图5-2所示，因为PM =1，PN =4在Rt △MNP 中，由勾股定理得： MN=即图中MN 即为所求的线段.图5-2（2）根据题意，得图5-3.由勾股定理得：AB ，BC =AC由222+=，得△ABC 为直角三角形.该题答案不唯一. 如图5-4亦是一种情况.图5-3 图5-4题6. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（9，1），点C 到直线AB 的距离为4，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 有个．坐标分别为.MNPABCEFD【答案】6. （1，5）、（1，-3）、（9，5）、（9，-3）、（5，5）、（5，-3）.【解析】因为点C到直线AB的距离为4所以C在直线向上或向下平移4个单位所得到的直线上，如图6-1所示.图6-1当△ABC是直角三角形时，分三种情况讨论[来源学科网Z.X.X.K]①当∠CAB=90°时，如图6-2所示. 有两个点满足要求，坐标为（1，5）、（1，-3）图6-2②当∠CBA=90°时，如图6-3所示. 有两个点满足要求，坐标为（9，5）、（9，-3）图6-3②当∠BCA=90°时，如图6-4所示. 有两个点满足要求，坐标为（5，5）、（5，-3）图6-4作AB的垂直平分线交DE于点C.由题意得：CH=4，AB=8，AH=HB=4∴∠CAH=∠ACH=45°，∠BCH=∠HBC=45°∴∠ACB=90°即△ABC为直角三角形. C点坐标为（5，5），根据对称性，可求得另一点坐标为（5，-3）.故答案为，6个点. 坐标分别为：（1，5）、（1，-3）、（9，5）、（9，-3）、（5，5）、（5，-3）.题7．如图7-1，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB 为直角三角形时，AP的长为．【答案】 2.【解析】解：分类讨论：①当∠APB=90°时（如图7-2），图7-2∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，即△BOP 为等边三角形，∵AB =BC =4，∴AP =AB ?2=4×2= ②当∠ABP =90°时，情况一：（如图7-3），图7-3∵∠AOC =∠BOP =60°，∴∠BPO =30°，∴BP =在直角三角形ABP 中，由勾股定理得：AP =；情况二：如图7-4，图7-4∵AO =BO ，∠APB =90°，∴PO =AO ，∵∠AOC =60°，∴△AOP 为等边三角形，∴AP =AO =2，故答案为：或2．【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的三边关系和直角三角形斜边的中线的性质；利用分类讨论，数形结合的方法是解答此题的关键．。
11.专题勾股定理中的动点问题专练(二)原卷版2020-2021学年八年级数学上册专题培优训练
专题02 勾股定理中的动点问题专练（二）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径为()A. 2√1+π2B. 2√1+4π2C. 4√1+π2D. 2√4+π22.如图，等边△ABC的边AB=8，D是AB上一点，BD=3，P是AC边上一动点，将△ADP沿直线DP折叠，A的对应点为A′，则CA′的长度最小值是()A. 4√3−6B. 2C. 4√3−2√6D. 33.如图，在Rt△ABC中，BC=AC=4，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，使A落在A′处，当A′D垂直于Rt△ABC的直角边时，AD的长为()A. 2√2或4B. 2√2或4√2C. 2或4D. 4或4√2−44.如图，在8×8的网格中(小正方形的边长为1)，△ABC和△BDE的位置如图，且顶点都在网格点上，连接AD，点M、N分别是BD、AD上的动点，连接AM，MN，则AM+MN的最小值为()C. 2√10D. 6A. 4√2B. 8√1055.如图，在△ABC中，AB=AC=15，且△ABC的面积为90，D是线段AB上的动点(包含端点)，若线段CD的长为正整数．．．，则点D的个数共有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6.如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是()A. 14.8B. 15C. 15.2D. 16二、填空题7.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O，A，B，M均在格点上，P为线段OM上的一个动点．(I)OM的长等于______；(Ⅱ)当点P在线段OM上运动，且使PA2+PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的．8.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13cm，AC=5cm，动点P从点B出发沿射线BC以lcm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的值为______．9.如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=17.点E为线段DC上的一个动点，△ADE与△△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B′为直角三角形时，DE的长为________________10.如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=3，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF=CE，则BE+CF的最小值为______．11.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8.P是BC上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE=_________．三、解答题12.如图所示，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，AC=20cm，P、Q是△ABC的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．(1)则BC=____cm；(2)当t为何值时，点P在边AC的垂直平分线上？此时CQ=____；(3)当点Q在边CA上运动时，直接写出使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．13.如图，∠ABC=90∘，AB=6cm，AD=24cm，BC+CD=34cm，点C是直线l上一动点，请你探索当点C离点B多远时，▵ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？14.如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B 开始B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t 秒．(1)出发2秒后，求PQ的长；(2)当点Q在边BC上运动时，通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间(直接写答案)．。
勾股定理动点问题解题技巧
勾股定理动点问题的解题技巧包括以下几种：
配方法。
将一个二次式通过配方转化为几个完全平方式，再利用平方式的非负性进行计算。
等面积法。
把同一个图形的面积用不同的方法表示出来，最后再利用同一个图形的面积不变，得到等式。
这种方法在几何中，通常用于求垂线段的长度以及证明垂线段之间的关系。
分类讨论思路。
在运用勾股定理时，当斜边或直角未定时，需要分类讨论。
例如，在解决有关高线的问题中，当三角形的形状未定时，需要注意分类讨论，一般分为锐角三角形（高在三角形内部）和钝角三角形（高在三角形外部）两种情况，分别画图计算即可。
在一些几何综合探究题和存在性问题中也经常需要应用分类讨论思路。
整体转化思路。
在解题中，当需要的数据或关系式不能直接得出时，可以考虑整体替换思路。
方程思想。
当题目中的未知量较多或给定的条件不能直接利用，如已知两线段之间的和、差、倍、分、比关系，但两线段长度均未知时，可以考虑利用方程来解题。
在直角三角形中，由于“知二可推一”，可以设其中一条未知线段长度为x，再用含有x的代数式表示出相关线段的长度，再利用勾股定理列写等式方程，将求解边长转化为解方程。
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初中八年级上册有关勾股定理的动点问题勾股定理是数学中的一个基本定理，被广泛应用于几何学和物理学中。
它是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的。
勾股定理的表述是指在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边平方。
在初中八年级上册的数学课程中，勾股定理通常作为一个应用题出现，涉及到动点问题。
下面将介绍一些与勾股定理相关的动点问题示例。
一、航上的观察塔问题
问题描述：一座观察塔高20米，离塔基100米处有一船只。
观察塔顶端有一个观察人员，观察到船只的仰角为30度。
求观察人员与船只之间的距离。
解法分析：根据题目描述，观察人员与船只之间构成一个直角三角形，观察塔的高度为20米，故可设观察人员与船只之间的距离为x 米。
根据勾股定理可得：
x^2 = 100^2 + 20^2
x^2 = 10000 + 400
x^2 = 10400
x = √10400 ≈ 102.05
因此，观察人员与船只之间的距离约为102.05米。
二、飞机的飞行高度问题
问题描述：一飞机在水平方向上以800千米/小时的速度飞行，飞行员观察到一个地面目标的仰角为60度。
求飞机飞行的高度。
解法分析：根据题目描述，飞机的飞行高度为h米，速度为800千米/小时，故可设飞机的飞行时间为t小时（t小时后飞机飞行的距离为800t千米）。
根据勾股定理可得：
h^2 = (800t)^2 - (800t)^2 × sin^2(60°)
化简可得：
h^2 = (800t)^2 - (800t)^2 × (1/2)^2
h^2 = (800t)^2 × (1 - (1/4))
h^2 = 3(800t)^2 / 4
因此，飞机的飞行高度为根号下3(800t)^2 / 4，即根号下
3(200t)^2米。
三、烟花爆炸高度问题
问题描述：一枚烟花在点火后经过3秒爆炸，观察者在听到烟花爆炸声后1.5秒时，向烟花发射点看去，发现目标方位角为45度。
已知烟花上升速度为100米/秒，求烟花爆炸的高度。
解法分析：根据题目描述，烟花的上升高度为h米，速度为100米/秒，故可设烟花的上升时间为t秒。
观察者从听到爆炸声到向烟花发射点看去的时间间隔为1.5秒。
根据勾股定理可得：
h^2 = (100t)^2 - (100t - 1.5)^2
化简可得：
h^2 = (100t)^2 - (100t - 1.5)^2
h^2 = (100t)^2 - (100t)^2 + 2 × 100 × 1.5t - (1.5)^2 h^2 = 300t - (1.5)^2
因此，烟花的爆炸高度为根号下300t - (1.5)^2米。
以上是初中八年级上册有关勾股定理的动点问题的一些示例，通过应用勾股定理，我们可以解决各种与直角三角形相关的动点问题。
在解题过程中，需要根据题目给出的信息设定未知量，并利用勾股定理求解。
同时，需要注意单位的换算和问题的实际意义。
通过大量练习，可以更好地理解勾股定理的应用和解题方法。