椭圆专题习题含答案
椭圆抛物线习题及答案
椭圆抛物线习题及答案椭圆抛物线是数学中的一个重要概念，它在几何学和物理学中都有广泛的应用。
本文将介绍一些椭圆抛物线的习题，并给出相应的答案，希望能够帮助读者更好地理解和应用椭圆抛物线。
1. 习题一：求解椭圆抛物线的焦点坐标。
已知椭圆抛物线的方程为x^2/4 + y^2/9 = 1，求解其焦点坐标。
解答：首先，我们可以通过方程的形式得知这是一个椭圆抛物线，因为x^2和y^2的系数不相等。
根据椭圆抛物线的定义，我们知道其焦点坐标可以表示为(F, 0)和(-F, 0)，其中F为焦距。
通过观察方程，我们可以发现a=2，b=3，根据椭圆抛物线的性质，焦距F的计算公式为F = √(a^2 - b^2)。
代入数值，得到F = √(4 - 9) = √(-5)。
然而，我们知道焦距必须为实数，而√(-5)是虚数，所以这个椭圆抛物线不存在实数焦点。
2. 习题二：求解椭圆抛物线的离心率。
已知椭圆抛物线的方程为x^2/16 + y^2/9 = 1，求解其离心率。
解答：离心率是描述椭圆抛物线形状的一个重要参数，它可以通过椭圆抛物线的方程得出。
根据椭圆抛物线的定义，离心率e的计算公式为e = √(1 -b^2/a^2)，其中a和b分别为椭圆抛物线的长轴和短轴。
根据给定的方程，我们可以得到a=4，b=3，代入计算公式，得到e = √(1 -9/16) = √(7/16) = √7/4。
所以，该椭圆抛物线的离心率为√7/4。
3. 习题三：求解椭圆抛物线的焦点到直线的距离。
已知椭圆抛物线的方程为x^2/9 + y^2/4 = 1，直线的方程为y = x + 1，求解焦点到直线的距离。
解答：焦点到直线的距离是椭圆抛物线与直线的一个重要性质，可以通过求解方程组得出。
首先，我们需要将直线的方程代入椭圆抛物线的方程，得到一个关于x的二次方程。
将y = x + 1代入椭圆抛物线的方程，得到x^2/9 + (x + 1)^2/4 = 1。
将方程整理后，得到13x^2 + 72x + 85 = 0。
椭圆练习题大全
椭圆练习题大全一、选择题：1. 椭圆的离心率e与焦距F之间的关系是：A. e < FB. e = FC. e > FD. e = 12. 化简方程$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$的椭圆长轴和短轴的长度分别为：A. 2和3B. 3和2C. 4和9D. 9和43. 椭圆的离心率等于1时称为：A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆4. 椭圆的焦点与准线之间的距离称为：A. 焦距B. 长半轴C. 短半轴D. 直径5. 椭圆的离心率e的取值范围是：A. e > 1B. 0 < e < 1C. e = 0D. e = 1二、填空题：1. 椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$的离心率为0.8，长轴长度为10，则短轴长度为\_\_\_\_\_。
2. 已知椭圆的长轴长度为10，焦距为6，则椭圆离心率为\_\_\_\_\_。
3. 椭圆的焦点到准线的垂直距离为4，离心率为0.5，则椭圆的长轴长度为\_\_\_\_\_。
4. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$的离心率为0.6，焦点到准线的距离为2，则长轴和短轴的长度分别为\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_。
5. 椭圆的长轴长度为12，离心率为$\frac{1}{3}$，则焦距的长度为\_\_\_\_\_。
三、解答题：1. 椭圆的定义是什么？它与圆的区别是什么？2. 写出椭圆的标准方程，并说明其中各参数的含义。
3. 已知椭圆的焦点在y轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，焦点的坐标为$(0, \pm2)$，求椭圆长轴和短轴的长度。
4. 椭圆的参数方程为$x = 2\cos t，y = 3\sin t$，其中$t$为参数，求该椭圆的长轴和短轴的长度。
5. 椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$的焦点为$F_1$和$F_2$，准线为$x = -c$，其中$c^2 = a^2 - b^2$，证明焦点到准线的距离总是等于长轴的长度。
椭圆习题(30道题)
椭圆习题一、 选择题：（在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的.） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5. 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A. 22B. 2C. 2D. 16．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．41 B ．22 C ．42 D ．21 7. 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴8．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．8779．若点P 在椭圆1222=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）A. 2 B. 1 C. 23D. 2110．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为 A ．01223=-+y x B ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ） A ．25 B ．27 C ．3 D ．4二、 填空题：（把答案填在题中横线上.）13．椭圆2214x y m+=的离心率为12，则m = 。
高二数学椭圆练习题及答案
高二数学椭圆练习题及答案一：选择题 1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是2.已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于 4．已知点F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF26．方程=10，化简的结果是7．设θ是三角形的一个内角，且，则方程xsinθ﹣ycosθ=1表示的曲线221、22129.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，则该椭10.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为11.如图，点F为椭圆=1的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为12．椭圆顶点A，B，若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离心率e=高二数学周测一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B 为焦点的椭圆”，那么 A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件.若椭圆2kx?ky?1的一个焦点是，则k的是 A.2211B.C. D.3228D．3x2－y2＝363．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为 A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝364.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 A.23B.33C.22D.2x2y25.椭圆2?2?1的两个焦点F1,F2三等分它的两条准线间的距离，那么它的离心率abA.B. C． D.336x2y26.已知是直线l被椭圆??1所截得的线段的中点，则l 的方程为369A.x?2y?0B. x?2y?4?0C.x?3y?4?0D. x?2y?8?0x2y27．设F1，F2分别是椭圆2?2?1的左、右焦点，若在其右准线上存在P,ab使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是?A.?0 ?2???B.?01?C.?1?D.? ??x2y28．在椭圆，F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|??1内有一点P43的值最小，则这一最小值是 A．D．457B． 2C．3二、填空题.双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是，则m的值是x2y210.已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围是____________.3?k2?kx2y211.设F1、F2是椭圆C：+=1的焦点，在曲线C上满足PF1?PF2=0的点P的个数124为________x2y2?12. 已知椭圆+=1的两个焦点为F1、F2,P为椭圆上一点，满足∠F1PF2=，则△F1PF2433的面积为_________________.13.已知椭圆C的焦点F1和F2，长轴长6，设直线y?x?2交椭圆C于A、B两点，则线段AB的中点坐标 .14. 已知圆A：?x?2??y?16，圆B：?x?2??y?14．动圆C与圆A内切，且222与圆B外切．则动圆圆心的轨迹方程为.三、解答题 x2y215. 求以椭圆＋1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的169双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．16. 从双曲线C:x?y?1上一点Q引直线l:x?y?2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.17. 已知动点P与平面上两定点A，对应的准线方程为y??且离心率e为和42时，求直线l的方程.92，4234的等比中项.平分？2求椭圆方程，是否存在直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰为直线x??若存在，求出直线l的斜率的取值范围，若不存在，请说明理由.x219. 设F1、F2分别是椭圆?y2?1的左、右焦点.4若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值;设过定点M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.x2y220. 知椭圆2??1的左、右焦点分别为F1、F2，离心ab率e?x?2。
高二上学期数学练习题(7)(椭圆的简单几何性质)有详细答案
高二上学期数学练习题（7）（椭圆的简单几何性质）班级 姓名 学号一．选择填空题1. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为 （ ）A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69) 2. 椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( ) A.32 B.34 C.22 D.233. 已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为（ ） A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝ ( )．A.14B.12C ．2D ．4 5. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( ) A.52 B.33 C.12 D.136. 如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )． A.15 B.25 C.55 D.2557. 已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ( )． A ．2 3 B ．4 3 C ．4 D ．88. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1²k 2的值为 ( )． A.12 B ．－12 C.13 D ．－139. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 （ ） 10. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )A ．8,2B ．5,4C ．5,1D ．9,1二．填空题11.已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________． 12.已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________．13.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12， 则椭圆G 的方程为________．14.已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________15.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．16.椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．17.已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝_______18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 则该椭圆的离心率为________． 三．解答题19.求椭圆x 24＋y 2＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．20.已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A (2，－6)．求椭圆的标准方程．21.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．22.已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．23.已知过点A (－1，1)的直线与椭圆x 28＋y24＝1交于点B 、C ，当直线l 绕点A (－1，1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程．24.如图所示，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF . (1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．高二上学期数学练习题（7）（椭圆的简单几何性质）参考答案班级 姓名 学号 （5-12页）一．选择填空题1. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为 （ ）A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．答案 D 2. 椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( )． A.32 B.34 C.22 D.23解析：将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 14＝1，则a 2＝1，b 2＝14，即a ＝1，c ＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32.答案 A 3. 已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为（ ） A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 解析 因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.答案 A4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝ ( )．A.14B.12 C ．2 D ．4 解析 将椭圆方程化为标准方程为x 2＋y 21m＝1，∵焦点在y 轴上，∴1m >1，∴0<m <1.由方程得a ＝1m ，b ＝1.∵a ＝2b ，∴m ＝14. 答案 A 5. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( ) A.52 B.33 C.12 D.13解析：记|F 1F 2|＝2c ，则由题设条件，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3， 则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33，故选B.答案 B6. 如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B A.15 B.25 C.55 D.255解析：由条件知，F 1(－2，0)，B (0，1)，∴b ＝1，c ＝2，∴a ＝22＋12＝5，∴e ＝c a ＝25＝255.答案 D7. 已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ( )． A ．2 3 B ．4 3 C ．4 D ．8 解析 如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接 AF 1、FD .由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1(其中F 1为椭 圆的下焦点)为平行四边形，∴AF 1＝FD ，同理BF 1＝CF ， ∴AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝AF ＋BF ＋BF 1＋AF 1＝4a ＝8.答案 D8. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1²k 2的值为 ( )． A.12 B ．－12 C.13 D ．－13解析 设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 12＝b 2－b 2x 12a2，所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 12x 2－x 12＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案 D 9. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 （ ） 解析 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F (1，0)．∴由F A →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0，∴x 0＝43，y 0＝13n ，将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12³(43)2＋(13n )2＝1.解得n 2＝1，∴|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.所以选A.答案 A 10. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( D )A ．8,2B ．5,4C ．5,1D ．9,1二．填空题11.已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________． 解析：设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4. 所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.答案 x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝112.已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________．解析：①当k ＋8>9时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4；②当k ＋8<9时，e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.答案4或－5413.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12， 则椭圆G 的方程为________．解析：依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12.∴2a ＝12，即a ＝6.∵椭圆的离心率为32，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴36－b 26＝32，∴b 2＝9.∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.答案 x 236＋y 29＝114.已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝92，c a ＝35，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝42.但焦点位置不确定．答案 x 250＋y 232＝1或x 232＋y 250＝115.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝（4m ）2－4m （3＋m ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆知，m >0且m ≠3. 综上可知，m 的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．答案 (1，3)∪(3，＋∞) 16.椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（12x 1－12x 2）2＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54（4＋24）＝35，答案 35。
椭圆的方程练习题
椭圆的方程练习题椭圆的方程练习题椭圆是一个几何学中的重要概念，它在数学、物理和工程学等领域中都有广泛的应用。
椭圆的方程是描述椭圆形状的数学表达式，通过解椭圆的方程，我们可以了解椭圆的性质和特点。
下面，我们来做一些椭圆的方程练习题，加深对椭圆的理解。
练习题一：给定椭圆的方程为x^2/4 + y^2/9 = 1，求椭圆的焦点坐标和长轴、短轴的长度。
解析：首先，我们可以通过方程的形式得知，椭圆的中心坐标为(0,0)。
然后，我们可以通过方程的系数来求得椭圆的长轴和短轴的长度。
根据方程的形式，我们可以得知长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
所以，我们可以得到a=2和b=3。
接下来，我们可以通过焦点的坐标公式来求得焦点的位置。
对于椭圆而言，焦点的坐标为(c,0)和(-c,0)，其中c^2=a^2-b^2。
代入a=2和b=3，我们可以得到c=√5。
因此，椭圆的焦点坐标为(√5,0)和(-√5,0)。
练习题二：给定椭圆的焦点坐标为(2,0)和(-2,0)，离心率为1/2，求椭圆的方程。
解析：根据椭圆的定义，离心率e的定义为焦点与中心之间的距离与长轴长度之比。
所以，我们可以得到2e=1/2，即e=1/4。
根据焦点和离心率的定义，我们可以得到焦点与顶点之间的距离为a=2/e=8。
所以，椭圆的长轴长度为2a=16。
接下来，我们可以得到椭圆的中心坐标为(0,0)。
最后，我们可以得到椭圆的方程为x^2/64 + y^2/48 = 1。
练习题三：给定椭圆的方程为(x-3)^2/16 + (y+1)^2/9 = 1，求椭圆的焦点坐标和离心率。
解析：通过方程的形式，我们可以得知椭圆的中心坐标为(3,-1)。
然后，我们可以通过方程的系数来求得椭圆的长轴和短轴的长度。
根据方程的形式，我们可以得知长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
所以，我们可以得到a=4和b=3。
接下来，我们可以通过焦点的坐标公式来求得焦点的位置。
对于椭圆而言，焦点的坐标为(c,0)和(-c,0)，其中c^2=a^2-b^2。
(完整版)椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C． D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B．C． D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C． D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A． B． C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B． C．D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B 在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e ＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b ，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A ．B ．C ．D ．解解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，答：∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．解解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，答：F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c ，﹣c）（c ，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解解：设|PF2|=x，答：∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G （，），∵，∴IG∥x轴，∴I 的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=•|F1F2|•|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A ．B．2﹣C．2（2﹣）D ．解解：如图，答：在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．或解答：解：∵椭圆C上的点P 满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e 的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C ．D ．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F 关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．一l解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则解答：，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|， 可得2c=2，即ac=b 2=a 2﹣c 2．可得e 2+e ﹣1=0． 解得e=．故选：D ． 15．已知椭圆（a ＞b ＞0）的两焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若|PF 2|=|F 1F 2|，且2|PF 1|=3|QF 1|，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．解答： 解：由题意作图如右图，l 1，l 2是椭圆的准线，设点Q （x 0，y 0），∵2|PF 1|=3|QF 1|，∴点P （﹣c ﹣x 0，﹣y 0）； 又∵|PF 1|=|MP|，|QF 1|=|QA|， ∴2|MP|=3|QA|， 又∵|MP|=﹣c ﹣x 0+，|QA|=x 0+，∴3（x 0+）=2（﹣c ﹣x 0+），解得，x 0=﹣，∵|PF 2|=|F 1F 2|， ∴（c+x 0+）=2c ； 将x 0=﹣代入化简可得，3a 2+5c 2﹣8ac=0， 即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y 轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A ．B ．C ．D ．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+co s∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解答：解：由已知P （，y），得F1P的中点Q 的坐标为（），∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F 为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c ，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O 的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C 的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C ：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e ∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]解答：解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（x0，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a 有最小值，对应的离心率e 有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B 在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，答：∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k ＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B 使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP 中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。
椭圆和双曲线练习题及答案解析
第二章圆锥曲线与方程一、选择题1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，故选D.2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．12解析：选C 由于△ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为F ，利用椭圆的定义，|BA |＋|BF |＝23，|CA |＋|CF |＝23，便可求得△ABC 的周长为4 3.3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)，故甲是乙的必要条件． 反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a ＞|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a ＜|AB |时，P 点无轨迹，故甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：选D 由a 2＞a ＋6＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6＞0，a ＋6＞0，所以⎩⎨⎧a ＜－2或a ＞3，a ＞－6，，所以a ＞3或－6＜a ＜－2.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，得c ＝ 3. 由2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，得a ＝2 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.6．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 又∵△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3. 又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22 C.13D.12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→，∴|AP ―→|＝2|PB ―→|.又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.10．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13解析：选B 法一：将x ＝－c 代入椭圆方程可解得点P －c ，±b 2a ，故|PF 1|＝b 2a ，又在Rt △F 1PF 2中∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2b 2a ，根据椭圆定义得3b 2a ＝2a ，从而可得e ＝c a ＝33.法二：设|F 1F 2|＝2c ，则在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c .所以|PF 1|＋|PF 2|＝23c ＝2a ，离心率e ＝c a ＝33.11．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24. 12．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．13．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12B.32C.72D ．5 解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当P 在M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.14．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D. 15．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 16．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确．17．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8 D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.18．(广东高考)若实数k 满足0＜k ＜5 ，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线 x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等 B. 虚半轴长相等C ．离心率相等 D. 焦距相等解析：选D 由0＜k ＜5易知两曲线均为双曲线，且焦点都在x 轴上，由于16＋5－k ＝16－k ＋5，所以两曲线的焦距相等．19．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 解析：选B 由题意知k ＜0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k4. 又e ∈(1,2)，∴1＜1－k4＜4，∴－12＜k ＜0.20．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1C.3x 225－3y 2100＝1D.3x 2100－3y 225＝1 解析：选A 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝bax 与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a ＝2且左焦点为(－5,0)，所以a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线的方程为x 25－y 220＝1.二、填空题21．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．解析：当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1.∴m －4＝1，m ＝5. 当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3. 答案：3或522．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________． 解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝123．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3.又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝124．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________________． 解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝125．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －4m ＝12⇒m ＝163.综上，m ＝3或m ＝163.答案：3或16326．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过P (－5,4)，则椭圆的方程为__________． 解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a ＞0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1.解得a 2＝45.∴椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝127．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：1628．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝129．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a .两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝130．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________．解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ，得m ＝3，所以c ＝7，又焦点在x 轴上，则焦点坐标为(±7，0)． 答案：(±7，0)31．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：232．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x－5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：3215.三、解答题33．设F 1，F 到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．解：由点⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆上，得(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，又2a ＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．34．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2||F 1F 2＝||PF 1＋||PF 2. (1)求此椭圆的方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解：(1)由已知得||F 1F 2＝2，∴||PF 1＋||PF 2＝4＝2a ，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得||F 1F 22＝||PF 12＋||PF 22－2||PF 1||PF 2cos 120°，即4＝()||PF 1＋||PF 22－||PF 1||PF 2，∴4＝(2a )2－||PF 1||PF 2＝16－||PF 1||PF 2，∴||PF 1||PF 2＝12，∴S △PF 1F 2＝12||PF 1||PF 2sin 120°＝12×12×32＝3 3.35．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12.由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.36．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是：⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a22，所以y 2＝ax －x 2.①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0，∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0＜x ＜a ，∴0＜ab 2a 2－b 2＜a ，即2b2＜a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得a 2＜2c 2，所以e ＞22. 又∵0＜e ＜1，∴22＜e ＜1.即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1. 37．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1.∵点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在双曲线上，∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a2＝1.化简，得4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或a 2＝1254.又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1. 38．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1.∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞1)． 39.已知椭圆方程是x 210＋y 25＝1，双曲线E 的渐近线方程是3x ＋4y ＝0，若双曲线E 以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程．解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±5，0)，顶点坐标为(±10，0)和(0，±5)．因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(±5，0)时，可设所求的双曲线方程为9x 2－16y 2＝k (k ≠0)，将点的坐标代入得k ＝45，故所求方程是x 25－16y 245＝1.40．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且a 2c ＝33.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，ca ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2.所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ＞0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.。
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椭圆专题一．椭圆的定义与性质1.设F 1（﹣4，0）、F 2（4，0）为定点，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=8，则动点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线C ．圆D ．线段2.如果程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值围是（ ） A ．3＜m ＜4B ．C ．D ．3.椭圆C ：4x 2+y 2=16的长轴长，短轴长，焦点坐标依次为（ ） A ． B ．C ．D ．4.已知焦点在y 轴上的椭圆的焦距为，则a=（ ）A ．8B ．12C ．16D ．525.椭圆的焦距是2，则m 的值是（ ）A ．9B ．12或4C ．9或7D ．206.已知焦点在y 轴上的椭圆的离心率为，则实数m 等于（ ）A ．3B ．C ．5D ．7.程+=1表示椭圆，则k 的取值围是 ．二．椭圆的标准程（待定系数法）：定位（确定焦点的位置），定量（求出a,b ） 焦点在x 轴 焦点在y 轴 知椭圆过两点求椭圆程：设 、代点，解程组。
知焦点（焦距）和椭圆经过某一点求椭圆程：待定系数法、定义法。
)0(12222>>=+b a b ya x )0(12222>>=+b a b x ay )0,0,(122>>≠=+n m n m ny mx1.椭圆（a ＞b ＞0）的一个焦点为（3，0），点（﹣3，2）在椭圆上，则该椭圆的程为（ ） A ． B ．C ．D ．2.已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准程为（ ） A ．=1 B ．C ．=1 D ．3.求符合下列条件的椭圆的标准程： (1)过点的椭圆 (2)过点(-3,2)且与有相同的焦点；(3)焦点在轴上，，且过点；(4)焦距为6，.三．求离心率：直接法，程法21()(01)c b e e a a ==-<<1.椭圆的离心率为（）A. B. C.2 D.42.椭圆6x2＋y2＝6的离心率为（）A. B. C. D.3.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.5.若一个椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等比数列,则椭圆的离心率为.6.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且满足·=c2,则此椭圆的离心率的取值围是（）A.[,1)B.[,]C.[,]D.(0,]四．焦点三角形：以椭圆上的点、两焦点为顶点的三角形。
椭圆的定义122PF PF a +=余弦定理222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠ 面积公式1212121sin 2PF F S PF PF F PF ∆=∠ 1.椭圆+=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则△PF 1F 2的长为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．14 2.椭圆C ：的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的长为8，则a 为（ ） A ．B ．2C ．D ．43.已知椭圆的程为 =1,过椭圆中心的直线交椭圆于A ,B 两点,F 2是椭圆的右焦点,则△ABF 2的长的最小值为（ ） A.7 B.8C.9D.104.已知椭圆的两个焦点是F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|﹣|PF 2|=2，则△PF 1F 2的面积是（ ） A ．B ．C ．D ．5.椭圆E ：=1的焦点为F 1，F 2，点P 在E 上，|PF 1|=2|PF 2|，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．86.已知椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积等于（ ） A ．B ．C ．6D ．37.设F 1，F 2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|：|PF 2|=4：3，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．24B ．25C ．30D ．488. 已知,2F 为椭圆的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点.若|F 2A |＋|F 2B |=12，则|AB |＝____. 9. 已知椭圆C ：的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有（ ）A ．8个B ．6个 C ．4个 D ．2个 五.求弦长：联立（直线与椭圆的程）、消元（消去y 或x ，整理得关于x 或y 的一元二次程）、韦达定理（1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩）、弦长公式2212121()4AB k x x x x =+⋅+-或21212211()4AB y y y y k=+⋅+- 求中点弦所在直线程（点差法）；中点公式（求出12x x +和12y y +）、代点作差（把交点坐标代入椭圆程，两式相减）、平差公式、斜率公式1212y y k x x -=-、点斜式00()y y k x x -=-把直线程化为斜截式或一般式。
1.经过点作直线交椭圆于A 、B 两点，且M 为弦AB 的中点。
(1)求直线的程； (2)求弦AB 的长。
2.已知椭圆M：+y2=1，直线l与椭圆M交于A、B两点，且点D（1，）是弦AB的中点，则直线l的程为（）A．x+4y﹣3=0 B．x﹣4y+1=0 C．x+2y﹣2=0 D．x﹣2y=03.已知椭圆E：（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为（1，﹣1），则弦长|AB|=（）A．5B．2C．D．六．综合1.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动点,则·的最大值和最小值分别为.2.已知F1、F2分别为椭圆(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点.(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值.3.已知，是椭圆（其中）的右焦点，是椭圆上的动点. (Ⅰ)若与重合，求椭圆的离心率；(Ⅱ)若，求的最大值与最小值.椭圆专题答案一．椭圆的定义与性质1解：若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，∵|F1F2|=8，动点M满足|MF1|+|MF2|=8，∴点M在线段F1F2上．故选：D．2解：由题意可得：程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选：D3解：椭圆C：4x2+y2=16，即，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，焦点坐标为（0，+2）．故选：B4解：焦点在y轴上的椭圆的焦距为，可得：，解得a=16．故选：C．5解：根据题意，椭圆的程为：椭圆，其焦距是2，即2c=2，则c=1；但不能确定焦点的位置，分两种情况讨论：①、当椭圆的焦点在x轴上时，有m＜8，有8﹣m=1，解可得m=7；②、当椭圆的焦点在y轴上时，有m＞8，有m﹣8=1，解可得m=9；综合可得：m=9或m=7，故选：C．6解：根据题意，焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则a2=m＞4，b2=4，则c=，又由椭圆的离心率e=，则有，解可得m=；故选：D．7.解：程+=1表示椭圆，则，解可得 k ＞3， 故答案]为k ＞3． 二．椭圆的标准程 1.解：由题意椭圆（a ＞b ＞0）的一个焦点为（3，0），可得c=3，点（﹣3，2）在椭圆上，可得：，解得a 2=27，b 2=18，椭圆的程：．故选：A ．2.解：依题意椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为得，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，2a+2c=6， 解得a=2，c=1，则b=，所以椭圆C 的标准程为：．故选：D ． 3.【答案】(1) (2)(3)(4) 或三．离心率1.B 【解析】本题考查椭圆的简单性质.2212516x y +=依题意可得,则,,2.B【解析】椭圆程可化为，∴a2＝6，b2＝1，∴c2＝5，∴.3.B【解析】由题意知点P的坐标为或,因为∠F1PF2=60°,那么,∴2ac=b2,这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为,故选B.4.D【解析】由于BF⊥x轴,故x B=-c,y B=±,设P(0,t),由=2,得(-a,t)=2(-c,±-t).即a=2c,故.5.【解析】由题意,知(2b)2=2a·2c,即b2=ac,∴a2-c2-ac=0,∴e2+e-1=0,又e>0,∴e=.6.C【解析】设P(x 0,y0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),则·+-c2=c2,∴+=2c2①,又+=1,即+=1②,①②联立,化简得,∵0≤≤a2,∴0≤≤a2,整理得≤≤,∴≤e≤.四．焦点坐标1.解：椭圆+=1的左右焦点分别为F1，F2，a=5，b=3，c=4，点P在椭圆上，则△PF1F2的长为：2a+2c=18．故选：B．2.解：由椭圆C ：的焦点在x 轴上，则椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ．∴△ABF 2的长=|AB|+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=8=4a ．解得a=2． 故选：B ． 3.【答案】D【解析】本题主要考查椭圆的定义和三角形的长. 由椭圆的中心对称性可得:====故选D.4.解：∵椭圆，焦点在x 轴上，则a=2，由椭圆定义：|PF 1|+|PF 2|=4，丨F 1F 2丨=2c=2，∵|PF 1|﹣|PF 2|=2，可得|PF 1|=3，|PF 2|=1， 由12+（2）2=9，∴△PF 2F 1是直角三角形， △PF 1F 2的面积|PF 2|×|F 1F 2|=×1×2=．故选：D ．5.解：∵椭圆E ：=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，|PF 1|=2|PF 2|，|PF 1|+|PF 2|=6，|PF 1|=4，|PF 2|=2， ∴F 1（﹣，0），F 2（，0），|F 1F 2|=2，三角形△PF 1F 2是直角三角形．∴△PF 1F 2的面积为S==4．故选：B ．6.解：如图所示，椭圆，可得a=5，b=3，c==4．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ， 则m+n=2a=10，在△F 1PF 2中，由余弦定理可得：（2c ）2=m 2+n 2﹣2mncos60°，可得（m+n ）2﹣3mn=64，即102﹣3mn=64，解得mn=12． ∴△F 1PF 2的面积S=mnsin60°==3．故选：B ．7.解：椭圆+=1的a=7，b=2，c=5，则|PF 1|+|PF 2|=2a=14，|PF 1|：|PF 2|=4：3，可得|PF 1|=8，|PF 2|=6， |F 1F 2|=10，显然|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2， 即PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为|PF 1|•|PF 2|=×8×6=24． 故选：A ． 8.【答案】8【解析】由椭圆的定义可以求出△ABF 2的长，从而结合已知求出|AB |. 由椭圆的定义可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，∴|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20， 又∵|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝8. 9.解：椭圆C ：的左，右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．P 是椭圆C 上的点，若△F 1PF 2为直角三角形，可得x 2+y 2=1与椭圆的交点，，可得x 无解．当∠F 1F 2P=90°时，满足题意，由椭圆的对称性可知：这样的点P 有4个．故选：C．五．求弦长1.【答案】:;【解析】本题考查了椭圆的标准程以及直线与椭圆的位置关系问题，弦长公式的应用,体现了转化与化归思想的应用,此类问题对计算能力要求较高.(Ⅰ)当直线斜率不存在时，显然不满足题意；当斜率存在时，设直线程为,代入整理后得,设A(),B(),则又因为，所以，解得,故直线AB的程为.(Ⅱ)根据第(1)问的结果，利用弦长公式,结合第一问中的韦达定理和k 的值，求出所求.2.解：当直线l的斜率不存在时不符合题意．设直线l的斜率为k．设点A（x1，y1），B（x2，y2）．代入椭圆程得，．两式相减得+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∵点D（1，）为弦AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=1．又=k，∴解得k=﹣．∴直线l的程为y﹣=﹣（x﹣1），化为x+2y﹣2=0．故选：C．3.解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆程得①，②，相减得，∴+•=0．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，kAB==．∴+×=0，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的程为+=1．AB的斜率为，且过（1，﹣1），∴直线AB的程为y+1=（x﹣1），即y=x﹣，代入椭圆程，得3x2﹣6x﹣27=0．∴x1+x2=2．x1x2=﹣9．∴|AB|=•=5．故选：A．六．综合1.【答案】1,-2【解析】易知a=2,b=1,c=,所以F 1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3=x2+1--3=(3x2-8),因为x∈[-2,2],故当x=0,即点P为椭圆的短轴端点时,·有最小值-2.当x=±2,即点P为椭圆的长轴端点时,·有最大值1.2.【答案】(1)(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.(2)，∴，①由题意知，∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.②由①②得c＝6，∴b＝8.3.【答案】(Ⅰ)由条件可知，又，所以，即所以离心率为.(Ⅱ)若，则椭圆程为，设，则故当时，；当时，.【解析】本题主要考查椭圆的简单几性质及二次函数的最值.(Ⅰ)由条件可知，又，利用求得的值，从而求得椭圆的离心率.(Ⅱ)若，则椭圆程为，设，则，利用二次函数在区间上的最值求得的最大值与最小值.。