线性代数习习题及解答

线性代数习题一

说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩

阵，|A |表示方阵A 的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1

A ．C ．2A ．E C ．E 3A ．⎛ ⎝C ．⎛ ⎝4 ）

A B C D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T

T

+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T

D ．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是

（ ）

A ．α+β是Ax =0的解

B ．α+β是Ax =b 的解

C ．β-α是Ax =b 的解

D ．α-β是Ax =0的解

8．设三阶方阵A 的特征值分别为11

,,324

，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,

B ．

111,, C 9A C 10A C 111213．设方阵A 满足A k =E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A -1=__________． 14．实向量空间R n 的维数是__________．

15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r ,则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________．

17．设α是齐次线性方程组Ax =0的解，而β是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则(32)+A αβ=__________． 18．设方阵A 有一个特征值为8，则det （-8E +A ）=__________．

19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________．

20．二次型2

2

2

123123121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数是__________． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算行列式

1112114

12461124

2

-----． 22

23．24252627313233⎝⎭⎝⎭⎝⎭

线性代数习题二

说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵。

A 表示方阵A 的行列式，r(A )

表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则

1

2

A

-=( )

A.-1

B.

1 4 -

C.1

4

D.1

2.设

212

()222122,

323235

x x x

f x x x x

x x x

---

=---

---

则方程()0

f x=的根的个数为（）

A.0

C.2

3.设

A.

C.

4.设

A.(

C.(

5.设

A.0

C.2

6.设

A.0

C.3

7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（）

A.-10

B.-4

C.3

D.10

8.已知线性方程组

123

123

12

4

3

224

x x x

x ax x

x ax

++=

⎧

⎪

++=

⎨

⎪+=

⎩

无解，则数a=( )

A.

1

2

- B.0

C.12

D.1

9.设3阶方阵A 的特征多项式为2(2)(3),λλλ-=++E A 则=A ( )

A.-18

B.-6

C.6

D.18

10.若3阶实对称矩阵()ij a =A 是正定矩阵，则A 的3个特征值可能为（ ）

A.-1，-2，-3

B.-1，-2，3

C.-1

11.12.设13.设14.15.16.17.设则方程组

18.设3阶方阵A 的秩为2，且则A 的全部特征值为__________.

19.设矩阵21100413a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 有一个特征值2,λ=对应的特征向量为12,2x ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

则数a =__________.

20.设实二次型

T 123(,,),f x x x x x =A 已知A 的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21.设矩阵2323(,2,3),(,,),αγγβγγ==A B

其中23,,,αβγγ均为3维列向量，且18, 2.==A B 求.-A B