高一数学函数的值域与最值(教师版)
学科教师辅导讲义
例4、求函数2223(20)()23(03)
x x x f x x x x ?+--
≤ ≤≤的值域．
分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．
解：作图象如图所示．
(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-，
∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的值域为[40]-，
． 变式练习1：求函数13y x x =-+-的值域.
分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.
24,(,1],
2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞??=∈??-∈+∞?
在对应的区间内,
画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为),2[+∞. 变式练习2：求函数224548y x x x x =
+++-+的值域。
解：原函数变形为2
2
2
()(2)1(2)2f x x x =+++-+
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成 12个单位正方形。设HK=x ,则EK=2x -,
KF=2x +,AK=22(2)2x -+,KC=2(2)1x ++ 。 由三角形三边关系知，AK+KC ≥AC=5。 当A 、K 、C 三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为｛y |y ≥5｝。 变式练习3：求函数()225222++-++=
x x x x x f 的最大值
解：()225222++-++=x x x x x f =
()()114122++-++x x
=
()()()()2222101201-++--++x x ，
显然，求f(x)的最大值就是求点A(x,0)分别到B(-1,2),C(-1,1)的距离之差的最大值.如图1所示：
()()22201-++x =|AB|,()()22101-++x =|AC|,且|BC|=1.
显然f(x)=|AB|-|AC|≥|BC|=1当且仅当A,B,C 三点共线时取到等号，即当X=-1时()[]1max =∴x f . y y
B 2 B 2
C 1 C 1
-1 O 1 x -1 O 1 x
图1 图2
图1
y=-2x+4
y=2x-4
Y
X
4
O
2
3
1
略解：易知定义域为1,2??-∞ ???，而12y x x =--在1,2??
-∞ ??
?上均为增函数，∴111
12222y --=g ≤，故
y ∈1,2?
?-∞ ??
?
13、求函数22y x x =
-++的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由2
20x x -++≥,可知函数的定义域为x ∈[－1，2]。此时
221992()0,244x x x ??
-++=--+∈????
∴2
2x x -++30≤≤2,函数的值域是30,2??????
。
14、已知函数f (x )=x
a
x x ++22,x ∈［1,+∞)
(1)当a =2
1
时，求函数f (x )的最小值.
(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.
错解分析：考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.
(1)解：当a =
21
时，f (x )=x +x
21+2 ∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，
∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=
2
7. (2)解法一：在区间［1，+∞)上，f (x )=x
a
x x ++22 >0恒成立?x 2+2x +a >0恒成立.
设y =x 2
+2x +a ,x ∈［1,+∞)
∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，
∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.
解法二：f (x )=x +
x
a
+2,x ∈［1,+∞) 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；
当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,
当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.
【课后练习】
一、选择题 1、函数y =x 2+
x
1 (x ≤－21
)的值域是( )
二、3.解析：t =V 400+16×(20
V )2/V =V 400+40016V
≥216=8. 答案：8
4.解析：由韦达定理知：x 1+x 2=m ,x 1x 2=
42+m ,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2－2x 1x 2=m 2－22+m =(m －41
)2－16
17,又x 1,x 2为实根，
∴Δ≥0.∴m ≤－1或m ≥2，y =(m －41
)2－16
17在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞)上是增函数又抛物线y 开口
向上且以m =4
1
为对称轴.故m =1时，
y min =2
1.
答案：－1 2
1
三、5.解：(1）利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x )之差，由题意，当x ≤5时，产品能全部售出，当x >5时，只能销售500台，所以
y =?????>-≤≤--=???
????
>+-?-?≤≤+--)1( 25.012)50(5.02
175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x (2）在0≤x ≤5时，y =－21
x 2+4.75x －0.5,当x =－a
b 2=4.75(百台）时，y max =10.78125(万元），当x >5(百台）时，
y ＜12－0.25×5=10.75(万元），
所以当生产475台时，利润最大.
(3）要使企业不亏本，即要求???≥->???
??≥-+≤≤025.012505.075.42
15
02x x x x x 或
解得5≥x ≥4.75－5625.21≈0.1(百台）或5＜x ＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本.
6.解：(1）依题意(a 2－1）x 2+(a +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是
??
?
??-<>-<>?????<--+=?>-13511,0)1(4)1(012
22
a a a a a a a 或或即， ∴a ＜－1或a >
35.又a =－1时，f (x )=0满足题意，a =1时不合题意.故a ≤－1或a >为3
5
所求. (2）依题意只要
t =(a 2－1)x 2+(a +1)x +1
能取到(0，+∞）上的任何值，则f (x )的值域为R ，故有???≥?>-0
12a ,解得1
＜a ≤
35,又当a 2－1=0即a =1时，t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意，∴1≤a ≤35
为所求. 7.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，由题意得： x +y +z =360 ①
12041
3121=++z y x
②x >0,y >0,z ≥60. ③
假定每周总产值为S 千元，则S =4x +3y +2z ,在限制条件①②③之下，为求目标函数S 的最大值，由①②消去z ,得y =360－3x . ④
将④代入①得：x +(360－3x )+z =360,∴z =2x ⑤ ∵z ≥60,∴x ≥30. ⑥
再将④⑤代入S 中，得S =4x +3(360－3x )+2·2x ,即S =－x +1080.由条件⑥及上式知，当x =30时，产值S 最大，最大值为S =－30+1080=1050(千元）.得x =30分别代入④和⑤得y =360－90=270,z =2×30=60.
∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元.
8.解：(1）如图所示：设BC =a ,CA =b ,AB =c ,则斜边AB 上的高h =c
ab
,
∴S 1=πah +πbh =,)2
(),(2
2c b a S b a c ab -+=+ππ,
∴f (x )=
2
21)()
(4c b a c b a ab S S -++=
①
又?
??
??-==+???
???=+=+)1(22
2222x c ab cx
b a
c b a x c b a 代入①消c ，得f (x )=1
)
(22-+x x x .
在Rt △ABC 中，有a =c sin A ,b =c cos A (0＜A ＜2
π
),则 x =
c b a +=sin A +cos A =2sin(A +4π
).∴1＜x ≤2. (2)f (x )=]12)1[(21)(22-+-=-+x x x x x +6,设t =x －1,则t ∈(0, 2－1),y =2(t +t
2
)+6在(0，2－1]上是减函数，∴
当x =(2－1)+1=2时，f (x )的最小值为62+8.
高一数学 函数单调性讲解
高中数学必修一函数——单调性 考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。 能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 （2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值； 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；
高一数学函数练习题及答案
数学高一函数练习题（高一升高二衔接） 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x ； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
函数的值域和最值教案
函数的值域和最值教案 【教学目标】1．让学生了解求函数值域（最值）常用的方法； 2．让学生了解各种方法的适用题型，并能灵活运用各种方法解函数的值域． 【教学重点】直接法、利用函数单调性求值域（最值）、数形结合法 【教学难点】判别式法和数形结合方法的使用 【例题设置】例1（强调定义域的重要性），其它例题主要指出各种方法适用的题型及 注意点． 【教学过程】 第一课时 〖例1〗已知函数3()2log f x x =+（19x ≤≤），求函数22()[()]()g x f x f x =+的最值． 错解：令3log [0,2]t x =∈，则 22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+- ∴当0t =时，min ()6g x =；当2t =时，max 2()()|22t g x g x ===． 错因分析：当2t =时，9x =，2(9)[(9)](81)g f f =+无意义．产生错误的原因主要是忽略了定义域这个前提条件． 正解：由2 1919 x x ≤≤??≤≤?，得()g x 的定义域为[1,3]，3log [0,1]t x =∈，则 22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+- ∴当0t =时，min ()6g x =；当1t =时，max 2()()|13t g x g x ===． ★点评：1．求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行； 2．运用换元法解题时，一定要注意元的取值范围，这步较容易被忽略； 3．配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可用此法解决．该法常与换元法结合使用． 〖例2〗 求下列函数的值域： ⑴ 121 21 x x y ++=+； 法一：（直接法）1212(21)11 2212121 x x x x x y +++-===-+++ 由20x >，211x +>，1 0121 x < <+，故12y <<，即原函数的值域为(1,2)
高一数学函数的单调性知识点
高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比
高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
高一数学(人教版必修一)教案：《函数的最大(小)值》
§1．3．1函数的最大（小）值 一．教学目标 1．知识与技能： 理解函数的最大（小）值及其几何意义． 学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 2．过程与方法： 通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识． 3．情态与价值 利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性． 二．教学重点和难点 教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 三．学法与教学用具 1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤． 2．教学用具：多媒体手段 四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题． 画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+ ②()3 [1,2]f x x x =-+∈- ③2 ()21f x x x =++ ④2 ()21[2,2]f x x x x =++∈- （二）研探新知 1．函数最大（小）值定义 最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义． 注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有 ()(())f x M f x m ≤≥． 2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法． ①配方法 ②换元法 ③数形结合法 （三）质疑答辩，排难解惑． 例1．（教材P 30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解（略） 例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？ 解：设利润为y 元，每个售价为x 元，则每个涨（x －50）元，从而销售量减少 10(50),x -个共售出500-10(x-50)=100-10x(个) ∴y=(x-40)(1000-10x) 9000(50x +≤2=-10(x-70)＜100） ∴max 709000x y ==时 答：为了赚取最大利润，售价应定为70元． 例3．求函数2 1 y x = -在区间 上的最大值和最小值． 解：（略） 例4．求函数y x =+ 解：令201t x t =≥=-+有则 2215 1()024 y t t t t =-++=--+ ≥Q 21()02t ∴--≤ 2155 ()244 t ∴--+≤ .∴5 原函数的最大值为4
函数的最值与值域
函数的最值与值域 求函数值域的基本方法：①直接法；②分离变量法；③⊿判别式法；④换元法；⑤利用函数的单调性；⑥不等式法；⑦导数法 (高二年级学习) [)(][] 0,3,1)()8(3131)7(135)6(;21)5(;3421)4(|;2||1|)()3(;2,11,2,123)()2(;123)()1(. )(22-∈-+=+-=-+-=+-=+-=-++=---∈+-=+-=x x x x f y x x y x x y x x y x x x f x x x x f x x x f x x 值与值域小求下列函数的最大例1
二.拓展问题 (一)基于对钩函数) 1.x x x y 122++=; 2. )21(,1 122<<-++=x x x x y ; 3.)31(,632<<++=x x x x y 4. 的最小值在求),2[)0(+∞∈>+ x a x a x 5. 的最小值求44422+++ +x a x 6．P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2 212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ?= ．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．答案：1629 S ≤<
(二)基于二次函数 1．函数)43lg()(2x x x f +-=的定义域为M ，函数124)(+-=x x x g （M x ∈）. (1) 求M ，并指出函数)(x f 的单调区间； (2) 求函数)(x g 的值域； (3) 当M x ∈时，若关于x 的方程)(241R b b x x ∈=-+有实数根，求b 的取值范围，并讨论实数根的个数. 2．讨论函数()21f x x x a =+-+的最小值 反馈练习：.)(.,|,1|2)(2的最小值求函数x f R a R x x a x x f ∈∈-+=
人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖
1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性；
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 一. 教学内容： 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等； 函数的单调性习题 一． 选择题： 1．函数1 1 --=x y 的单调区间是 （ ） ),.(+∞-∞A )0,.(-∞B ),1(),1,.(+∞-∞C ()+∞-∞,1)1,.(Y D 2．如果函数)(x f 在],[b a 上是增函数，那么对于任意的)(],,[,2121x x b a x x ≠∈，下列结论中不正确的是 （ ） 0) ()(. 2 121>--x x x f x f A 0)]()()[.(2121>--x f x f x x B )()()()(.21b f x f x f a f C <<< 0) ()(. 121 2>--x f x f x x D 3.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ） ),3.[+∞-A ]3,.(--∞B ]5,.(-∞C ),3[+∞ 4．函数2 1 )(++= x ax x f 在区间),2(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） )21,0.(A ),1()1,.(+∞--∞Y B ),2 1 .(+∞C ),2.(+∞-D 5．函数)2(,2 3 -≠+=x x y 在区间]5,0[上的最大值、最小值分别是（ ） 0,73.A 0,23.B 73,23.C .D 最大值7 3 ，无最小值。 6．函数23)(2++=x x x f 在区间)5,5(+-上的最大值、最小值分别是（ ） 12,42.A 41,42.-B 41,12.-C D 最小值4 1 -，无最大值。 7．下列命题正确的是 （ ） A 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若存在),(21b a x x ∈，使得21x x <时有 )()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 B 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若有无穷多对),(21b a x x ∈，使得21x x <时有 )()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 C 若)(x f 在区间1I 上为增函数，在区间2I 上也为增函数，那么)(x f 在21I I Y 上也一定为增函数， D 若在)(x f 区间I 上为增函数且),(),()(2121I x x x f x f ∈<，那么21x x <。 8.设),(),,(d c b a 都是)(x f 的单调增区间，且),(),,(21d c x b a x ∈∈21x x <，则)(1x f 与)(2x f 的大小关系为 （ ） )()(.21x f x f A < )()(.21x f x f B > )()(.21x f x f C = D 不能确定 9．考察函数：①x y =；②x x y =；③x x y 2 -=；④x x x y +=。其中在)0,(-∞上 为增函数的有（ ） .A ①② B 。②③ C 。③④ .D ①④ 10.已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） ),1.[+∞A ]2,0.[B ]2,.(--∞C ]2,1.[D 二． 填空题： 1． 函数x y -=在),[+∞a 上是减函数，则a 的取值范围是 2． 函数x x y 1 2- =的单调递增区间是 3． 函数562+-=x x y 的单调增区间是 4． 已知函数)(x f 在区间),0(+∞上是减函数，那么)1(2+-a a f 与)4 3 (f 的大小关 系为 5． 函数245x x y --=的单调递增区间是 函数的概念、定义域、值域练习题 一、选择题（4分×9=36分） 1．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( ) A ．f (x )→y ＝12x B ．f (x )→y ＝13x C ．f (x )→y ＝23 x D ．f (x )→y ＝x 2．函数y ＝1－x 2＋x 2－1的定义域是( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．[0，1] D ．{－1，1} 3．已知f (x )的定义域为[－2，2]，则f (x 2－1)的定义域为( ) A ．[－1，3] B ．[0，3] C ．[－3，3] D ．[－4,4] 4．若函数y ＝f (3x －1)的定义域是[1，3]，则y ＝f (x )的定义域是( ) A ．[1，3] B ．[2，4] C ．[2，8] D ．[3，9] 5．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上 6．函数f (x )＝1ax 2＋4ax ＋3 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ∈R } B ．{a |0≤a ≤34} C ．{a |a ＞34} D ．{a |0≤a ＜34} 7．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市 场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数 关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过( )年． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．(安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ????12等于( ) A ．15 B ．1 C ．3 D ．30 9．函数f (x )＝2x －1，x ∈{1,2,3}，则f (x )的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．{1，3，5} D ．R 二、填空题 第八课时 函数的最值 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解函数的最大值与最小值概念； 2．理解函数的最大值和最小值的几何意义； 3．能求一些常见函数的最值和值域． 自学评价 1．函数最值的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ． 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =； 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =； 2．单调性与最值： 设函数()y f x =的定义域为[],a b ， 若()y f x =是增函数，则max y = ()f a ，min y = ()f b ； 若()y f x =是减函数，则max y = ()f b ，min y = ()f a ． 【精典范例】 一．根据函数图像写单调区间和最值： 例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 【解】 由图可以知道： 当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-； 当3x =时，函数取得最大值为3； 函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)； 该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7) 二．求函数最值： 例2：求下列函数的最小值： （1）22y x x =-； （2）1()f x x = ，[]1,3x ∈． 【解】 （１）222(1)1y x x x =-=-- ∴当1x =时，min 1y =-； []1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1()f x x =取得1. 函数()4(0)f x x mx m =-+>在(,0]-∞上的最小值（A ） ()A 4 ()B 4- ()C 与m 的取值有关 ()D 不存在 2. 函数()f x =的最小值是 ０ ，最大值是 32 ． 3. 求下列函数的最值： 函数的最值与值域 【考纲要求】 1. 会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义； 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、函数最值的定义 1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值． 注意：下面定义错在哪里？应怎样订正． 如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值． 2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法 1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0?≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值． 3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换． 4.不等式法：利用均值不等式求最值． 5.利用函数的性质求函数的最值 6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 7.利用导数求函数的最值。 要点诠释： (1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题: ()f x A >在区间D 上恒成立?函数min ()()f x A x D >∈ 函数的最值与值域 函数的值域 函数的最大值 函数的最小值 学案2 函数值域和最值（一） 一、课前准备： 【自主梳理】 1、在函数y =f (x )中，与自变量x 的值对应的值，叫做 ，函数值的集合叫做 2、确定函数的值域的原则： （1）当函数用y =f (x )表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。 (2）当函数y =f (x )用图象给出给出时，函数的值域是指图象在轴上的投影所覆盖的实数y 的值. （3）当函数y =f (x )用解析式给出时，函数的值域是由函数的 和 确定. （4）当函数由实际问题给出时，函数的由问题的 确定. 3、基本初等函数的值域。 （1） b kx y += )0(≠k 的值域为 （2） y =a 2 x +bx +c ()0≠a 的值域为 （3） (0)k y k x =≠的值域为 （4） y = x a )1,0(≠>a a 的值域为 （5） x y a log =)1,0(≠>a a 的值域为 （6） x y x y x y tan ,cos ,sin ===的值域分别为 4、求值域的方法： 配方法 换元法 分离常数法 单调性 数形结合法 判别式法 （不等式 法 求导法后续讲） 5、函数的最值： 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意实数I x ∈,都有 M x f ≥)( (2)存在I x ∈0, 使得 0()f x M =,那么我们称实数M 是函数的 值. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意实数I x ∈,都有 M x f ≤)( (2)存在 I x ∈0, 使得 0()f x M =,那么我们称实数是M 函数的 值. 【自我检测】 1、函数x y 1= ()32<<-x 的值域为_________ . 2、函数[]3,2,2-∈=x x y 的值域为_________. 3、已知函数{0,log 0,23)(>≤=x x x x x f ，则=))9 1((f f _________. 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x 高一数学函数的单调性 与最值教案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 高一数学——函 数 第三讲 函数的单调性与最大（小）值 【教学目标】： （1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性； （4）理解函数的最大（小）值及其几何意义。 【重点难点】： 1.重点：函数的单调性、最大（小）值及其几何意义， 2.难点: 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值。 【教学过程】：用具： 一、知识导向或者情景引入 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： （3）函数图象是否具有某种对称性 2、画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______ ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． （2）f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______ ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． （3）f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x 2 ，当x 1 高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案
高一数学函数单调性的定义图象及应用
《高一数学必修1》函数的概念、定义域、值域练习题(含答案)
高一数学函数的最值
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