第六章图与网络分析习题及参考答案案

习题六图与网络分析习题及参考答案

.1 十名学生参加六门课程的考试。由于选修内容不同，考试门数也不一样。下表给出了每个学生应参加考试的课程（打⊙的）：

学生考试课程 A B C D E F

1 ⊙⊙⊙

2 ⊙⊙

3 ⊙⊙

4⊙⊙⊙

5⊙⊙⊙

6 ⊙⊙

7⊙⊙⊙

8 ⊙⊙

9 ⊙⊙⊙

10⊙⊙⊙

规定考试在三天内结束，每天上下午各安排一门。学生希望每人每天最多考一门，又课程A必须安排在第一天上午考，课程F安排在最后一门，课程B只能安排在下午考，试列出一张满足各方面要求的考试日程表。

参考答案

把同一个研究生参加的考试课程用边连接，得图如下。由图看出，课程A只能同E排在一天，B同C排在一天，D同F在一天。再据题意，考试日程表只能是下表：

B E 上午下午

第一天 A E

A F 第二天 C B

第三天 D F

D C

2 求下图的最小生成树和最大生成树：

V6

3

需

参考答案

将每小块稻田及水源地各用一个点表示，连接这些点的树图的边数即为至少要挖开的堤埂数。（至少挖开11条）

4. 请用标号法求下图所示的最短路问题，弧上数字为距离：

参考答案

路线为1－2－4－6，距离为9个单位

5 用Dijkstra标号法求下图中始点到各顶点的最短路，弧上数字为距离：

v3 3 v5

1 5 4

v1 2

4

v2 2 v4

参考答案

1－2，3，4，5最短路：3*,1*,5*,4*

6最短路问题：某公司使用一种设备，此设备在一定年限内随着时间的推移逐渐损坏。每年购买价格和不同年限的维修使用费如下表所示。假定公司在第一年开始时必须购买一台此设备，请建立此问题的网络图，确定设备更新方案，使维修费和新设备购置费的总数最小。说明解决思路和方法，不必求解。

年份 1 2 3 4 5

价格20 21 23 24 26

使用年限0－1 1－2 2－3 3－4 4－5

费用8 13 19 23 30

参考答案

弧（i，j）的费用或“长度”等于j－i年里的设备维修费加上第i年购买的新设备的价格。例如，弧（1，4）的费用为（8＋13＋19）＋20＝60

现用p j表示第j年的购买费，m k表示使用年限为k年的设备的维修费。一般，任一弧（i，j）的长度＝（j—i）年里的设备维修费＋第i年设备的购买费=( m1＋m2＋…m j－i)＋p i

然后，1－6最短路即为所求。答案：第1年及第3年购买新设备

7 试将下述非线性整数规划问题归结为求最长路的问题。要求先根据这个问题画出网络图，扼要说明图中各节点、连线及连线上标注的权数的含义，再用标号法求数值解。

max z ＝（x1＋1）2＋5x2x3＋（3x4－4）2

x1＋x2＋x3 ＋x4 ≤

3

x j≥0，且为整数（j＝1,2,3,4）

参考答案

将x1，x2与x3，以及x4的取值看成3个阶段，各阶段状态为约束右端项的剩余值，画出网络图如下。各连线权数为对应各变量取值后的目标函数项的值，其中x2与x3的取值应考虑使其乘积为最大。求目标函数最大值相当于求图中A点至D 点的最长距离，用标号法求得为32，即应取x1＝3，x2＝x3＝0，x4＝0。

D

32

8 用标号法求下图所示的最大流问题，弧上数字为容量和初始可行流量：

v1（7，4）v3

（8，8）（3，1）（8，6）

v s（3，3）（3，0）v t

（9，4）（2，2）（9，6）

v2（5，5）v4

参考答案

最大流值f*=15

9 已知有6个村子，相互间道路的距离如下图所示，拟合建一所小学。已知A处有小学生50人，B处40人，C处60人，D处20人，E处70人，F处90人，问小学应建在哪一个村子，使学生上学最方便（走的总路程最短）。

B· 6 ·D

2 8 6

A· 4 1 ·F

7 1 3

C · 3 ·E

参考答案

先求出任意两点间的最短路程如下表所示：

D，即小学应建立在D村。

A B C D E F

0 100 300 350 400 550

80 0 160 200 240 360

360 240 0 60 120 300

140 100 20 0 20 80 560 420 140 70 0 210 990 810 450 360 270 0

2130 1670 1070 1040 1050 1500

10 如下图，从三口油井1、2、3经管道将油输至脱水处理厂7和8，中间经4、5、6三个泵站。已知图中弧旁数字为各管道通过的最大能力（吨/小时），求从油井每小时能输送到处理厂的最大流量。

1 7

4 10 2 20 10 6 50

30 20 3 5 30 8

20 50 10 15 20

参考答案

最大流量为110吨/小时

11 某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人，有5人应聘。已知乙懂俄文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文，乙、戊懂德文，戊懂法文，问这5个人是否都能得到聘书？最多几个得到招聘，招聘后每人从事哪一方面翻译任务？

参考答案

将五个人与五个外语语种分别用点表示，把各人与懂得的语种之间用弧相连。虚拟发点和收点，规定各弧容量为1，求出网络最大流即为最多能得到招聘的人数。（只能有4人得到招聘，方案为：甲-英，乙-俄，丙-日，戊-法，丁未能得到应聘）

12. 下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价表。将此问题转化为最小费用最大流问题，画出网络图并求数值解。