作业6相对论答案2014版

作业6 狭义相对论基础

研究：惯性系中的物理规律；惯性系间物理规律的变换。 揭示：时间、空间和运动的关系.

知识点一:爱因斯坦相对性原理和光速不变

1.相对性原理：物理规律对所有惯性系都是一样的，不存在任何一个特殊 (如“绝对静止”)惯性系。

2.光速不变原理：任何惯性系中，光在真空中的速率都相等。

( A )1（基础训练1）、宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过 t (飞船上的钟)时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为(c 表示真空中光速)

(A) c ·t (B) v ·t (C) 2/1(v /)c t c ??- (D) 2

)/(1c t c v -???

【解答】

飞船的固有长度为飞船上的宇航员测得的长度，即为c ·?t 。 知识点二:洛伦兹变换

由牛顿的绝对时空观?伽利略变换，由爱因斯坦相对论时空观?洛仑兹变换。

正变换 ?→? 逆变换

2

22

2221111ββββ-+===-+=

??????????→?--===--=

???????-→'x c u

't t '

z z 'y y '

ut 'x x x c u t 't z 'z y 'y ut

x 'x "

u "u c v =β (1)在相对论中，时、空密切联系在一起(在x 的式子中含有t ，t 式中含x)。

(2)当u << c 时，洛仑兹变换 ? 伽利略变换。 (3)若u ≥ c, x '式等将无意义

x

x x v c

v v

v v 21'--=

1（自测提高5）、地面上的观察者测得两艘宇宙飞船相对于地面以速度 v = 0.90c 逆向飞行．其中一艘飞船测得另一艘飞船速度的大小v ′= 0.994c ． 【解答】222

2()220.9'0.994()1/10.91v v v c

v c v v c v c --?=

===-++-

2（基础训练14）跨栏选手刘翔在地球上以12.88s 时间跑完110m 栏，在飞行速度为0.98c 的同向飞行飞船中观察者观察，刘翔跑了多少时间？刘翔跑了多长距离？

【解答】

2121110()12.88()x x x m t t t s ?=-=?=-=

2822

0.9812.88110310'64.7()10.981v t x c t s v c ?-

?-???===-??

- ???

8''10212121

22

2

()()

1100.9831012.88

' 1.9110()

10.981'x x v t t x x x m v c

x ----????=-=

=

=-?--负号表示运动员沿轴反方向跑动。

知识点三:时间膨胀

(1)固有时间0t ?：相对事件发生地静止的参照系中所观测的时间。 (2)运动时间t ?：相对事件发生地运动的参照系中所观测的时间。

2

01??

? ??-?=

?c v t t

( B )1（基础训练2）、在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4 s ，若相对于甲作匀

速直线运动的乙测得时间间隔为5 s ，则乙相对于甲的运动速度是(c 表示真空中光速)

(A) (4/5) c ． (B) (3/5) c ． (C) (2/5) c ． (D) (1/5) c ． 【解答】 ()

222

002

4311551/t t v t v c c

c t v c ????????

?=

?=-?=-= ? ? ????????

-

2（附录B ：11）两惯性系中的观察者O 和'O 以c 60.的相对速度互相接近。如果O 测得两者的初始距离是20m ，'O 测得两者经过='t ? s 8

1089.8-? s 后相遇.

【解答】O 系中测得的相遇时间为：c v x t 60./20/==??

考虑't ?是相对于'O 静止的'O 系中测得的时间间隔，为固有时间，而t ?为相对于'O 运动的O 系中测得的时间间隔，为膨胀时间，因此，

s c v t t 8210898-?=-=.)/(1'??

3（自测提高12）、飞船A 以0.8c 的速度相对地球向正东飞行，飞船B 以0.6c 的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A 飞船在自己的天窗处相隔2s 发射两颗信号弹．在B 飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?

【解答】以地面为K 系，飞船A 为K ˊ系，以正东为x 轴正向；则飞船B 相对于飞船A 的相对速度

220.60.8 1.4

'0.9460.810.80.6

1(0.6)1B A B A B v v c c v c c v c

c v c c

----=

===-+?--- ()

22

2

' 6.17()10.9461'/B t t s v c ??===--

4(自测提高18)、火箭相对于地面以v = 0.6 c （c 为真空中光速）匀速向上飞离地球．在火箭发射?t ＇

=10 s 后(火箭上的钟)，该火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地面为v 1 = 0.3 c ，问火箭发射后多长时间（地球上的钟），导弹到达地球？计算中假设地面不动． 【解答】

按地球的钟，导弹发射的时间是在火箭发射后

5.12)

/(12

1=-'

=

??c t t v s

这段时间火箭在地面上飞行距离： 1t S ??=v 则导弹飞到地球的时间是： 2511

12===

??t S t v v

v s 那么从火箭发射后到导弹到达地面的时间是： ?t = ?t 1 + ?t 2 =12.5＋25 =37.5 s 知识点四:长度收缩

(1)固有长度0l :相对物体静止的参照系测得物体的长度。 (2)运动长度l ：棒运动时测得的它的长度。

022

1l c

v l l <-=

说明：只有棒沿运动方向放置时长度收缩！

( C )1（基础训练3）、 K 系与K ＇系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K ＇系相对于K 系沿Ox 轴正方向匀速运动．一根刚性尺静止在K ＇系中，与O'x'轴成 30°角．今在K 系中观测得该尺与Ox 轴成 45°角，则K ＇系相对于K 系的速度是：

(A) (2/3)c ． (B) (1/3)c ． (C) (2/3)1/2c ． (D) (1/3)1/2c ． 【解答】

K ＇系中：00'cos30;'sin30x y l l l l ??

==

K 系中：()()2

2

'1/tan 45'1/1/32/3

x x y y l l v c l l v c v c =-==?-=?=

2（基础训练7）、一门宽为a ．今有一固有长度为l 0 (l 0 > a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿

其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u 至少为 ()01/c a l - ． 【解答】

门外的观察者测得杆的长度()

2

2

00'1(/)1/l l u c a

u c a l =-≤?≥-

3（基础训练10）两只飞船相向运动，它们相对地面的速率是v ．在飞船A 中有一边长为a 的正方形，飞船A 沿正方形的一条边飞行，问飞船B 中的观察者测得该图形的周长是多少？ 【解答】

2

22

22

22222()22'()1/1'/2214/()v v v vc u v v c c v v c

u c C a a ac c v ββ--===-++-==+-=+；

知识点五:在相对论中，能量、动量、角动量等守恒量以及和守恒量传递相联系的物理量，如力、功等，都面临重新定义的问题。

1、相对论质量：m 0(静止质量)， m （速率υ运动的粒子的质量）

2

01??

? ??-=

c v m m

2、相对论动量：

v c v m v m P 2

01??

? ??-=

=

3、相对论动能：

202

0202)/(1c m c v c m c m mc E k --=

-=

4、静止能量：

200c m E =

5、总能：

2

202

)

/(1c v c m mc E -=

=

6、质量亏损： 释放能量：?E = ?mc 2

( C )1（自测提高3）设某微观粒子的总能量是它的静止能量的K 倍，则其运动速度的大小为 (以c 表示真空中的光速)

(A) 1-K c (B)

21K K c -． (C) 12-K K c

(D) )2(1

++K K K c 【解答】

11112202

0-=?=-=?

-=

K K c

v K c v E E c v E E )/()/(总能量：

2（基础训练8）、(1) 在速度=v __

3

2

c _情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍．(2) 在速度=v _

3

2

c _情况下粒子的动能等于它的静止能量． 【解答】

(1) ()

0002

32221/m p mv m v m m v c v c ==?==

?=- (2) ()

222

0002

3222

1/k m E mc m c m c m m v c v c =-=?==

?=

- 3、（自测提高8）已知一静止质量为m 0的粒子，其固有寿命为实验室测量到的寿命的1/n ，则此粒子的动能是___20(1)n m c -___． 【解答】

()

()2

002

1

1/1/t t t v c t n

v c ???=

?-=

=?- 22

2

2200002

(1)1(/)k m c E mc m c m c n m c v c =-=

-=--

4（基础训练13）、要使电子的速度从v 1 =1.2×108 m/s 增加到v 2 =2.4×108 m/s 必须对它做多少功？

(电子静止质量m e ＝9.11×10-31 kg) 【解答】()

()

22122

2

12;

1/1/e e m m E c E c v c v c =

=

--

214212

2

11(

) 4.7210()

10.810.4e A E E E m c J -=?=-=-

=?--

5（基础训练15）、已知μ子的静止能量为105.7MeV ，平均寿命为2.2?10-6s ，试求动能为150MeV 的μ子的速度v 和平均寿命τ。 【解答】

2

2

2

2

2

0002202

2

202

1

(1)11105.7110.91105.7150k k k m c v E mc m c m c c m c E v c m c v c c c m c E ??

=-=-?-= ?+????

- ?

??

????

?=-=-= ? ?++???? 662

2

2.210' 5.3110()

10.911t t s v c --???=

=

=?-??- ???

附加题：

1（自测提高14）、(1) 质量为 m 0 的静止原子核（或原子）受到能量为 E 的光子撞击，原子核（或原子）将光子的能量全部吸收，则此合并系统的速度（反冲速度）以及静止质量各为多少？(2) 静止

质量为 0

m '的静止原子发出能量为 E 的光子，则发射光子后原子的静止质量为多大？ 【解答】

(1)设合并系统的速度为 v ，质量为 M ，静止质量为 M 0 。由动量守恒和能量守恒得：

()()22200022202

22

22000022

22

00;/1/1

211m c E Mc m c E M Ec

v M m c E c p E c Mv v c m c E E E

M m c E E m c m c E c m c ?+=+?===?+==?-??+?=-=+-=+

?+??

(2) 设静止质量为0

M '。由动量守恒和能量守恒得： ()()22

00022

002

22/11'/1(/)m c E M c E E p E c M v M m m m c m c M M v c ?''+-=?-?

'''''==?=+=-?'?'''=-??