数值分析资料报告(计算方法)总结材料

第一章绪论

误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差

是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）

为的相对误差，当较小时，令

相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即：

绝对误差有量纲，而相对误差无量纲

若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。

例：设x==3.1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。

科学计数法：记

有n位有效数字，精确到。

由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为

由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字

令

1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）

的和

2.x-y近似值为

3.xy近似值为

4.

1．避免两相近数相减

2．避免用绝对值很小的数作除数

3．避免大数吃小数

4．尽量减少计算工作量

第二章非线性方程求根

1.逐步搜索法

设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|< 为止，此时取

x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。

2.二分法

设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。

3.比例法

一般地，设 [a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、 (b k, f(b k))作直线，与x轴交于一点x k,则：

1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。

2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。——这正是迭代法的基本思想。

事先估计:

事后估计

局部收敛性判定定理：

局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近

Steffensen迭代格式：

Newton法：

Newton下山法：是下山因子

弦割法：

抛物线法：令

其中：

则：

设迭代x k+1= g(x k) 收敛到g(x) 的不动点（根）x* 设e k= x k x*若

则称该迭代为p（不小于1）阶收敛，其中C (不为0)称为渐进误差常数

第三章解线性方程组直接法

列主元LU分解法：计算主元选主元

对于Ax=b，三角分解A=LU，Doolittle分解：L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵；Crout分解：L为下三角矩阵，U为单位上矩阵。可分解为：

若利用紧凑格式可化为：

Cholesky平方根法：系数矩阵A必须对称正定

改进Cholesky分解法：

其中：

追赶法：Ax=d(A=LU),可化为Ly=d,Ux=y

向量数：：

矩阵数：

谱半径:

收敛条：谱半径小于1

条件数：

第章解线性方程组的迭代法

Jacobi迭代：

基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代:

迭代收敛：谱半径小于1，数小于1能推出收敛但不能反推

逐次超松弛迭代（SOR）:

当=1时，就是基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代（加权平均）。第五章插值法

Lagrange插值法：

构造插值函数：

则：

若记：

则可改为：

则插值余项：

逐次线性插值法Aitken （埃特金法）：

Newton插值法：

N(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn)并满足N(x)=f(x) 差商的函数值表示：

差商与导数的关系：

则：

等距节点Newton插值公式：

Newton向前插值：

余项：

Newton向后插值：

余项：

Hermite插值：

插值余项：

待定系数：

三次样条插值：（三弯矩构造法）

记

对于附加弯矩约束条件：

对于附加转角边界条件：

对于附加周期性边界条件：

上式保证了s(x)在相邻两点的连续性

第六章函数逼近与曲线拟合

主要求法方程

第七章数值积分与数值微分

求积公式具有m次代数精度的充要条件：

插值型求积公式

Newton-Cotes（等分）

梯形求积公式（n=1），具有1次代数收敛精度

误差公式：

抛物型求积公式（Simpson求积公式，n=2），具有3次代数收敛精度

误差公式

Newton求积公式（Simpon3/8法则）具有3次代数收敛精度

Cotes求积公式（n=4），具有5次收敛精度

误差公式

节点数为奇数时，代数精度为n;为偶数时，代数精度为n+1。代数精度都是奇数。

复化梯形求积公式：

截断误差：

复化Simpson公式：

截断误差：