数值分析重点公式

第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x ll x x x lαα+-≤---≤--定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠（Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。

8）迭代加速收敛方法：2211211212()()i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x ϕϕ++++++++-=-+==当不动点迭代函数()x ϕ在α的某个邻域内具有二阶导数，'()1,0L ϕα=≠平方收敛9）确定根的重数：当Newton 迭代法收敛较慢时，表明方程有重根221121212112i i i i i i i i i i i x x x x r x x x x x x x +++++++++-≈--+-- 10）拟Newton 法111111111111()()()()()(()())()i i i i i i i i i i i i i i i i iii i i i i i i i i x x A F x A x x F x F x A H A A A Ax x H F x H F x F x x x H H H+-++-+++++++⎧=-⎪-=-=⎨⎪=+∆⎩⎧=-⎪-=-⎨⎪=+∆⎩若非奇异，则其中11112222'1212()i ii n i i i in i n nn i i i n f f f x x x f f f x x x A F x f f f x x x ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂==⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦11）秩1拟Newton 法：11111(),,()()()()()i i i i i i i i i i i T i i i i i i T i x x A F x r x x y F x F x r A A y A r r r +-+++⎧=-⎪=-=-⎨=+-⎪⎩其中 Broyden 秩1方法11()()()()i i i i i T i ii i i i i T ii x x H F x r H H H r H y r H y ++⎧=-⎪⎨=+-⎪⎩第二章 线性代数方程组数值解法1）向量范数：①：非负性：0x >，且0x =的充要条件是0x =； ②：齐次性：x x αα=③：三角不等式：x y x y +≤+1范数：11nii x x==∑2范数：12221()ni i xx ==∑∞范数：1max i i nxx ∞≤≤=p 范数：11()nppi pi xx ==∑2）矩阵范数：①：非负性：0A >，且0A =的充要条件是0A =； ②：齐次性：A A αα=③：三角不等式：A B A B +≤+ ④：乘法不等式：AB A B ≤F 范数：12211n n ij Fi j Aa ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑ 1范数：111maxnijj ni A a≤≤==∑，列和最大∞范数：111max nij i nj A a ≤≤==∑，行和最大2范数：2A=1max i i nλ≤≤=，i λ为H A A 的特征值，()A A ρ≤3）Gauss 消元法（上三角阵）：313M n ≈；Gauss-Jordan 消元法（对角阵）：312M n ≈；列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵） 全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；4）三角分解法：①：Doolittle 分解法：A=LU ，L 单位下三角阵，U 上三角阵 ②：Crout 分解法：A=LU ，L 下三角阵，U 单位上三角阵 ③：Cholesky 分解法：A 对称正定，T A LL =，L 为单位下三角阵④：改进的Cholesky 分解法：A 对称正定，T A LDL =，L 为单位下三角阵，D 为对角阵 ⑤：追赶法：Crout 分解法解三对角方程5）矩阵的条件数1()1cond A A A -=≥，谱条件数：1222()cond A AA -=()1()ACond A xAAxCond A Aδδδ≤-6）如果1B <，则I B +为非奇异阵，且11()1I B B-+≤-7）迭代法基本原理： ①：迭代法：1i i xBx K +=+②：()1B ρ<( lim 0ii B →∞=，迭代格式收敛) ③：至少存在一种矩阵的从属范数，使1B < 8）Jacobi 迭代：A L D U =++111()i i x I D A x D b +--=-+9）Gauss-Seidel 迭代：111()()i i x L D Ux L D b +--=-+++10）超松弛迭代法11i i i xx r ω++=+11）二次函数的一维搜索：2111x x P α=+12）最速下降法：选择方向0000()Z gradf x r b Ax =-==-进行一维搜索：10x x r α=+，其中00000(,)(,)r r Ar r α=13）共轭梯度法：第一步：最速下降法，00P r =，11r b Ax =-，01(,)0r r =第二步：过1x 选择0P 的共轭方向110P r P β=+，其中1000(,)(,)r AP P AP β=-，过1x 以1P 为方向的共轭直线为11x x tP =+，进行二次函数的一维搜索211111111(,)(,)x x P r P AP P αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩14）一般的共轭梯度法： 第三章 插值法与数值逼近 1）Lagrange 插值：0()()()nn jjj L x l x f x ==∑，1111'1111()()()()()()()()()()()()j j n n j j j j j j j n j n j x x x x x x x x P x l x x x x x x x x x x x P x -++-++----==-----余项：(1)1()()()(1)!n n f E x P x n ξ++=+ 2）Newton 插值：差商表0x 0()f x 1x 1()f x 01[ ]f x x2x 2()f x 02[ ]f x x 012[ ]f x x x3x 3()f x03[ ]f x x013[ ]f x x x 0123[ ]f x x x x00100101010()()[ ]()[ ]()()[ ]()()n n n n f x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x -=+-++--+--余项(1)0101()()[ ]()()()(1)!n n n n f E x f x x x x x x x x P x n ξ++=--=+3）反插值4）Hermite 插值（待定系数法）'210()[()()()()]nn jj j j j H x x f x x f x αβ+==+∑其中2'''1,1()()(),2(),12(),()nj j j j j j j jj k k j j kx ax b l x a l x b x l x l x x x α=≠=+=-=+=-∑ 2()()()j j j x x x l x β=-余项：(22)21()()()(22)!n n f E x P x n ξ++=+ 5）分段线性插值：1111()()()j j j j j j j j jx x x x L x f x f x x x x x ++++--=+--插值基函数：0110101011110,,(),(),0,n n n n n n n n x x x x x x x x x x l x l x x x x x x x x x x x ----<<-⎧⎧≤≤⎪⎪-==-⎨⎨≤≤⎪⎪<≤-⎩⎩ 111111,(),0,j j j j j j j j j j j x x x x x x x x x l x x x x x x ---+++-⎧≤≤⎪-⎪⎪-⎪=≤≤⎨-⎪⎪⎪⎪⎩余项：分段余项2(2)22,max ()8M h M f x ≤= 6）有理逼近：反差商表有理逼近函数式：000111122()()()()()n n n x x f x v x x x v x x x v x v x --=+-+-++7）正交多项式的计算：定理：在[,]a b 上带权函数()x ρ的正交多项式序列{}0()n x ϕ∞，若最高项系数唯一，它便是唯一的，且由以下的递推公式确定11()n n n n n x ϕαϕβϕ+-=--1011(,)(,),,0,1(,)(,)n n n n n n n n n n x ϕϕϕϕαβϕϕϕϕϕϕ---====其中(,)()bi j i j ax dx ϕϕρϕϕ=⎰定理3.88）连续函数的最佳平方逼近：在2{1,,,,}n Span x x x Φ=上，法方程为n H a d =，其中1121(1)12131(2)1(1)12)1(21)n n n H n n n +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦，10(,)()k k k d f f x dx ϕϕ==⎰ 均方误差：22**21(,)(,)ni i i f f P f fa d δ==-=-∑ 最大误差：*01max x f P δ∞≤≤=-9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）： 法方程(,)(,)njkj k j a f ϕϕϕ==∑其中(,)()()(,)()()mj k i j i k i i mk i i k i i x x f f x x ϕϕρϕϕϕρϕ====∑∑第四章 数值积分1）代数精度的概念及应用：对r 次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。