数值分析重点公式
数值分析学习公式总结
数值分析学习公式总结数值分析是数学的一个分支，研究如何利用计算机求解数学问题。
数值分析学习过程中会遇到许多公式，下面对其中一些重要的公式进行总结。
1.插值公式：-拉格朗日插值公式：设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用拉格朗日插值公式来估计f(x)，公式如下：-牛顿插值公式：牛顿插值公式是通过差商的方法来构造插值多项式的公式。
设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为 x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用牛顿插值公式来估计f(x)，公式如下：2.数值积分公式：-矩形公式：矩形公式是用矩形面积来估计曲线下的面积，主要有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。
以左矩形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间左端点的函数值作为矩形的高，子区间长度作为矩形的宽，则曲线下的面积可以近似为各个矩形面积的和，公式如下：-梯形公式：梯形公式是用梯形面积来估计曲线下的面积，主要有梯形公式和复合梯形公式。
以梯形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间两个端点对应的函数值作为梯形的底边的两个边长，子区间长度作为梯形的高，则曲线下的面积可以近似为各个梯形面积的和，公式如下：-辛普森公式：辛普森公式是用抛物线面积来估计曲线下的面积，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间三个端点对应的函数值作为抛物线的三个顶点，则曲线下的面积可以近似为各个抛物线面积的和，公式如下：3.线性方程组求解公式：- Cramer法则：Cramer法则适用于 n 个线性方程、n 个未知数的线性方程组。
数值分析期末复习资料
数值分析期末复习资料数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章误差与有效数字一、有效数字1、定义：若近似值X*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。
2、两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. ・§丄％ 3、 定理1 （P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差虧疗茲T 4、考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1 （P7例题3） 二、避免误差危害原则 1、原则:（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：xl*x2= c / a ） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. V777-77 =c ・2 X2sin7 或 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 三. 数值运算的误差估计 1、公式：（1） 一元函数：I £*（ f 3））1 Q |「（於）1・| £*（力|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f （卅））eg. P19习题1、2、5(2) (3) ln(x + £)- In x = In 1；1 — cos X =（2）多元函数（P8） eg. P8例4, P19习题4第二章插值法一、插值条件1、定义：在区间［a, b］上，给定n+1个点，aWxoVx［V・・・VxWb的函数值yi=f(xi),求次数不超过n的多项式P(x),饋兀)=儿 i =0,1,2,…，力2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数Wn的P(x)存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1、n次插值基函数表达式(P26 (2.8))2、插值多项式表达式(P26 (2.9))3、插值余项(P26 (2.12))：用于误差估计4、插值基函数性质(P27 (2. 17及2. 18)) eg. P28例1三、差商(均差)及牛顿插值多项式1、差商性质(P30)：(1)可表示为函数值的线性组合(2)差商的对称性：差商与节点的排列次序无关(3)均差与导数的关系(P31 (3.5))2、均差表计算及牛顿插值多项式例：已知X=1,4,9的平方根为1,2,3,利用牛顿基本差商公式求"的近似值。
数值分析常用公式及示例
数值分析常用公式及示例数值分析是用数值方法研究数学问题的一种方法。
在数值分析中，我们经常会用到一些常用的公式和方法，下面是一些常用的公式和示例。
1.插值公式：插值是用已知数据点来估计未知数据点的一种方法。
常用的插值公式有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
拉格朗日插值公式：对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1,y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为P(x) = y0·l0(x) + y1·l1(x) + ... + yn·ln(x)其中li(x) = Π(j≠ i)((x - xj) / (xi - xj))。
2.数值积分公式：数值积分是用数值方法计算函数积分的一种方法。
常用的数值积分公式有梯形公式、辛普森公式和高斯公式等。
梯形公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，梯形公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 2 · (f(a) + f(b))。
辛普森公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，辛普森公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 6 · (f(a) + 4f((a + b) / 2) + f(b))。
3.数值解方程公式：数值解方程是通过数值计算方法找到方程的根的一种方法。
常用的数值解方程公式有二分法和牛顿法等。
二分法：对于一个在区间[a,b]上连续的函数f(x)，如果f(a)·f(b)<0，则函数在该区间内存在一个根。
二分法的基本思想是将区间不断二分，直到找到根。
具体步骤为：1)如果f(a)·f(b)>0，则输出“区间[f(a),f(b)]上不存在根”；2)否则，计算c=(a+b)/2；3)如果f(c)≈0，则输出c为方程的一个根；4)否则，如果f(a)·f(c)<0，则更新b=c，并返回第2步进行下一次迭代；5)否则，更新a=c，并返回第2步进行下一次迭代。
数值分析重点公式
数值分析重点公式下面是一些数值分析中的重点公式：1.最大值和最小值：- 最大值：记作 max(a, b) 表示 a 和 b 中较大的值。
- 最小值：记作 min(a, b) 表示 a 和 b 中较小的值。
2.线性插值：-线性插值：对于给定的两个点(x1,y1)和(x2,y2)，如果希望在这两个点之间的x值为x的位置计算对应的y值，可以使用线性插值：y=y1+(y2-y1)*((x-x1)/(x2-x1))。
3.数值微分：-前向差商：用f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数，其中h是一个小的正数。
-后向差商：用f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数。
-中心差商：用f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2*h)的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数。
4.数值积分：-矩形法则：使用函数在每个小矩形中的平均值作为矩形高度来计算定积分的近似值。
-梯形法则：使用底边为区间长度的梯形面积的一半来计算定积分的近似值。
-辛普森法则：使用函数在每个小区间上的平均值和两个端点值的加权平均来计算定积分的近似值。
5.数值解线性方程组：-高斯消元法：将线性方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解各个未知数。
-LU分解：将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，再通过回代求解各个未知数。
-追赶法（托马斯算法）：适用于解三对角系数矩阵的线性方程组，通过追赶的方式求解。
6.数值解非线性方程：-二分法：通过计算函数在区间端点的值的符号来确定函数在区间内的根的存在，并迭代缩小区间直至满足精度要求。
-牛顿法：通过迭代逼近函数的根，在每一步迭代中使用切线来逼近根的位置。
-弦截法：通过迭代逼近函数的根，在每一步迭代中使用割线来逼近根的位置。
7.数值解常微分方程：-欧拉方法：使用函数在当前点的导数值来估计下一个点的函数值。
(完整版)数值分析重点公式
第一章非线性方程和方程组的数值解法i 12)迭代法收敛阶：lim 一p c 0,若p 1则要求0 c 1i3) 单点迭代收敛定理：定理一：若当x a,b 时，(x) a,b 且 '(x) l 1， x a,b ，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设 (x)满足：①xa,b 时， (x) a,b ，0, j 1,L ,P 1, (P)( )0( Taylor 展开证明)4) --------------------------------------------------- Newton 迭代法：x 1 x，平方收敛f (x)5) Newton 迭代法收敛定理：设f (x)在有根区间 a,b 上有二阶导数，且满足：①： f (a)f(b) 0 ；②： 1f (x)0,x a,b ；③：f 不变号,x a,b④：初值 x 0 a,b 使得 f (x) f (x)0 ；则Newt on 迭代法收敛于根。
1) 二分法的基本原理，误差:2k② x ,,x 2a,b ,有(xj(x 2) lx , x 2 ,0 l 1则对任意初值x 0 a,b 迭代收敛，且:1 —X i 1 x 1 l l i---- X 1 X o 1 l定理三：设(x)在 的邻域内具有连续的一阶导数, 敛性；且'()1，则迭代格式具有局部收定理四：假设 (x)在根的邻域内充分可导，则迭代格式x 1(xj 是P 阶收敛的(j)()6）多点迭代法：X j 1 X jf (X i)f(x) f(X j 1)X i x 1f (X j) f(X i 1)X i X jf (X i) f (X j 1) f(X 1) f(X)收敛阶：P 1 527）Newt on迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newt on法进行修改①：已知根的重数r，X i X「鵲（平方收敛）②：未知根的重数：X i 1叫u(X)u (X i)f (X)帀，为f （X）的重根，则为U（X）的单根。
数值分析学习公式总结
第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则，可得到序列值｛｝。
设函数g 。
如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ， 则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。
定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。
如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。
. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法 ）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。
数值分析讲义
第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。
误差限近似值x 的误差限 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。
相对误差e r是误差e 与精确值x* 的比值，。
常用计算。
相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
绝对误差的运算：ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。
从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
关于有效数字：(1) 设精确值x* 的近似值x，x＝±0.a1a2…a n×10ma1，a2，…，a n是0～9 之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n则x 有l位有效数字.(2) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n 位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于则它至少有n 位有效数字。
(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。
二、实例例1 设x*＝ ＝3.1415926…近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。
数值分析学习公式总结
数值分析学习公式总结数值分析是以计算机为工具，对数学问题进行数值计算和近似方法的研究。
在数值分析中，有许多重要的数学公式和算法被广泛应用。
下面是一些数值分析中常用的公式和算法的总结。
1.插值公式：-拉格朗日插值公式：假设有给定的n个点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)，则对于任意一个x，可以通过拉格朗日插值公式计算出相应的y值。
-牛顿插值公式：利用差商构造的插值公式，对给定n个点进行插值，得到一个多项式函数。
2.数值积分公式：-矩形法：将区间分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积然后求和。
-梯形法：将区间分割成若干个梯形，计算每个梯形的面积然后求和。
-辛普森法则：将区间分割成若干个小区间，通过对每个小区间应用辛普森公式计算出近似的定积分值。
3.数值微分公式：-前向差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。
-后向差分公式：类似于前向差分公式，但是利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。
-中心差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点两侧的值之间的差异，通过近似计算导数的值。
4.数值解线性方程组方法：-直接法：高斯消元法，LU分解法等。
-迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法等。
5.最小二乘拟合法：-线性最小二乘拟合：通过线性回归的方法，寻找最佳的拟合直线。
-非线性最小二乘拟合：通过非线性回归的方法，寻找最佳的非线性拟合曲线。
6.数值求解常微分方程方法：-欧拉法：将微分方程离散化，通过迭代计算得到近似解。
-改进欧拉法：利用欧拉法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。
- 二阶龙格-库塔法：利用四阶Runge-Kutta法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。
7.插值法的误差估计：-真实误差：插值函数与原函数之间的差异。
-误差界：对于给定的插值公式，通过计算条件和边界限制，得到误差的上限。
8.特殊函数的数值计算：-常用特殊函数的近似计算方法，如阶乘函数，指数函数，对数函数等。
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1）Lagrange插值：， 余项： 2）Newton插值：差商表
余项 3）反插值 4）Hermite插值（待定系数法）
其中 余项： 5）分段线性插值： 插值基函数： 余项：分段余项 6）有理逼近：反差商表 有理逼近函数式： 7）正交多项式的计算： 定理：在上带权函数的正交多项式序列，若最高项系数唯一，它便是唯 一的，且由以下的递推公式确定
5）单步法（*） 相容性：则（*）式与初值问题相容 收敛性：对于固定的当时有则称（*）式收敛 数值稳定性：若一数值方法在上有扰动而于以后的各节点值上产生的偏 差均不超过，则称该方法绝对收敛 试验方程：用以求解绝对稳定区间 绝对收敛：用单步法求解试验方程，若绝对收敛则称该方法绝对稳定 6）线性多步法德一般格式： 局部阶段误差（系数通过Taylor展开构造） 其中 线性多步法的阶数通过误差系数来判断，最高阶数 7）线性多步法的收敛性判断：称线性多步法相容 满足根条件：第一特征多项式，
Gauss-Jordan消元法（对角阵）：； 列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对 角线主元位置；（可用于求逆矩阵） 全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至 其处于对角线主元位置； 4）三角分解法： ①：Doolittle分解法：A=LU，L单位下三角阵，U上三角阵 ②：Crout分解法：A=LU，L下三角阵，U单位上三角阵 ③：Cholesky分解法：A对称正定，，L为单位下三角阵
10）拟Newton法 其中 11）秩1拟Newton法： Broyden秩1方法
第二章 线性代数方程组数值解法
1）向量范数： ①：非负性：，且的充要条件是； ②：齐次性： ③：三角不等式： 1范数： 2范数： 范数： p范数： 2）矩阵范数： ①：非负性：，且的充要条件是； ②：齐次性： ③：三角不：，行和最大 2范数：，其中，为的特征值， 3）Gauss消元法（上三角阵）：；
第二特征多项式 当第一特征多项式所有根的模均不大于1，且模为1的根均是单根，称满 足根条件 收敛相容且满足根条件 8）数值稳定性判断： 稳定多项式（特征多项式） 令，是稳定多项式的根， ①：若对任意有，且当时，为单根，则称为相对稳定区间； ②：若对任意有，则称为绝对稳定区间
第六章 常微分方程的数值解法（差分
法）
1）离散化方法：Taylor展开、差商代替求导、数值积分 2）Euler公式： Euler隐式（1阶） 改进的Euler公式（2阶精确解） 3）截断误差和P阶精确解：截断误差 4）S级Runge-Kuta法
2级Runge-Kuta法 （2阶精度） 的取值1/2（中点公式）、2/3（Heun公式）、1（改进的Euler方法）
其中 定理3.8 8）连续函数的最佳平方逼近：在上，法方程为， 其中， 均方误差： 最大误差： 9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）： 法方程 其中
第四章 数值积分
1）代数精度的概念及应用：对r次多项式的精确成立，以及代入法求解 系数。 2）Lagrange插值代入 Lagrange插值基函数 ，其中 误差： 定理：数值积分公式具至少有n次代数精度其是差值型的 3）等距节点的Newton-Cotes公式 将拉格朗日差值积分公式中的差值节点即可，其中； ，令（Cotes系数）则： N-C公式的数值稳定性：当同号时是稳定的，否则不稳定，（其中）
N-C公式至少具有n次代数精度，若n为偶数，则其代数精度可提高到 n+1次； 余项： 当n为偶数时， 当n为奇数时， 4）复化的N-C公式 复化的梯形公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用梯形公式 复化的Simpson公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用 Simpson公式 5）Romberg积分法 逼近的阶为
对于区间[a,b]上的Gauss求积公式，令，，则： 余项：
第五章 乘幂法
1）基本定理： 定理一：若为A的特征值，为某一多项式，则矩阵的特征值是。特别 地，的特征值是。 定理二：如果A为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，且存在n个 线性无关的特征向量；不同特征值所对应的特征向量正交。 定理三：设A与B为相似矩阵，即存在非奇异阵P，使，则A与B有相同
的特征值。 定理四：如果A有n个不同的特征值，则存在一个相似变换矩阵P，使 得，其中D是一个对角矩阵，它的对角线元素就是A的特征值。 定理五：对于任意方阵A，存在一个酉变矩阵Q，使得，其中T是一个上 三角矩阵，是是共轭转置矩阵。 推论：如果A是实对称矩阵，则存在一个正交矩阵Q，使，其中D是对角 矩阵，它的对角线元素是A的特征值，而Q的各列即为A的特征向量，并 且。 定理六：设是以为中心的一些圆，其半径为，设，则A的所有特征值都 位于区域内。 推论：的谱半径满足。 定理七：设A为对称正定阵，则有，，其中，x是任意复向量，表示x的 共轭转置。 定理八：对任意非奇异矩阵A，有，其中为A的任一特征值。 2）求按模最大的特征值和对应的特征向量 ， 3）
第一章 非线性方程和方程组的数值解
法
1）二分法的基本原理，误差： 2）迭代法收敛阶：，若则要求 3）单点迭代收敛定理： 定理一：若当时，且，，则迭代格式收敛于唯一的根； 定理二：设满足：①时，， ② 则对任意初值迭代收敛，且： 定理三：设在的邻域内具有连续的一阶导数，且，则迭代格式具有局部 收敛性； 定理四：假设在根的邻域内充分可导，则迭代格式是P阶收敛的 （Taylor展开证明） 4）Newton迭代法：，平方收敛 5）Newton迭代法收敛定理： 设在有根区间上有二阶导数，且满足： ①：； ②：； ③： ④：初值使得； 则Newton迭代法收敛于根。 6）多点迭代法： 收敛阶： 7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改 ①：已知根的重数r，（平方收敛） ②：未知根的重数：，为的重根，则为的单根。 8）迭代加速收敛方法： 当不动点迭代函数在的某个邻域内具有二阶导数，平方收敛 9）确定根的重数：当Newton迭代法收敛较慢时，表明方程有重根
④：改进的Cholesky分解法：A对称正定，，L为单位下三角阵，D为对 角阵 ⑤：追赶法：Crout分解法解三对角方程 5）矩阵的条件数，谱条件数： 6）如果，则为非奇异阵，且 7）迭代法基本原理： ①：迭代法： ②：(，迭代格式收敛) ③：至少存在一种矩阵的从属范数，使 8）Jacobi迭代： 9）Gauss-Seidel迭代： 10）超松弛迭代法 11）二次函数的一维搜索： 12）最速下降法： 选择方向 进行一维搜索：，其中 13）共轭梯度法： 第一步：最速下降法，，， 第二步：过选择的共轭方向，其中，过以为方向的共轭直线为，进行二 次函数的一维搜索 14）一般的共轭梯度法：
6）求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度<=2n+1； 7）Gauss求积公式 在[a，b]上与所有次数<=n的多项式带权正交上式为Gauss求积公式、 8）Gauss-Legendre求积公式 给出公式：、、······ 给出区间[1,-1]上的求积公式，取的零点为求积节点
1 取零点为0
2 取零点为