数值分析常用公式及示例

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数值分析学习公式总结

数值分析学习公式总结数值分析是数学的一个分支，研究如何利用计算机求解数学问题。

数值分析学习过程中会遇到许多公式，下面对其中一些重要的公式进行总结。

1.插值公式：-拉格朗日插值公式：设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。

则对于任意x∈[a,b]，可使用拉格朗日插值公式来估计f(x)，公式如下：-牛顿插值公式：牛顿插值公式是通过差商的方法来构造插值多项式的公式。

设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为 x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。

则对于任意x∈[a,b]，可使用牛顿插值公式来估计f(x)，公式如下：2.数值积分公式：-矩形公式：矩形公式是用矩形面积来估计曲线下的面积，主要有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。

以左矩形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间左端点的函数值作为矩形的高，子区间长度作为矩形的宽，则曲线下的面积可以近似为各个矩形面积的和，公式如下：-梯形公式：梯形公式是用梯形面积来估计曲线下的面积，主要有梯形公式和复合梯形公式。

以梯形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间两个端点对应的函数值作为梯形的底边的两个边长，子区间长度作为梯形的高，则曲线下的面积可以近似为各个梯形面积的和，公式如下：-辛普森公式：辛普森公式是用抛物线面积来估计曲线下的面积，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间三个端点对应的函数值作为抛物线的三个顶点，则曲线下的面积可以近似为各个抛物线面积的和，公式如下：3.线性方程组求解公式：- Cramer法则：Cramer法则适用于 n 个线性方程、n 个未知数的线性方程组。

数值分析常用公式及示例

数值分析常用公式及示例数值分析是用数值方法研究数学问题的一种方法。

在数值分析中，我们经常会用到一些常用的公式和方法，下面是一些常用的公式和示例。

1.插值公式：插值是用已知数据点来估计未知数据点的一种方法。

常用的插值公式有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。

拉格朗日插值公式：对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1,y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为P(x) = y0·l0(x) + y1·l1(x) + ... + yn·ln(x)其中li(x) = Π(j≠ i)((x - xj) / (xi - xj))。

2.数值积分公式：数值积分是用数值方法计算函数积分的一种方法。

常用的数值积分公式有梯形公式、辛普森公式和高斯公式等。

梯形公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，梯形公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 2 · (f(a) + f(b))。

辛普森公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，辛普森公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 6 · (f(a) + 4f((a + b) / 2) + f(b))。

3.数值解方程公式：数值解方程是通过数值计算方法找到方程的根的一种方法。

常用的数值解方程公式有二分法和牛顿法等。

二分法：对于一个在区间[a,b]上连续的函数f(x)，如果f(a)·f(b)<0，则函数在该区间内存在一个根。

二分法的基本思想是将区间不断二分，直到找到根。

具体步骤为：1)如果f(a)·f(b)>0，则输出“区间[f(a),f(b)]上不存在根”；2)否则，计算c=(a+b)/2；3)如果f(c)≈0，则输出c为方程的一个根；4)否则，如果f(a)·f(c)<0，则更新b=c，并返回第2步进行下一次迭代；5)否则，更新a=c，并返回第2步进行下一次迭代。

数值分析学习公式总结

第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法用迭代规则，可得到序列值｛｝。

设函数g 。

如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ，则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。

定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。

如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。

. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ；第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章插值与多项式逼近·第一节泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。

数值分析 -牛顿-科特斯公式

f
( x ) g( x )dx
f (2)18 ab g(8b( x0a )d)5xf(4)()
余项的一般形式
n
定理设 Q[f](ba) Ci(n)f(xi)，则有
i0
(1) 若 n 为偶数， f (x) Cn+2[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
a b f(x )d x Q [f] ( b n a n ) 3 n ( 3 n f (n 2 ) 2 )(! )0 n t2 ( t 1 ) ( t n )d t
i0
i0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
R T a b f(x )d x T a bf''2 ( !x )(x a )x ( b )d x
中值定理 1 2f''()a b(xa)x (b)d x
积分中值定理
112(ba)3f''()
Simf (pxso),ng公( x式)均的在余[项a , b]上连续，
6
2
6
与精确值 0.6321 相比得误差分别为 0.0518 和 0.0002。
复合求积公式
提高积分计算精度的常用两种方法
✓ 用复合公式 ✓ 用非等距节点
复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然后在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式。
将[a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中节点 xiaih, hb na (i = 0, 1, …, n)
解：T8116 f(x0)2i 71f(xi)f(x8)0.9456909
S 4 2 1 f ( 4 x 0 ) 4 f ( x 1 ) f ( x 3 ) f ( x 5 ) f ( x 7 ) 2 f(x 2 ) f(x 4 ) f(x 6 ) f(x 8 ) 0 .9460

数值分析公式大全

（1） ρ (B)＜1
（ 2）
＜1
（3） A 为严格对角占优：丨 aii 丨＞丨 aij 丨（设 A 为 n×n 阶方阵）
（4） A 为弱对角占优且不可约：丨 aii 丨≥ 丨 aij 丨且至少一个丨 aii 丨＞
丨 aij 丨成立，【弱对角占优】；
能使 PTAP=
（其中 A11 和 A22 为方阵）的 P 不存在。【不可约】
数值分析，第一章 1，相对误差和绝对误差
e*= x*-x;
er*=
估计值
2，误差限和相对误差限 ε *≥
ε r*=ε
3，有效数字官方定义：若近似值 x*的误差限是某一位的半个单位，该位到 x*的第一位非零有效数字共有 n 位，就说 x*有 n 位有效数字。表示为：x*=±10m×（a1+a2×10-1+a3×10-2+…+an× 10-（n-1））=±a1. a2a3…an。其中 ai 为 0 至 9 中之一，a1 不为 0，m，n 都是整数。
局部收敛：x0∈R=｛x 丨
}经过 xi+1=φ （xi）产生的｛xk｝收敛到 x*。等价于：φ
（x），不动点 x*，φ （x）在某领域连续，且丨φ （x）丨＜1，则局部收敛。
P 阶收敛：当 k→∞时迭代误差 ek=xk-x*满足
。等价于：φ （n）（x）在 x*
2，牛顿法【非线性→线性】 f（x）=0 用泰勒公式在 xk 点展开，有 f（xk）+f’（xk）（x-xk）=0→xk+1=xk -
（5） A 为主对角线元素都大于 0 的对称阵时，A 和 2D-A 均正定。【各阶主子式大于 0】
3，高斯—塞德尔迭代法
A=D-L-U，B=（D-L）-1U，f= D-L）-1b。

数值分析学习公式总结

数值分析学习公式总结数值分析是以计算机为工具，对数学问题进行数值计算和近似方法的研究。

在数值分析中，有许多重要的数学公式和算法被广泛应用。

下面是一些数值分析中常用的公式和算法的总结。

1.插值公式：-拉格朗日插值公式：假设有给定的n个点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)，则对于任意一个x，可以通过拉格朗日插值公式计算出相应的y值。

-牛顿插值公式：利用差商构造的插值公式，对给定n个点进行插值，得到一个多项式函数。

2.数值积分公式：-矩形法：将区间分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积然后求和。

-梯形法：将区间分割成若干个梯形，计算每个梯形的面积然后求和。

-辛普森法则：将区间分割成若干个小区间，通过对每个小区间应用辛普森公式计算出近似的定积分值。

3.数值微分公式：-前向差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。

-后向差分公式：类似于前向差分公式，但是利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。

-中心差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点两侧的值之间的差异，通过近似计算导数的值。

4.数值解线性方程组方法：-直接法：高斯消元法，LU分解法等。

-迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法等。

5.最小二乘拟合法：-线性最小二乘拟合：通过线性回归的方法，寻找最佳的拟合直线。

-非线性最小二乘拟合：通过非线性回归的方法，寻找最佳的非线性拟合曲线。

6.数值求解常微分方程方法：-欧拉法：将微分方程离散化，通过迭代计算得到近似解。

-改进欧拉法：利用欧拉法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。

- 二阶龙格-库塔法：利用四阶Runge-Kutta法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。

7.插值法的误差估计：-真实误差：插值函数与原函数之间的差异。

-误差界：对于给定的插值公式，通过计算条件和边界限制，得到误差的上限。

8.特殊函数的数值计算：-常用特殊函数的近似计算方法，如阶乘函数，指数函数，对数函数等。

数值分析知识点总结

数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。

一、第1章数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？相对误差限：**r re ε=的一个上界。

有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。

即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1≠0，并且*11102m n x x -+-≤⨯。

其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。

例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*211102ε-=⨯。

2. 一个比较好用的公式：f(x)的误差限：()***()'()()f x f x x εε≈ 例题：二、第2章插值法例题：5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？8. 三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：对于第一种边界条件，可导出两个方程：，那么写成矩阵形式：公式 1对于第二种边界条件，直接得端点方程：，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。

对于第三种边界条件，可得：也可以写成如下矩阵形式：公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。

（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质？4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。

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