可靠性设计作业对数正态分布和齿轮可靠性
一种齿轮的可靠性优化设计方法
一种齿轮的可靠性优化设计方法李旭东;李勇;耿敏涛【摘要】齿轮是机械中的重要部件,利用合适的算法进行齿轮设计有着很重要的意义.利用现代设计思想,将优化设计与可靠性设计理论结合建立齿轮的可靠性优化设计的数学模型,介绍相关变量与约束的选取与计算,并使用Matlab进行了结果运算.通过将其与通常算法比较,发现前者结果更加理想,该方法可在以后的相关设计中作为参考.【期刊名称】《机械研究与应用》【年(卷),期】2017(030)006【总页数】4页(P57-59,63)【关键词】齿轮;可靠性;优化设计【作者】李旭东;李勇;耿敏涛【作者单位】西安石油大学机械工程学院,陕西西安 710065;西安石油大学机械工程学院,陕西西安 710065;西安石油大学机械工程学院,陕西西安 710065【正文语种】中文【中图分类】TH1220 引言在现在的大部分机械中，齿轮都是重要的传动部件，它的质量，体积和成本在整个设备中占有很大比重，其传动性能还直接影响整个机器性能。
如果在传动中发生故障，将会严重影响设备的正常运转，因此，研究如何设计一个质量轻而且结构可靠的齿轮传动是十分有必要的。
通常在设计齿轮传动时，是将齿轮所受载荷，应力和强度都视为定值，按一定的强度条件进行设计或校核，这种常规设计安全系数一般比较保守，并且考虑实际使用时各参数的不确定性，引起的误差与实际不符，也不能保证绝对的安全[1]。
因此，为了使齿轮传动设计既贴近实际工况，又有最优方案，结合实际情况，提出一种将优化设计和可靠性设计理论结合起来的设计方法。
该方法首先考虑到利用优化设计思想，选取设计变量,建立优化数学模型目标函数；然后利用可靠性设计思想，通过概率论方法重新确定设计模型的约束条件，弥补常规设计的不足。
该方法无论对缩小尺寸，减轻质量，提高承载能力和保证设计可靠性均有现实意义。
1 优化设计现代优化设计是基于最优化数值计算方法与计算机技术，主要以数学模型作为优化设计的基本途径。
正态分布指数分布对数正态分布和威布尔分布函数及在工程分析中的应用
正态分布指数分布对数正态分布和威布尔分布函数及在工程分析中的应用首先，正态分布是一种连续概率分布，其函数形式可以通过均值和标准差来确定。
正态分布在工程分析中的应用非常广泛，特别是在统计、质量控制以及风险管理等方面。
例如，在生产过程中，产品尺寸的正态分布可以帮助确定合适的尺寸规范范围，从而保证产品质量的稳定性。
此外，正态分布还可以用于描述物理量的不确定性，例如测量误差、环境变量的波动等。
其次，指数分布是描述事件之间时间间隔的概率分布。
在工程领域中，指数分布广泛应用于可靠性分析和生命周期评估。
例如，在可靠性工程中，指数分布可以用来预测设备的寿命或故障率，从而确定合适的维护策略。
此外，指数分布还可用于建模排队系统中的顾客到达时间间隔，以便优化服务水平和资源分配。
第三，对数正态分布是正态分布的一种变形，其函数形式可以通过指数和标准差来确定。
对数正态分布常用于描述一些非负物理量的分布，例如收入、房价、股票收益率等。
在工程分析中，对数正态分布应用较多的领域是风险评估和可靠性分析。
例如，在金融风险管理中，对数正态分布可以用来建模股票或指数收益率的分布，从而评估投资组合的风险水平。
最后，威布尔分布是一种常见的可靠性分布，广泛应用于描述设备或系统的故障时间。
威布尔分布的函数形式可以通过形状参数和尺度参数来确定，可以用来估计设备在不同寿命阶段的故障率。
在工程分析中，威布尔分布可以用来评估设备的可靠性水平、制定维护策略以及进行可靠性设计。
例如，在电力系统可靠性分析中，威布尔分布可以用来描述各种设备的故障时间分布，从而帮助制定可靠性增强措施。
综上所述，正态分布、指数分布、对数正态分布和威布尔分布是工程分析中常见的概率分布函数，它们在统计分析、可靠性评估、风险管理等方面都有重要的应用。
熟练掌握这些分布函数的特性和应用可以帮助工程师更好地分析和解决实际问题。
第13讲可靠性设计中常用分布函数
5. 韦布尔分布应用例
失效模式的解析
b<1: 早期失效阶段 b=1: 偶然失效阶段 b>1: 耗损失效阶段
七. 机械零件可靠度方程
前提：强度，应力等设计参数均为正态分布。
安全指数系数z
z
F S
2 F
2 S
z
F S
2 F 2 S
F ：强度的分布均值；
五. 对数正态分布
随机变量t的对数 y ln t 服从正态分布， 则t服从对数正态分布。
1. 对数正态分布的概率密度函数
f ( y) 1 e
y y 1 2 y
2
y 2
y ln t
z
y y
y
：安全指数系数
• 适用于零部件的疲劳寿命，疲劳强度，耐 磨寿命以及描述维修时间的分布等研究。
b
t
b
可靠度：
R (t ) 1 Q (t ) e
失效率：
f (t ) b t (t ) R(t )
b 1
3. 韦布尔分布的曲线图
4. 韦布尔分布的特征
b越小，分布的离散程度越大；b越大，离散程 度越小。b也称为韦布尔斜率，是产品一致性 的一种度量。 b=1时，呈指数分布； 2.7 b 3.7 时，呈近似正态分布； b=3.313时，呈正态分布。 越大，分布的离散程度越大。 韦布尔分布适合于研究许多随机现象，如寿命， 强度，磨损等。
解答
（1）安全指数系数：z
t
600 600 0 50
Q( z ) 0.5 查表可得失效概率： 可靠度：R( z ) 1 Q( z ) 0.5 失效数：n 100 0.5 50
可靠性测试的计算方法
可靠性测试的计算方法一、概率与统计1、概率；这里用道题来说明这个数学问题题一、从含有D个不良品的N个产品中随机取出n个产品（做不放回抽样），求取出d个不良品的概率是多少？解：典型的超几何分布例题，计算公式如下超几何分布：（最基本的了）：最精确的计算，适用比较小的数据其中：N ——产品批量 D ——N中的不合格数d —— n中的合格数n ——抽样数另外的概率计算的常用算法还有：二项分布：（最常用的了，是超几何分布的极限形式。
用于具备计件值特征的质量分布研究）：只是估算，当N≥10n后才比较准确其中：n ——样本大小 d —— n中的不合格数ρ——产品不合格率泊松分布：（电子产品的使用还没有使用过，只是在学习的时候玩过一些题目，我也使用没有经验）具有计点计算特征的质量特性值其中：λ—— n ρn ——样本的大小ρ——单位不合格率(缺陷率) e = 2.7182812、分布；各种随机情况，常见的分布有：二项分布、正态分布、泊松分布等，分位数的意义和用法也需要掌握；较典型的题目为：题三、要求电阻器的值为80+/-4欧姆；从某次生产中随机抽样发现：电阻器的阻值服从正态分布，其均值80.8欧姆、标准差1.3欧姆，求此次生产中不合格品率。
公式好麻烦的，而且还要查表计算，555555555555，我懒得写了，反正我也没有做过电阻。
3、置信区间：我们根据取得样品的参数计算出产品相应的参数，这个“计算值”到底跟产品的“真实值”有什么关系？一般这样去描述这两个量：把“计算值”扩充成“计算区间”、然后描述“真实值有多大的可能会落在这个计算区间里”，从统计学上看，就是“估计参数”的“置信区间”；较典型的题目为：题四、设某物理量服从正态分布，从中取出四个量，测量/计算后求得四个量的平均值为8.34，四个量的标准差为0.03；求平均值在95%的置信区间。
解：因为只知道此物理量服从正态分布，不知道这个正态分布对应的标准差，所以只能用样品的标准差来代替原物理量的标准差。
数字化设计制造技术基础机械可靠性设计
与其他产品相比机械产品的可靠性技术有以下特点：
因设计安全系数较大而掩盖了矛盾，机械可靠性技术落后；
机械产品的失效形式多，可靠性问题复杂；
机械产品的实验周期长、耗资大、实验结果的可参考性差；
机械系统的逻辑关系不清晰，串、并联关系容易混淆；
机械可靠性设计概述
P(AB)=P(B)P(A│B) =P(A)P(B│A)
机械可靠性设计基础
２、正态分布（高斯分布）
分布形态为对称分布
机械可靠性设计基础
当μ＝０， σ ＝１时，为标准正态分布。
3 σ准则： 超过距均值3σ距离的可能性太小，认为几乎不可能（或靠得住）。
若：L=F30±0.06mm～N(μ,σ)
则： μ＝30mm
失效率曲线（也称浴盘曲线）
机械可靠性设计基础
平均寿命
对于不可修产品为平均无故障时间MTTF (Mean Time To Failure)
对于可修产品为平均故障间隔时间MTBF (Mean Time Between Failure)
在常规设计中引入的物理量，多数就是E(x)。
机械可靠性设计基础
方差
衡量随机变量取值的分散程度，用D(x)、σ2表示。
机械可靠性设计基础
变异系数
C是一个无量纲的量，表示了随机变量的相对分散程度。
金属材料的变异系数（参考）
拉伸强度极限σB
0.05
拉伸屈服极限σS
0.07
疲劳极限σ-1
0.08
焊接结构疲劳极限σ-1
σ =0.06／3=0.02mm
自然界和工程中许多物理量服从正态分布，可靠性分析中，强度极限、尺寸公差、硬度等已被证明是服从正态分布。
机械零件的可靠性设计
R2 1
X XS
2
2 S
1
350 310 302 102
1 (1.26) 1 0.1038 0.8962
28
（3）“R3σ”可靠性含义下的安全系数：
50000 30000
1.67
R1 1(ZR ) 1
S
2＋
2 S
1
50000 30000 10002 30002
1.000
R2 1
S
2＋
2 S
1
50000 30000 120002 30002
0.947
27
例2 某汽车零件，其强度和应力均服从正态分布，强度的均
17
例题1
当强度的标准差增大到120MPa时，
z s 850 380 470 3.6968
2
2 S
422 1202 127.1377
查标准正态分布值，得R=0.999 89.
18
2、概率密度函数联合积分法（一般情况）
g()
f (s)
应力s0处于ds区间内的概率为
f (s0 )
f ( )
f (s)
1 2
y
0 exp[
(
y
y
2
2 y
)2
]dy
y S
y＝－S
0
-10
0
10
20
y ＝－S
y0 y0
30
40
S
50
y＝
2
2 S
不可靠度为： F P ( y 0)
1
2 y
0
exp[
(
y
y
可靠性设计中常用的概率分布
05 其他常用概率分布
对数正态分布
定义
对数正态分布是一种连续概率分布，其随机变量的对数服从正态分 布。
特性
对数正态分布常用于描述那些原始数据经过对数变换后符合正态分 布的变量，如寿命测试数据、机械应力和其他一些自然现象。
应用
在可靠性工程中，对数正态分布常用于描述产品的寿命或故障时间， 特别是在那些故障时间跨度很大的情况下。
二项分布
适用于描述独立重复试验的结 果，如抛硬币、抽奖等。
使用概率分布进行可靠性设计的方法与步骤
01
02
03
04
05
1. 确定设计目标 2. 分析影响因素 3. 选择合适的概 4. 进行可靠性设 5. 验证与评估
率分布
计
明确可靠性设计的目标， 如提高产品的平均寿命、 降低故障率等。
分析影响产品可靠性的各 种因素，如材料、工艺、 环境等。
曲线下的面积随着标准差σ的增大 而增大。
正态分布在可靠性设计中的应用
01
02
03
寿命试验
在寿命试验中，许多物理 量如机械零件的疲劳寿命、 电子元件的寿命等都服从 正态分布。
可靠性评估
通过正态分布，可以评估 产品的可靠性，如平均故 障间隔时间（MTBF）。
质量控制
在质量控制中，正态分布 用于确定产品质量的控制 限，确保产品质量稳定。
维修性分析
在维修性分析中，威布尔分布用于描述维修过程 的可靠性和维修时间。
威布尔分布的参数估计与假设检验
参数估计
常用的参数估计方法包括最大似然估计和矩估计。这些方法通过样本数据来估计形状参数、尺度参数和位置参数。
假设检验
在可靠性设计中，经常需要进行假设检验来验证产品的可靠性是否满足预期要求。通过威布尔分布，可以构建合 适的假设检验来评估产品的性能和可靠性。
机械可靠性设计习题与答案.
2-1 对某种轴承 100 个进行使用后发生失效的统计，其失效时已工作的时间及失效数如下 表所示，求该零件工作到 200h 和 350h 时的可靠度 R(200),R(350) 运行时间/h 失效数/个 解: 10 7 30 4 60 6 100 13 150 10 200 3 300 4 400 3 500 0
可靠性寿命
中位寿命
特征寿命
2-4 次品率为 1%的大批产品每箱 90 件，今抽检一箱进行全部检验，求查出次品数不 超过 3 的概率。试用泊松分布和二次分布两种解法求解。 解： 次品数不超过 3 的概率包括全部正常、 失效 1 件、 失效 2 件和失效 3 件共 4 种情况， 为：
1)二次分布
2）泊松分布 NF=90*0.01=0.9
= -3.09
解得： d=2.88mm
4-1
某 零 件 试 验 测 得 的
P-S-N
曲 线 ， 查 得 在
N=105
处 的
σ −1 = 530MPa,σ −1 − 3σ −1 = 450MPa , 若 该 零 件 危 险 断 面 上 的 工 作 应 力 为
δ = 438 MPa,σ δ = 30 MPa ，求在 N=105 处不产生疲劳失效时的可靠度，设其强度及应力
m 5 m ⎧ ⎧ ⎪13 × 1.3 × 10 = C ⎪σ 1 N1 = C ⇒⎨ m ⇒ m = 5.85, C = 4.232 *1011 ⎨ m 4 ⎪ ⎩22 × 0.6 × 10 = C N3 = = 38612.7 165.85
2-5 有一批钢管，已知直径尺寸服从正态分布，均值为 15.00，标准差为 0.05mm。按 规定直径不超过(15.00±0.1)mm 范围内是合格品，(1) 试计算该批钢管的合格率是多少？(2) 如要求废品率不超过 6%，则直径的合格尺寸为多大？ 解：1)先将正态分布标准化 合格品的概率
第3章可靠性-1
R(t) N n(t) N
（3-1）
式中，R ( t ) 也称存活率。当 N 时，limR(t) R(t) ，即为该产品的可
R(t) dt
（3-9） （3-10）
将上式从0到 t 进行积分，则得
R(t) e0t(t)dt
（3-11）
上式称为可靠度函数 R(t) 的一般方程，当 (t) 为常数时，就是 常用到的指数分布可靠度函数表达式。
例3-2 有100个零件已工作了6年，工作满5年时共有3个零件失效， 工作满6年时共有6个零件失效。试计算这批零件工作满5年时的失效率。
靠度。
N
由于可靠度表示的是一个概率，所以 R ( t ) 的取值范围为：
0R(t)1
（3-2）
可靠度是评价产品可靠性的最重要的定量指标之一。
例3-1 某批电子器件有1000个，开始工作至500h内有100个失效， 工作至1000h 共有500个失效，试求该批电子器件工作到500h 和
1000h 的可靠度。
（１）研究对象 产品即为可靠性的研究对象，它可以是系统、整机、部件，也可 以是组件、元件或零件等。 （２）规定的条件 它包括使用时的： 环境条件（如温度、湿度、气压等）；
工作条件（如振动、冲击、噪音等）； 动力、负荷条件（如载荷、供电电压等）； 贮存条件、使用和维护条件等。 “规定的条件”不同，产品的可靠性也不同。
（3）耗损失效期
耗损失效期出现在产品使用的后期。 其特点是失效率随工作时间的增加而上升。
耗损失效主要是产品经长期使用后，由于某些零件的疲劳、老 化、过度磨损等原因，已渐近衰竭，从而处于频发失效状态，使失 效率随时间推移而上升，最终回导致产品的功能终止。
可靠性设计
1 1 0.0004 次/小时 MTBF 2500
R(t 500) e t e 0.0004500 0.8187
R(t 1000 ) e t e 0.00041000 0.6703
28
4.正态分布（normal distribution）—— 连续型分布函数
R(t 400) R( z 2.5) F ( z 2.5) 0.9938 失效概率 F (t 400) 1 R(t 400) 1 0.9938 0.0062
失效数r=1000×0.0062=6.2(个)≈6（个）
30
（2）t=600h时，标准正态变量
r r nr f (r ) C n p q
25
设事件发生次数的均值为m，事件实际发生次数为r，对泊松分布
而言，则有：
事件发生r次概率为:
m r m f (r ) e r!
F (c ) f ( r )
r 0 c
事件发生次数不超过c的累积概率为: 其泊松分布的均值E(r)=np=m，方差s=m
17
由此得到失效率、可靠度与概率密度之间的关
系为：
f (t ) (t ) R(t )
18
举例： 某零件的失效时间随机变量服从指数分布，为了让１０００小时的可靠 度在８０％以上，该零件的失效率应低于多少？
解：分析可知，失效时间随机变量服从指数分布，即 f (t ) e t 因为 由于
N f (t ) N s (t ) N 0 N f (t ) R(t ) 1 N0 N0 N0 由于０≤Ｎｆ(ｔ)≤Ｎ０，故０≤Ｒ(ｔ)≤１。
11
可靠度表达式-B
设ｔ为零件（系统）的失效时间（随机变量），Ｔ为
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Ft K H lim bd1 expC n u R
整理得
expC n u R bd1 F t K H lim
2
取齿宽系数 d b / d1 得
expC n u R Ft K d1 mm lim d H
2 2 Cn为综合变异系数， Cn CHlim CH
1 2
14
齿面接触疲劳强度的可靠度系数
当工作应力和强度极限均服从对数正态分布时， 可按下式计算可靠度系数：
uR Ln H lim / H Cn
1 2
2 2 H 式中， 为综合变异系数， Cn C lim CH Hlim 0.10 、CH 0.10 时，为了安全期起见 当 C 可以按安全系数服从整体分布模型计算可靠度， 可靠度系数为 n R 1 u
uR ln / Cn
2
F
1 2 2 F lim
Cn
为综合变异系数，Cn C F lim C F lim 0.10 、 CF 0.10 当 C 时，为了安全起见可 以按安全系数服从正态分布模型计算可靠度，可 靠度系数为
uR nR 1 Cn n R
H lim H lim Z N Z L Z V Z R Z W
H lim C C
2 H lim
C
2 ZN
C
2 ZL
C
2 ZV
C
2 ZR
C
2 ZW
1 2
13
齿面接触疲劳强度的可靠度系数
当工作应力和强度极限均服从对数正态分布时， 可按下式计算可靠度系数
uR Ln H lim / H Cn
机械可靠性设计作业
应力和强度都为对数正态分布时的可靠度计算
1
若： y ln x ~ N (L , L )，则称x服从对数正态分布
对数正态分布
可记为： x ~ LN ( L , L )
1 e 概率密度函数为： f ( x) L 2 x
f(x)
疲劳极限大致服从正态分布
(ln x L ) 2 22
mn Ft KY expC n u R cos m m F lim d Z1
21
2 FM
C C
2 YF
令 K K A K V K F K F ， Y Y F Y S Y Y
则
F
Ft K Y bmn
18
齿根弯曲疲劳强度参数的分布
齿轮齿根弯曲疲劳强度的计算公式为 F lim F limYS YN Y YRYx C
对该式两边取对数，并设各对数随机变量均服从 正态分布。 弯曲疲劳强度极限的均值为
9
齿面接触工作应力参数的分布
常规设计时齿面接触工作应力的计算公式为
H Z H Z E Z Z
Ft i 1 K K K H K H H d 1b i
H 为齿面许用接触 H 为齿面接触工作应力， 式中， 应力； Z H 为节点啮合区域系数； Z E 为弹性影响系 数； Z 为重合度系数；Z 为螺旋角影响系数； Ft 为齿轮端面内与分度圆相切的工作齿面间的作用力， 或称端面分度圆名义切向力（圆周力），其均值为 2000 T1 Ft N d1 式中 T1 为小齿轮传递的名义扭矩
1
Z dz
因 当
Z
1
lg S lg s lg S
，
lg
lg S lg s
则 Z=
lg l lg
2 lg S
2 lg s
1 2
当 ，
lg lg
则 Z=
lg
5
由此可见，由于对数正态分布与正态分布之间的 特殊关系，因此当应力和强度分布都为对数正 态分布时，可以用正态分布相同的方法，即利 用连接方程和标准正态分布表来计算可靠度
11
分别求出均值 H 及变异系数 CH 则计算接触应力的标准差为
S H H C H
12
齿面接触疲劳强度参数的分布
工作齿轮齿面接疲劳强度的计算公式为
H lim H limZ N Z L ZV Z R ZW
理论和试验表明，解除疲劳强度服从对数正态 分布，故其均值及变异系数分别为
6
例题
某轴在应力水平S=172MPa下工作，其失效循 环次数为对数正态分布，失效循环次数对数的 均值为5.827，失效循环次数对数的标准差为 0.124。该轴已成功的运转了5×10转。试问其 可靠度为多大？
7
当轴运转了500000次
lg n1 lg(5 10 ) 5.699
5
N 5.827
R
Cn n R
根据 u R 由正态分布表可查得可靠度R(t)
15
齿轮接触疲劳强度的可靠性设计
若齿面接触应力为其他分布，则可按等效正态分 布法求解可靠度。
H
H lim
ex p ( Cnu R )
将（1）和（2）联立求解可得 1 2 K A KV K H K H Z H Z E Z Z 式中 K i i
3
对 得
S s
的两边取对数
lg lg S lg s
因S和s服从对数正态分布，所以lgS和lgs服从 正态分布，其差值lg也服从正态分布，其分布 参数为 lg=lgS-lgs
4
令 lg 则
Rt
1
f d
0
f d
10
若 T1 是由工作在最繁重的连续的正常的工作条件下 使用的最大载荷换算所得，则取 CF 0 当载荷近似求得，则取 CF 0.03 ；d1 为小齿轮分 度圆直径，b为齿轮宽度，i为传动比；“+”用于外啮 合，“-”用于内啮合； K A 为使用系数；K V 为动载系数； K H 为齿向载荷分布系数； K H 为齿间载荷分配系 数。 齿面接触应力的综合变异系数为
F lim
Y S Y N Y Y RY x
弯曲疲劳极限的综合变异系数为
2 2 2 2 2 2 2 F lim C C C C C C C C F lim Ys YN YN Y YR YX
1 2
19
齿根弯曲疲劳强度的可靠度
当工作应力和强度极限均服从对数正态分布时， 可按下式计算可靠度系数
16
机械可靠性设计作业
齿根弯曲疲劳强度的可靠性设计
17
齿根弯曲工作应力参数的分布
常规设计时齿根弯曲工作应力的计算公式为
F
Ft K A KV K F K F bmn
2 Ft 2 KA 2 KV 2 K F
YFaYSa Y Y
1 2 2 YSa
弯曲工作应力的综合变异系数为
CF C C C C C
t
t
C H
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C Z E C Z C Z (C K C K C C C C KV KH K H Ft ) A 4
1 2
式中 C HM 0.04 ,为引进均值为1的接触应力模型变异系 数；其他为相应参量的变异系数。
N 0.124
当s=172MPa时
N n1 5.827 5.699 zt 1.032 0.124 N
由连接方程和标准正态分布表得可靠度为
R(n1 )
( Z )dZ 0.8485 1.032
8
机ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可靠性设计作业
齿轮传动的可靠性设计
根据 u R 可由正态分布表查得可靠度R(t)
20
齿轮抗弯疲劳强度的可靠性设计
由可靠度系数公式变换可得
F
Ft K Y bmn
F
F lim
exp(C n u R )
因为
可得
Ft K F lim Y bmn expCnu R
取 b d d1 d mn Z1 / cos 代入上式整理得法面模数
L
N
x
N
N
大量的疲劳失效规律服从对数正态分布，如疲劳寿命的分布。
2
计算方法
可靠度是强度和应力的比值大于一的概率
S Rt P 1 s
S 令 s
，则
Rt
1
S S f d s s
1
f d