高考导数分类大全

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2018年全国高考理科数学分类汇编——函数与导数

1.(北京)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)=sinx.

【解答】解:例如f(x)=sinx,尽管f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,

当x∈[0,)上为增函数,在(,2]为减函数,故答案为:f(x)=sinx.

2.(北京)设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]e x.

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;

(Ⅰ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.

【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]e x的导数为

f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]e x.由题意可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,可得(a﹣2a﹣1+2)e=0,解得a=1;

(Ⅰ)f(x)的导数为f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]e x=(x﹣2)(ax﹣1)e x,

若a=0则x<2时,f′(x)>0,f(x)递增;x>2,f′(x)<0,f(x)递减.

x=2处f(x)取得极大值,不符题意;

若a>0,且a=,则f′(x)=(x﹣2)2e x≥0,f(x)递增,无极值;

若a>,则<2,f(x)在(,2)递减;在(2,+∞),(﹣∞,)递增,

可得f(x)在x=2处取得极小值;

若0<a<,则>2,f(x)在(2,)递减;在(,+∞),(﹣∞,2)递增,

可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意;

1

若a<0,则<2,f(x)在(,2)递增;在(2,+∞),(﹣∞,)递减,

可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意.

综上可得,a的范围是(,+∞).

3.(江苏)函数f(x)=的定义域为[2,+∞).

【解答】解:由题意得:≥1,解得:x ≥2,∴函数f (x)的定义域是[2,+∞).

故答案为:[2,+∞).

4.(江苏)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(﹣2,2]上,f(x)=,则f(f(15))的值为.

【解答】解:由f(x+4)=f(x)得函数是周期为4的周期函数,则f(15)=f(16﹣1)=f(﹣1)=|﹣1+|=,f()=cos()=cos=,即f(f(15))=,

故答案为:

5.(江苏)若函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为﹣3.

【解答】解:∵函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,

∴f′(x)=2x(3x﹣a),x∈(0,+∞),①当a≤0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0,

函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(0)=1,f(x)在(0,+∞)上没有零点,舍去;

②当a>0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0的解为x>,∴f(x)在(0,)上递减,在(,+∞)递增,又f(x)只有一个零点,∴f()=﹣+1=0,解得a=3,

2

f(x)=2x3﹣3x2+1,f′(x)=6x(x﹣1),x∈[﹣1,1],f′(x)>0的解集为(﹣1,0),

f(x)在(﹣1,0)上递增,在(0,1)上递减;f(﹣1)=﹣4,f(0)=1,f(1)=0,

∴f(x)min=f(﹣1)=﹣4,f(x)max=f(0)=1,∴f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为:f(x)max+f(x)min=﹣4+1=﹣3.

6.(江苏)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.

(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”;

(2)若函数f(x)=ax2﹣1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;

(3)已知函数f(x)=﹣x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.

【解答】解:(1)证明:f′(x)=1,g′(x)=2x+2,

则由定义得,得方程无解,则f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”;(2)f′(x)=2ax,g′(x)=,x>0,由f′(x)=g′(x)得=2ax,得x=,

f()=﹣=g()=﹣lna2,得a=;

(3)f′(x)=﹣2x,g′(x)=,(x≠0),

由f′(x0)=g′(x0),得b=﹣>0,得0<x0<1,

由f(x0)=g(x0),得﹣x02+a==﹣,得a=x02﹣,

3

令h(x)=x2﹣﹣a=,(a>0,0<x<1),

设m(x)=﹣x3+3x2+ax﹣a,(a>0,0<x<1),

则m(0)=﹣a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0,

又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,则m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点,则f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S”点.

7.(全国1卷)设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()D

A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x

【解答】解:函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax,若f(x)为奇函数,可得a=1,所以函数f(x)=x3+x,可得f′(x)=3x2+1,曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为:1,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:y=x.故选:D.

8.(全国1卷)已知函数f(x)=,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()C

A.[﹣1,0)B.[0,+∞)C.[﹣1,+∞)D.[1,+∞)

【解答】解:由g(x)=0得f(x)=﹣x﹣a,作出函数f(x)和y=﹣x﹣a的图象如图:

当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1,即a≥﹣1时,两个函数的图象都有2个交点,

即函数g(x)存在2个零点,故实数a的取值范围是[﹣1,+∞),故选:C.

4

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9. (全国1卷)已知函数f (x )=2sinx +sin2x ,则f (x

)的最小值是 . 【解答】解:由题意可得T=2π是f (x )=2sinx +sin2x 的一个周期, 故只需考虑f (x )=2sinx +sin2x 在[0,2π)上的值域,先来求该函数在[0,2π)上的极值点, 求导数可得f′(x )=2cosx +2cos2x=2cosx +2(2cos 2x ﹣1)=2(2cosx ﹣1)(cosx +1),

令f′(x )=0可解得cosx=或cosx=﹣1,可得此时x=

,π或 ; ∴y=2sinx +sin2x 的最小值只能在点x=

,π或 和边界点x=0中取到, 计算可得f ( )=,f (π)=0,f (

)=﹣,f (0)=0, ∴函数的最小值为﹣,故答案为:.

10. (全国1卷)已知函数f (x )=﹣x +alnx .

(1)讨论f (x )的单调性;

(2)若f (x )存在两个极值点x 1,x 2,证明:<a ﹣2.

【解答】解:(1)函数的定义域为(0,+∞),

6

函数的导数f′(x )=﹣﹣1+=﹣,

设g (x )=x 2﹣ax +1,

当a ≤0时,g (x )>0恒成立,即f′(x )<0恒成立,此时函数f (x )在(0,+∞)上是减函数,

当a >0时,判别式△=a 2﹣4,

①当0<a ≤4时,△≤0,即g (x )>0,即f′(x )<0恒成立,此时函数f (x )在(0,+∞)上是减函数,

②当a >2时,x ,f′(x ),f (x )的变化如下表:

x (0,

(,) (,

+∞) f′(x )

﹣ 0 + 0 ﹣ f (x ) 递减 递增 递减 综上当a ≤2时,f (x )在(0,+∞)上是减函数,

当a >2时,在(0,),和(,+∞)上是减函数,

则(,)上是增函数.

(2)由(1)知a >2,0<x 1<1<x 2,x 1x 2=1,

则f (x 1)﹣f (x 2)=(x 2﹣x 1)(1+)+a (lnx 1﹣lnx 2)=2(x 2﹣x 1)+a (lnx 1﹣lnx 2),

则=﹣2+,则问题转为证明<1即可,

即证明lnx1﹣lnx2>x1﹣x2,即证2lnx1>x1﹣在(0,1)上恒成立,

设h(x)=2lnx﹣x+,(0<x<1),其中h(1)=0,

求导得h′(x)=﹣1﹣=﹣=﹣<0,则h(x)在(0,1)上单调递减,∴h(x)>h(1),即2lnx﹣x+>0,故2lnx>x﹣,则<a﹣2成立.

11.(全国2卷)函数f(x)=的图象大致为()B

A.B.C.

D.

【解答】解:函数f(﹣x)==﹣=﹣f(x),则函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A,当x=1时,f(1)=e﹣>0,排除D.当x→+∞时,f(x)→+∞,排除C,

7

故选:B.

12.(全国2卷)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()C

A.﹣50B.0C.2D.50

【解答】解:∵f(x)是奇函数,且f(1﹣x)=f(1+x),

∴f(1﹣x)=f(1+x)=﹣f(x﹣1),f(0)=0,

则f(x+2)=﹣f(x),则f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),

即函数f(x)是周期为4的周期函数,∵f(1)=2,

∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(1﹣2)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,

f(4)=f(0)=0,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0﹣2+0=0,

则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)

=f(1)+f(2)=2+0=2,故选:C.

13.(全国2卷)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x.

【解答】解:∵y=2ln(x+1),∴y′=,当x=0时,y′=2,

∴曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x.故答案为:y=2x.

14.(全国2卷)已知函数f(x)=e x﹣ax2.

(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.

【解答】证明:(1)当a=1时,函数f(x)=e x﹣x2.则f′(x)=e x﹣2x,

令g(x)=e x﹣2x,则g′(x)=e x﹣2,令g′(x)=0,得x=ln2.

8

当∈(0,ln2)时,h′(x)<0,当∈(ln2,+∞)时,h′(x)>0,

∴h(x)≥h(ln2)=e ln2﹣2?ln2=2﹣2ln2>0,

∴f(x)在[0,+∞)单调递增,∴f(x)≥f(0)=1,

解:(2),f(x)在(0,+∞)只有一个零点?方程e x﹣ax2=0在(0,+∞)只有一个根,

?a=在(0,+∞)只有一个根,即函数y=a与G(x)=的图象在(0,+∞)只有一个交点.G,

当x∈(0,2)时,G′(x)<0,当∈(2,+∞)时,G′(x)>0,

∴G(x)在(0,2)递增,在(2,+∞)递增,

当→0时,G(x)→+∞,当→+∞时,G(x)→+∞,

∴f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=G(2)=.

15.(全国3卷)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为()D

A.B.C.

D.

9

【解答】解:函数过定点(0,2),排除A,B.函数的导数f′(x)=﹣4x3+2x=﹣2x(2x2﹣1),由f′(x)>0得2x(2x2﹣1)<0,得x<﹣或0<x<,此时函数单调递增,排除C,故选:D.

16.(全国3卷)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()B

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b

【解答】解:∵a=log0.20.3=,b=log20.3=,

∴=,,∵,,∴ab<a+b<0.故选:B.

17.(全国3卷)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则a=﹣3.

【解答】解:曲线y=(ax+1)e x,可得y′=ae x+(ax+1)e x,曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,可得:a+1=﹣2,解得a=﹣3.故答案为:﹣3.

18.(全国3卷)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x.

(1)若a=0,证明:当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;

(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.

【解答】(1)证明:当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x,(x>﹣1).

,,

可得x∈(﹣1,0)时,f″(x)≤0,x∈(0,+∞)时,f″(x)≥0

∴f′(x)在(﹣1,0)递减,在(0,+∞)递增,

∴f′(x)≥f′(0)=0,

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∴f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x在(﹣1,+∞)上单调递增,又f(0)=0.

∴当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.

(2)解:由f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x,得

f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+﹣2=,

令h(x)=ax2﹣x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1),

h′(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1).

当a≥0,x>0时,h′(x)>0,h(x)单调递增,

∴h(x)>h(0)=0,即f′(x)>0,

∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,故x=0不是f(x)的极大值点,不符合题意.当a<0时,h″(x)=8a+4aln(x+1)+,

显然h″(x)单调递减,

①令h″(0)=0,解得a=﹣.

∴当﹣1<x<0时,h″(x)>0,当x>0时,h″(x)<0,

∴h′(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,

∴h′(x)≤h′(0)=0,

∴h(x)单调递减,又h(0)=0,

∴当﹣1<x<0时,h(x)>0,即f′(x)>0,

当x>0时,h(x)<0,即f′(x)<0,

∴f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,

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∴x=0是f(x)的极大值点,符合题意;

②若﹣<a<0,则h″(0)=1+6a>0,h″(e﹣1)=(2a﹣1)(1﹣e)<0,

∴h″(x)=0在(0,+∞)上有唯一一个零点,设为x0,

∴当0<x<x0时,h″(x)>0,h′(x)单调递增,

∴h′(x)>h′(0)=0,即f′(x)>0,

∴f(x)在(0,x0)上单调递增,不符合题意;

③若a<﹣,则h″(0)=1+6a<0,h″(﹣1)=(1﹣2a)e2>0,

∴h″(x)=0在(﹣1,0)上有唯一一个零点,设为x1,

∴当x1<x<0时,h″(x)<0,h′(x)单调递减,

∴h′(x)>h′(0)=0,∴h(x)单调递增,

∴h(x)<h(0)=0,即f′(x)<0,

∴f(x)在(x1,0)上单调递减,不符合题意.

综上,a=﹣.

19.(上海)设常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).若f(x)的反函数的图象经过点(3,1),则a=7.

【解答】解:∵常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).f(x)的反函数的图象经过点(3,1),∴函数f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3),∴log2(1+a)=3,解得a=7.故答案为:7.20.(上海)已知α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=﹣1.

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【解答】解:∵α∈{﹣2,﹣1,,1,2,3},幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴a是奇数,且a<0,∴a=﹣1.故答案为:﹣1.

21.(上海)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a=6.

【解答】解:函数f (x )=的图象经过点P(p,),Q(q,).

则:,整理得:=1,

解得:2p+q=a2pq,由于:2p+q=36pq,所以:a2=36,由于a>0,故:a=6.故答案为:6

22.(上海)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()B

A.B.C.D.0

【解答】解:设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,

若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,故f(1)=cos=,故选:B.

23.(上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为

f(x)=(单位:分钟),

而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?

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(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.

【解答】解;(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+﹣90>40,

即x2﹣65x+900>0,解得x<20或x>45,

∴x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;

(2)当0<x≤30时,g(x)=30?x%+40(1﹣x%)=40﹣;

当30<x<100时,

g(x)=(2x+﹣90)?x%+40(1﹣x%)=﹣x+58;

∴g(x)=;

当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增;

说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.

24.(天津)已知a=log2e,b=ln2,c=log,则a,b,c的大小关系为()D

A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b

【解答】解:a=log2e>1,0<b=ln2<1,c=log=log23>log2e=a,

则a,b,c的大小关系c>a>b,故选:D.

25.(天津)已知a>0,函数f(x)=.若关于x的方程f(x)=ax恰有2

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个互异的实数解,则a的取值范围是(4,8).

【解答】解:当x≤0时,由f(x)=ax得x2+2ax+a=ax,得x2+ax+a=0,

得a(x+1)=﹣x2,得a=﹣,

设g(x)=﹣,则g′(x)=﹣=﹣,

由g(x)>0得﹣2<x<﹣1或﹣1<x<0,此时递增,

由g(x)<0得x<﹣2,此时递减,即当x=﹣2时,g(x)取得极小值为g(﹣2)=4,

当x>0时,由f(x)=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax,

得x2﹣ax+2a=0,得a(x﹣2)=x2,当x=2时,方程不成立,

当x≠2时,a=设h(x)=,则h′(x)==,

由h(x)>0得x>4,此时递增,

由h(x)<0得0<x<2或2<x<4,此时递减,即当x=4时,h(x)取得极小值为h(4)=8,要使f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则由图象知4<a<8,故答案为:(4,8)

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26.(天津)已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x,其中a>1.

(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣xlna的单调区间;

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=;

(Ⅰ)证明当a≥e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.【解答】(Ⅰ)解:由已知,h(x)=a x﹣xlna,有h′(x)=a x lna﹣lna,

令h′(x)=0,解得x=0.

由a>1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:

x(﹣∞,0)0(0,+∞)

h′(x)﹣0+

h(x)↓极小值↑

∴函数h(x)的单调减区间为(﹣∞,0),单调递增区间为(0,+∞);

(Ⅰ)证明:由f′(x)=a x lna,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线的斜率为lna.由g′(x)=,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线的斜率为.

∵这两条切线平行,故有,即,

两边取以a为底数的对数,得log a x2+x1+2log a lna=0,

∴x1+g(x2)=;

(Ⅰ)证明:曲线y=f(x)在点()处的切线l1:,

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曲线y=g(x)在点(x2,log a x2)处的切线l2:.

要证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,只需证明当a≥时,存在x1∈(﹣∞,+∞),x2∈(0,+∞)使得l1与l2重合,

即只需证明当a≥时,方程组

由①得,代入②得:

,③

因此,只需证明当a≥时,关于x1的方程③存在实数解.

设函数u(x)=,既要证明当a≥时,函数y=u(x)存在零点.

u′(x)=1﹣(lna)2xa x,可知x∈(﹣∞,0)时,u′(x)>0;x∈(0,+∞)时,u′(x)单调递减,

又u′(0)=1>0,u′=<0,

故存在唯一的x0,且x0>0,使得u′(x0)=0,即.

由此可得,u(x)在(﹣∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,

u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).

∵,故lnlna≥﹣1.

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∴=.下面证明存在实数t,使得u(t)<0,

由(Ⅰ)可得a x≥1+xlna,当时,有

u(x)≤=.

∴存在实数t,使得u(t)<0.

因此,当a≥时,存在x1∈(﹣∞,+∞),使得u(x1)=0.

∴当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.27.(浙江)函数y=2|x|sin2x的图象可能是()D

A.B.C.

D.

【解答】解:根据函数的解析式y=2|x|sin2x,得到:函数的图象为奇函数,

18

故排除A和B.当x=时,函数的值也为0,故排除C.故选:D.

28.(浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,

鸡雏个数分别为x,y,z,则,当z=81时,x=8,y=11.

【解答】解:,当z=81时,化为:,

解得x=8,y=11.故答案为:8;11.

29.(浙江)已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是{x|1<x<4} .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是(1,3] .

【解答】解:当λ=2时函数f(x)=,显然x≥2时,不等式x﹣4<0的解集:

{x|2≤x<4};x<2时,不等式f(x)<0化为:x2﹣4x+3<0,解得1<x<2,综上,不等式的解集为:{x|1<x<4}.

函数f(x)恰有2个零点,

函数f(x)=的草图如图:

函数f(x)恰有2个零点,则λ∈(1,3].

故答案为:{x|1<x<4};(1,3].

19

30.(浙江)已知函数f(x)=﹣lnx.

(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2;(Ⅰ)若a≤3﹣4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.【解答】证明:(Ⅰ)∵函数f(x)=﹣lnx,

∴x>0,f′(x)=﹣,

∵f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,

∴=﹣,

∵x1≠x2,∴+=,

由基本不等式得:=≥,

∵x1≠x2,∴x1x2>256,

由题意得f(x1)+f(x2)==﹣ln(x1x2),

设g(x)=,则,

∴列表讨论:

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2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一. 选择题: 1.(全国一1 )函数y =的定义域为( C ) A .{}|0x x ≥ B .{}|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥ D .{}|01x x ≤≤ 2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( A ) 3.(全国一6)若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( B ) A .21x e - B .2x e C .21x e + D .22x e + 4.(全国一7)设曲线11x y x += -在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .12- D .2- 5.(全国一9)设奇函数()f x 在(0)+∞, 上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为( D ) A .(10)(1)-+∞,, B .(1)(01)-∞-, , C .(1)(1)-∞-+∞, , D .(10)(01)-,, 6.(全国二3)函数1()f x x x = -的图像关于( C ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 A B C D

C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称 8.(全国二4)若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,, ,,,则( C ) A .a > B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >> 10.(北京卷3)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 11.(四川卷10)设()()sin f x x ω?=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) (A)()01f = (B)()00f = (C)()'01f = (D)()'00f = 12.(四川卷11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( C ) (A)13 (B)2 (C)132 (D)213 13.(天津卷3)函数1y =04x ≤≤)的反函数是A (A )2(1)y x =-(13x ≤≤) (B )2(1)y x =-(04x ≤≤) (C )21y x =-(13x ≤≤) (D )21y x =-(04x ≤≤) 14.(天津卷10)设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时a 的取值集合为B (A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥ (C )3|}2{a a ≤≤ (D ){2,3} 15.(安徽卷7)0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的( B ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称,若()1f m =-,

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=0 lim x ?→f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )=0 lim x ?→f (x +Δx )-f (x ) Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x ),g ′(x )存在,则有: 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数: (1)y =e x ln x ;(2)y =x ? ?? ??x 2+1x +1x 3; 解 (1)y ′=(e x )′ln x +e x (ln x )′=e x ln x +e x 1x =? ?? ??ln x +1x e x .(2)因为y =x 3 +1+1x 2, 所以y ′=(x 3)′+(1)′+? ?? ??1x 2′=3x 2 -2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2x ·f ′(1)+ln x ,则f ′(1)等于( ) A.-e B.-1 C.1 D.e 解析 由f (x )=2xf ′(1)+ln x ,得f ′(x )=2f ′(1)+1 x ,∴f ′(1)=2f ′(1)+1,则f ′(1)=-1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )=ax ln x ,x ∈(0,+∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)=3,则a 的值为________. (2)f ′(x )=a ? ?? ??ln x +x ·1x =a (1+ln x ).由于f ′(1)=a (1+ln 1)=a ,又f ′(1)=3,所以a =3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x -1 -x ,则曲线y =f (x )在点(1,2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0,则-x <0,f (-x )=e x -1 +x .又f (x )为偶函数,f (x )=f (-x )=e x -1 +x , 所以当x >0时,f (x )=e x -1 +x .因此,当x >0时,f ′(x )=e x -1 +1,f ′(1)=e 0 +1=2.则曲线y =f (x )在点(1, 2)处的切线的斜率为f ′(1)=2,所以切线方程为y -2=2(x -1),即2x -y =0. 答案 2x -y =0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y =f (x )相切,则直线l 的方程为( )A.x +y -1=0 B.x -y -1=0 C.x +y +1=0 D.x -y +1=0

2018年高考导数分类汇编

2018年全国高考理科数学分类汇编——函数与导数 1.(北京)能说明“若f(R)>f(0)对任意的R∈(0,2]都成立,则f(R)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(R)=sinR. 【解答】解:例如f(R)=sinR,尽管f(R)>f(0)对任意的R∈(0,2]都成立, 当R∈[0,)上为增函数,在(,2]为减函数,故答案为:f(R)=sinR. 2.(北京)设函数f(R)=[aR2﹣(4a+1)R+4a+3]e R. (Ⅰ)若曲线R=f(R)在点(1,f(1))处的切线与R轴平行,求a; (Ⅱ)若f(R)在R=2处取得极小值,求a的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)函数f(R)=[aR2﹣(4a+1)R+4a+3]e R的导数为 f′(R)=[aR2﹣(2a+1)R+2]e R.由题意可得曲线R=f(R)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,可得(a﹣2a﹣1+2)e=0,解得a=1; (Ⅱ)f(R)的导数为f′(R)=[aR2﹣(2a+1)R+2]e R=(R﹣2)(aR﹣1)e R, 若a=0则R<2时,f′(R)>0,f(R)递增;R>2,f′(R)<0,f(R)递减. R=2处f(R)取得极大值,不符题意; 若a>0,且a=,则f′(R)=(R﹣2)2e R≥0,f(R)递增,无极值; 若a>,则<2,f(R)在(,2)递减;在(2,+∞),(﹣∞,)递增, 可得f(R)在R=2处取得极小值; 若0<a<,则>2,f(R)在(2,)递减;在(,+∞),(﹣∞,2)递增, 可得f(R)在R=2处取得极大值,不符题意; 若a<0,则<2,f(R)在(,2)递增;在(2,+∞),(﹣∞,)递减, 可得f(R)在R=2处取得极大值,不符题意. 综上可得,a的范围是(,+∞). 3.(江苏)函数f(R)=【解答】解:由题意得:故答案为:[2,+∞). 的定义域为[2,+∞). ≥1,解得:R≥2,∴函数f(R)的定义域是[2,+∞).

2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题

2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题 精心校对版 △注意事项: 1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编,具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年(2011年-2020年)高考所有学科 一 、解答题(本大题共22小题,共0分) 1.(2017北京东城区高三一模数学(文))设函数ax x x x f +-=232131)(,R a ∈. (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点,求a 的值,并讨论)(x f 的单调性; (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ,若)(x g 在区间)1,0(内有零点,求a 的取值范围; (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ,2x ,试讨论过两点))(,(11x f x ,))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(,若能,求a 的值;若不能,说明理由. 2.(2017北京丰台区高三一模数学(文)) 已知函数1()e x x f x +=,A 1()x m ,,B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. (Ⅰ)求()f x 的单调区间,并写出实数m 的取值范围; (Ⅱ)证明:120x x +>. 3.(2017北京丰台区高三二模数学(文)) 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程; 姓名:__________班级:__________考号:__________ ●-------------------------密--------------封------------ --线------ --------内------ ------- -请------- -------不-------------- 要--------------答--------------题-------------------------●

2020届高考数学导数的11个专题

目录 导数专题一、单调性问题 (2) 导数专题二、极值问题 (38) 导数专题三、最值问题 (53) 导数专题四、零点问题 (77) 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118) 导数专题六、渐近线和间断点问题 (170) 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190) 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201) 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214) 导数专题十、极值点偏移问题 (219) 导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227)

导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义:利用导函数的正负来判断原函数单调性; 二、分类讨论求函数单调性:含参函数的单调性问题的求解,难点是如何对参数进行分类讨论, 讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤: 第一步、求函数的定义域、求导,并求导函数零点; 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论;当导函数存在多个零点的时,讨论他们的大小关系及与 区间的位置关系(分类讨论); 第三步、画出导函数的同号函数的草图,从而判断其导函数的符号(画导图、标正负、截定义域);第四步、(列表)根据第五步的草图列出f '(x),f (x)随x 变化的情况表,并写出函数的单调区间; 第五步、综合上述讨论的情形,完整地写出函数的单调区间,写出极值点,极值与区间端点函数 值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性,主要讨论点: 1.最高次项系数是否为0; 2.导函数是否有极值点; 3.两根的大小关系; 4.根与定义域端点讨论等。 五、求解函数单调性问题的思路: (1)已知函数在区间上单调递增或单调递减,转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立; (2)已知区间上不单调,转化为导函数在区间上存在变号零点,通常利用分离变量法求解参 变量的范围; (3)已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间,转化为导函数在区间上大于零或小于 零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 (1)参变分离; (2)导函数的根与区间端点直接比较;

(完整word版)北京高考导数大题分类

导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤: ①确定定义域(易错点) ②求导函数)('x f ③对)('x f 进行整理,能十字交叉的十字交叉分解,若含分式项,则进行通分整理. ④)('x f 中x 的最高次系数是否为0,为0时求出单调区间. 例1:x x a x a x f ++-=232 13)(,则)1)(1()('--=x ax x f 要首先讨论0=a 情况 ⑤)('x f 最高次系数不为0,讨论参数取某范围的值时,若0)('≥x f ,则)(x f 在定义域内单调递增; 若0)(' ≤x f ,则)(x f 在定义域内单调递减. 例2:x x a x f ln 2 )(2+=,则)('x f =)0(,12>+x x ax ,显然0≥a 时0)('>x f ,此时)(x f 的单调区间为),0(+∞. ⑥)('x f 最高次系数不为0,且参数取某范围的值时,不会出现0)('≥x f 或者0)('≤x f 的情况 求出)(' x f =0的根,(一般为两个)21,x x ,判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域 内,那么单调区间只有两段. 若两根都在定义域内且一根为常数,一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间, 即212121,,x x x x x x =<>. 例3:若)0(,ln )1(2 )(2≠++-= a x x a x a x f ,则x x ax x f )1)(1()('--=,)0(>x 解方程0)('=x f 得a x x 1,121== 0a 时,比较两根要分三种情况:1,10,1><<=a a a 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间,讨论)('x f 在每个子区间内的正负,求得)(x f 的单调区间。

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项:1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编,具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年(2011年-2020年)高考所有学科一、解答题(本大题共10小题,共0分)1.(2013年北京高考真题数学(文))已知函数2()sin cos f x x x x x (1)若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切,求a 与b 的值。(2)若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点,求b 的取值范围。2.(2012年北京高考真题数学(文))已知函数2()1(0)f x ax a ,3()g x x bx .(Ⅰ)若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求,a b 的值;(Ⅱ)当3a ,9b 时,若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.3.(2011年北京高考真题数学(文))已知函数()()x f x x k e . (Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.(2009年北京高考真题数学(文))姓名:__________班级:__________考号:__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)2(a﹣2)﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)2﹣﹣,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)﹣1﹣. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)321(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.5.设函数f(x)=(1﹣x2). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)2+2,g(x)(﹣2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)(x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

) 10.已知函数f(x)3﹣2,a∈R, (1)当2时,求曲线(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)(x)+(x﹣a)﹣,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,≤1.已知函数f(x)3﹣6x2﹣3a(a﹣4),g(x)(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数(x)和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:f(x)在0处的导数等于0; ()若关于x的不等式g(x)≤在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)(﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围.

高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版

导数专题复习(基础精心整理)学生版 【基础知识】 1.导数定义:在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①;②;③;④; ⑤;⑥;⑦;⑧ 。 3.导数的四则运算法则: (1) (2) (3) 4.导数的应用: (1)利用导数判断函数单调性: ①是增函数;②为减函数;③为常数; (2)利用导数求极值:①求导数;②求方程的根;③列表得极值(判断零点两边的导函数的正负)。 (3)利用导数求最值:比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤:(1)求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-;(2)求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ;(3)取极限,得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是( ) A. 41- B. 2 C. 4 1 D. -2 变式1:()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→( ) A .-1 B.-2 C .-3 D .1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f

2019年高考数学理科数学 导数及其应用分类汇编

2019年高考数学理科数学 导数及其应用 1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==, D .1e a -=,1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D . 2.【2019年高考天津理数】已知a ∈R ,设函数222,1, ()ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0 f x ≥在R 上恒成立,则a 的取值范围为 A .[] 0,1 B .[] 0,2 C .[]0,e D .[] 1,e 【答案】C 【解析】当1x =时,(1)12210f a a =-+=>恒成立; 当1x <时,2 2 ()22021 x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立, 令2 ()1 x g x x =-, 则222(11)(1)2(1)1 ()111x x x x g x x x x -----+=-=-=- --- 11122(1)2011x x x x ???? =--+-≤--?= ? ? ?--???? , 当1 11x x -= -,即0x =时取等号, ∴max 2()0a g x ≥=,则0a >.

当1x >时,()ln 0f x x a x =-≥,即ln x a x ≤恒成立, 令()ln x h x x = ,则2ln 1()(ln )x h x x -'=, 当e x >时,()0h x '>,函数()h x 单调递增, 当0e x <<时,()0h x '<,函数()h x 单调递减, 则e x =时,()h x 取得最小值(e)e h =, ∴min ()e a h x ≤=, 综上可知,a 的取值范围是[0,e]. 故选C. 3.(2019浙江)已知,a b ∈R ,函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C .a >–1,b <0 D .a >–1,b >0 【答案】C 【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点; 当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2﹣b , 2(1)y x a x =+-', 当a +1≤0,即a ≤﹣1时,y ′≥0,y =f (x )﹣ax ﹣b 在[0,+∞)上单调递增, 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点,不合题意; 当a +1>0,即a >﹣1时,令y ′>0得x ∈(a +1,+∞),此时函数单调递增, 令y ′<0得x ∈[0,a +1),此时函数单调递减,则函数最多有2个零点. 根据题意,函数y =f (x )﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y =f (x )﹣ax ﹣b 在(﹣∞,0)上有一个零点,在[0,+∞)上有2个零点, 如图:

高三数学导数压轴题

导数压轴 一.解答题(共20小题) 1.已知函数f(x)=e x(1+alnx),设f'(x)为f(x)的导函数. (1)设g(x)=e﹣x f(x)+x2﹣x在区间[1,2]上单调递增,求a的取值范围; (2)若a>2时,函数f(x)的零点为x0,函f′(x)的极小值点为x1,求证:x0>x1. 2.设. (1)求证:当x≥1时,f(x)≥0恒成立; (2)讨论关于x的方程根的个数. 3.已知函数f(x)=﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1(a∈R).

(1)当a=1时,判断g(x)=e x f(x)的单调性; (2)若函数f(x)无零点,求a的取值范围. 4.已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若存在成立,求整数a的最小值.5.已知函数f(x)=e x﹣lnx+ax(a∈R).

(Ⅰ)当a=﹣e+1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当a≥﹣1时,求证:f(x)>0. 6.已知函数f(x)=e x﹣x2﹣ax﹣1. (Ⅰ)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的范围; (Ⅱ)设函数g(x)=xf(x)﹣e x+x3+x,若g(x)至多有一个极值点,求a的取值集合.7.已知函数f(x)=x﹣1﹣lnx﹣a(x﹣1)2(a∈R).

(2)若对?x∈(0,+∞),f(x)≥0,求实数a的取值范围. 8.设f′(x)是函数f(x)的导函数,我们把使f′(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=. (Ⅰ)若0是函数f(x)的好点,求a; (Ⅱ)若函数f(x)不存在好点,求a的取值范围. 9.已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+2(a为常数).

2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编

导数及其应用 1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π,-1)处的切线方程为 A .10x y --π-= B .2210x y --π-= C .2210x y +-π+= D .10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π,即2210x y +-π+=. 故选C . 2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==, D .1e a -=,1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D . 3.【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ,函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C .a >–1,b <0 D .a >–1,b >0 【答案】C 【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点; 当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2﹣b ,

2021年高考数学专题03 导数及其应用 (原卷版)

专题03 导数及其应用 易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 A , B 两机关单位开展节能活动,活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图 所示,则一定有 A .两机关单位节能效果一样好 B .A 机关单位比B 机关单位节能效果好 C .A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大 D .A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C. 因为在(0,t 0)上,()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭,所以在(0,t 0)上用电量的平均变化率,A 机关单位比B 机关单位大. 【错因分析】识图时,一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系,特别是单调性,增长(减少)的快慢等要弄清. 【试题解析】由题可知,A 机关单位所对应的图象比较陡峭,B 机关单位所对应的图象比较平缓,且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好.故选B. 【参考答案】B 1.平均变化率

函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为 2121 ()() f x f x x x --,若21x x x ?=-,2()y f x ?=-1()f x ,则平 均变化率可表示为y x ??. 2.瞬时速度 一般地,如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述,那么,物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在 t 到t t +?这段时间内,当t ?无限趋近于0时, s t ??无限趋近的常数. 1.巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A 处到B 处会感觉比较轻松,而从B 处到C 处会感觉比较吃力.想想看,为什么?你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗? 【答案】见解析. 【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB =1001 5005 -=-, 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC =15101 70504 -=-, ∴h BC >h AB , ∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多. 易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点” 若经过点P (2,8)作曲线3 y x =的切线,则切线方程为 A .12160x y --= B .320x y -+=

(完整word版)高考导数题型归纳

高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法:)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法:设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ,进而解决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f (x )=x 3﹣3x . (1)求曲线y=f (x )在点x=2处的切线方程;(答案:0169=--y x ) (2)若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围、 (提示:设曲线)(x f y =上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。(答案:m 的范围是()2,3--) 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= (1)求过点(1,-3)与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案:(03=+y x 或027415=--y x ) (2)证明:过点(-2,5)与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切,求a 的值. (答案:1) 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法:设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为()(,11x f x )。()(,22x f x );

2017年北京高三模拟题分类汇编之导数大题

2017年北京高三模拟题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项:1.本系列试题包含2017北京市各城区一模二模真题。2.本系列文档有相关的试题分类汇编,具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年(2011年-2020年)高考所有学科一、解答题(本大题共12小题,共0分)1.(2017北京东城区高三一模数学(文))设函数ax x x x f 232131)(,R a .(Ⅰ)若2x 是)(x f 的极值点,求a 的值,并讨论)(x f 的单调性;(Ⅱ)已知函数3221)()(2ax x f x g ,若)(x g 在区间)1,0(内有零点,求a 的取值范围;(Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ,2x ,试讨论过两点))(,(11x f x ,))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(,若能,求a 的值;若不能,说明理由.2.(2017北京丰台区高三一模数学(文))已知函数1()e x x f x ,A 1()x m ,,B 2()x m ,是曲线()y f x 上两个不同的点. (Ⅰ)求()f x 的单调区间,并写出实数m 的取值范围;(Ⅱ)证明:120x x . 3.(2017北京丰台区高三二模数学(文))已知函数ln ()x f x ax (0)a . (Ⅰ)当1a 时,求曲线()y f x 在点(1(1)),f 处的切线方程;姓名:__________班级:__________考号:__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●

近3年2015-2017各地高考数学真题分类专题汇总--导数及其应用

2017年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用 一、选择题(在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的) 1(2017北京文)已知函数1()3()3 x x f x =-?则()f x ( ) .A 是偶函数?且在R 上是增函数 .B 是奇函数?且在R 上是增函数 .C 是偶函数?且在R 上是减函数 .D 是奇函数?且在R 上是增函数 2.(2017新课标Ⅱ文)函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是( ) .A (,2)-∞- .B (,1)-∞ .C (1, )+∞ .D (4,)+∞ З.(2017山东文)设()()1 21,1x f x x x <<=-≥?? ,若()()1f a f a =+,则 1f a ?? = ??? ( )2.A 4.B 6.C 8.D 4.(2017山东文)若函数()e x f x 在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性 质.下列函数中具有M 性质的是( ) x x f A -=2)(. .B ()2f x x = .C ()3x f x -= .D ()c o s f x x = 5.(2017新课标Ⅰ文数)函数sin21cos x y x = -的部分图像大致为( ) б.(2017新课标Ⅰ文数)已知函数()ln ln(2)f x x x =+-?则( ) .A )(x f y =在)2,0(单调递增 .B )(x f y =在)2,0(单调递减 .C )(x f y =的图像关于直线1=x 对称 .D )(x f y =的图像关于点)0,1(对称 7.(2017天津文)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若 0.8221 (log ),(log 4.1),(2)5a f b f c f =-==?则,,a b c 的大小关系为( ) .A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b <<

2019年高考导数问题常见的分类讨论典型例题

高考导数问题常见的分类讨论典型例题 1.需对函数c bx ax x f ++=2)(是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判别式进行讨论的问题。由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式,它们对应的二次方程是否有解,就要对判别式讨论。 例1、已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.(Ⅰ)求a ,c 的值; (Ⅱ)求函数f (x )的单调区间. 例2、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠. (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值点. 例3、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->,讨论()f x 的单调性. 例4、已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f ,讨论)(x f 的单调性; 例5、设函数2 ()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值,且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=.(Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)若函数()() x e g x f x =,讨论() g x 的单调性. 例6、函数31()3 f x x kx =-,其中实数k 为常数. (I) 当4k =时,求函数的单调区间; (II) 若曲线()y f x =与直线y k =只有一个交点,求实数k 的取值范围. 练习:设函数()()2 ln 1f x x b x =++,其中0b ≠,求函数()f x 的极值点。 2、需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要解一元二次不等式,要写出它的解,就必须知道它两根的大小,否则就要对两根大小分类讨论。求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),导函数为零的实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。 例7、设函数(),其中.当时,求函数的极大值和极小值

高考导数大题大全理科答案

一、解答题 1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞,'11 2()e ln e e e .x x x x a b b f x a x x x x --=+-+ 由题意可得' (1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==. (Ⅱ)由(Ⅰ)知1 2e ()e ln ,x x f x x x -=+ 从而()1f x >等价于2 ln e .e x x x x ->- 设函数()ln g x x x =,则()1ln g x x '=+,所以当1 (0,)e x ∈时,' ()0g x <; 当1 (,)e x ∈+∞时,' ()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减,在1(,)e +∞单调递增, 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为1 1().e e g =-. 设函数2 ()e e x h x x -=-,则'()e (1)x h x x -=-,所以当(0,1)x ∈时,'()0h x >; 当(1,)x ∈+∞时,' ()0h x <,故()h x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e h =- . 综上,当0x >时,()()g x h x >,即()1f x >. 2. 解题指南(1)根据导数公式求出函数的导数,利用分类讨论思想求解;(2)根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点,代入函数中求解. 解析(1)2/ 22 2(2)24(1) ()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ (*) 当1a ≥时,/ ()0f x >,此时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 当01a <<时,由/ ()0f x = 得1 x = (2x =-舍去). 当1(0,)x x ∈时,/()0f x <;当1(,)x x ∈+∞时,/ ()0f x >. 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减,在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述,当1a ≥时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 当01a <<时,()f x 在区间(0, 上单调递减,在区间)+∞上单调递增. 由(*)式知,当1a ≥时,/ ()0f x >,此时()f x 不存在极值点,因而要使得()f x 有两个极值点, 必有01a <<.又()f x 的极值点只可能是1 x = 和2x =-,且由定义可知,1 x a >- 且2x ≠- ,所以1a ->- 且2-≠-,解得1 2 a ≠- 此时,由(*)式易知,12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点,而 令21a x -=,则01a <<且12a ≠-知:当102 a <<时,10x -<<;当112a <<时,01x <<. 记2 2 ()ln 2g x x x =+-, (Ⅰ)当10x -< <时,2()2ln()2g x x x =-+-,所以/22 2222 ()0x g x x x x -=-=< 因此,()g x 在区间(1,0)-上单调递减,从而()(1)40g x g <-=-<,故当1 02 a << 时, 12()()0f x f x +<. (Ⅱ)当01x <<时,2()2ln 2g x x x =+ -,所以/222222 ()0x g x x x x -=-=< 因此,()g x 在区间(0,1)上单调递减,从而()(1)0g x g >=,故当时 1 12 a <<,12()()0f x f x +>. 综上所述,满足条件的a 的取值范围为1 (,1)2. 3. (1)证明:因为对任意x ∈R ,都有() ()e e e e ()x x x x f x f x -----=+=+=,所以f (x )是R 上的偶函数. (2)解:由条件知(e e 1)e 1x x x m --+-≤-在(0,+∞)上恒成立. 令t = e x (x >0),则t >1,所以m ≤211 11111 t t t t t -- =--+-++-对于任意t >1成立. 因为11111t t -+ +≥- = 3,所以1113111 t t - ≥--++-, 当且仅当t = 2,即x = ln2时等号成立.

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