数字通信原理第五章 纠错编码习题解答

第五章 纠错编码习题解答

1、已知一纠错码的三个码组为(001010)、(101101)、(010001)。若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若纠检错结合，则能纠正几位错码同时检出几位错码？

[解]该码的最小码距为d 0=4，所以有：

若用于检错，由d 0≥e +1，可得e =3，即能检出3位错码； 若用于纠错，由d 0≥2t +1，可得t =1，即能检出1位错码； 若纠检错结合，由d 0≥e +t +1 （e >t ），可得t =1，e =2，即能纠正1位错码同时能检出2位错码。

2、设某(n ,k )线性分组码的生成矩阵为：

010111

001010

1

1

1

0G ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

①试确定该(n ,k )码中的n 和k ； ②试求该码的典型监督矩阵H ； ③试写出该码的监督方程； ④试列出该码的所有码字； ⑤试列出该码的错误图样表； ⑥试确定该码的最小码距。

[解] ①由于生成矩阵G 是k 行n 列，所以k =3，n =6。 ②通过初等行变换，将生成矩阵G 变换成典型生成矩阵

[]1001010

101100

1

01

1k G I Q ⎡⎤

⎢⎥

==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

由于1

011

1011001101110

1T

Q P Q ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，　＝＝，可知典型监督矩阵为

[]1101000

110101

1

1r H PI ⎡⎤⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

＝

③监督方程为5424315

300

a a a a a a a a a ⊕⊕=⎧⎪⊕⊕=⎨⎪⊕⊕=⎩

④所有码字见下表

⑤错误图样表即错误图样与校正子关系表，见下表

⑥线性码的最小码距为码字的最小重量（全零码除外），所以该码的最小码距为3。

3、已知一种(7,3)循环码的全部码组为：

0000000 0101110 1001011 1100101 0010111 0111001 1011100 1110010

试求该码的生成多项式g (x )、典型生成矩阵G 和典型监督矩阵H ；

[解]由循环码的原理知，生成多项式g (x )对应的码字为前k -1位码元均为“0”的码字，即“0010111”，所以有

g (x )=x 4+x 2+x +1

则生成矩阵为26432532

42()1

011100()0

101110()100

1

1

1

1x g x x x x x G xg x x x x x g x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣

⎦

⎣⎦⎣⎦ 典型化可得典型生成矩阵[]1

00101101011100

1

1

1

1k G I Q ⎡⎤

⎢⎥

==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

由于1

101

0110111

110111011110

1T

Q P Q ⎡⎤⎡⎤⎢

⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

，　＝＝，可得典型监督矩阵为

[]1101000011010011100101

1

1r H PI ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

＝

4、已知一个(3,1,4)卷积码编码器的输出和输入关系为：

11

212343134

c b c b b b b c b b b ==⊕⊕⊕=⊕⊕

试画出该编码器的电路方框图和码树图。当输入信息序列为10110时，试求出其输出码序列。

[解] 电路方框图和码树图见下面。

当输入信息序列为10110时，其输出码序列为111 111 100 111 001。

5、已知一个(2,1,3)卷积码编码器的输出和输入关系为

112223c b b c b b =⊕=⊕

试画出该编码器的电路方框图、码树图、状态图和网格图。

[解] 分别见下面的图。

6、简要叙述前向纠错（FEC ）差错控制方法的原理和主要优缺点。

[解]略

7、已知(7,3)循环码的生成矩阵为

10111000

1011100

1

1

1

1G ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

①试写出该码的生成多项式g (x )和监督矩阵H ；

②若输入信息码为011，试写出对应的循环码码组；

③该码能纠正几位错误？

[解] ①②见第3题

③该码的最小码距为4，所以能纠1个错码。