【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：5.4数列求和(含答案解析)

课时提升作业三十二数列求和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列{a n},{b n}都是等差数列,a1=2,b1=8,且a20+b20=50.则{a n+b n}的前20项的和为()A.600B.610C.620D.630【解析】选 A.由题意知{a n+b n}也为等差数列,所以{a n+b n}的前20项和为:S20===600.2.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为S n,则S2016的值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为f′(x)=2x+b,所以f′(1)=2+b=3,所以b=1,所以f(x)=x2+x,所以==-,所以S2016=1-+-+…+-=1-=.3.(2016·日照模拟)已知数列{a n}的通项公式是a n=,若前n项和为10,则项数n为()A.11B.99C.120D.121【解析】选C.因为a n==-,所以S n=a1+a2+…+a n=(-1)+(-)+…+(-)=-1.令-1=10,得n=120.4.(2016·枣庄模拟)数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-【解析】选 A.该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.5.(2016·广州模拟)已知数列{a n}中,a n+1+(-1)n a n=2n-1,则数列{a n}的前12项和S12=()A.76B.78C.80D.82【解题提示】计算出a n+2+a n的值后,再求解.【解析】选 B.由已知得a n+2+a n=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·滨州模拟)等比数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则++…+=.【解析】当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,又因为a1=1适合上式,所以a n=2n-1,所以=4n-1.所以数列{}是以=1为首项,以4为公比的等比数列.所以++…+==(4n-1).答案:(4n-1)7.(2016·泰安模拟)若S n=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S100=.【解析】S100=1-2+3-4+5-6+…+99-100=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(99-100)=-50.答案:-508.数列{a n}的通项公式则这个数列的前2m项的和是. 【解析】数列{a n}的奇数项组成首项为6,公差为10的等差数列,偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列,则S2m=6m+×10+=5m2+m+2m+1-2.答案:5m2+m+2m+1-2三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·临沂模拟)已知等比数列满足a n+1+a n=4×3n-1.(1)求数列的通项公式.(2)若b n=log3a n,T n=b1-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2n b2n+1,求T n.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,由a n+1+a n=4×3n-1,得解得所以a n=3n-1.(2)由(1)得b n=log33n-1=n-1,则b2n-1b2n-b2n b2n+1=b2n(b2n-1-b2n+1)=(2n-1)·(-2)=2-4n,所以T n=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2n b2n+1=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2n b2n+1)=(2-4×1)+(2-4×2)+…+(2-4n)==-2n2.10.(2015·天津高考)已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求和的通项公式.(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列的前n项和.【解题提示】(1)设出公差d和公比q,列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项.(2)用错位相减法求和.【解析】(1)设的公比为q,的公差为d,由题意q>0,由已知,有消去d得q4-2q2-8=0,解得q=2,d=2,所以的通项公式为a n=2n-1,n∈N*,的通项公式为b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)有c n=2n-1,设的前n项和为S n,则S n=1×20+3×21+5×22+…+×2n-1,2S n=1×21+3×22+5×23+…+×2n,两式相减得-S n=1+22+23+…+2n-×2n=-×2n-3,所以S n=2n+3,n∈N*.【易错警示】解答本题会出现以下错误:在用“错位相减”求和时对相减后的项处理不当,导致漏掉项或添加项.【加固训练】设数列{b n}的前n项和为S n,且b n=2-2S n;数列{a n}为等差数列,且a5=14,a7=20(n ∈N*).(1)求数列{b n}的通项公式.(2)若c n=a n·b n(n=1,2,3…),T n为数列{c n}的前n项和,求T n.【解析】(1)由b n=2-2S n,令n=1,则b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=,当n≥2时,由b n=2-2S n,可得b n-b n-1=-2(S n-S n-1)=-2b n,即=,所以{b n}是以b1=为首项,为公比的等比数列,于是b n=2·.(2)数列{a n}为等差数列,公差d=(a7-a5)=3,因为a5=a1+4d,所以a1=2.所以a n=3n-1.从而c n=a n·b n=2(3n-1)·,所以T n=2,T n=2,T n=--.(20分钟40分)1.(5分)(2016·威海模拟)已知数列{a n}:,+,++,…,+++…+,…,那么数列{b n}=的前10项和S10=()A. B.C. D.【解析】选B.由已知条件可得数列{a n}的通项公式为a n==,所以b n===4.S10=4=4=.2.(5分)(2016·汕头模拟)已知数列{a n}的通项公式是a n=,其前n项和S n=,则项数n 等于()A.8B.7C.6D.5【解析】选D.因为a n==1-,所以S n=++…+=n-=n-=n-=n-1+.所以n-1+==4+,解得n=5.【加固训练】S n=1+++…+=. 【解析】1+++…+==2=2-,S n=1+++…+=2-+2-+2-+ (2)=2n-=2n-2+.答案:2n-2+3.(5分)(2016·烟台模拟)对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:数列{x n}满足x1=1,且对于任意n∈N*,点(x n,x n+1)都在函数y=f(x)的图象上,则x1+x2+ (x50)值为.【解析】由题意可知x n+1=f(x n),又x1=1,所以x2=f(1)=3,x3=f(3)=5,x4=f(5)=6,x5=f(6)=1,x6=f(1)=3.因此数列{x n}是周期为4的数列,又x1+x2+x3+x4=1+3+5+6=15,所以x1+x2+…+x50=15×12+1+3=184.答案:1844.(12分)(2015·浙江高考)已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,a n+1=2a n(n∈N*),b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1(n∈N*).(1)求a n与b n.(2)记数列{a n·b n}的前n项和为T n,求T n.【解题提示】(1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式.(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和.【解析】(1)由a1=2,a n+1=2a n,得a n=2n.当n=1时,b1=b2-1,所以b2=2;当n≥2时,b n=b n+1-b n,整理得=,所以b n=n.(2)由(1)知,a n b n=n·2n,所以T n=2+2·22+3·23+…+n·2n,2T n=22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1,所以T n-2T n=-T n=2+22+23+24+…+2n-n·2n+1=(1-n)2n+1-2,所以T n=(n-1)2n+1+2.【加固训练】(2016·怀化模拟)已知等差数列的前n项和为S n,且a2=8,S4=40.数列的前n项和为T n且T n-2b n+3=0,n∈N*.(1)求数列,的通项公式.(2)设c n=求数列的前2n+1项和P2n+1.【解析】(1)设{a n}的公差为d,由题意,得所以a n=4n.因为T n-2b n+3=0,所以当n=1时,b1=3,当n≥2时,T n-1-2b n-1+3=0,两式相减,得b n=2b n-1(n≥2),数列为等比数列,所以b n=3·2n-1.(2)c n=P2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(b2+b4+…+b2n)=·(n+1)+=22n+1+4n2+8n+2.5.(13分)(2016·郑州模拟)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11,则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n;当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=【加固训练】1.(2016·邯郸模拟)等差数列{a n}是递增数列,前n项和为S n,且a1,a3,a9成等比数列,S5=.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项的和.【解析】(1)设数列{a n}的公差为d(d>0),因为a1,a3,a9成等比数列,所以=a1a9,所以(a1+2d)2=a1(a1+8d),所以d2=a1d,因为d>0,所以a1=d,①因为S5=,所以5a1+·d=(a1+4d)2,②由①②得a1=,d=,所以a n=+(n-1)×=n(n∈N*).(2)b n==·=,所以b1+b2+b3+…+b n===.2.正项数列{a n}的前n项和S n满足:-(n2+n-1)S n-(n2+n)=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)令b n=,数列{b n}的前n项和为T n.证明:对于任意的n∈N*,都有T n<.【解析】(1)由-(n2+n-1)S n-(n2+n)=0,得[S n-(n2+n)](S n+1)=0.由于数列{a n}是正项数列,所以S n>0,S n=n2+n.于是a1=S1=2,n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上可知,数列{a n}的通项公式a n=2n.(2)由于a n=2n,b n=,则b n==.T n==<=.。