线性代数期末练习试卷
线性代数期末测试题
姓名 准考证号 科目 线性代数 试点院校 青岛理工大学（临沂）说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1. 设A 为m×n 矩阵，B 为n×m 矩阵，m ≠n, 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是（ ） A. B T A T B. A T B T C. ABA D. BAB2. 设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ）A.-15B.-6C.6D.15 3. 设A 为n 阶方阵，n ≥2，则|-5A |=（ ）A.(-5)n |A |B.-5|A |C.5|A |D.5n |A | 4. 设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321,则|A *|=（ ）A.-4B.-2C.2D.45. 向量组α1，α2…，αS （s>2）线性无关的充分必要条件是（ ） A. α1，α2，…，αS 均不为零向量B. α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例C. α1，α2，…，αS 中任意s-1个向量线性无关D. α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 6. 设3元线性方程组Ax =b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解， η1+η2=(2,0,4)T ，η1+η3=（1，-2，1）T ，则对任意常数k ，方程组Ax =b 的通解为（ ） A.(1,0,2)T +k (1,-2,1)T B.(1,-2,1)T +k (2,0,4)T C.(2,0,4)T +k (1,-2,1)TD.(1,0,2)T +k (1,2,3)T7. 设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ） A. E-A B. -E-A C. 2E-A D. -2E-A8. 设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于（ ） A.41B.21 C.2 D. 49. 设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ ）A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 B.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111 C.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000222111 D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333222111 10.二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为（ ）A.1B.2C.3D.4 二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分） 11. 行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =____ ______.12. 设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，P =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则AP T= . 13. 设A 是4×3矩阵，秩（A ）=2，若B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300020201，则秩（AB ）=___ ___.14.已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α2111，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α1212，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α113t 的秩为2，则数t =__ _____.15. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t =__ ______.16. 已知λ=0为矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的2重特征值，则A 的另一特征值为____.17. 已知向量α=(2，1，0，3)T ，β=(1,-2,1,k )T , α与β的内积为2，则数k = .18. 设向量α=)21,21,(b T为单位向量，则数b=___ __.19. 二次型f (x 1,x 2,x 3)=32212322212452x x x x x x x +--+的矩阵为 .20. 已知二次型f (x 1,x 2,x 3)=(k +1)21x + (k -1)22x + (k -2)23x 正定，则数k 的取值范围为 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D =401030100211111的值. 22．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410011103， （1）求A 的逆矩阵A -1； （2）解矩阵方程AX=B .23. 设向量α=(1，-1，-1，1)，β=（-1，1，1，-1）,求（1）矩阵A =αT β; （2）A 2。
线性代数期末试题及参考答案
线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，< ）不是初等矩阵。
<A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B>100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C> 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D> 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是< ）。
<A ）122331,,αααααα--- <B ）1231,,αααα+ <C ）1212,,23αααα- <D ）2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。
则1(2)A E -+=< ）(A> A E - (B> E A + (C> 1()3A E - (D> 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵，则有< ）。
<A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；<B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； <D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似 <B ）A B ≠，但|A-B|=0<C ）A=B <D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分>1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。
< ）2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。
< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
线性代数期末试题及参考答案
线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，<）不是初等矩阵。
<A ）001010100 (B>100000010 (C>10002001(D>100012012．设向量组123,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是<）。
<A ）122331,,<B ）1231,,<C ）1212,,23<D）2323,,23．设A 为n 阶方阵，且250AA E。
则1(2)A E <）(A> A E (B>EA (C>1()3A E (D>1()3A E 4．设A 为n m 矩阵，则有<）。
<A ）若n m，则b Ax 有无穷多解；<B ）若n m，则0Ax 有非零解，且基础解系含有m n个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax 有唯一解；<D ）若A 有n 阶子式不为零，则0Ax仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似<B ）AB ，但|A-B|=0<C ）A=B<D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分>1．A 是n 阶方阵，R ，则有A A。
< ）2．A ，B 是同阶方阵，且0AB ，则111)(A B AB 。
< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
( >4．若B A,均为n 阶方阵，则当B A 时，B A,一定不相似。
( >5．n 维向量组4321,,,线性相关，则321,,也线性相关。
< ）三、填空题<每小题4分，共20分）1．0121n n。
2．A 为3阶矩阵，且满足A3,则1A=______，*3A。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A是可逆的，则下列哪个选项是正确的？A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是其转置矩阵答案：B2. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是：A. 系数矩阵的行列式为0B. 系数矩阵的行列式不为0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩答案：B3. 设A是n阶方阵，若A的特征值均为1，则A可能是：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 任意对角矩阵D. 任意方阵答案：B4. 向量空间中，若两个向量组等价，则它们：A. 包含相同数量的向量B. 包含相同数量的线性无关向量C. 可以相互线性表出D. 具有相同的维数答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A的秩为r，则矩阵A的行向量组和列向量组的最大线性无关组包含的向量数量均为______。
答案：r2. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1+β,α2+β, ..., αn+β线性相关，其中β为非零向量，这说明向量组α1, α2, ..., αn的线性相关性与向量β的______有关。
答案：选择3. 设A是3×3矩阵，且A的行列式|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^(-1)|等于______。
答案：1/24. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B具有相同的秩，则该线性方程组的解集的维数为n-r，其中n是矩阵A的阶数，r是矩阵A的秩，则该线性方程组的解集的维数为______。
答案：n-r三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。
答案：特征值λ1 = 5，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}-2 \\1\end{pmatrix}\]；特征值λ2 = 1，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}1 \\1.5\end{pmatrix}\]。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案第一节：选择题1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？A. [2, 1, 0]B. [0, 1, 0]C. [1, 1, 1]D. [0, 0, 0]答案：D2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？A. T是一个单射B. T是一个满射C. T是一个双射D. T是一个线性变换答案：C3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基答案：A4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？A. A = 0 或 B = 0B. A = 0 且 B = 0C. A ≠ 0 且 B = 0D. A = 0 且B ≠ 0答案：C第二节：计算题1. 计算矩阵乘法A = [1, 2; 3, 4]B = [5, 6; 7, 8]答案：AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵的逆A = [1, 2; 3, 4]答案：A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]3. 计算向量的内积u = [1, 2, 3]v = [4, 5, 6]答案：u ∙ v = 32第三节：证明题证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y证明：设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。
左边：(x + y) ∙ (x - y) = [x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn] ∙ [x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn]= (x1 + y1)(x1 - y1) + (x2 + y2)(x2 - y2) + ... + (xn + yn)(xn - yn)= x1^2 - y1^2 + x2^2 - y2^2 + ... + xn^2 - yn^2= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)= x ∙ x - y ∙ y右边，由向量的内积定义可得：x ∙ x - y ∙ y = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)综上，左边等于右边，证毕。
线性代数期末试题及答案
线性代数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C2. 若向量α=(1, 2, 3)，β=(2, 1, 0)，则α·β等于：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B3. 设A为n阶方阵，且A^2=I，则A的行列式|A|等于：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A4. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量线性相关还是线性无关？A. 线性相关B. 线性无关C. 线性独立D. 不能确定答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵B为2阶方阵，且B^2=0，则称矩阵B为______。
答案：幂零矩阵2. 若矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B为______。
答案：可交换矩阵3. 设向量α=(1, 2)，β=(3, 4)，则向量α和β的夹角的余弦值为______。
答案：3/54. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征值为1, 2, 3，则矩阵A的迹为______。
答案：6三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述矩阵的转置矩阵的定义。
答案：矩阵A的转置矩阵记为A^T，其元素满足A^T_{ij}=A_{ji}，即A^T的第i行第j列的元素是A的第j行第i列的元素。
2. 什么是线性方程组的齐次解？答案：线性方程组的齐次解是指当方程组的常数项全为零时，方程组的解，通常表示为零向量。
3. 说明矩阵的相似对角化的条件。
答案：矩阵A相似对角化的条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵A的阶数。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\]，求矩阵A的行列式。
答案：|A| = 1*4 - 2*3 = -22. 设线性方程组为：\[\begin{matrix} x + 2y - z = 1 \\ 3x - y + 2z = 2 \\ x + y + z = 3 \end{matrix}\]求方程组的解。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，满足以下哪两个条件？A. 线性无关B. 可以表示空间中的任何向量C. 可以线性组合出空间中的任何向量D. 以上都是2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵的行向量组的秩D. 矩阵的列向量组的秩3. 线性变换的核是指：A. 变换后为零的向量集合B. 变换后为单位向量的向量集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度为1的向量集合4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念，特征向量满足以下条件：A. 变换后保持不变B. 变换后与原向量成比例C. 变换后与原向量垂直D. 变换后与原向量正交5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的逆矩阵？B. A的伴随矩阵C. A的行列式D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵6. 行列式的性质不包括：A. 行列式与矩阵的转置相等B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关C. 行列式与矩阵的行（列）交换有关D. 行列式与矩阵的行（列）乘以常数有关7. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 方程组的系数矩阵是可逆的B. 方程组的系数矩阵是方阵C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数8. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行向量长度之和C. 矩阵的列向量长度之和D. 矩阵的行列式9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基，其必要条件是：A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数C. 向量组中的向量数量小于向量空间的维数D. 向量组中的向量数量可以任意10. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的共轭转置？A. A的转置矩阵C. A的伴随矩阵D. A的复共轭矩阵的转置答案：1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D二、填空题（每空2分，共20分）1. 设向量空间V的基为{v1, v2, ..., vn}，则向量v可以表示为______ 。
《线性代数》期末练习试卷
《线性代数》 期末练习试卷一、单项选择题1. 三阶行列式11110121λλλ≠的充分必要条件是( ).A 0λ≠ .B 0λ≠且1λ≠.C 1λ≠ .D 0λ≠且-1λ≠ 2. 111112131412131435211105,,,11112413=A A A A A A A A -----+++设中第一行元素的代数余子式为则（ ）.A 0 .B 2 .C 3 .D 73. 已知行列式21011424x 中，代数余子式120A =，则||A =( ). A -8 .B 8 .C 4 .D 04.下列结论正确的是（ ）. A ,AB AC B C ==若则 .B ()111AB A B ---=.C ()T T T AB B A = .D 20=0A A =若，则 5.向量组12(0,1,1),(1,1,0)αα==和1(1,0)β=-，1，()23(1,2,1),=3,21ββ=-， 则向量组间的关系是（ ）. A 向量组12αα,能被123βββ,，线性表示，但123βββ,，不能被12αα,线性表示. B 向量组123βββ,，能被12αα,线性表示，但12αα,不能被123βββ,，线性表示. C 向量组123βββ,，和12αα,等价.D 向量组123βββ,，不能被12αα,线性表示，且12αα,不能被123βββ,，线性表示6. 下列不是矩阵n n A ⨯可逆的充分必要条件的是（ ）. A 矩阵A 为非奇异矩阵 . 0B A ≠. C 齐次线性方程组0Ax =有唯一解 . R()D A n =7. 已知()4=(3,1,1),=(11,3)=(0,24)=21,4αααα---123向量组，，，，，，则向量组的秩( ). A 1 .B 2 .C 3 .D 48. 下面结论错误的是( ).A 若n 维向量组123456,,,,,αααααα线性无关，则356,,ααα也线性无关.B 若n 维向量组3456,,,αααα线性相关，则13456,,,,ααααα也线性相关.C 含零向量的向量组线性无关.D 向量组 12,,,m ααα （当m>1 时）线性相关的充分必要条件是12,,,m ααα 中至少有一个向量可由其余向量线性表示9.线性方程组m n A x b ⨯=无解的充分必要条件是（ ）.A ()(,)R A R A b ≠ .B ()=(,)R A R A b.C ()=(,)R A R A b n < .D ()=(,)=R A R A b n10.下列四个矩阵中，哪个是行最简形（ ）. A 102201120012A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ .B 010*********A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.C 132201120000A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ .D 110001120000A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题 1. 1235012000300004= 2. n 元排列()2311n n - 的逆序数是3. 设A 为三阶矩阵，1A =，则2A *-=4. 矩阵24533642481711-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的标准形为 5.若齐次线性方程组()()()123123123-62-202-340-24-30x x x x x x x x x λλλ+=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，则常数λ应满足条件 6.若向量(1,1,1)α=，(0,,2)k β=，(0,2,)k γ=线性无关，则k 满足 7. 31220=()21,()1301P PA P f x x x f A ⎛⎫⎛⎫=Λ=Λ=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，，，则三、计算证明题1.计算n 阶行列式x a aa x a a a x2.解矩阵方程：已知0 2 1 1 2 32 1 3 2 3 13 3 4X ⎛⎫⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪--⎝⎭ .3.设向量123(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2),(0,3,3)αααβ=-=-=-=-， 问：向量β是否可由向量组123,,ααα线性表示？若能，求出一个相应的表示式.4.求向量组1234(1,0,2,1),(12,01),(2,1,3,0),(2,51,4)αααα====-，,， 的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.5. 设向量组1234αααα，，，线性无关，证明： 向量组12233441++++αααααααα，，，线性相关.。
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《线性代数》练习
一、选择题
1．12021kk的充分必要条件是( )。
(A) 1k (B) 3k (C) 1k 且3k (D) 1k或3k
2．若AB＝AC，当（ ）时，有B＝C。
(A) A为n阶方阵 (B) A为可逆矩阵
(C) A为任意矩阵 (D) A为对称矩阵
3．若三阶行列式Maaaaaaaaa333231232221131211，则333231232221131211333333333aaaaaaaaa（ ）。
(A) －9M (B) 9M (C) 27M (D) －27M
4．齐次线性方程组123123123000axxxxaxxxxx有非零解，则a应满足（ ）。
(A) 0a； (B) 0a； (C) 1a； (D) 1a．
5．设12,是Axb的两个不同的解，12,是0Ax的基础解系，则
Axb
的通解是（ ）。
(A) 11212121()()2cc (B) 11212121()()2cc
(C) 11212121()()2cc (D)
1121212
1
()()2cc
二．填空题（每题3分共15分）
6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A·BT = 。
7．已知A、B为4阶方阵，且A＝－2，B＝3，则| 5AB | = 。
| ( AB )-1 |= 。
8. 在分块矩阵A=BOOC中，已知1B、1C存在，而O是零矩阵，则
1A
。
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9．设D=7345327254321111,则44434241AAAA 。
10. 已知35)(2xxxf，，3312A则)(Af= 。
11．设矩阵A=123235471，则A的秩R(A)= 。
三．计算题
12. 设111111111A，123124051B，求32ABA.
13．计算行列式 121212123xnxnDxnx.
14．解齐次线性方程组123412341234 5 0 2303 8 0xxxxxxxxxxxx.
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5．解矩阵方程AXBX，其中01011111,2010153AB.
16．a取何值时，线性方程组12312312311xxxaaxxxxxax有解, 并求其解.
17. 设A为3阶矩阵，,21A求.5)2(*1AA
18. 设,321011330A,2BAAB求B.
19.设3351110243152113D，D的),(ji元的代数余子式记作ijA，求
.22334333231AAAA
20.设有线性方程组321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxx，问取何值时，此方程组（1）有惟
一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解
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21.求向量组,)4,1,2,1(1T ,)4,10,100,9(2T T)8,2,4,2(3的秩，并
求一个最大无关组.
22.求非齐次方程组6242163511325432143214321xxxxxxxxxxxx的一个解及对应的齐次方程组的
基础解系.
23.求矩阵201034011A的特征值和特征向量.
四．证明题
24. 设向量组321,,线性无关，证明以下向量组线性无关：
112 ，322，313
.
25．设n阶矩阵A满足224AAIO.证明：A可逆并求1A.