10.4直线和平面位置关系2

练习： 练习：
1、直线a⊥直线 ，直线 ⊥平面 ，则a与α的位置关系 、直线 ⊥直线b，直线b 平面α， 与 的位置关系 是（ ） A.a⊥α B. a// α C. a ⊥ α D.a ⊂ α或a// α 或 ⊂
2、已知m，n为异面直线，m//平面 ，n//平面 ，直线 、已知 ， 为异面直线 为异面直线， 平面 平面α， 平面 平面α， l ⊥m， l ⊥n，则（ ） ， ， A. l⊥α ⊥ C. l可能与 垂直 可能与α垂直 可能与 B. l与α不垂直 与 不垂直 D. 以上都不对
3、空间四边形四边相等，则顺次连接它们各边的 、空间四边形四边相等， 中点所组成的几何图形是（ 中点所组成的几何图形是（ ） A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 梯形 矩形 菱形 正方形 4、从平面外一点A向平面 引斜线 ，AC，斜足为 、从平面外一点 向平面 引斜线AB， ， 向平面α引斜线 B，C，AB⊥AC且AB=2，直线 与平面 成30°角， 与平面α成 ° ， ， ⊥ 且 ，直线AB与平面 则线段AC长的取值范围是 则线段 长的取值范围是 。 5、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是异面直线 、在正方体 是异面直线 AC，A1D的公垂线，则EF与BD1的关系为（ 的公垂线， 的关系为（ ， 的公垂线 与 ） A.相交不垂直 相交不垂直 C.异面直线 异面直线 B.相交垂直 相交垂直 D.平行直线 平行直线
A D O α B C
正方形A 边长为4,D是 例4、如图所示 正方形 1BA2C边长为 是A1B的中 、如图所示,正方形 边长为 的中 上的点,将 分别沿DC和 上的点 及 分别沿 点,E是A2B上的点 将△A1DC及△A2EC分别沿 和 是 重合于A,且二面角 且二面角A-DC-E为直二 EC折起来 使A1,A2重合于 且二面角 折起来,使 折起来 为直二 面角. 面角 (1)求证 求证:CD⊥DE; 求证 ⊥ (2)求AE与平面 求 与平面 与平面DEC所成的角的正弦值 所成的角的正弦值; 所成的角的正弦值 (3)求D到平面 (3)求D到平面AEC的距离. 到平面AEC的距离 的距离.
P D A O B C
练习： 练习：
1、若直线l与平面 内的三条两两相交的直线所成的 、若直线 与平面 与平面α内的三条两两相交的直线所成的 角相等，离问题
外一点A向平面 引两条斜线AB、 例3、如图，由平面 外一点 向平面 引两条斜线 、 、如图，由平面α外一点 向平面α引两条斜线 AC，O是A在平面 内的射影，AO=4，OC=√3， 在平面α内的射影 ， 是 在平面 内的射影， ， ， BO⊥OC，∠OBA=30°，求C到AB的距离。 的距离。 ⊥ ， ° 到 的距离
D1 C1 B1 P E A C O B A D C A1
G
O
B
的三条侧棱SA， ， 两两 例2、已知三棱锥 、已知三棱锥S-ABC的三条侧棱 ，SB，SC两两 的三条侧棱 互相垂直且长度分别为a， ， ， 在底面ABC上 互相垂直且长度分别为 ，b，c，设O为S在底面 为 在底面 上 的射影，求证： 的射影，求证： 的垂心； （1）O为△ ABC的垂心； ） 为 的垂心 （2） O在△ ABC内； ） 在 内
深化
（1）l⊥α，a ）⊥ ，
⊂α，则l ⊥ a 。 ，
证明直线与直线垂直 （2）过空间一点有且只有一个平面与已 ） 知直线垂直。 知直线垂直。 过空间一点有且只有一条直线与已知平面 垂直。 垂直。
直线和平面垂直定理
1、判定定理 、
（1）如果一条直线和平面内两条相交直线垂 ） 直，那么这条直线和这个平面垂直。 l l⊥a，l⊥b ⊥ ，⊥ l⊥α ⊥ a ⊂α,b ⊂ α a∩b=A
考点： 考点： 1、直线与平面垂直的证明 、 2、求点到平面点到直线的距离 、
直线和平面垂直定义： 直线和平面垂直定义： 定义 如果一条直线l和平面 内任意一条直线 如果一条直线 和平面α内任意一条直线 和平面 都垂直，称直线l与平面 垂直。表示为： 与平面α垂直 都垂直，称直线 与平面 垂直。表示为： l⊥α ⊥ 直线l叫做平面 的垂线 直线 叫做平面α的垂线 叫做平面 平面α叫做直线 的垂面 平面 叫做直线l的垂面 叫做直线
}
（2）如果两条平行线中一条垂直于一个平 ） 那么另一条也垂直于这个平面。 面，那么另一条也垂直于这个平面。
a//b，a⊥α则b⊥α ， ⊥ 则 ⊥
2、性质定理 、
（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线 ）如果一条直线垂直于一个平面， 垂直于平面内所有直线。 垂直于平面内所有直线。 （2）垂直于同一个平面的两条直线平行。 ）垂直于同一个平面的两条直线平行。
A1 D B
C E A2 B
A D E C
P M D C
A N B
练习
1、已知PA⊥⊙ 所在的平面，AB是⊙O的直径，C 、已知 ⊥⊙ 所在的平面， 是 ⊥⊙O所在的平面 的直径， 的直径 上任意一点过A点作 于点E，求证： 是⊙O上任意一点过 点作 ⊥PC于点 ，求证： 上任意一点过 点作AE⊥ 于点 AE ⊥平面 平面PBC。 。 2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为CC1的中点，O 、在正方体 的中点， 为 为底面ABCD的中心，求证：A1O⊥平面 的中心， 为底面 的中心 求证： ⊥平面GBD。 。
1 1 1 1 （3）设SO=h，则 2 + 2 + 2 = 2 ） ， a b c h
例3、如图，在三棱锥 、如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC， 中 ⊥ ， AB=BC=kPA，点O、D分别是 、PC的中点，OP⊥ 分别是AC、 的中点 的中点， ⊥ ， 、 分别是 底面ABC。 底面 。 平面PAB； （1）求证：OD//平面 ）求证： 平面 ； 求直线PA （2）当k= 1 时，求直线 ） 2 与平面PBC所成角的大小； 所成角的大小； 与平面 所成角的大小 取何值时， 在 （3）当k取何值时，O在 ） 取何值时 平面PBC内的射影恰好 内的射影恰好 平面 的重心。 为△ PBC的重心。 的重心
典型习题 证明垂直问题
是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面 所在平面外一点， ⊥ 例1、如图 是矩形 、如图P是矩形 所在平面外一点 ABCD，M，N分别是 ，AB的中点。 分别是PC， 的中点 的中点。 ， ， 分别是 平面PAD； （1）求证：MN//平面 ）求证： 平面 ； （2）MN⊥CD ） ⊥ （3）若∠PDA=45°，求证： MN⊥平面 ） ° 求证： ⊥平面PCD