2020高考数学刷题首选第四章数列考点测试31数列求和文

考点测试31 数列求和一、基础小题1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n＋n －2答案 C解析 S n ＝2(1－2n)1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2．故选C ．2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1B ．56C ．16D ．130答案 B解析 ∵a n ＝1n －1n ＋1，∴S 5＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56．故选B ．3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10a 1，则a 1d＝( ) A ．12 B ．1 C ．32 D ．2 答案 B解析 由S 4＝10a 1得4(a 1＋a 4)2＝10a 1，即d ＝a 1．所以a 1d ＝1．故选B ．4．已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2a 2，则( ) A ．a 1<0 B ．a 1>0 C ．a 1≠a 2 D ．a 2＝0 答案 D解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2a 2，当n ＝1时，a 1＝2a 2，当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2，∴a 2＝0．故选D ．5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 3＝8，则a 1＝( )A ．14B ．12 C ．64 D ．128 答案 B解析 ∵S 3－S 2＝a 3，∴a 1(43－1)3－a 1(42－1)3＝8，∴a 1＝12，故选B ．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 11＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 B解析 由当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n 得a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，上面两式相减得a n ＋1－a n ＋2a n ＝1，即a n ＋1＋a n ＝1，所以S 11＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 10＋a 11)＝5×1＋1＝6．故选B ．7．设S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 4m ＋S 2m ＋1＋S 2m ＋3(m ∈N *)的值为( )A ．0B ．3C ．4D ．随m 的变化而变化 答案 B解析 容易求得S 2k ＝－k ，S 2k ＋1＝k ＋1，所以S 4m ＋S 2m ＋1＋S 2m ＋3＝－2m ＋m ＋1＋m ＋2＝3．故选B ． 8．在等比数列{a n }中，前7项的和S 7＝16，且a 21＋a 22＋…＋a 27＝128，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝( )A ．8B ．132C ．6D ．72答案 A解析 设数列{a n }的公比为q ，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝a 1[1－(－q )7]1－(－q )＝a 1(1＋q 7)1＋q，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝16，a 21＋a 22＋…＋a 27＝a 21(1－q 14)1－q 2＝128．∵a 1(1＋q 7)1＋q ·a 1(1－q 7)1－q ＝a 21(1－q 14)1－q 2，∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝12816＝8．故选A ． 二、高考小题9．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110 答案 A解析 设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (n ＋1)2．由题意知，N >100，令n (n ＋1)2>100，解得n ≥14且n∈N *，即N 出现在第13组之后．第n 组的各项和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2(1－2n)1－2－n ＝2n ＋1－2－n ．设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则N －n (n ＋1)2项的和即第n ＋1组的前k 项的和2k－1应与－2－n 互为相反数，即2k－1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)，∴n 最小为29，此时k ＝5．则N ＝29×(1＋29)2＋5＝440．故选A ．10．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________．答案 6解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝6，a 3＋a 5＝0，∴6＋2d ＋6＋4d ＝0，∴d ＝－2，∴S 6＝6×6＋6×52×(－2)＝6． 11．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝11S k＝________． 答案2nn ＋1解析 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝n ．∴前n 项和S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴1S n＝2n (n ＋1)＝21n －1n ＋1，∴∑nk ＝11S k ＝21－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝21－1n ＋1＝2·n n ＋1＝2n n ＋1． 12．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________． 答案 －1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1， 又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n．13．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为________．答案 27解析 设A n ＝2n －1，B n ＝2n ，n ∈N *，当A k <B l <A k ＋1(k ，l ∈N *)时，2k －1<2l<2k ＋1，有k －12<2l －1<k ＋12，则k ＝2l －1，设T l ＝A 1＋A 2＋…＋A 2l －1＋B 1＋B 2＋…＋B l ，则共有k ＋l ＝2l －1＋l 个数，即T l ＝S 2l －1＋l ，而A 1＋A 2＋…＋A 2l －1＝2×1－1＋2l－12×2l －1＝22l －2，B 1＋B 2＋…＋B l ＝2(1－2l)1－2＝2l ＋1－2．则T l ＝22l －2＋2l ＋1－2，则l ，T l ，n ，a n ＋1的对应关系为lT lna n ＋112a n ＋1 1 3 2 3 36 2 10 4 5 60 3 30 7 9 108 4 94 12 17 204 5 318 21 33 396 611503865780观察到l ＝5时，T l ＝S 21<12a 22，l ＝6，T l ＝S 38>12a 39，则n ∈[22,38)，n ∈N *时，存在n ，使S n ≥12a n＋1，此时T 5＝A 1＋A 2＋…＋A 16＋B 1＋B 2＋B 3＋B 4＋B 5，则当n ∈[22,38)，n ∈N *时，S n ＝T 5＋(n －22＋1)(A 22－5＋A n －5)2＝n 2－10n ＋87．a n ＋1＝A n ＋1－5＝A n －4,12a n ＋1＝12[2(n －4)－1]＝24n －108，S n－12a n ＋1＝n 2－34n ＋195＝(n －17)2－94，则n ≥27时，S n －12a n ＋1>0，即n min ＝27．三、模拟小题14．(2018·福建厦门第一学期期末)已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ＝2，则其前100项和为( )A ．250B ．200C ．150D ．100 答案 D解析 n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k ＋1－a 2k ＝2，n ＝2k －1(k ∈N *)时，a 2k ＋a 2k －1＝2，n ＝2k ＋1(k ∈N *)时，a 2k ＋2＋a 2k ＋1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝4，a 2k ＋2＋a 2k ＝0，∴{a n }的前100项和＝(a 1＋a 3)＋…＋(a 97＋a 99)＋(a 2＋a 4)＋…＋(a 98＋a 100)＝25×4＋25×0＝100．故选D ．15．(2018·浙江模拟)已知数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12n －12，n 为奇数，12n2，n 为偶数，则数列{3a n＋n －7}的前2n 项和的最小值为( )A ．－514B ．－1854C ．－252D ．－1058答案 D解析 设b n ＝3a n ＋n －7，{3a n ＋n －7}的前2n 项和为S 2n ，则S 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝ 3⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－12n1－12＋121－12n1－12＋(1＋2＋3＋…＋2n )－14n ＝91－12n＋2n 2－13n ，又2n 2－13n ＝2n －1342－1698，当n ≥4时，f (n )＝2n －1342－1698是关于n 的增函数，又g (n )＝91－12n也是关于n 的增函数，∴S 8<S 10<S 12<…，∵S 8＝－18516，S 6＝－1058，S 4＝－454，S 2＝－132，∴S 6<S 8<S 4<S 2，∴S 6最小，S 6＝－1058，故选D ．16．(2018·皖南八校第三次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1，b n ＝log 2(a 2n ·2an )，数列{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >1024的最小n 的值为________．答案 9解析 当n ＝1时，a 1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n，n ≥2.所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8，n ＝1，2n ＋2n，n ≥2，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8，n ＝1，2n ＋1＋n (n ＋1)＋2，n ≥2.当n ＝9时，T 9＝210＋9×10＋2＝1116>1024；当n ＝8时，T 8＝29＋8×9＋2＝586<1024，所以满足T n >1024的最小n 的值为9．17．(2018·江西南昌莲塘一中质检)函数f (x )＝e x－1e x ＋1，g (x )＝f (x －1)＋1，a n ＝g 1n ＋g 2n ＋g 3n ＋…＋g 2n －1n，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝2n －1解析 由题意知f (x )的定义域为R ，又f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－ex1＋ex ＝－f (x )，∴函数f (x )＝e x－1e x ＋1为奇函数，g (x )＋g (2－x )＝f (x －1)＋1＋f (2－x －1)＋1＝f (x －1)＋f (1－x )＋2，由f (x )＝e x－1e x ＋1为奇函数，知f (x －1)＋f (1－x )＝0，∴g (x )＋g (2－x )＝2．∵a n ＝g 1n ＋g 2n ＋g 3n ＋…＋g 2n －1n，n ∈N *，①∴a n ＝g 2n －1n ＋g 2n －2n ＋g 2n －3n＋…＋g 1n，n ∈N *，②由①＋②得2a n ＝g 1n ＋g 2n －1n ＋g 2n ＋g 2n －2n ＋…＋g 2n －1n ＋g 1n＝(2n －1)×2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1．18．(2018·洛阳质检)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ．若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n 为________．答案 3n－1解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，∴{a n }是公比为3的等比数列，∴S n ＝2×(1－3n)1－3＝3n－1．19．(2018·石家庄质检二)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n，如果存在正整数n ，使得(m －a n )(m －a n ＋1)<0成立，那么实数m 的取值范围是________．答案 －12，34解析 易得a 1＝－12，n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝－12n －－12n －1＝3×－12n．则有a 1<a 3<…<a 2k －1<0<a 2k <…<a 4<a 2(k ∈N *)．若存在正整数n ，使得(m －a n )(m －a n ＋1)<0成立，则只需满足a 1<m <a 2即可，即－12<m <34．20．(2018·湖北八市3月联考)已知数列{a n }的首项a 1＝1，函数f (x )＝x 4＋a n ＋1cos2x －(2a n＋1)有唯一零点，则数列{n (a n ＋1)}的前n 项和为________．答案 (n －1)2n ＋1＋2解析 解法一：显然f (x )为R 上的偶函数，若其仅有一个零点，则f (0)＝0，即a n ＋1＝2a n ＋1，则a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，从而{a n ＋1}是公比为2的等比数列，a n ＋1＝(1＋1)·2n －1，a n ＝2n－1(n ∈N *)．从而n (a n ＋1)＝n ·2n ，设T n ＝1·21＋2·22＋…＋n ·2n,2T n ＝1·22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1，作差得－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1，－T n ＝2(2n －1)－n ·2n ＋1，所以T n ＝2＋(n －1)2n ＋1．解法二：显然f (x )为R 上的偶函数，若其仅有一个零点，则f (0)＝0，即a n ＋1＝2a n ＋1，则a n＋1＋1＝2(a n ＋1)，从而{a n ＋1}是以2为公比的等比数列，a n ＋1＝(1＋1)2n －1，a n ＝2n －1(n ∈N *)．从而n (a n ＋1)＝n ·2n＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，(n －1)2n ＋1－(n －2)2n，n ≥2，设T n ＝2＋23＋2·24－23＋3·25－2·24＋…＋(n －1)·2n ＋1－(n －2)·2n ，则T n ＝2＋(n －1)2n ＋1．一、高考大题1．(2018·浙江高考)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n ．(1)求q 的值；(2)求数列{b n }的通项公式．解 (1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项得a 3＋a 5＝2a 4＋4，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8．由a 3＋a 5＝20得8q ＋1q＝20，解得q ＝2或q ＝12，因为q >1，所以q ＝2．(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n ．由c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，解得c n ＝4n －1．由(1)可知a n ＝2n －1，所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·12n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·12n －2，n ≥2，b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)·12n －2＋(4n －9)·12n －3＋…＋7·12＋3．设T n ＝3＋7·12＋11·122＋…＋(4n －5)·12n －2，n ≥2，12T n ＝3·12＋7·122＋…＋(4n －9)·12n －2＋(4n －5)·12n －1， 所以12T n ＝3＋4·12＋4·122＋…＋4·12n －2－(4n －5)·12n －1，因此T n ＝14－(4n ＋3)·12n －2，n ≥2，又b 1＝1，所以b n ＝15－(4n ＋3)·12n －2，n ≥2．经检验，当n ＝1时，b n 也成立． 故b n ＝15－(4n ＋3)·12n －2．2．(2018·天津高考)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6．(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值． 解 (1)设等比数列{b n }的公比为q ． 由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0． 因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1．所以T n ＝1－2n1－2＝2n－1．设等差数列{a n }的公差为d ． 由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4． 由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16， 从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n ． 所以S n ＝n (n ＋1)2．(2)由(1)，有T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋ (2))－n ＝2×(1－2n)1－2－n ＝2n ＋1－n －2．由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得n (n ＋1)2＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍去)或n ＝4． 所以n 的值为4．3．(2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 等比数列{b n }的公比为q ．由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3， 又因为q ＞0，所以q ＝2．所以b n ＝2n． 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8．① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16，②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2．所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n．(2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，有a 2n b 2n －1＝(3n －1)·4n，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)·4n，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)·4n ＋(3n －1)·4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)·4n ＋1＝12×(1－4n)1－4－4－(3n －1)·4n ＋1＝－(3n －2)·4n ＋1－8．得T n ＝3n －23·4n ＋1＋83．所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23·4n ＋1＋83．二、模拟大题4．(2018·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n (n ＋1)2，数列{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋1(n∈N *)．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝2an ·(b n －1)(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n ． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)2－(n －1)n2＝n ，又a 1＝1符合上式，∴a n ＝n (n ∈N *)， ∴b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n ＋1． (2)由(1)得c n ＝2an (b n －1)＝n ·2n ＋1，∴T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n＋n ×2n ＋1， ① 2T n ＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋(n －1)×2n ＋1＋n ×2n ＋2， ②①－②得，－T n ＝22＋23＋24＋…＋2n ＋1－n ·2n ＋2＝4(1－2n)1－2－n ·2n ＋2＝(1－n )·2n ＋2－4，∴T n ＝(n －1)·2n ＋2＋4．5．(2018·沈阳质检)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解 (1)由题设知a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝a 1q 3得q ＝2， 故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，n ∈N *．(2)S n ＝a 1(1－q n)1－q＝2n－1， 又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1S 1－1S 2＋1S 2－1S 3＋…＋1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1，n ∈N *． 6．(2018·安徽马鞍山第二次教学质量监测)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 2＝37，S 4＝152．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n －2n|}的前n 项和T n ． 解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝37，4a 1＋6d ＝152，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝35，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋33(n ∈N *)． (2)由(1)知，|a n －2n|＝|2n ＋33－2n|＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋33－2n(1≤n ≤5)，2n－(2n ＋33)(n ≥6).当1≤n ≤5时，T n ＝(35＋2n ＋33)n 2－2(1－2n)1－2＝n 2＋34n －2n ＋1＋2；当n ≥6时，T 5＝133，|2n ＋33－2n|＝2n－(2n ＋33)， T n －T 5＝64(1－2n －5)1－2－(45＋2n ＋33)(n －5)2＝2n ＋1－n 2－34n ＋131，∴T n ＝2n ＋1－n 2－34n ＋264．综上所述，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋34n －2n ＋1＋2(1≤n ≤5，n ∈N *)，2n ＋1－n 2－34n ＋264(n ≥6，n ∈N *).。