第二章行列式2
2-1-3行列式定义-性质
第一节
二阶、三阶行列式
一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式 三、小节、思考题
一、二阶行列式的引入 定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的矩阵：
a11 a12 a21 a22 ( 4)
称表达式 a11a22 − a12 a21为矩阵（4）所确定的二阶 行列式，并记作
即
a11 a21
第三节
行列式的性质
一、行列式的性质
二、应用举例
一、行列式的性质
性质1 说明
AT = A 行列式与它的转置行列式相等即，
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 交换两行（列），行列式变号
性质2
推论
两行（列）相同，此行列式为零
性质3
a11 a12 L a1n LLLLLLL kai 1 kai 2 L kain = k LLLLLLL a n1 an 2 L ann
A23 = (− 1)
2+ 3
M 23 = − M 23 , 叫做元素 a23的代数余子式 .
注意：一个元素的代数余子式 只与该元素所处位置 相关；而与该元素等于 多少无关！
比如上例中，即便把 a 23的值换成 a 33，它的 代数余子式仍然不变！ 亦即仍有
A23 = − M 23
a11 a21 D= a31 a41
k =1 k =1 n
n
(i = 1,2,L, n )
3. 在按行、按列展开时， 建议挑选含零最多
的行、列！
思考题
设n阶行列式
1 2 3 L n 1 2 0 L 0 Dn = 1 0 3 L 0 M M M O M 1 0 0 L n
第二章 行列式
pi 这个元素的逆序数是 τi，即：
τ ( p1 p2 …pn)= τ 1 + τ 2 +…+ τ n
就是这个排列的逆序数 逆序数。 逆序数 例1 求排列13…(2n − 1)24…(2n)的逆序数。 解：在该排列中，1 ～(2n−1)中每个奇数的逆 序数全为0，2的逆序数为(n − 1)，4的逆序数为 (n − 2),…，(2n − 2)的逆境序数为1，2n的逆序数 为0，于是该排列的逆序数为 τ=(n-1)+(n-2)+…+1+0=n(n-1)/2
τ1 =τ (l1l2 Lln )
2011-9-1
τ2 = τ (s1s2 L sn )
19
这就表明，对换乘积项中两元素的位置， 这就表明，对换乘积项中两元素的位置， 从而行标排列与列标排列同时做了相应的对 换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的 奇偶性并不改变。 奇偶性并不改变。
2011-9-1
2011-9-1
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 = a11a22...ann ... ann a1n a2n = a11a22...ann ... ann
17
3)次上三角行列式 次上三角行列式
4)次下三角行列式 次下三角行列式
2011-9-1
18
定理2： 阶行列式 阶行列式D= 定理 ：n阶行列式 aij的一般项可以记为
λn
0 0 = λλ2...λn 1 ...
=1+ 2 + ... + (n − 2) + (n −1) n (n −1) = 2
λ1
0 = (−1) ... 0
2-n阶行列式、性质与展开定理
an 2 ann
0
右端行列式是 n-1 阶下三角行列式，根据归纳假设得
2015/8/7
Dn = a11a22…ann
10
二、 n 阶行列式例子 Example 5
证明 n 阶行列式
Dn
0 0
0
a1n a2 n ann 1
a11 b1 a11b2 b1a21 D2 a21 b2
Example 2 Solution:
求解二元线性方程组 由于
3 x1 2 x2 12 2 x1 x2 1
3 2 D 3 (4) 7 0, 称为 2 1 便于表示、记忆和推
广
3 D1 14 2015/8/7 因此， x1 12 14 2, D2 x D (2) 2 1 2 D 1 1 1 D 7
a21 (a12 a33 a13a32 ) a22 (a11a33 a13a31 ) a23 (a11a32 a12 a31 )
a
a12 a32
a13 a33
21 2015/8/7
a22
a11
a13
a31 a33
a23
a11
a12
14
a31 a32
一、行列式按行（或列）展开定理
2015/8/7
a11
a22 a32
a12
a21 a23 a31 a33
a13
a21 a22 a31 a32
7
二、 n 阶行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
M11
M12
线性代数第二章n阶矩阵乘积的行列式
A d C
0 | A | . | B | B
证明：对A的阶数做归纳证明 , n 1时, d按第 行展开，公式成立； 1
假设n 1时公式成立.
当为n时，设a1 j关于A的余子式和代数余子式 分别为M1 j与A1 j ,由归纳假设，有:
a11 a 21 d A C a n1 B c11 cm1 0 a12 a 22 an 2 c12 cm2 a1n a1n a nn c1n cmn 0 0 0 b11 bm 1 0 0 0 b1m bmm
类似还可证明: A D F A mn | A | . | B |, ( 1) | A | . | B | 0 B B 0 0 A mn ( 1) | A | . | B | B M
定理5(矩阵乘积的行列式定理), 设A, B都是n 阶矩阵，则：
| AB || A | . | B |
n 1 a n b1n 1 a n b1 n n 1 a n b2 1 a n b2 n n 1 a n bn 1 a n bn
1 a b 1 a1b1 n n 1 a 2 b1 | A || AT | 1 a 2 b1 n n 1 a n b1 1 a n b1
$4
引理.设 a11 a 21 A a n1 c11 c 21 C cm 1
n阶矩阵乘积的行列式
b11 b 21 bm 1 b12 b22 bm 2 b1m b2 m bmm
a12 a1 n a 22 a 2 n , B a n 2 a nn c12 c1 n c 22 c 2 n , 则 c m 2 c mn
高等代数 第二章 行列式计算方法小结
0 0 0
0 0 0 .
0 0
0 0
ab a b 1 ab
展开 按 c 1 D ( a bD )n a b D n 1 n 2
n 2 D a D b ( D a D ) b ( D a D ) n n 1 n 1 n 2 2 1
n 2 D b D a ( D b D ) a ( D b D ) n n 1 n 1 n 2 2 1
1 又，当 x 时，1，2行相同，有D 0 ， x 1 为D的根． 2时，3，4行相同，有 D 0, 当 x
为D的根． x 2
1 , 1 , 2 , 2 故 D 有4个一次因式:xxxx
行列式的计算
设 D a ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 2 ) , 令 x 0, 则
1 xx 0 Dx xx ( 1 a ) 当x 时, 12 n n 12 n x i 1 i
行列式的计算
n
0 ( i1 , 2 n ) 当x 时也可以用加边法做： i
D n
1 a 0 a x 1 a a
n
a a a xn
1 a 1 x1 1
a 0 xn
1 1 a a i 1 x i Dn 0 x1 0
解：考察 n 1 阶范德蒙行列式 1 1 11 x1 x2 xn x x21 x22 x2n x2 f ( x)
xn11 xn12 xn1 xn2
行列式的计算
xn1n xn1 xnn xn
( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) 1 2 n i j
行列式的计算
第二章行列式
第二章 行列式 基本内容及考点综述一、基本概念 1.逆序、逆序数在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.2.n 级行列式. n 级行列式n n nnj j j j j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a a ,,,)1(21212121)(212222111211τ-∑=.二、基本性质1. 行列式与其转置列式相等即T D D =.2. 用一个数乘行列式等于用这个数乘行列式某一行(列)的所有元素,或行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.3. 如果行列式中有两行相同,那么行列式为零.4. 如果行列式中两行成比例,那么行列式为零.5. 对换行列式中两行的位置,行列式反号.6. 把一行的倍数加到另一行,行列式不变.7.11112111121111211211221221212n n n n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a ab b b bc b c b c c c c a a a a a a a a a +++=+11221122||,8.0,||,0,k i k i kn in k j k j nk nj A i k a A a A a A i kA j ka A A A a A j k=⎧+++=⎨≠⎩=⎧+++=⎨≠⎩当当当当其中ij A 是元素ij a 的代数余子式.9. (拉普拉斯定理)设在行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行,由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .三、基本方法本章的重点是行列式的计算,关键是观察、分析行列式的特点,探索、寻找最佳的解题思路.下面介绍几种常见的行列式计算方法.1.化三角形法.利用行列式的性质,将行列式化成上(下)三角行列式.2.降价法,将行列式D 按某一行展开或将D 按某k 行展开,将较高阶的行列式化成较低阶的行列式计算.3.升阶法.将n 阶行列式D 增加一行一列变成1+n 阶行列式,使它更容易计算.4.递推法.利用行列式的性质将n 阶行列式n D 用较低阶的形状与n D 完全一样的行列式1-n D 、2-n D 来表示.如果n 阶行列式n D 满足021=++--n n n cD bD aD .作特征方程02=++c bx ax如果,0≠∆则特征方程有两个不相等的复根21,x x ,令.1211--+=n n n Bx Ax D 其中B A ,为待定常数,令2,1=n 可求出B A ,.如果,0=∆则特征方程有重根21x x =,令11)(-+=n n x nB A D ,其中B A ,为待定常数,令2,1=n ,可求出B A ,.值得注意的是,三对角行列式经常在试题中出现,一般都可用递推法来解.5.拆项法.将行列式D 的某一行都写成两个元素和的形式,将D 表成两个行列式的和.6.数学归纳法.先观察 ,,,321D D D ,得出猜想,然后用数学归纳法证明.试题精选1.(华东师大,1996) 计算n 阶行列式.xzy x x z y x z y x D n +++++=10100000100010001其中yz x =. 解法1:数学归纳法.22211)1(,1x x yz x D x D ++=-+=+=. .1323x x x D +++=猜想 n n x x x D ++++= 21.用数学归纳法证明.当1=n 时,x D +=11,结论成立. 假定小于n 时结论成立,将n D 按第1行展开.++=+++-+++++=-+=----x x x x x x x x x yzD D x D n n n n n 1)1()1)(1()1(221221 .2n x x ++ 所以结论成立.解法2:递推法..)1()1(2121-----+=-+=n n n n n xD D x yzD D x D 于是2211)(x D D x D D n n n n =-=---- n n n n n n x D D x D D x D D =-==-=------)()()(12243332 .以上等式对所有1>n 都成立.那么有2123231211x D D x D D x D D x D D n n n n n n =-=-=-=-----将以上1-n 个等式相加,有1321.n n n D D x x x x --=++++所以n n x x x D ++++= 21.解法3:拆项法.将n D 的第1列都写成两个数的和的形试,1,0,,00.x z +++ 那么110100000100010001-+++++=n n xD xzy x x z y x z y D将以上行列式的第1列的)(y -倍加到第2列,第2列的)(y -倍加到第3列,…,第1-n 列的)(y -倍加到第n 列，那么21222233212111(1)11(1)111n n n n n n n nD xD x xD x x D x x xD x x x D x x x D x x x ------=+=++=++=+++=+++==++++=++++３2.(华东师大,1995) 计算n 阶行列式1100110110=n D解:将n D 先按第1行展开,然后按第1列展开,有2--=n n D D 所以24462()(1)k n n n n n n k D D D D D D -----=-=--==-==-当n 为奇数时,令12+=m n ,则0)1()1(1212=-=-=-+D D D m m n m m . 当n为偶数时,令m n 2=,则21122(2)2(1)(1)(1)(1)(1)n m m m m n n D D D -----=-=-=--=-= ⎩⎨⎧+=-=.12,1.2,1t m t m3.(华东师大，1991)计算n 阶行列式123111111111111111111111n n n n n D n n---=--解：将第2列，第3列，…,第n 列都加到第1列上.(1,2,,(1)23111112011111111(1)0111121111011111111011111111000111100(1)(1)22111100011111111(1)(1)2n n n n n n n n n n n n n D n n n n n nn n n n n n n n n n τ--+----+-===----------++=-----+=-(1)(2)2,1)2122(1)12(1)(1)()(1)(1)2(1)(1)2n n n n n n n n n n n n n n -------+-⋅-=--⋅+=-⋅注:对n 阶行列式的计算结果,一般情况下都应当检验,用3,2=n 代入,即可检验结果是否正确,例如本题2=n 时,2123,11D ==--用2=n 代入，结果也等于-3,因此可以初步断定结果是正确的.4.(华东师大,1991)计算n 阶行列式.011011110n D --=-解:将n D 按第1行展开,再按第1列展开.===--42n n n D D D当n 为偶数时,121====-D D D n n .当n 为奇数时,令,12+=m n 0122=====--D D D D m n n n 5.(华东师大,1994)计算n 阶行列式1123112221000000n n n n na x a a a a x x D x xx x --+-=--,其中01≠∏=i ni x .解:将n D 第1列都写成两个数和的形式,,00,,00,0,111++-+ x x a 那么2312123123123412312314322312321231311000000000110000100001000010001000000000000n n n n n n n n n nn n n nn na a a a x D a x x x x x x x x a a a a a x x a x x x x x x a a a a a a a x x x x a x x x x x x -----=+----=+--++++=+321231223121212(1)(1).nn n nnn na a a a x x x x x x x x x a a a x x x x x x =+++++=++++6.(华东师大,2002)计算n 阶行列式xx x x x D n22212221222122214444=解:将第1列的-2倍依次加到以下各列.)2)](1(2[2000100201000210000)1(2200010020100021242424241---+=----+=-------=n n x n x x x x n x x x x x x x x x D 7.(大连理工,2004)计算n 阶行列式111121112121111n n n D n--=-解 将第2行，第3行，，第n 行都加到第1行上(1)1(1,2,,2,1)12111111111111121000102111110(1)(1)(1)(1).n n n n n n n n n D nnn n τ-------==--=--=--8.(浙江大学,2004)计算n 阶行列式123123413451211321221n n n n D n n n n nn n -=-----解:将第1-n 行的(-1)倍加到第n 行,第2-n 行的(-1)倍加到第1-n 行,…,第1行的(-1)倍加到第2行.1(1,2,,1)12311122111111100011111100011111101111111211122100000000000012(1)(1)()(1)(1)n n n n n n n n n n n n n D n n n n n n n n nnn n n n n n nτ----------==-----++++----=--+++-=+--=-(1)121.2n n n n --+⋅⋅9.(江苏大学,2004)计算n 阶行列式.xx x x D n αααααααααααααααα-------=解:111()0000000000()2000222()()n n n n x xD x xx xDx xx D x ααααααααααααααααααααααααααααααααα----++-+=-+--+------=++----+----=+--由行列与其转置行列式相等,于是有1111()()()()n n n n n n D x D x D x D x αααααα----⎧=+--⎪⎨=-++⎪⎩解关于1,-n n D D 的方程组得()()2n nn x x D αα++-=10.(武汉大学,1998)设)(,),(),(,221x f x f x f n n ≥是关于x 的次数2-≤n 的多项式,n a a a ,,,21 为任意数,证明:行列式0)()()()()()()()()(212222111211=n n n n n n a f a f a f a f a f a f a f a f a f并举例说明条件“次数2-≤n ”是不可缺少的.证明1:121112(),(),,()[],dim []1,(),(),,()n n n n f x f x f x P x P x n f x f x f x --∈=-于是线性相关,不妨假定.).()()()(112211x f k x f k x f k x f n n n --+++= 显然有112211()()()(),1,,n i i i n n i f a k f a k f a k f a i n --=+++=将以上行列式第1列的1)k -（倍,第2列的2k -（）倍,…,第1-n 列的1n k --（）倍加到第n 列，那么它的第n 列全变成零,因此行列式为零.证明2:当n a a a ,,,21 中有两个数相等时,等式显然成立. 当n a a a ,,,21 是n 个互不相等的数时,令)()()()()()()()()()(212222121n n n n n n a f a f a f a f a f a f x f x f x f x F=假定)(x F 不是零多项式,则(())2F x n ∂≤-,令n a a a x ,,,32 =,则0)()()(32====n a F a F a F .)(x F 有1-n 个根,矛盾,所以)(x F 是零多项式,当然0)(1=a F ,因此结论成立.当3=n 时,令.1)(,1)(,1)(2321+=-==x x f x x f x f 取1230,2,1,a a a ===-那么.06110420111221511111)1()1()1()2()2()2()0()0()0(321321321≠=--=--=---f f f f f f f f f 因此条件“次数2-≤n ”是不可缺少的。
§2 行列式的性质与计算
j (1) ( j j j ) a1 j (aij j j
1 2 n 1 1 2 n
i
biji ) anjn
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ( 1) ( j j j ) a1 j aij anj j j j ai 1 ai 2 ain bi 1 bi 2 bin ( j j j ) ( 1) a1 j bij anj j j j an1 an 2 ann an1 an 2 ann
a1 p1 aip j a jpi anpn
p p (1) p p
( p1 p j pi pn )
D
§2 行列式的性质与计算
推论1 如果行列式中有两行（列）相同，那么
该行列式为零． 比如：
1 2 3 1 2 3 4 5 6
r1 r2
1 2 3 1 2 3 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 6
3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下 的低一阶行列式； 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式， 这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
§2 行列式的性质与计算
二、应用举例
例1. 计算行列式
0 1 D 1 2 2 2 0 0
1 1 2 1
1 0 1 1
2 2 0 0 1 1 1 3 0 1 1 1 2 2 2 4
§2 行列式的性质与计算
a b c d a ab abc abcd r3 r2 ( 1) 0 a 2a b 3a 2b c 0 a 3a b 6a 3b c
a 0 r2 r1 ( 1) 0 0
a r4 r3 ( 1) 0 0 0
(完整版)第二章行列式习题解答
第二章行列式习题解答1. 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性：1) 134782695;解•吒13478269为=0 + 4 +0 + 0+ 4 +2 + 0 + 0 = 10 偶排列.2) 217986354;解：吃179 眈54)二1+0 + 4+5+4+3+0+1 = 18 ,偶排列；3) 987654321;解：璋876別艾1) =8 + 7+&+5 + 4+F+2 + 1 = 26 ,偶排歹【」.2. 选择'与上使1)1274巧陆9成偶排列；解：•与上一个为3,另一个为8,而咲1刀43两9) = 2+1+1+1 = 5 是奇排列，由对换的性质因此有H；2 )庇荻4斬成奇排列.解：与七一个为3,另一个为6,而^32564897) = 1 + 2 + 2 = 5是奇排列，因此有心工宀6.3. 写出把排列1羽孑5变成排列25341的那些对换.解：124站卩* )214笳(也)25431 仲)比鈔414. 决定排列巾-—心的逆序数，并讨论它的奇偶性.解：1与其他数构成卫个逆序，2与其他数构成汽_2个逆序，…山-2与其他数构成2个逆序，芒一1与兀构成1个逆序，故巩対住_1)…21)二3_1)十@_2) +…+2+1二^当"毗或"滋+ 1(上为正整数)时，排列为偶排列；当"处+2或n-Ak^3为正整数)时，排列为奇排列.5. 如果排列 w’j 二的逆序数为：，排列厂二的逆序数是多解: 中任意两个数码=：与丁必在而且仅在两个排列°：二'"■或**-1…中之一构成逆序，月个数码中任取两个的不同取法有”2个，因此两个排列的逆序总数为戈，所以排列…F 的陨"1)_总逆序数为Z6.在6级行列式中，心円三j 汽这两项应带有什么符号？严小吟心皿)-(_［严"，因此项计吻恥％带正号.7.写出四级行列式中所有带有负号并且包含因子一心的项.解：因为：匚上-'，因此所求的项为解：1)该行列式含有的非零项只有m/JAi …叫七％1,带的符号为CU 2 ，值为57』，因此原行列式等于(T 」3创.1)0 0 *-0 1・-2III 11 1 1 1« 11 1 1 fe ■ 0 卫一 1 •… 0 0n 0 ■■* 0 0； 2)010... 0 0 0 2 ...0 ...丹-1n Q 0 ...73)0 …0 0 -200 ■ a «•■即i a « i » i i fe■M -1・■- 0 0 0 0・■- 0 0 «_^1+^23^31^42 -8.按定义计算行列式:少？,因此项 旳尹引龟护屏张务厶带正号;-£l 11LJ 23«32a 44?七护34 迎小2）该行列式含有的非零项只有①曲曲心小卅池，带的符号为值为「2，因此原行列式等于df.3）该行列式含有的非零项只有%”宀"叫％，带的符号为（7丄，值为，因此原行列式等于卜1）2创.9. 由行列式定义证明：证明：行列式的一般项为I = = 二，列指标•「S 1只能在1,2,3,4,5中取不同值，故*「】中至少有一个要取3,4,5中之一，而' 厂恥宀从而每一项中至少包含一个零因子，故每一项的值均为零，因此行列式的值为零.10. 由行列式定义计算2A1 21 x 1 -13 2工11 1 1 工中/与/的系数，并说明理由.解：行列式元素中出现兀的次数都是1次的，因此含屏项每一行都要取含齐的,因此含/项仅有%如宀，其系数为2,符号为正，h的系数为2.类似的含尸项仅有知灼金％，其系数为1,符号为负，代的系数为-1 .11. 由1 ・-• 11 1 ■■■ 1.. .=Q■♦V1 1 ・• 1证明：奇偶排列各半证明：行列式每一项的绝对值为 1行列式的值为零，说明带正号项的个数 等于带负号项的个数•由定义，当项的行指标按自然顺序排列时，项的符号由列1）由行列式定义，说明'「是一个卞―〔次多项式;2）由行列式性质，求'的根.解：1在行列式’〔中只有第一行含有T ，出现T 最高次数为次，由为互不相同的数可得其系数不为零，因此'•是一个・】次多项式2）用■，，，r^--分别代*，均出现了两行相同，因此行列式为 0.即宀为—的全部根13.计算下面的行列式： 246 427 327 10W543 443 八-342 721 621小、1) ； 2)3 11112 3 413 112 3 4 1113 13 4 123） 1113；4） 4 12 39指标排列的奇偶性所确定, 奇排列时带负号，偶排列带正号•因此奇偶排列各半1…x"11N-1 …闻円＞）二1s-l…％■ ■ ■!1+ ■ ■« I »■ * II I ■■…a n-l其中•心m.i 为互不相同的数.12.设1+A 1 1 1 (a+2)2(a+3a11-工 1 1 4+1)2 0 +卯@+卯1 11+》 1 W+1尸（亡+卯（心9+1尸（八疔5） 1 11I ； 6）解：1该行列式中每行元素的和为1000的倍数，第2列与第三列相差100，23136)246 427 3271000 427 327 6 71000 100 327 1014 543 4432000 543 44孑 -—2000 100 443 -342721 €211000 721 6211000 100 621327116 二-294x12 2945)显然当二=■'或」时均有两行元素相同，因此行列式为 0.当' 时1H - x 1 11 If1 c 4 - x~\ 'i0 01] -x11七 、厂5〕■-X0 ]c 4 +z 1< i 0 --X0 0 3y11 g 1 P = 123( ) 0 y1 5 -严 :3 00 y11 1i-卅肿y 1-7y Ay -y【口十 3十2尸 ⑺十浙十 1 牝十4 6口十夕(*+D a 辿+2尸 叶卯*22) + 1 4b+4 6b + 9(T尸 (小尸L 32^+14亡+ 4 &+9d 2 3+1尸3 +計 &+卯茲十1 4d +4 阳+9= 10" y工十丁1 yx + y=2(孟+刃 1 Z -F JJ盂xy1 x y1 尹二 2(盂+尹)0 xo —y-y = 2(X +/)[-X :+X X -7)]= ~2(^3 1116 11111111111 13 116 3 11卜13 11 厂宀J 0 2 0 0 113 1J= 2,3,4 6 13 1113 1 i = 2,3,4' 0 0 2 011136 11311130 0 0 22 3 412 3 43 4 113 4 1=104 1 2 14 121 2 3112^ 12 3 41 23<411-30 11-3=10p 2 ・2 -20 0-44|o -1 -1 -10 0 0-41 1 3272 1 4431 1 6211 0 0 1-1 0 y丸+屏处十龙2(x+y)310 1+(710 0 0 = 160i+cc^aa +b2（a 十B 十u ）c+a戊+BA.+勺= 2（d| +坷+5）码+歼证明： 為+勺如+S2(角+务+勺)勺+码+ i + cc+a=2口］+妬 + 匕1 百［+(3］巧十毎十勺勺+包15.算出下列行列式的全部代数余子式:12 140-1211 -1 20 0 2 13 21poos； 2)1 4b+亡 c + txa +ba b e右L +百1 号+% 如4玄 =2 旬玄巧-14.证明： 鸟+勺耳+勺巴十坊也®巾加+1 266 _6 -6-1 2 10 2 10 -1 14i = 0 2 1=-6;血=- 0 2 1 =0 ；J 4O = 0 0 1 =00 0 30 0 30 031 42 1=6;0 -1 24+ =- 00 2 =0 ；4J ! =-0 0解: 1）2 0 0 1 4 2 1 0 31 =-12;爲立=0 n-4B == °； ■41 = 1》4盘=-^3 = —5-^34 = Q 斗］.=乙 &2 = Q' A B = L ；&4 = 741 =2）= 3^ = --1 21 4a +b的+Nb ca 6 c妬C L =2 a Y 如 5%巾宓5%加十1 2 2^+1 22^+1 2 a 十打+疋=2^} +妬+巧 k +如+巾111 11 卩 02 1 1 -*厂©* 0 1 2 2 5 1 0 43 2 1 | |斗 11112 2-5=1.42) 31213 4 1 3171丄1 5 4 6 4 1 2J2110 n 1 — 2 — — 2 — — —2 -3221 -1 | 4-1 0-111|31 17 11 -132 16 10 13 121° 1 2 -1 41 2 -1 41 2 一］4 2 a 1 2 :2 0 1 2 12-6 1 2 1 一 3 5]2 二一 1 3 51 2 二 -16 5 1 2 33 1 2: 1 3 00 00 0 0 0 2 1 n 3521 0 3 52-5 035-1 1 02 0 -5 1 2 0 -90 3-5237 -11 2-9 -3 =一 0 0 -3 =-483.3 555 -12 5= -36 -3 -5511 2n -1 11 12 -123 2 1 0 二 1-1 0 1 21兀21 3 02 0 -1 0 12 3-1 1 32131 10 14 16 18-7-10 3-16 = 114-1918 0 -7-W17.计算下列乜级行列式:J. 221 2 -2-12 2 13 71 10-1 1 2 16-16 = -12 -19 8 180 -1-10 0 12176 133)&心1 22 22 2223» ■ i• II222112 3 -■垃一1溶ClCI-12o …-24)■ ■ ■I■■ 42 2a■»a■ IIw « ■+ I *Ji75)+ 1■I I *4- i I C I +0 …bl*-11- ra解1)按第一列展开得x F 0t)0X... 00 y00 (00)0 龙y000X... 00 X y0 (00)■ I -K■ * I ■ 4 I»■I- 4 I »■I I 4-冥■ 41» II-■11+I ■ 4■ -K I十(-1严》■ * II- fiE ■ I-■ I «I »■ 4■ 40 0 0* ■ ■■X y00… x y仃00 …y0y0 0¥«l>0X10… o工L-i y00y 也可以按定义计算，非零项只有两项及'—…「八值分别为"和厂，符号分别为+和「，因此原行列式1?，T2)解：当阅i时，行列式等于问■対；当"2时当吃二三时，从第二列起，每一列减去第一列得:1)X y I〕 (00)Q y… o00 0c… K yy ri c 0■ ■■原行列式a】—J】-打口1 —血g —^2cjj tij 0勺一外旳-每a2~\幻一还=S1 - 也)01—爲)1也■■■ 耳]乃… G1心一烧 ■■■ X”'j-m …（S 為一=（壬再-i-L■ 4 B * ■■ 4 I« ■ I-■ * II I- 4# I II 3- I]八• 耳-附0 …-W3=（备-觀）（-计工 1_的冷 …G抵 … 召 1 ■ V亏_朋 …兀■ » 1 1 « ■« ■ »—S x iH■ _枕 1 七—枕 …丹H ■ n ■ ■ ■■ ■ ■… 召一翩鬥一懣勺 …码一规d-1从第二列起，每一列都加到第一列然后提取因子得3）解: 1 2 2 …2122 (2)10 0 ... 0 2 2 2 (2)1 00 0122 (2)223 -2 二 10 1 0二—1 0■ ■ ■• ■ V ■■ ■■ 4 ■ » ■ V ■ ■■ » ■ ■ ■'■ ■■ '■■ * ■« ■ » » ■ ■ 2 22 … •吃]…丹一210 0 (2)两行后化为三角形得: 然后交换解: 4）1,2 从第二行起每一行减去第一行, 123•… 用- 1V-423 …73-11 -1 0 ■- 0.5—1 -10 …0 0 0 2 -2・・・0 =2-2…0 …用—11—料« ■ |>0 ■> 1 10 ■ 1 V■> 1 10 … 1 « ■ N-1■ i V1一冷2列起每一列都加到第 然后按第一列展开得到:列, 1 也可以除第 12 -122行外,3 0 -2「行都减去第2行，然后化为三角形计算.崔一 10 05）解：从第» 1二&連2…吐（附一龙―）；j-1康------ （］二 2,3"■，聊 +1）证明：从第2列起，每一列的-倍加到第一列即可得:二 1 用_壬_% 11 (1)11 -1j>l 葩1的 0 ■ 0 01 ■1 巾0 B ■1・・・ 0 二 0 0 禺 ■ ■■ 0 1 0 0・・■|> 0■ 0• ■0 1■-叫 证明：当“°时结论显然成立，当疋八时，第一行的工加到第二行，然后第\_行的工加到第三行，依次类推可得:18. -1 2 0-2耳一 1证明:-1 0■0 X -1甲0…0・・・X ・■-0 0 0a2 ■r0 0 (X)2. 00 ■■--1=F 4-df H _J x a_1+-- +(j 1A + a 0;小+"学…笋+禺）"+%严i w+飾证法二：按最后一列展开即可得.证法三：按第一行展开再结合数学归纳法证明•证法四：从最后一行起，每一行乘以X 加到上一行，然后按第一行展开可得:X0… 0 %A0 0-1 X 0 …hX0 …盘］a -1 X …-1 X 0■ ■ ■ ■ ■二・■ ■* ■1- ■■* * ■« H■ ■ ■ ■■ 1 1 ■ ■■a 0 0 *■'0 0 0 '•*a0 0 …「1Q0 0 …-1兀+J1IJ0 0 … 0 孟"+|2”］乳"1+■■・+(3］工+口0 -1 00 … 0 茂 +务+…的 0 -1 0 … 0 9 —□»—3X ++ …眄H ■ ■ 11 « ■ - *B■ ■ ■■0 D 0 0■■ 9 V ］X0 0 …-10… ■ || -1 ■ b■ ■a 0 0 …0 0 0…叫■ ■ ■>3x 00…0丸 00 -1乳…4H■0 0 0 0 00…T x 十氐」A 0=(—l)w+l(X™ +込_]才】+…+ fif[北+引) -1) 二(-1严*0 + )(-1) "_1 = 十…+硯丸+% 就+ $ afi 0 … 0 0 1 ar+ ap … 0 00 1 口十0… 0 0 ar —Q"■ ■ 1 ■ ■ ■ ■ Hl H ■ ■ ■ in H ■ ■ a- Q ' 0 0 0 … C£-\- jS3) C1 0 0 … 1 少+ fl0 解:原行列式按第一行展开得：'.「+广―-一―’丁，一•因此有 即J是以 ■ 宀-为首项，以二为公比的等比数列.因此有 & _类似有必％二才.当“0时，解得H a-^ . 证法二：按第一行展开找到递推关系，再结合数学归纳法加以证明 1 2cos C& 1 cos a 10 4) 证明：对行列式的级数用第二数学归纳法证明 _ cos a 1 1 2cosa *2 =2 cos 4 一 1 = 2d ，因此结论成立. 假设当级数小于T 时结论成立，对咛级行列式匚按最后一行展开得: D K = 2cos^r - D S _2 = 2 cos a - cos(^-l)a-匕加山 一2)口=2 cosc<>s[(?;- l)dU-iT]=-l)a- sin asinfw- l)dr = cos na由数学归纳法，结论成立• 注意：因为主对角线上第一个元素为 曲口，其它主对角线上元素为 2l:<:;-，本行列式按第一行展开得到的低级数行列式与原行列式形式不同，无 法得到与 *兀 之间的递推关系，而按最后一行可得到递推关系 1 1 -I-心1a 1二甸孔…碍门+卫—)■ i-ia. 证明：从第二行起,再三角化 1 +盘]1 1 …11 + 位1 11 (1)1 1亠①1 …1_口］ 叫 0 … 0 1H 1- 1 1 ]+也… 1 ■#1 ■ ■ = _筍 0 ■ ■ ■ … 0 II '■ i11• # I■ 15一口1 00 ■… 仇行减去第一行先化为爪形行列式, 11+&1+ E 竺 z a 2 0=0+^1 + S —)^3-^ "曲他…耳(1十艾丄)2-1 [7^19.用克拉默法则解下列线性方程组:z! J L j —x、十3兀m 2工4 二b” 3ij 一3叼+ 3x?+ 2工斗二5 , 3x{-x2—x5+ 2X4-3t 予冋_花+3也一筍=4;巧 + 2 貫2 + 3xj —2 珥—6,2& -J?3 - 2也一窃=&3%! + J L5-A S+二4,2町-3工2 +2兀§ +筍=_&扎+ 2心-2屁十4兀-x. = -1,2xj- +3X3一4旺 + 2^ = 8 彳弓站+阳-电+ 2^4一心=3,4x:十3x立+4延十2耳十2心=-2f 兀一两一阿+2A4-弓召=-3,解：1）系数行列式= -29 一1 0 =-70,3 1 -1出二弓24同二3纽£ =64&厶二■艾4£= ・6J&322-1 3 2 F3 2 3-33 2 3-1 20 2 ■40 ~ 03 -1 3 -1 3 -1P-1-32-11-311 2-3 21 -1故方程组的解为:5开i + 6勺=1Xj + 5% 4 陆=0© + 5衍-F6A4=也+ 5X4十&屯=0& +%5 - 1 2.优质文档颅=虫 =L 呵=佥 =2,旳=佥 =-1曲=—--2故方程组的解为：d d d &3）d=2A, 口二込 禺=■弓苑 £ =-迥 £ = 1私 ^ = 312?故方程组的解为：& = 4再= -14內=7耳=7f x_5 = 13.2 -二艰-2D 3）二 9（厶-二 27（2 - 2耳）=243r爲=-1145f ^3 =703^4= -395, & = 212?定的数，用克拉默法则证明：存在唯一数域 卩上的多项式/W =护Z 十应丘月+…+q_i使炖)二虬2 1,2严皿j6 0 06 0 0 01 5 6 05 6 0 0] 1 5 61 5 6 00 1 50 1 5 62二3畑,2><艾二血0 0C i = 1507,5 65证明:设畑二占+占+・十“，由/(%)=鸟得4）51ij 00 65 1 00 0 0 6 5口 - 2D* = 243?D - 3D 二 32,W57 . 1145 229 70379 6劭宀—^65 一 133P*1320.设丄宀…： 是数域』 '中互不相同的数，665中任一组给洛鶯…也是数域两二212& =10 100 =20 4001000 18000 =6x1出1系数行列式- 0 03100-0.05400-0.0890030 9Q01 12A =12xl0\391000 -3 1 1sooo= ltf-5 2 4= -5000,27000-8 3 9^ = 1800, £=70 +勺』丹+…+町龙-+叼皿：=b n.把它看成关于''m ■"' --r：：的线性方程组，其系数行列式为一范德蒙德行列式, 由互不相同可得系数行列式不为0,由克拉默法则，方程组解唯一，即满足…］的多项式唯一.21.设水银密度；与温度厂的关系式为h二口©十厘］t +僅/2 +殍*由实验测定得以下数据:t0n C icru 20" C30" Ch13.6013.5713.5513.52求'_ ' 1 ' 1时水银密度（准确到小数2位）.解：将实验数据代入关系式■■+」得:「％=13.60,術+10^ +100^2 +1000^3 = 13.57,砌 + 20d| + 400码+ 8000^ —13 55a a+ 30<a1+900a2 +27000 碍=13.52整理后得一'以z满足的方程组为:10^+100^+1000^ = -0 03, ；20^jj+400tZj + 8000lOj =—0.05,30^ + 900d2+ 27000^ = -0 08.故陽=1.5x10^,^ 二一3.3x10』2700013.6-4.2x10-^+ 1.5xW"l i;l-3.3xl0V.当心1兀，"1艮阪当“轲c时，"门乖健康文档放心下载放心阅读。
线性代数第二章行列式展开
0
3 4 0 0 0 2
2 14 1 1 1 28
3 4 1 1
1 1
1 1 1
四、伴随矩阵 1、定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式 Aij 所 构成矩阵的转置.
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann 称为矩阵 A的伴随矩阵. 2、运算规律
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
命题得证
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 ,当 i j; k 1
A （假定所有运算合法， B 是矩阵， R ）
A11 A A 12 A1n
（1） A
A
T T
（2） AB B A
AA a11 证明 a AA 21 a n1
性质
A A A E. a12 a1n A11 a22 a2 n A12 an 2 ann A1n
解：原式
0 0 0 1
9 10 2 4
9
1
2
9
1
2
10 11 1 109 0 23 按第 列展开 1 2 5 3 43 0 7
109 23 monde)行列式
1 x1 2 Dn x1
n x1 1
1 x2 2 x2
1 xn 2 xn
n n x2 1 xn 1
第二章行列式
由例5立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是 这 个数中至少有两个相等.另外，我们可用例5的结果直接计算行列式，如
在计算行列式时，有行列式的展开式法则，可以先用行列式的性质将行列式中的某一行(列)化为仅含有一个非零元素，再按此行（列）展开变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。
如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0，然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为0.再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式，如此继续下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值
【例5】计算行列式
因此利用二阶行列式的概念，我们可以把 ， 的系数二阶行列式的形式，记
那么方程组的解可以写为
例求解二元线性方程组
解：
因此
二三阶行列式
定义，设有9个数排成三行三列的数表
记
上式称为数表所确定的三阶行列式。
行列式的计算（1）沙路法
(2)对角线法则
注意：红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．
其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.
证用数学归纳法.因为
，
所以当 时公式成立.现假设公式对于（ ）阶范德蒙德行列式成立，要证对 阶范德蒙德行列式也成立.
对 降阶：从第 行开始，后行减去前行的 倍，有
按第一列展开，并把每列的公因子 提出，得到
上式右端的行列式是（ ）阶范德蒙德行列式，由归纳假设，它等于所有因子 乘积.故
解：因为 ，而 的逆序数为
，
所以 的前面应带负号.
行列式的性质
记 ，
行列式 称为行列式 的转置。