北京市一零一中学2013届九年级数学寒假作业：专题十一 实际问题与二次函数
九年级数学上册19二次函数和反比例函数实际问题与二次函数一课后练习新版北京课改版
三. 解答题
11.2020年5月9日，我市成立了首支食物药品犯法侦缉支队，专门冲击危害食物药品平安的违法犯法行为，食物平安已愈来愈受到人们的关注. 我市某食物加工企业严把质量关，踊跃生产“绿色健康”食物，由于受食物原料供给等因素的阻碍，生产“绿色健康”食物的产量随月份增加呈下降趋势. 今年前5个月生产的“绿色健康”食物y（吨）与月份（x）之间的关系如下表：
当EF2+FG2+GH2+HE2最小为8时，可得，
AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH，
即E、F、G、H为正方形ABCD四边的中点，
由此得出四边形EFGH为正方形，其面积为EF2=BF2+BE2=2.
故填2.
8.答案：4.5.
解析：设他用x分钟才能抵达队首，
依照题意得：（80-60）x=90，
解得：x=4.5，
那么他用4.5分钟才能抵达队首.
故答案为：4.5
9. 答案：57.5
解析：设售价为x，那么销售个数为500-20（x-50）
∴y=（x-40）×（500-20x+1000）
=-20（x-40）（x- 75）
=-20（x2-115x+3000）
=-20（x-57.5）2-60000+66125
经调查得知，假设咱们把每日租金定价为160元，那么可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人. 每间住了人的客房每日所需效劳、维修等项支出共计40元. 定价（ ）才能赚最多的钱.
A. 160B. 240C. 360D. 450
北京中考2013一模23题,一元二次方程二次函数的综合题
东城已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数． 西城)23．已知关于x 的一元二次方程22(4)0x a x a +++=． (1) 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 抛物线21:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ．求抛物线2C 的解析式；(3) 点A (m ,n )和B (n ,m )都在(2)中抛物线C 2上，且A 、B 两点不重合，求代数式33222m mn n -+的值．海淀23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-．（1）求B 点坐标；（2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．石景山) 如图，直线33y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线1C 交x 轴于另一点M （-3,0）.(1)求抛物线1C 的解析式；(2)直接写出抛物线1C 关于y 轴的对称图形2C 的解析式； (3)如果点'A 是点A 关于原点的对称点，点D 是图形2C 的顶点，那么在x 轴上是否存在点P ，使得△PAD 与△'A BO 是相似三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.丰台)二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，其顶点坐标为M (1,-4)．（1） 求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n =+与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．平谷)23. 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0. （1）判定方程根的情况；（2）设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．昌平)已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点； （2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =103，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围.-1-111xO y怀柔)23． 已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ． （1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值;（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.通州). 已知二次函数()2214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且32-<1x <12-．（1）求k 的取值范围；（2）设二次函数()2214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若O M O B =，求二次函数的表达式；（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2214y x k x k =-++的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积.延庆如图，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A(4,0)、B(1,3) .（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.顺义)已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.房山)23.已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. （3）设平行于y 轴的直线x=t 和x=t+2分别交线段AB 于E 、F ，交二次函数于H 、G.①求t 的取值范围②是否存在适当的t 值，使得EFGH 是平行四边形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由. 密云燕山)己知二次函数)12(221-+-=t tx x y (t >1)的图象为抛物线1C ．⑴求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点；⑵已知抛物线1C 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线2C ：22)(t x y -=，平移后A 、B 的对应点分别为D (m ，n )，E (m ＋2，n )，求n 的值．⑶在⑵的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线b x y +-=21(b <3)与图形G 有且只有两个公共点，请结合图象求b 的取值范围．大兴如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式； （2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由.O xy32-1121-1答案2013东城一模)23．解：(1)证明： Δ=23)4(1)m m +-+（ =26944m m m ++-- =225m m ++ =2(1)4m ++．∵ 2(1)m +≥0， ∴ 2(1)4m ++＞0．∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. …………2分 （2） 解关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0，得 23(1)42m m x --±++=. ………………3分要使原方程的根是整数，必须使得2(1)4m ++是完全平方数. 设22(1)4m a ++=， 则(1)(1)4a m a m ++--=.∵ a +1m +和1a m --的奇偶性相同， 可得12,1 2.a m a m ++=⎧⎨--=⎩或12,1 2.a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩解得2,1.a m =⎧⎨=-⎩或2,1.a m =-⎧⎨=-⎩. ………………5分将m =－1代入23(1)42m m x --±++=，得122,0x x =-=符合题意. ………………6分∴ 当m =－1 时 ，原方程的根是整数. ……………7分西城)（1）证明：∵22(4)4216a a a ∆=+-⨯=+， …………………………………1分 而20a ≥，∴2160a +>，即0∆>.∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. …………2分 （2）解：∵当2ax =时，0y =， ∴22()(4)022a aa a ⨯++⨯+=.∴230a a +=，即(3)0a a +=.∵0a ≠，∴3a =-. ………………………………………………………… 3分∴抛物线1C 的解析式为22125232()48y x x x =+-=+-. ∴抛物线1C 的顶点为125(,)48--. ∴抛物线2C 的顶点为(0,3)-.∴抛物线2C 的解析式为223y x =-. …………………………4分（3）解：∵点A （m ，n ）和B （n ，m ）都在抛物线2C 上，∴223n m =-，且223m n =-. ∴222()n m m n -=-. ∴2()()n m m n m n -=-+. ∴()[2()1]0m n m n -++=. ∵A 、B 两点不重合，即m n ≠， ∴2()10m n ++=. ∴12m n +=-. ……………………………………………………… 5分 ∵223m n =+，223n m =+， ∴33222m mn n -+ 22222m m mn n n =⋅-+⋅ n m mn m n ⋅++-⋅+=)3(2)3().(3n m += ………………………………………………………………6分32=-. ………………………………………………………………7分海淀解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为212mx m-=-=.………………………1分 ∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-， ∴点B 的坐标为 (4,0)．………………………2分（2）∵点B 在直线y =12x +4m +n 上， ∴024m n =++①.∵点A 在二次函数2-2y mx mx n =+的图象上， ∴044m m n =++②. ………………………3分 由①、②可得12m =，4n =-. ………………………4分 ∴ 抛物线的解析式为y ＝2142x x --，直线的解析式为y ＝122x -． ……………5分（3）-502d <<． ………………………7分 石景山)．解：（1）设抛物线的解析式为：2(0)y ax bx c a =++≠ ∵直线33y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，∴A 点坐标为（1,0）、B 点坐标为（0,3）. ………………1分 又∵抛物线经过A 、B 、M 三点，∴0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.∴抛物线1C 的解析式为：223y x x =--+．………………2分（2）抛物线1C 关于y 轴的对称图形2C 的解析式为：223y x x =-++. ……3分 （3）'A 点的坐标为（-1,0），∵223y x x =-++=2(1)4x --+， ∴该抛物线的顶点为(1,4)D ．………………………………4分 若△PAD 与△'A BO 相似，①当DA AP =3'BO OA =时，43AP =，P 点坐标为1(,0)3-或7(,0)3……………5分 ②当DA AP =1'3BO OA =时，12AP =，P 点坐标为(11,0)-或(13,0)…………6分 ∴当△PAD 与△'A BO 是相似三角形时，P 点坐标为1(,0)3-或7(,0)3或(11,0)-或(13,0) ………………7分丰台解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数k m x y ++=2)(的顶点坐标，所以324)1(22--=--=x x x y ………………………1分令,0322=--x x 解之得3,121=-=x x .∴A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3,0）……………………3分 (2) 如图1，当直线)1(<+=b b x y 经过A 点时，可得.1=b当直线)1(<+=b b x y 经过B 点时，可得.3-=b由图可知符合题意的b 的取值范围为13<<-b ------------------- 7分 平谷)解：（1）2242(1)8.m m ∆=-⨯⨯-=+ …….…………………………………………….1分 ∵ 20,m ≥∴ 280.m ∆=+>所以无论m 取任何实数，方程221x mx +-=0都有两个不相等的实数根. ………..2分(2)设221y x mx =+-．∵ 2210x mx +-=的两根都在1-和32之间， ∴ 当1x =-时，0y >，即：210m --> ．当32x =时，0y >，即：931022m +->．∴ 1213m -<<． ………………………..………..………………………………3分∵ m 为整数，∴ 210m =--，，． …………………………………………………………….. 4昌平23．（1）证明：当y =0时，得220x kx k -+-=.∵22244(2)(2)4b ac k k k -=--=-+. ∵2(2)0k -≥， ∴2(2)40k -+>.∴无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点. ……………………3分（2）解：如图，过点P 作P A ⊥x 轴于A ,则∠OAP =90°，依题意得：104,sin 35OP POA =∠=.∴8,23AP OA ==.∵n <0,∴8(2,)3P -.∵P 在抛物线上， ∴84223k k -=-+-+. ∴23k =-. ∴抛物线解析式为22833y x x =--+.………………………………………5分（3）当y =0时，228033x x +-=. ∴1242,3x x =-=，∴抛物线与x 轴相交于点4(2,0),(,0)3.B C -当直线y = - x + b 经过点C （-2，0）时，b = -2. ………………………………………6分当直线y = - x + b 与抛物线228+-33y x x =相切时，22833x +x-x b =-+，∴△ = 2584()093b ++=. ∴b=12136-.……………………………………………………………………7分∴ 当12136-＜b ＜-2时，直线与图形M 有四个交点. (8)怀柔 (1)证明：①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根.…… 1分C BAP yOx11-1-1②当k≠0时, ()34132⋅-+=∆k k=k k k 121692-++ =1692+-k k=()0132≥-k ………………………………2分所以,方程有实数根综上所述，无论k 取任何实数时，方程总有实数根 （2）令0y =，则03)13(2=+++x k kx 解关于x 的一元二次方程，得x 1=-3 ，x 2=k1-……………………3分 ∵ 二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数， ∴k =1………………４分（3）由（2）得抛物线的解析式为342++=x x y 配方得y=(x ＋2)2－1∴抛物线的顶点M （－2，－1） ∴直线OD 的解析式为y=21x于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h ，21h ）， (5)分∴平移后的抛物线解析式为y=（x －h ）2＋21h ．①当抛物线经过点C 时，∵C（0，9），∴h 2＋21h=9，解得h=41451-±． ∴ 当4145-1-≤h＜41451-+ 时，平移后的抛物线与射线CD 只有一个公共点．………………………………………………………………6分②当抛物线与直线CD 只有一个公共点时， 由方程组y=（x －h ）2＋21h ，y=－2x ＋9．得 x 2＋（－2h ＋2）x ＋h 2＋21h －9=0，∴△=（－2h ＋2）2－4（h 2＋21h －9）=0，解得h=4．此时抛物线y=（x －4）2＋2与射线CD 唯一的公共点为（3，3），符合题意 (7)分综上：平移后的抛物线与射线CD 只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或4145-1-≤h＜41451-+．通州解：(1)令0y =，则()22140x k x k -++=解方程得：2x k =或2x =， ……………… 1分； 由题意得：()20A k ，，()20B ，， ∴ 31222-k <<-， ∴3144k -<<-. ……………… 2分；(2)令0x =，则4y k =， ∴()04M k ，， ∵OM OB =，∴ 42k -=， ……………… 3分； ∴ 12k =-， ∴22y x x =--. (4)分；或∵OM OB =，()20B ，， ∴()0M ，-2，把点M 的坐标分别代入()2214y x k x k =-++中，∴42k =-， ……………… 3分； ∴ 12k =-， ∴22y x x =--. (4)分；(3)2，517+，517-. （每个答案各1分） ……………… 7分．422510AOB延庆)解：（1）将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：2244b 013c b c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩…………………………1分 解之得：b=4，c=0 …………………2分 所以抛物线的解析式为：24y x x =-+……3分 将抛物线的表达式配方得：()22424y x x x =-+=--+所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）…………………4分 （2）点p （m ，n ）关于直线x=2的对称点坐标为点E （4-m ，n ），则点E 关于y 轴对称点为点F 坐标为（4-m,-n ），……………………………………5分 则四边形的面积OAPF=4n =20所以n =5，因为点P 为第四象限的点，所以n<0，所以n= -5 ………6分代入抛物线方程得m=5 …………………………………………………7分顺义（1）证明：①当0m =时，方程为220x -+=，所以 1x =，方程有实数根.…… 1分②当0m ≠时, []2(32)4(22)m m m ∆=-+-+ =22912488m m m m ++-- =244m m ++=2(2)0m +≥ ………………………………2分 所以,方程有实数根综①②所述，无论m 取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分（2）令0y =，则2(32)220mx m x m -+++=解关于x 的一元二次方程，得11x = ，222x m=+……………………5分 二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数， 所以m 只能取1，2所以抛物线的解析式为254y x x =-+或2286y x x =-+………………7分 房山)解：（1）根据题意，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交点为（1,0）和（5,0）----1分∴102550b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得65b c =⎧⎨=-⎩.∴抛物线的解析式为265y x x =-+-. --------------------2分（2）∵265y x x =-+-的图象过A （32，m ）和B （4，n ）两点 ∴ m=74，n=3 ， ∴A （32，74）和B （4，3） ------------ 3分 ∵直线y kx b =+（k ≠0）过A （32，74）和B （4，3）两点∴372443k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. ∴直线的解析式为112y x =+. -------------------4分 （3）①根据题意3224t t ⎧⎪⎨⎪+⎩＞＜，解得32≤t ≤2 -------------------5分 ②根据题意E （t ，1t 12+），F （t+2，1t 22+）H （t ，2t 6t 5-+-），G （t+2，2t 2t 3-++），∴EH=211t t 62-+-，FG=23t t 12-++. 若EFGH 是平行四边形，则EH=FG ，即211t t 62-+-=23t t 12-++解得t=74， - ---------------------6分∵t=74满足32≤t ≤2.∴存在适当的t 值，且t=74使得EFGH 是平行四边形.----------7分密云（1）当2k =-时，(1,2)A -A 在反比例函数图像上∴设反比例函数为k y x =，代入A 点坐标可得2k =-2...........................2y x-∴=分（2）要使得反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，0.....................k ∴<分 而对于二次函数2y kx kx k =+-，其对称轴为12x =-，要使二次函数满足上述条件，在0k <的情况下， 则x 必须在对称轴的左边，(图为一种可能的情况)即12x <-时，才能使得y 随着x 的增大而增大………………..4分∴ 综上所述，则0k <，且12x <-（3）由(2)可得15(,)24Q k --ABQ ∆是以AB 为斜边的直角三角形A 点与B 点关于原点对称，所以原点O 平分AB又直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半...........................5OQ OA OB ∴==分 作AD OC ⊥，QC OC ⊥222125416O Q C Q O C k=+=+ 而2221OA AD OD k =+=+221251416k k ∴+=+， 则233k =，或23...................................73k =-分燕山)⑴ 令01=y ，得△＝222)1(4484)12(4)2(-=+-=---t t t t t ， …………1分∵t >1，∴△＝2)1(4-t >0，∴无论t 取何值，方程0)12(22=-+-t tx x 总有两个不相等的实数根，∴无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点． ………………………2分 ⑵解法一：解方程0)12(22=-+-t tx x 得，11=x ，122-=t x ， ………………………3分∵t >1，∴112>-t ．得A (1，0)，B (12-t ，0)， ∵D (m ，n )，E (m ＋2，n )， ∴DE ＝AB ＝2，即2112=--t ，解得2=t ． ………………………4分 ∴二次函数为1)2(34221--=+-=x x x y ，显然将抛物线1C 向上平移1个单位可得抛物线2C ：22)2(-=x y ，故1=n ． ………………………5分 解法二：∵D (m ，n )在抛物线2C ：22)(t x y -=上，∴2)(t m n -=，解得n t m ±=， ………………………3分 ∴D (n t -，n )，E (n t +，n )，∵DE ＝2，∴n t +－(n t -)＝n 2＝2， ………………………4分 解得 1=n ． ………………………5分 ⑶由⑵得抛物线2C ：22)2(-=x y ，D (1，1)，E (3，1)， 翻折后，顶点F (2，0)的对应点为F ＇(2，2)， 如图，当直线b x y +-=21经过点D (1，1)时，记为1l ， 此时23=b ，图形G 与1l 只有一个公共点； 当直线b x y +-=21经过点E (3，1)时，记为2l ，此时25=b ，图形G 与2l 有三个公共点；当3<b 时，由图象可知，只有当直线l :b x y +-=21位于1l 与2l 之间时，图形G 与直线l 有且只有两个公共点， ∴符合题意的b 的取值范围是2523<<b ． …………………7分 大兴解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，， 解得.∴ 抛物线为y=﹣x 2+2x+3 . ………………………………………1分又设直线为y=kx+n 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得,， 解得.∴ 直线AC 为y=x+1 . ………………………………………2分 （2）作N 点关于直线x=3的对称点N ′，则N ′（6，3），由（1）得D （1，4）， ∴ 直线DN ′的函数关系式为y=﹣x+当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小则m=﹣×=………………………………………4分（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上，∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=，∴E（，3172-）或（，）满足条件的点E为E（0，1）、（，3172-）或（，）.。
初三数学(上)人教版寒假作业(5)二次函数与一元二次方程(有答案)
初三数学（上）人教版寒假作业（5）二次函数与一元二次方程一、单选题1.如图,抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,0,-对称轴为: 直线1x =,则下列结论中正确的是:( )A. 0a >B.当1x >时, y 随x 的增大而增大C. 0c <D. 3x =是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个根2.已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过()3,0-与()1,0两点，关于的方程()200ax bc c m m +++=>有两个根，其中一个根是3．则关于x 的方程()200ax bc c n n m +++=<<有两个整数根，这两个整数根是( )A ．2-或0B ．4-或2C ．5-或3D ．6-或43.抛物线23y x bx =++的对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程230x bx t ++-=（t 为实数）在14x -<<的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．211t ≤<B ．2t ≥C ．611t <<D ．26t ≤<4.函数2y ax bx c =++的图象如图所示,那么关于x 的方程240ax bx c ++-=的根的情况是（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个异号的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根5.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则方程=20ax bx c ++=的根是( )A.121,1x x ==-B.120,2x x ==C.121,2x x =-=D.121,0x x ==6.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,关于x 的方程2(0)ax bx c m m ++=>有两个实数根,()αβαβ<,则下列选项正确的是( )A.31αβ-<<<B.31αβ-<<<C.31αβ<-<<D.3α<-和1β>7.已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根,则抛物线2y ax bc c =++与x 轴的交点个数是( )A.0B.lC.2D.38.二次函数2y x mx =-+的图象如图，对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A.5t >﹣B.53t -<<C.34t <≤D. 54t -<≤ 9.二次函数2=23y x x --的图象如图所示，则方程223=0x x --的根是（ ）A.1213x x ==-，B.1233x x =-=，C. 1213x x =-=，D.1210x x ==，10.若一元二次方程20ax bx c ++=的两根为13x =-，21x =-，则二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是( )A.直线2x =-B.直线2x =C.y 轴D.不能确定二、填空题11.抛物线2y ax bx c =++经过(3,0),(4,0)A B -两点,则关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx -+=-的解是_______.12.若二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线2x =,则关于x 的方程25213x bx x +-=-的解为______.13.已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根的和为______.14.如图，直线y mx n =+与抛物线2y ax bx c =++交于(1,),(4,)A p B q -两点，则关于x 的不等式2mx n ax bx c +<++的解集是__________.三、解答题15.已知二次函数2y x x =+的图象如图所示.（1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程21x x +=的根在图象上近似地表示出来，并观察图象，写出方程21x x +=的根（精确到0.1）；（2）在同一平面直角坐标系中画出一次函数1322y x =+的图象，观察图象，写出自变量x 在什么范围内时，一次函数的值小于二次函数的值；（3）如图，点P 是坐标平面上的一点，且在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后的二次函数图象的顶点落在P 点上，写出平移后二次函数的解析式，并判断点P 是否在函数1322y x =+的图象上，请说明理由.参考答案1.答案：D解析：图象开口向下, 0a <,故A 错误;对称轴是1x =,当时, y 随x 的增大而减小,故B 错误;图象与y 轴的交点在y 轴正半轴,则0c >,故C 错误;由图象的对称性可得,图象与x 轴的另一个交点的横坐标是3,则3x =是方程20ax bx c ++=的一个根.故选D.2.答案：B解析：3.答案：A解析：23y x bx =++的对称轴为直线1x =，2b ∴=-，223y x x -∴=+，∴一元二次方程230x bx t ++-=的实数根可以看做223y x x -=+与函数y t =的有交点， ∵方程在14x -<<的范围内有实数根，当1x =-时，6y =；当4x =时，11y =；函数223y x x -=+在1x =时有最小值2；211t ∴≤<；故选：A ．4.答案：A解析：∵2y ax bx c =++图象顷点的纵坐标为4,∴直线4y =与抛物线只有一个交点， ∴方程240ax bx c ++-=有两个相等的实数根.5.答案：C解析：由题图可知二次函数的图象与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)-，所以方程20ax bx c ++=的根为121,2x x =-=，故选C.6.答案：D解析：从题图中可知二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为直线1x =-与x 轴的一个交点坐标是(1,0)，∴与x 轴的另一 个交点坐标是(3,0)-，∴2ax bx c m ++=的根可以看作二次函 数2y ax bx c =++图象与直线y m =的交点的横坐标，如图，可知3α<-和1β>.7.答案：B解析：∵关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实 数根，∴抛物线2y ax bc c =++与x 轴的交点个数是1.故选B.8.答案：D解析：如图，二次函数2y x mx =-+的对称轴为2x =，()221m ∴-=⨯-解得4m =， ∴二次函数解析式为24y x x =-+，∴当1x =时，143y =-+=，当5x =时，2520 5.y =-+=-由图象可知关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，直线y t =在直线5y =-和直线4y =之间，包括直线4y =，所以54t -<≤.故选:D9.答案：C解析：由图象得抛物线与x 轴的交点坐标为()1)030(-，，，，所以方程2230x x --=的根为1213x x =-=，.10.答案：A解析：因为一元二次方程20ax bx c ++=的两根为13x =-，21x =-，所以二次函数2y ax bx c=++的图象与x 轴相交于点(3,0),(1,0)--，因此二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线3(1)22x -+-==-.故选A. 11.答案：122,5x x =-=解析：关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx -+=-变形为2(1)(1)0a x b x c -+-+=,把抛物线2y ax bx c =++沿x 轴向右平移1个单位得到2(1)(1)y a x b x c =-+-+，因为抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0),(4,0)A B -，所以抛物线2(1)(1)y a x b x c =-+-+与x 轴的两交点坐标为(2,0),(5,0)-,所以一元二次方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=的解为122,5x x =-=.12.答案：122,4x x ==解析：∵二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线2x =， ∴22b -=得4b =-， 则245213x x x --=-可化为2680x x -+=，解得122,4x x ==.13.答案：2解析：∵二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴为直线1x =， ∴12b a -=，∴2b a =-，∴关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根的和为2b a-=，故答案为2. 14.答案：14x -<<解析：观察题中函数图象，知当14x -<<时，直线y mx n =+在抛物线2y ax bx c =++的下方，所以不等式2mx n ax bx c +<++的解集为14x -<<.15.答案：（1）如图，作直线1y =，交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作AC x ⊥轴，垂足为C ，BD x ⊥轴，垂足为D ，则点C ，D 的横坐标即方程21x x +=的根.观察图象可知方程的根为121.6,0.6x x ≈-≈.（2）将0x =代入1322y x =+，得32y =， 将1x =代入1322y x =+，得2y =， ∴直线1322y x =+经过点30,,(1,2)2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 过这两点画直线1322y x =+，如图所示. 观察图象，可知当32x <-或1x >时，一次函数的值小于二次函数的值. （3）由图象，知原抛物线的顶点坐标为11,,(1,1)24P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， ∴将抛物线先向上平移54个单位长度，再向左平移12个单位长度，平移后抛物线的顶点落在P 点上.平移后二次函数的解析式为2(1)1y x =++，即222y x x =++.点P在函数1322y x=+的图象上.理由如下：把1x=-代入1322y x=+，得1y=，∴点P在函数1322y x=+的图象上.。
北京第十一中学中考数学期末二次函数和几何综合汇编
北京第十一中学中考数学期末二次函数和几何综合汇编一、二次函数压轴题1．某班“数学兴趣小组”对函数234y x x =-++的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x⋯ 5- 4-3- 2-32- 1- 0 13223 45⋯ y ⋯6- 04 62546 4 6 25464m⋯其中，m = ．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）直线y kx b =+经过325,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，若关于x 的方程234x x kx b -++=+有4个不相等的实数根，则b 的取值范围为 ．2．如图，抛物线213222y x x =-++与x 轴交于点A B 、，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 的坐标为()0m ,，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A、点B、点C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（3）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使BDQ△是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．某数学兴趣小组在探究函数y＝x2﹣2|x|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：（1）列表（完成下列表格）．x…﹣3﹣2﹣1﹣1212123…y…632236…（2）描点并在图中画出函数的大致图象；（3）根据函数图象，完成以下问题：①观察函数y＝x2﹣2|x|+3的图象，以下说法正确的有（填写正确的序号）A．对称轴是直线x＝1；B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2）；C．当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大；D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点；E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到．②结合图象探究发现，当m满足时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解．③设函数y＝x2﹣2|x|+3的图象与其对称轴相交于P点，当直线y＝n和函数y＝x2﹣2|x|+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求n的值．4．在数学拓展课上，九（1）班同学根据学习函数的经验，对新函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下：（初步尝试）求二次函数y=x2﹣2x的顶点坐标及与x轴的交点坐标；（类比探究）当函数y=x2﹣2|x|时，自变量x的取值范围是全体实数，下表为y与x的几组对应值．x…﹣3﹣52﹣2﹣1012523…y (35)40﹣10﹣10543…①根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分；②根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质．（深入探究）若点M（m，y1）在图象上，且y1≤0，若点N（m+k，y2）也在图象上，且满足y2≥3恒成立，求k的取值范围．5．如图1，点EF在直线l的同一侧，要在直线l上找一点K，使KE与KF的距离之和最小，我们可以作出点E关于l的对称点E′，连接FE′交直线L于点K，则点K即为所求．（1）（实践运用）抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）．如图2．①求该抛物线的解析式；②在抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PC 的值最小，并求出此时点P 的坐标及PA+PC 的最小值．（2）（知识拓展）在对称轴上找一点Q ，使|QA ﹣QC|的值最大，并求出此时点Q 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线W 1：y ＝14x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0）、B 两点，且过点C （0，﹣2）．抛物线W 2与抛物线W 1关于原点对称，点C 在W 2上的对应点为C ′．（1）求抛物线W 1的表达式； （2）写出抛物线W 2的表达式；（3）若点P 在抛物线W 1上，试探究：在抛物线W 2上是否存在点Q ，使以C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，边长为5的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点()0,4M 为顶点的抛物线经过点()4,0N -，点P 是抛物线上第一象限内一点，过P 点作PF BC ⊥于点F ，点E 的坐标为()0,3．连接PE ．（1）求抛物线的解析式； （2）求PE PF -的值；（3）①在点P 运动过程中，当60EPF ∠=︒时，点P 的坐标为________；②连接EF ，在①的条件下，把PEF 沿y 轴平移（限定点E 在射线MO 上），并使抛物线与PEF 的边始终有两个交点，探究P 点纵坐标n 的取值范围是多少？ 8．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x x =--+与x 轴分别交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．点P 是线段OA 上的一个动点，沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，过点P 作DP x ⊥轴，交抛物线于点D ，交直线AC 于点E ，连接BE ．（1）求直线AC 的表达式；（2）在点P 运动过程中，运动时间t 为何值时，EC ED =？（3）在点P 运动过程中，EBP △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线()2n n n y x a b =--+（n 为正整数，且120n a a a ≤<<<）与x 轴的交点为(0,0)A 和()1,0,2n n nn A c c c -=+．当1n =时，第1条抛物线()2111=--+y x a b 与x 轴的交点为(0,0)A 和1(2,0)A ，其他以此类推． （1）求11,a b 的值及抛物 线2y 的解析式．（2）抛物线n y 的顶点n B 的坐标为（_______，_______）；以此类推，第(1)n +条抛物线1n y +的顶点1n B +的坐标为（______，_______）；所有抛物线的顶点坐标(,)x y 满足的函数关系式是_________． （3）探究以下结论：①是否存在抛物线n y ，使得△n n AA B 为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线n y 的解析式；若不存在，请说明理由．②若直线(0)=>x m m 与抛物线n y 分别交于点12,,,n C C C ，则线段12231,,,n n C C C C C C -的长有何规律？请用含有m 的代数式表示．10．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x 2+b x+3经过A(1，0) 、B(－3，0)两点，与y 轴交于点C ．直线BC 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1，请探究在平移的过程中是否存在点 O 1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O 1的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连结AC ，请探究在抛物线上是否存在一点F ，使直线EF ∥AC ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由．二、中考几何压轴题11．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 是AB 边上的动点，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，CD ，点F ，G ，H 分别是AE ，CD ，AC 的中点． （1）观察猜想：△FGH 的形状是（2）探究论证：把△BDE 绕点B 按逆时针方向旋转到如图所示的位置，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）拓展延伸：把△BDE绕点B在平面内自由旋转，若BC=6，BE=2，请直接写出△FGH 周长的取值范围．12．综合与实践问题情境：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E是射线AD上的一个动点(不与点A重合)将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接CF交线段AB于点G，交AD于点H、连接EG．特例分析:(1)如图1，当点E与点D重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答：①求证：AF=CD；②用等式表示线段CG与EG之间的数量关系为：_______；拓展探究:(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上，且DE=AD时，“博睿”小组发现CF=2EG．请你证明；(3)如图3，当点E在线段AD的延长线上，且AE=AB时，EGCF的值为_______；推广应用:(4)当点E在射线AD上运动时，AE mAD n，则EGCF的值为______用含m.n的式子表示)．13．折纸是一种许多人熟悉的活动．近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸的一边三等分的精确折法，下面探讨其中的一种折法：（综合与实践）操作一：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；操作二：如图2，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应的点为D′；操作三：如图3，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD′折叠再展开，折痕MD′与边AB交于点P；（问题解决）请在图3中解决下列问题：（1）求证：BP＝D′P；（2）AP：BP＝；（拓展探究）（3）在图3的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD′折叠再展开，折痕CD′与边AB 交于点Q．再将正方形纸片ABCD过点D′折叠，使点A落在AD边上，点B落在BC边上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕EF与边AD交于点E，与边BC交于点F，如图4．试探究：点Q与点E分别是边AB，AD的几等分点？请说明理由．14．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．（1）概念理解：如图1，四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，90ADB ∠=︒，E 是AB 边上一点，满足DE AE =，试判断EF 是否为四边形ABCD 的准中位线，并说明理由．（2）问题探究：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点E 以每秒1个单位的速度，从点A 出发向点C 运动，动点F 以每秒6个单位的速度，从点C 出发沿射线CB 运动，当点E 运动至点C 时，两点同时停止运动．D 为线段AB 上任意一点，连接并延长CD ，射线CD与点,,,A B E F 构成的四边形的两边分别相交于点,M N ，设运动时间为t ．问t 为何值时，MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF 为四边形ABCD 的准中位线，AB CD =，延长FE 分别与BA ，CD 的延长线交于点,M N ，请找出图中与M ∠相等的角并证明． 15．问题提出（1）如图（1），在等边三角形ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连接AM ，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，则∠ACN ＝ °． 类比探究（2）如图（2），在等边三角形ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 拓展延伸（3）如图（3），在等腰三角形ABC 中，BA ＝BC ，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连接AM ，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使AM ＝MN ，连接CN ．添加一个条件，使得∠ABC ＝∠ACN 仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．16．△ABC 中，∠BAC=α°，AB=AC ，D 是BC 上一点，将AD 绕点A 顺时针旋转α°，得到线段AE ，连接BE ．（1）（特例感知）如图1，若α=90，则BD+BE 与AB 的数量关系是 ．（2）（类比探究）如图2，若α=120，试探究BD+BE 与AB 的数量关系，并证明．（3）（拓展延伸）如图3，若α=120，AB=AC=4，BD=332，Q 为BA 延长线上的一点，将QD 绕点Q 顺时针旋转120°，得到线段QE ，DE ⊥BC ，求AQ 的长．17．随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：（观察猜想）-（探究证明）-（拓展延伸）．下面同学们从这三个方面试看解决下列问题：已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN 放置与正方形ABCD 的B 重含，连接 AN 、CM ，E 是AN 的中点，连接BE ．（观察猜想）（1）CM 与 BE 的数量关系是________，CM 与BE 的位置关系是___________；（探究证明）（2）如图2所示，把三角板 BMN 绕点B 逆时针旋转(090)αα<<，其他条件不变，线段CM 与BE 的关系是否仍然成立，并说明理由；（拓展延伸）（3）若旋转角45α=︒，且2NBE ABE ∠=∠，求BCBN的值． 18．（模型构建）如图所示，在边长为1的正方形ABCD 中，DEF 的顶点E ，F 分别在AB ，BC 上（可与点A ，B ，C 重合），且满足45EDF ∠=︒．DEF 的高线DG 交线段EF 于点G （可与E ，F 重合），设DGk AD=．（1）求k 的值．（模型拓展）在（模型构建）的基础上，将条件“边长为1的正方形ABCD ”改为“长8AB =、宽6AD =的矩形ABCD ”（其他条件不变）．（2）判断k 的值是否改变．若改变，请求出k 的取值范围；若不改变，请证明． （深入探究）在（模型构建）的基础上，设DEF 的面积为S ．（3）①求S 的最小值；②当S 取到最小值时，直接写出DG 与GB 的数量关系．19．综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B '落在MN 上，折痕为EC ，连接DB '，如图2．①点B '在以点E 为圆心，_________的长为半径的圆上；②B M '=_________；③DB C '为_______三角形，请证明你的结论．拓展延伸（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点B '落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB '面积的最大值为____________；②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接,PQ AQP AB E '∠=∠，则2B C PQ '+的最小值为____________．20．如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点P 在斜边AB 上，点D ､E ､F 分别是线段PA ､PB ､PC 的中点，易知DEF 是直角三角形．现把DEF 以点P 为中心，顺时针旋转α，其中0360α︒<<︒．连接AD ､BE ､CF ．（1）操作发现如图2，若点P 是AB 的中点，连接PF ，可以发现=AD CF ______CF BE=______； （2）类比探究如图3，Rt ABC 中，CP AB ⊥于点P ，请判断AD CF 与CF BE 的大小，结合图2说明理由； （3）拓展提高在（2）的条件下，如果30CAB ∠=︒，且4AB =，在DEF 旋转的过程中，当以点C ､D ､F ､P 四点为顶点的四边形与以点B ､E ､F ､P 四点为顶点的四边形都是平行四边形时，直接写出线段AD ､CF ､BE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．（1）-6；（2）答案见解析；（3）①该函数的图象关于y 轴对称；②该函数的图象有最高点；（4）2544b <<． 【分析】（1）根据对称可得m=-6；（2）用平滑的曲线连接各点即可画出图形；（3）认真观察图象，总结出2条性质即可；（4）画出两函数图象即可得到结论．【详解】（1）由表格可知：图象的对称轴是y 轴，∴m=-6，故答案为：-6；()2如图所示()3①该函数的图象关于y 轴对称②该函数的图象有最高点；（4）由图象可知：关于x 的方程234x x kx b -++=+有4个不相等的实数根时，即y=kx+b 时，与图象有4个交点， 所以，由图象可以得出，当2544b <<时，直线与图象有4个不同的交点． 故答案为：2544b <<．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题和一元二次方程的根的情况，注意利用数形结合的思想，理解一元二次方程与抛物线的关系是解此题的关键．2．C解析：（1）1,04,00,2B C A -（），（），（）（2）当2m =，四边形CQMD 是平行四边形（3）存在，点Q 的坐标为3,2（），()8,18- ，()1,0-【分析】（1）根据函数解析式列方程即可；（2）根据平行四边形的判定，用含未知数的值表示QM 的长度，从而可求解;（3）设Q 点的坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭m m m ,分两种情况讨论：①当∠QBD=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ +=，②当∠QDB=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ =+，可解出m 的值.【详解】（1）令0x =，则2y =，C 点的坐标为（0,2）；令0y =，则2130222x x =-++ 解得121,4x x =-=，点A 为（-1,0）；点B 为（4,0） ∴1,04,00,2B C A -（），（），（）（2）如图1所示：点C 与点D 关于x 轴对称，点()0,2D -,设直线BD 的解析式为2y kx =-，将()4,0B 代入得：420k -= 解得12k = ∴直线BD 的解析式为：122y x =- ∵//QM DC∴当=QM DC 时，四边形CQMD 是平行四边形设Q 点的坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭m m m ，则1,22M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴2131224222m m m ⎛⎫-++--= ⎪⎝⎭解得12m = 20m =（不合题意，舍去）∴当2m =，四边形CQMD 是平行四边形（3）存在，设Q 点的坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭m m m ∵BDQ △是以BD 为直角边的直角三角形∴①当∠QBD=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ +=即()22222213134220222222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-+-+++=+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得13m = 24m =（不合题意，舍去）∴Q 点的坐标为3,2（）②当∠QDB=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ =+即()22222213134220222222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-+-++=++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得18m = 21m =-Q 点的坐标为()8,18- ()1,0-综上所述：点Q 的坐标为3,2（），()8,18- ，()1,0-.【点睛】本题考查了一次函数和抛物线的综合问题，解题的关键在于拿出函数解析式，会用含未知数的代数式表示出关键的点的坐标和线段的长度.3．B解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①B、D、E；②2＜m＜3；③n＝2或6．【分析】（1）把x＝﹣12，0，12分别代入函数表达式即可求解；（2）描点确定函数图象；（3）①结合图象，根据二次函数的性质依次判断各项即可求解；②根据二次函数的图象即可解答；③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，由此即可求解．【详解】（1）把x＝﹣12，0，12分别代入函数表达式得：y＝94，3，94；故答案为94，3，94；（2）描点确定函数图象如下：（3）①A．对称轴是直线x＝0，故错误；B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2），故正确；C．当﹣1＜x＜1时，函数在y轴右侧，y随x的增大而增大，故错误；D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点，正确；E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到，正确；故答案为：B、D、E；②从图象看，2＜m＜3时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解；③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，点P和图象上的点构成等腰直角三角形，即n＝2或6．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象，利用数形结合思想是解决问题的关键．4．【初步尝试】（0，0），（2，0）；【类比探究】①如图所示：②函数图象的性质：1．图象关于y轴对称；2．当x取1或﹣1时，函数有最小值﹣1；【深入探究】k≤﹣5或k≥5．【详解】【分析】【初步尝试】利用配方法将y=x2﹣2x化为顶点式，可得顶点坐标，令y=0，解方程x2﹣2x=0，求出x的值，即可得到抛物线与x轴的交点坐标；【类比探究】①根据表中数据描点连线，即可得到该函数图象的另一部分；②根据画出的图象，结合二次函数的性质即可写出该函数的两条性质；【深入探究】根据图象可知y1≤0时，﹣2≤m≤2；y2≥3时，m+k≤﹣3或m+k≥3，根据不等式的性质即可求出k的取值范围.【详解】【初步尝试】∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∴此抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；令y=0，则x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2，∴此抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）；【类比探究】①如图所示：②函数图象的性质：图象关于y轴对称；当x取1或﹣1时，函数有最小值﹣1；【深入探究】根据图象可知，当y1≤0时，﹣2≤m≤2，当y2≥3时，m+k≤﹣3或m+k≥3，则k≤﹣5或k≥5，故k的取值范围是k≤﹣5或k≥5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键.5．A解析：（1）①y=x2﹣2x﹣3，②点P的坐标为（1，﹣2），PA+PC的最小值为2（2）点Q的坐标为（1，﹣6）．【详解】分析：（1）①由点A、B的坐标可将抛物线的解析式变形为交点式，代入点C的坐标即可求出a值，此题得解；②由点A、B关于抛物线的对称轴对称可得出连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC的值最小，根据抛物线的解析式可求出其对称轴为直线x=1，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出过点B、C的直线的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出点P的坐标，再利用勾股定理求出线段BC的长即可；（2）连接AC并延长AC交抛物线对称轴与点Q，此时|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值为线段AC的长（三角形两边之差小于第三边），由点A、C的坐标利用待定系数法可求出过点A、C的直线的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出点Q的坐标，此题得解．详解：（1）①∵抛物线与x轴的交点为A（﹣1，0）、B（3，0），∴抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．∵抛物线过点C（0，﹣3），∴﹣3=（0+1）×（0﹣3）a，∴a=1，∴该抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．②∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC 的值最小，如图3所示．∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x=1．利用待定系数法可求出过点B、C的直线为y=x﹣3，当x=1时，y=x﹣3=1﹣3=﹣2，∴点P的坐标为（1，﹣2），PA+PC的最小值为BC22OB OC2（2）连接AC并延长AC交抛物线对称轴与点Q，此时|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值为线段AC的长，如图4所示．利用待定系数法可求出过点A 、C 的直线为y =﹣3x ﹣3，当x =1时，y =﹣3x ﹣3=﹣3×1﹣3=﹣6，∴点Q 的坐标为（1，﹣6）．点睛：本题是二次函数的综合题．考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质、二次函数解析式的三种形式以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）①根据点的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式；②由点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，找出当PA +PC 的值最小时点P 的位置；（2）利用三角形的三边关系找出使|QA ﹣QC |的值最大时点Q 的位置．6．A解析：（1）y ＝211242x x +-；（2）y ＝211242x x -++；（3）存在，Q 点坐标为（﹣6，10）或（6，﹣4）．【分析】（1）待定系数法：把A 、C 两点的坐标分别代入抛物线的解析式中，解方程组即可； （2）两抛物线关于原点对称，则其大小和形状相同，开口方向相反，则只要求出W 1的顶点坐标，即可求出它关于原点对称的抛物线W 2的顶点坐标，从而求得W 2的解析式； （3）按CC '是对角线和边分类，根据面积确定点P 或Q 的横坐标，代入函数关系式，从而求得Q 的坐标．【详解】解（1）把点A 、点C 的坐标分别代入y ＝14x 2+bx +c 中， 得：4402b c c -+=⎧⎨=-⎩， ∴b ＝12，c =－2，∴y ＝211242x x +-； （2）∵抛物线w 1：y ＝211242x x +-＝14（x +1）2﹣94的顶点是（﹣1，﹣94）， ∴w 2的顶点是（1，94），∴w 2的解析式是：y ＝﹣14（x ﹣1）2+94＝﹣14x 2+12x +2； （3）存在．由题意知，(02)C '，，则4CC '=． ①若CC ′是对角线，如图，∵W 1和W 2关于原点对称， ∴P 、Q 也关于原点对称， 设点P 到y 轴的距离为h ， ∵平行四边形PCQC '的面积=2PCC S '△∴122⨯CC ′•h ＝24， ∴4•h ＝24，∴h ＝6，即P 点横坐标是6或﹣6，当x ＝6时，y ＝14×62+12×6﹣2＝10， ∴Q （﹣6，10），当x ＝﹣6时，y ＝14×（﹣6）2﹣12×6﹣2＝4， ∴Q （6，﹣4），②当CC ′是边时，PQ ∥CC ′，PQ ＝CC ′，如图，设点Q （x ，211242x x -++），P （x ，211242x x +-）， 由①知：x ＝6或﹣6，当P （6，10）时，∵y ＝﹣14×62+12×6+2＝﹣4， ∴Q （6，﹣4），∴PQ ＝14≠4，当x ＝﹣6时，y ＝﹣14×（﹣6）2+12×（﹣6）+2＝﹣10， ∴PQ ＝14，∴PQ ≠CC ′，∴CC ′不能为边，综上所述，当C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24时，点Q 的坐标是（﹣6，10）或（6，﹣4）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，用到了分类讨论思想，本题第三问的关键是根据已知两个点，按边和对角线分类．7．F解析：（1）2144y x =-+；（2）0；（3）①()23,1；②32n -<≤ 【分析】（1）由题可设抛物线解析式为24y ax =+，将N 点坐标代入，求出a 即可求出抛物线的函数表达式．（2）过点P 作PH y ⊥轴于H ，由题可设2144P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，故可求出PF 的长．在Rt PHE 中，利用勾股定理可求出PE 的长，即发现PF PE =，故0PE PF -=． （3）①由题意易求30EPH ∠=︒，即12EH EP =．结合（2）即可列出关于m 的方程，解出m 即可求出此时P 点坐标．②根据题意可知将PEF 沿y 轴平移，使抛物线与△PEF 的边始终有两个交点的极限条件为：向上平移，一直到点E '与点M 重合前和向下平移，一直到点F '与点P 重合前．根据平移规律结合①即可得出答案．【详解】解：（1）由题可设抛物线解析式为24y ax =+，把()40-，代入，20(4)4a =⨯-+， 解得14a =-， ∴抛物线的函数表达式为2144y x =-+． （2）如图，过点P 作PH y ⊥轴于H ，由题可设2144P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，， ∴221154144PF m m ⎛⎫=--+=+ ⎪⎝⎭ ∵在Rt PHE 中，222PE PH EH =+，即222222222211()=()34144P E H P E P PE x y y x y y m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+--+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴2114PE m =+， ∴PF PE =，即0PE PF -=．（3）①由题意可知90HPF ∠=︒， ∵60EPF ∠=︒，∴906030EPH ∠=︒-︒=︒，∴12EH EP =． 由（2）可知221134414E P EH y y m m ⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭-=，2114PE m =+． ∴2211()211144m m +-=， 解得：122323m m ==-， 故2123(23)44P ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，即()231P ，．②根据题意可知将PEF 沿y 轴平移，使抛物线与△PEF 的边始终有两个交点的条件为：向上平移，一直到点E '与点M 重合前和向下平移，一直到点F '与点P 重合前． Ⅰ当PEF 沿y 轴向上平移，且点E '与点M 重合时，如图，.∵431M E EM y y =-=-=,∴此时P 点向上平移1个单位得到P '，即1112P p y y '=+=+=．∵点E '与点M 重合时，抛物线与△PEF 的边有两个交点，即当2P y '=时抛物线与△PEF 的边有两个交点，∴2n ≤．Ⅱ当PEF 沿y 轴向下平移，且点F '与点P 重合时，如图，.∵514F P PF y y =-=-=，∴此时P 点向下平移4个单位得到P '，即4143P P y y '=-=-=-．∵点F '与点P 重合时，抛物线与△PEF 的边只有一个交点，即当3P y '=-时抛物线与△PEF 的边只有一个交点，∴3n >-．综上可知32n -<≤．【点睛】本题考查二次函数综合，勾股定理，两点的距离公式以及含30角的直角三角形的性质．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．8．A解析：（1）4y x =+；（2）0t =或4t =3）存在，3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二次函数的解析式可以求出点A 和点C 坐标，把点A 和点C 的坐标代入联立方程组，即可确定一次函数的解析式；（2）由题意可得点P 的坐标，从而可得点D 的坐标，故可求得ED 的长，再由A 、C 的坐标可知：OA =OC ，即△AOC 是等腰直角三角形，因DP ⊥x 轴，故△AEP 也是等腰直角三角形，可分别得到AC 、AE 的长，故可得EC 的长，由题意EC =ED ，即可得关于t 的方程，解方程即可；（3）由EP =AP ，得EBP C EP BP BE AP BP BE AB BE =++=++=+△，AB 是定值，周长最小，就转化为BE 最小，根据垂线段最短就可确定点P 的特殊位置，从而求出点P 的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线234y x x =--+与x 轴分别交于点A 和点B ，交y 轴于点C ， ∴当0x =时，4y =，即()0,4C ，当0y =时，2340x x --+=，14x =-，21x =，即()4,0A -，()10B ,， 设直线AC 的解析式为：y kx b =+则044k b b =-+⎧⎨=⎩， ∴14k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的表达式：4y x =+．（2）∵点P 沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，∴OP t =，(),0P t -，∵DP x ⊥轴，∴(),4E t t --+，()2,34D t t t --++，∴24DE t t =-+∵()4,0A -，()0,4C ，∴4OA =，4OC =，∴△AOC 是等腰直角三角形，∴45CAO ∠=︒，由勾股定理得：AC =∵DP x ⊥轴，在Rt APE 中，45CAP ∠=︒，∴△AEP 也是等腰直角三角形，∴4AP PE t ==-，()24AE t =-，∴2EC AC AE t =-=，∴当242t t t -+=时，即0t =或42t =-时，EC ED =．（3）在Rt AEP △中，45OAC ∠=︒，∴AP EP =，∴EBP △的周长：EP BP BE AP BP BE AB BE ++=++=+．∴当BE 最小时EPB △的周长最小．当BE AC ⊥时，BE 最小，∵()10B ,， ∴5AB =，在Rt AEB 中，90AEB =︒∠，45BAC ∠=︒，5AB =，BE AC ⊥，∴1522PB AB ==， ∴32OP PB OB =-=， ∴3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题是综合与探究题，此类问题的考查特点是综合性和探究性强，考查内容是一次函数解析式的确定、特殊点坐标的确定、三角形周长最小值等，渗透了分类讨论、数形结合、转化等数学思想，难度较大．9．C解析：（1）1111a b =⎧⎨=⎩ ；y 2 ＝−（x−2）2＋4；（2）（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2 ]；y ＝x 2；（3）①存在，理由见详解；②C 1n -C n ＝2m ．【分析】（1）1(2,0)A ），则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得：()2112110=-0(-2-)a b a b ⎧-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩ ，则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4，即可求解；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B +[（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ，即可求解； （3）①△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2＋4n ），即可求解；②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2，y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n = y n c −y 1n c -，即可求解．【详解】解：（1）1(2,0)A ，则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得： 2112110=()0(2)a b a b ⎧--+⎨=---+⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩， 则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4； 故y 2 ＝−（x−2a ）2＋2b ＝−（x−2）2＋4；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B + [（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ；故答案为：（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2]；y ＝x 2；（3）①存在，理由：点A （0，0），点An （2n ，0）、点n B （n ，n 2 ），△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2 ＋n 4）， 解得：n ＝1（不合题意的值已舍去），抛物线的表达式为：y ＝−（x−1）2 ＋1；②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2，y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n ＝y n c −y 1n c -＝−（m−n ）2＋n 2 ＋（m−n ＋1）2−（n−1）2＝2m ．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，这种找规律类型题目，通常按照题设的顺序逐次求解，通常比较容易．10．F解析：（1）223y x x =--+，1x =-；（2）O 1(32-,32-)或（32-3）满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)． 【分析】（1）把A （1，0），B （-3，0）代入y=ax 2+bx+3即可求解；（2）先求出直线OO 1的解析式为y x =，再根据223x x x --+=，求解即可或是根据23(23)3x x x +---+=得出x 的值，再根据直线OO 1的解析式为y x =求解；（3）先求出直线EF 解析式为 33y x =--，再根据22333x x x --+=--求解即可．【详解】解：（1）将点A （1, 0），B （-3, 0）代入抛物线解析式y=a x 2+b x+3得：{309330a b a b ++=-+= 解得：{12a b =-=-∴抛物线解析式为 223y x x =--+∴2(1)4y x =++ ∴1x =-（2）∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°∴直线OO 1的解析式为y x =根据题意 得 223x x x --+=整理得 2330x x +-=解得 1x =232x -=∴O 1 )或) 解法2 ∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∴OC=3∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 01C 1=3∴23(23)3x x x +---+=整理得 2330x x +-=解得 1x =2x = ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°∴直线OO 1的解析式为y=x∴O 1 )(3)∵抛物线对称轴与x 轴交于点E,则点E 的坐标为E(-1,0),过点C 作CF ∥x 轴根据抛物线的对称性得F 的坐标为F(-2,3)∴AE=CF=2 ∵CF ∥AE ∴四边形CFEA 为平行四边形∴EF ∥CA设直线EF 的解析式为y kx b =+得：{320k b k b =-+=-+ 解得：{33k b =-=- ∴直线EF 解析式为 33y x =--根据题意 得 22333x x x --+=--解得12x =- 23x =满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题．二、中考几何压轴题11．（1）等腰直角三角形；（2）成立，见解析；（3）大于等于，小于等于．【分析】（1）先作出辅助线构造全等，进而证明FG 与DE 、AC 均平行，再利用平行线间存在的角度关系推导出∠GFH 为90°、∠FH解析：（1）等腰直角三角形；（2）成立，见解析；（3）大于等于422+，小于等于842+【分析】（1）先作出辅助线构造全等，进而证明FG 与DE 、AC 均平行，再利用平行线间存在的角度关系推导出∠GFH 为90°、∠FHG 为45°，从而证明△GFH 为等腰直角三角形；（2）先作出辅助线构造相似ABD CBE ~，从而证明FH 与GH 之间的比例关系，再利用角度之间的关系即可证明；（3）通过前两问证明得到△GFH 的周长与CE 长之间的关系，再通过观察E 点运动轨迹，分别找到CE 取得最大值和最小值的位置，解出CE 长，进而即可求得△GFH 周长的取值范围．【详解】。
北京市一零一中学2013届九年级数学寒假作业：专题十 二次函数与一元二次方程
专题十 二次函数与一元二次方程练习：1．求下列二次函数的图象与x 轴交点坐标，并作草图验证．（1）y=x 2－2x ；（2）y=x 2－2x －3．2．你能利用a 、b 、c 之间的某种关系判断二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？3、画出函数322--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？（2）当x 取何值时，y=0？这里x 的取值与方程 0322=--x x 有什么关系？（3）x 取什么值时，函数值y 大于0？x 取什么值时，函数值y 小于0？4、（1）已知抛物线324)1(22-+++=k kx x k y ，当k= 时，抛物线与x 轴相交于两点．（2）已知二次函数232)1(2-++-=a ax x a y 的图象的最低点在x 轴上，则a= ． 家庭作业：（2）如图，二次函数y=x 2-4x+3图像从图像可知当x= 时，y 有最小值，最小值是当x 时，y 随x 增大而增大。
当x 时，y 随x 增大而减小。
二次函数y=x 2-4x+3的图像与x 轴有 个交点，交点坐标是即：当x=1，x=3时y=0，也就是说一元二次方程x 2-4x+3=0的两个根是与y 有 个交点，交点坐标是当x ＜1或x ＞3时，图像上所有点的纵坐标都大于0，新 课 标 第 一 网也就是说当x ＜1或x ＞3时，y ＞0即：当x ＜1或x ＞3时x 2-4x+3 0当1＜x ＜3时，图像上所有点的纵坐标都小于0，也就是说当1＜x ＜3时y ＜0即：当1＜x ＜3时x 2-4x+3 02、画出函数y=x 2-3x-4的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？（2）当x 取何值时，y=0？这里x 的取值与方程x 2-3x-4=0有什么关系？（3）x 取什么值时，函数值y 大于0？x 取什么值时，函数值y 小于0？3、用函数的观点求证：方程x2-7x-8=0有两个不相等的实数根。
北师大版九年级下册数学[实际问题与二次函数—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习实际问题与二次函数—知识讲解（基础）【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题；2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型；3.培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点诠释：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.【典型例题】类型一、何时获得最大利润1.（2015•东海县二模）“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y （件）与售价x （元/件）之间的函数关系如图（20≤x≤60）：（1）求每天销售量y （件）与售价x （元/件）之间的函数表达式；（2）若该商品每天的利润为w （元），试确定w （元）与售价x （元/件）的函数表达式，并求售价x 为多少时，每天的利润w 最大？最大利润是多少？【思路点拨】（1）分别利用当20≤x≤40时，设y=ax+b ，当40＜x≤60时，设y=mx+n ，利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）利用（1）中所求进而得出w （元）与售价x （元/件）的函数表达式，进而求出函数最值．【答案与解析】解：（1）分两种情况：当20≤x≤40时，设y=ax+b ， 根据题意，得， 解得， 故y=x+20；当40＜x≤60时，设y=mx+n ， 根据题意，得， 解得，故 y=﹣2x+140；故每天销售量y （件）与售价x （元/件）之间的函数表达式是：20(2040)2140(4060)x x y x x +⎧=⎨-+⎩≤≤＜≤ （2）22(20)(20)400(2040)(2140)(20)21802800(4060)x x x x w x x x x x ⎧+-=-⎪=⎨-+-=-+-⎪⎩≤≤＜≤， 当20≤x≤40时，w=x 2﹣400，由于1＞0抛物线开口向上，且x ＞0时w 随x 的增大而增大，又20≤x≤40，因此当x=40时，w 最大值=402﹣400=1200；当40＜x≤60时，w=﹣2x 2+180x ﹣2800=﹣2（x ﹣45）2+1250，由于﹣2＜0，抛物线开口向下，又40＜x≤60，所以当x=45时，w 最大值=1250．综上所述，当x=45时，w 最大值=1250．【点评】1．读懂题意，弄清各个数量之间的关系是解决本题的关键；2．在实际问题中遇到最大(小)值问题时，往往先建立函数关系式，然后通过配方化为顶点式求解．举一反三：【变式】（2015•营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．【答案】22.【解析】解：设定价为x 元，根据题意得：y=（x ﹣15）[8+2（25﹣x ）] =﹣2x 2+88x ﹣870∴y=﹣2x 2+88x ﹣870，=﹣2（x ﹣22）2+98∵a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x=22时，y 最大值=98．故答案为：22．类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题2．如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?【答案与解析】(1)M(12，0)，P(6，6)．(2)设抛物线解析式为：2(6)6y a x =-+．∵抛物线2(6)6y a x =-+经过点(0，0)，∴20(06)6a =-+，即16a =-． ∴抛物线解析式为：21(6)66y x =--+，即2126y x x =-+．(3)设A(m ，0)，则B(12-m ，0)，C 2112,26m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，D 21,26m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． ∴支撑架总长22112(122)266AD DC CB m m m m m ⎛⎫⎛⎫++=-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 212123m m =-++21(3)153m =--+． ∵此二次函数的图象开口向下．∴当m ＝3时，.AD+DC+CB 有最大值为15米．【总结升华】根据题意设抛物线解析式为顶点式，又抛物线经过原点，不难求出其解析式，设A(m ，0)，用含m 的式子表示支撑架总长AD+DC+CB ，根据函数性质求解．举一反三：【变式】如图是抛物线形拱桥，拱顶离水面2m ，水面宽度4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？【答案】解：以抛物线的顶点作为原点，水平线作为x 轴，建立如图直角坐标系，设抛物线的解析式为2ax y =，∵过（2，-2）点，∴21-=a ，抛物线的解析式为221x y -=， 当3-=y 时，6±=x ， ∴宽度增加（462-）m. 类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题3．某跳水运动员进行10 m 跳台跳水训练时，身体(看作一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面2103m ，入水处距池边的距离为4 m ，同时，运动员在距离水面高度为5m 以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好人水姿势，否则就会出现失误．(1)求这条抛物线的关系式；(2)在某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好人水姿势时，距池边的水平距离为335m ，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由．【答案与解析】(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的关系式为2y ax bx c =++． 由题意知，O 、B 两点的坐标依次为(0，0)，(2，-10)，且顶点的纵坐标为23． ∴20,42,434210.c ac b aa b c =⎧⎪-⎪=⎨⎪++=-⎪⎩ 解得25,610,30.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎩或 3,22,0.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩ ∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴02b a->， 又∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，b ＞0，∴256a =-，103b =，c ＝0． ∴抛物线关系式为2251063y x x =-+． (2)当运动员在空中距池边的水平距离为335m 时，即 383255x =-=时，22581081665353y ⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴此时运动员距水面的高为161410533-=<(m)．因此，此次跳水会出现失误．【总结升华】(1)由图中所示直角坐标系，可知抛物线经过O 、A 、B 三点，O 、B 两点的坐标由分析可知O(0，0)、B(2，-10)，且点A 的纵坐标为23，故可设抛物线2y ax bx c =++，求得a 、b 、c 的值．(2)会不会产生失误即运动员完成动作时到水面的距离是否小于5米，换句话说就是完成动作时所对应的抛物线上的点的纵坐标绝对值是否小于5米．举一反三：【变式】一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？【答案】如图建立直角坐标系.∵点(2.5，3.5)是这段抛物线的顶点∴设解析式为：5.3)5.2(2+-=x a y (a ≠0)（0≤x ≤4），带入点（4,3.05），可求得：a=-0.2 ∴5.3)5.2(2.02+--=x y （0≤x ≤4），即25.22.02++-=x x y ,当x=0时，y=2.25，∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米.类型四、最大面积是多少4．在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格矩形场地，如图所示．已知砖墙在地面上占地总长度160 m ，问分隔墙在地面上的长度x 为多少时所围场地总面积最大?并求最大面积?【思路点拨】利用矩形的面积公式建立所围场地总面积与分隔墙在地面上的长度x 的函数关系式，写成顶点式即可求出面积的最大值．【答案与解析】设所围场地总面积是y m 2，根据题意得2(1604)4160y x x x x =-=-+24(20)1600x =--+．所以分隔墙在地面上的长度x 为20m 时所围场地总面积最大，这个最大面积是1600 m 2．【总结升华】此类问题一般是先运用几何图形的面积公式写出图形的面积y 与边长x 之间的二次函数关系，再求出这个函数关系式的顶点坐标，即为最大面积.。
实际问题与二次函数(2)
y ax2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
2a22
a0.5
∴这条抛物线所表示的二
次函数为:
y0.5x2
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:
这时水面宽度2为6m
30.5x2
∴当水面下降1m时,水面宽度
因为抛物线过（2，0），（0，2 ）
所以 k=2
a=-0.5
4a+k=0 k=2
解析式为：y=-0.5编辑xpp2t +2
5
探究
图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2m，
水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？
编辑ppt
6
解一
以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y轴，建立平
4 ac b 2
值，是
4 a ；当 a<0时，抛物线开口向 下 ，
4 ac b 2
有最 高 点，函数有最 大 值，是 _4_a___ 。
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2
基础扫描
3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是直线x=3 ， 顶点坐标是 (3 ，5)。当x= 3 时，y的最小值是_5_。
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是直线x=-4， 顶点坐标是 (-4 ，-1) 。当x= -4 时，函数有 最__大_ 值，是 -1 。
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2,顶 点坐标是(2 ，1) .当x= 2 时，函数有最 小 值， 是1。
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3
课前练习
已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；
北京第一零一中学九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷(培优提高)
一、选择题1．设函数()()24310y kx k x k =+++<，若当x m <时，y 随着x 的增大而增大，则m的值可以是（ ） A ．1 B ．0C ．1-D ．2-D解析：D 【分析】当k ＜0时，抛物线对称轴为直线432k x k+=-，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，根据题意，得m≤-432k k +，而当k ＜0时，-432k k+=-2-32k ＞-2，可确定m 的范围， 【详解】 对称轴：直线433222k x k k+=-=--， 0k <，3222k∴-->-， x m <时，y 随x 的增大而增大，322m k∴≤--， 2m ∴≤-，∴m 的值可以是-2，故选D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数图象的对称轴是解题的关键． 2．如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（ ）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7C 解析：C【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝13；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝13（x＋2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．【详解】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，解得：a＝13，当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝13（x＋2）2﹣3，令y＝0，则x＝﹣5或1，即点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．3．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：x…01234…y…﹣30﹣103…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ） A ．03x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．3x y =⎧⎨=⎩D ．43x y =⎧⎨=⎩A 解析：A 【分析】根据二次函数的对称性知：抛物线的对称轴为直线x ＝2，且抛物线的开口向上，由此确定答案． 【详解】∵x ＝1和x ＝3时，y ＝0； ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的开口向上，∴x ＝0和x ＝4的函数值相等且大于0， ∴x ＝0，y ＝﹣3错误． 故选：A ． 【点睛】此题考查抛物线的对称性，抛物线的性质，读懂表格掌握二次函数的对称性解决问题是解题的关键．4．已知抛物线2y x bx c =++的顶点在x 轴上，且经过点(3,)A m n -、(3,)B m n +，则n 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12C解析：C 【分析】先根据A 、B 两点的坐标可求出抛物线的对称轴，然后确定顶点坐标为(,0)m ，进而求得m 的值，最后代入即可． 【详解】解：∵抛物线26y x x c =++经过(3,)A m n -、(3,)B m n +，∴抛物线对称轴为直线332m m x m -++==，∵抛物线与x 轴只有一个交点，故顶点为(,0)m ，2()y x m ∴=-．当3x m =+时，239y ==．故答案为C ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、运用二次函数顶点坐标与对称轴的求解等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．5．二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在23x -<<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．1t ≥-B ．13t -≤<C ．18t -≤<D ．38t <<C解析：C 【分析】根据对称轴求出b 的值，从而得到23x -<<时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程x 2+bx-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有解相当于y=x 2+bx 与y=t 在x 的范围内有交点解答． 【详解】解：对称轴为直线x=-21b⨯=1， 解得b=-2，所以二次函数解析式为y=x 2-2x ， y=（x-1）2-1， x=1时，y=-1，x=-2时，y=4-2×（-2）=8，∵x 2+bx-t=0的解相当于y=x 2+bx 与直线y=t 的交点的横坐标， ∴当-1≤t ＜8时，在-1＜x ＜4的范围内有解． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．6．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标为(1,)n 与y 轴的交点在(0,2)、(0,3) 之间（包含端点）．有下列结论：①24ac b <；②30a b +>；③420a b c ++>；④当0y >时，x 的取值范围为13x；⑤当0x >时，y 随着x的增大而减小；⑥若抛物线经过点()12,y -、23,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()33,y ，则312y y y <<．其中正确的有（ ）A ．②③⑤B ．①③④C ．①③⑥D ．②③⑥B解析：B 【分析】根据二次函数图像可知1x =为抛物线的对称轴，可以求出与x 轴正半轴交点坐标，可解④⑤，开口朝下，与y 轴交于正半轴，可知：0a ＜，23c ≤≤，根据对称轴公式可得：0b ＞，可解①②③，根据图像可解⑥． 【详解】∵抛物线开口朝下， ∴0a ＜，∵与y 轴的交点在(0,2)、(0,3) 之间（包含端点）， ∴23c ≤≤， ∴4ac ＜0， ∴24ac b ＜， ∴①正确；∵1x =为抛物线的对称轴， ∴12ba-=， ∴0b ＞，12a b =-， ∴313202a b b b b +=-+=-＜，∴②不正确；∵1x =-时，0a b c -+=， ∴32c b =， ∴1424202a b c b b c c ⎛⎫++=⨯-++= ⎪⎝⎭＞ ∴③正确；∵1x =为抛物线的对称轴，(1,0)A -， ∴B 点坐标为（3,0），∴当0y >时，x 的取值范围为13x∴④正确；∵1x =为抛物线的对称轴， ∴1x ＞时，y 随着x 的增大而减小， ∴⑤不正确；由图像可知：213000y y y =＜，＞，， ∴132y y y ＜＜， ∴⑥不正确；故选：B ． 【点睛】本题主要考查的是二次函数图像的性质以及二次函数对称轴，数量掌握二次函数图像的性质是解决本题的关键．7．已知二次函数22(0)y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点(1,0)-，当-a b 为整数时，ab 的值为( )A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12D ．14或12A 解析：A 【分析】由题意易得20a b +-=，且0,0a b >>，则有当x=1时，y<0，即20a b --<，进而可得22a b -<-<，然后由-a b 为整数，则有1a b -=或0或-1，最后求解即可． 【详解】解：∵二次函数()220y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点()1,0-，∴20a b +-=，且0,0a b >>，当x=1时，y<0，即20a b --<， ∴2a b +=，且0,2a a b >-<， ∴02,02a b <<<<， ∴22a b -<-<， ∵-a b 为整数，∴1a b -=或0或-1，若1a b -=时，则有31,22a b ==，从而34ab =；若0a b -=时，则有1,1a b ==，从而1ab =；若1a b -=-时，则有13,22a b ==，从而34ab =；故选A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 8．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，点P （m ，n ）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ） A ．当n ＜0时，m ＜0 B ．当n ＞0时，m ＞x 2 C ．当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2 D ．当n ＞0时，m ＜x 1C解析：C 【分析】首先根据a 判断二次函数图象的开口方向，再确定对称轴，根据图象和二次函数的性质分析得出结论． 【详解】解：∵a ＞0，∴开口向上，以对称轴在y 轴左侧为例可以画图二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2， 无法确定x 1与x 2的正负情况，∴当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2，但m 的正负无法确定，故A 错误，C 正确； 当n ＞0时，m ＜x 1 或m ＞x 2，故B ，D 错误，均不完整 故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与x 轴交点的问题，熟练掌握二次函数图象及图像上的坐标特征是解题的关键．9．对于二次函数()2532y x =-+的图象，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点是()3,2 B ．开口向上 C ．与x 轴有两个交点 D ．对称轴是3x =C解析：C 【分析】根据函数图象和性质逐个求解即可． 【详解】解：对于y ＝5（x ﹣3）2+2，则该函数的对称轴为直线x ＝3，顶点坐标为（3，2）， A ．二次函数y ＝5（x ﹣3）2+2的图象的顶点坐标为（3，2），故本选项不符合题意； B ．由于a ＝5＞0，所以抛物线开口向上，故本选项不符合题意；C ．由于y ＝5（x ﹣3）2+2＝5x 2﹣30x+47，则△＝b 2﹣4ac ＝900﹣4×5×47＝﹣40＜0，所以该抛物线与x 轴没有交点，故本选项符合题意；D ．对于y ＝5（x ﹣3）2+2，则该函数的对称轴为直线x ＝3，故本选项不符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点，顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．10．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．20a b +<C ．关于x 的方程230ax bx c +++=有两个相等的实数根D ．930a b c ++<D 解析：D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故A 选项错误；对称轴为x=-2ba=1，得2a=-b ， ∴2a+b=0，故B 错误；由图像可得二次函数的图象与x 轴有两个交点，故230ax bx c +++=有两个相等的实数根的说法错误，故C 错误； ∵对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点得横坐标小于2， ∴当x=3时，y=9a+3b+c ＜0，故D 正确； 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．二、填空题11．如图，直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，点C 是点A 关于y 轴的对称点，动点D 在线段AC 上，连接BD ，作以BD 为直角边的等腰Rt △BDE ，则线段OE 的最小值为_________．【分析】作交x 轴于点F 证明△DBO ≌△EDF 得设设D （t0）则根据勾股定理得进一步可得结论【详解】解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形∴作交x 轴于点F 如图∴∠EFO=∠DOB=90°又∠∴ 解析：22【分析】作EF AC ⊥交x 轴于点F ，证明△DBO ≌△EDF 得FE OD FD BO ==，，设设D （t ，0），则(4,)E t t +，根据勾股定理得222(2)8OE t =++，进一步可得结论． 【详解】解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形， ∴BD DE =作EF AC ⊥交x 轴于点F ，如图，∴∠EFO=∠DOB=90°又∠90OBD BDO BDO FDE +∠=∠+∠=︒ ∴∠DBD FDE =∠ 在△DBO 和△EDF 中DBO EDF DOB EFD DB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBO ≌△EDF ∴FE OD FD BO==，对于y=x+4，当x=0，则y=4，当y=0，则x=-4，∴()40A -，，4(0)B ，， ∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴0(4)C ，设D （t ，0），则(4,)E t t + ∴22224)2((2)8OE t t t =++=++∴当t=-2时，取最小值，即822OE ==， 故OE 的最小值为22． 故答案为：22． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，运用勾股定理得出22224)2((2)8OE t t t =++=++是解答此题的关键．12．一条抛物线与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），若点M ，N 的坐标分别为（－1，－2），（1，－2），抛物线顶点P 在线段MN 上移动．点B 的横坐标的最大值为3，则点A 的横坐标的最小值为__________．-3【分析】根据顶点P 在线段MN 上移动又知点MN 的坐标分别为(-1-2)(1-2)分别求出对称轴过点M 和N 时的情况即可判断出A 点横坐标的最小值【详解】根据题意知点B 的横坐标的最大值为3即可知当对称轴解析：-3 【分析】根据顶点P 在线段MN 上移动，又知点M 、N 的坐标分别为(-1，-2)、(1，-2)，分别求出对称轴过点M 和N 时的情况，即可判断出A 点横坐标的最小值． 【详解】根据题意知，点B 的横坐标的最大值为3， 即可知当对称轴过N 点时，点B 的横坐标最大， 此时的A 点坐标为(-1，0)，当对称轴过M 点时，点A 的横坐标最小， 此时B 点坐标为(1，0)， 此时A 点的坐标最小为(-3，0)， 故点A 的横坐标的最小值为-3， 故答案为：-3．【点睛】本题主要考査二次函数的综合，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（5，0），顶点B 在y 轴正半轴上，顶点D 在x 轴负半轴上．若抛物线y ＝－x 2－13x +c 经过点B 、C ，则菱形ABCD 的面积为________．156【分析】由题意可得：结合已知条件求解再求解的坐标再代入抛物线的解析式求解即可得到答案【详解】解：在抛物线上菱形ABCD ＞故答案为：【点睛】本题考查的是抛物线的性质菱形的性质勾股定理的应用掌握以解析：156【分析】由题意可得：()0B c ，，结合已知条件求解225,AB c =+ 再求解C 的坐标，再代入抛物线的解析式求解c 即可得到答案．【详解】解：B 在抛物线上，()0B c ∴，()5,0A ，225,AB c ∴=+菱形ABCD ，225,BC AB c ∴==+()225,C c c ∴-+()(2225+1325,c c c c ∴=-+++ 22251325,c c ∴+=+2250,c +≠22513,c ∴+=2144,c ∴=c ＞0，12,c ∴=1312=156.ABCD S ∴=⨯菱形故答案为：156.【点睛】本题考查的是抛物线的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．14．已知抛物线y ＝x 2+9的最小值是y ＝_____．9【分析】直接利用二次函数的最值问题求解【详解】解：∵y ＝x2+9∴当x ＝0时y 有最小值最小值为9故答案为：9【点睛】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y=a （x-k ）2+h 当a ＞0时x=ky 有解析：9【分析】直接利用二次函数的最值问题求解．【详解】解：∵y ＝x 2+9，∴当x ＝0时，y 有最小值，最小值为9．故答案为：9．【点睛】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y=a （x-k ）2+h ，当a ＞0时，x=k ，y 有最小值h ；当a ＜0时，x=k ，y 有最大值h ．15．如图，抛物线224y x x =-+与x 轴交于点O ，A ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记为1C ，将1C 以y 轴为对称轴作轴对称得到2C ，2C 与x 轴交于点B ，若直线y = m 与1C ，2C 共有4个不同的交点，则m 的取值范围是_______________．【分析】首先求出点A 和点B 的坐标然后求出解析式分别求出直线过抛物线顶点时m 的值以及直线过原点时m 的值结合图形即可得到答案【详解】令解得：或则A （20）B （-20）∵与关于y 轴对称：顶点为(12)∴的解析：02m <<【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出2C 解析式，分别求出直线y m =过抛物线顶点时m的值以及直线y m =过原点时m 的值，结合图形即可得到答案． 【详解】令2240y x x =-+=，解得：0x =或2x =，则A （2，0），B （-2，0），∵1C 与2C 关于y 轴对称，1C ：()2224212y x x x =-+=--+，顶点为(1，2)， ∴2C 的解析式为()2221224y x x x =-++=--（20x -≤≤），顶点为(-1，2)，当直线y m =过抛物线顶点时，它与1C ，2C 共有2个不同的交点，此时2m =；当直线y m =过原点时，它与1C ，2C 共有3个不同的交点，此时0m =； ∴当02m <<时，直线y m =与1C ，2C 共有4个不同的交点． 故答案为：02m <<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的图象与几何变换、一次函数与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．16．将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为________.y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减左加右减可得平移后的函数解析式【详解】解：将二次函数 的图象先向左平移2个单位再向下平移4个单位则所得图象的函数表达式为：y=2（x解析：y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式．【详解】解：将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为：y=2（x-1+2）2+3-4∴y=2（x+1）2-1.故答案为：y=2（x+1）2-1.【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．17．写出一个开口向下的二次函数的表达式______．（答案不唯一）【分析】根据二次函数开口向下二次项系数为负可据此写出满足条件的函数解析式【详解】解：二次函数的图象开口向下则二次项系数为负即a ＜0满足条件的二次函数的表达式为y=-x2故答案为：y=-解析：2y x =-（答案不唯一）【分析】根据二次函数开口向下，二次项系数为负，可据此写出满足条件的函数解析式．【详解】解：二次函数的图象开口向下，则二次项系数为负，即a ＜0，满足条件的二次函数的表达式为y=-x 2．故答案为：y=-x 2（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的图象开口向下，二次项系数为负，此题比较简单．18．二次函数2y ax bx c =++自变量x 与函数值y 之间有下列关系：那么()b a b c a ++的值为______．＝2再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3然后利用整体代入的方法计算（a ＋b ＋c ）的值【详解】解：∵抛物线 解析：6【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1，则−2b a ＝−1，所以b a＝2，再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3，然后利用整体代入的方法计算b a （a ＋b ＋c ）的值．【详解】解：∵抛物线经过点（−2，−1.68），（0，−1.68），∴抛物线的对称轴为直线x ＝−1，即−2b a ＝−1， ∴b a＝2， ∴x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等，∵x ＝−3时，y ＝3，∴x ＝1时，y ＝3，即a ＋b ＋c ＝3，∴b a（a ＋b ＋c ）＝2×3＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．19．某种洒杯的轴截面是一条抛物线段，在酒杯中加酒，当酒水深为lcm时，液面宽为2cm，将酒杯装满酒后，再倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm，这个酒杯的杯口直径为______cm．【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系相当于抛物线经过点(00)(11)求得解析式为y=x²设杯口直径为2d设倒满酒时酒的高度为m相当于抛物线经过(dm)再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm时将m用d解析：319【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系，相当于抛物线经过点(0,0)，(1,1)求得解析式为y=x²，设杯口直径为2d，设倒满酒时酒的高度为m，相当于抛物线经过(d,m)，再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm时将m用d代数式表示，再代入解析式中求出d即可．【详解】解：如下图所示以酒杯内最低点为原点建立直角坐标系，故抛物线的顶点坐标为原点，设抛物线解析式为y=ax²，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，相当于抛物线且经过点(1,1)，代入解析式中，a=1， 故抛物线解析式为：y=x²，设杯口直径为2d ，设倒满酒时酒的高度为m ，相当于抛物线经过(d,m)，由“倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm”，如下图所示：此时FH=EC=2，∠DEF=30°，DF=d ，在Rt △EDF 中，EF=2DF=2d ，ED=3d ， 在Rt △OEC 中，OE=2EC=4，∴OD=OE+ED=43d ， ∴m=OD=43d , ∴将点(,43d d )，代入y=x²， 即：243d d ，解得：3192d (负值舍去)，故杯口的直径为：319+．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题目意思，学会建立直角坐标系并求出对应解析式是解决本题的关键．20．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0ac <；②20b a -=；③0a b c -+=；④当1x >时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论是______．（填序号）①③【分析】由抛物线的开口方向判断的符号由抛物线与轴的交点判断的符号然后根据对称轴抛物线的增减性进行推理进而对所得结论进行判断【详解】解：①图象开口向上与轴交于负半轴能得到：故①正确；②对称轴为直线解析：①③【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴、抛物线的增减性进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①图象开口向上，与y 轴交于负半轴，能得到：0a >，0c <，0ac ∴<，故①正确； ②对称轴为直线1x =，12b a∴-=， 2b a ∴=-，20b a ∴+=，故②错误；③由图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+=，故③正确；④由图象可知，在对称轴的右侧，从左往右图象逐渐上升，所以当1x >时，y 随x 的增大而增大，故④错误．故答案为：①③．【点睛】主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题21．某超市进了一款新型玩具，预计平均每天售出20个，每个玩具盈利25元．为了增加盈利，超市老板决定采取降价措施．销售价格每降低1元，超市平均每天多售出2个玩具．（1）若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具售价应降低多少元？（2）若使超市卖玩具平均每天的盈利最多，每个玩具售价应降低多少元？解析：（1）若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低5元或10元；（2）若使超市卖玩具平均每天盈利最多，每个玩具售价应降低7.5元【分析】（1）设若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低x 元，根据题意列出方程()()20225600x x +-=，求解即可；（2）设超市卖玩具平均每天盈利y 元，每个玩具售价降低x 元，则()()20225y x x =+-，利用二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）设若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低x 元根据题意得，()()20225600x x +-=解这个方程得，1x 5=，210x =答：若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低5元或10元（2）设超市卖玩具平均每天盈利y 元，每个玩具售价降低x 元根据题意得，()()20225y x x =+-∴()227.5612.5y x =--+ ∵20-<∴若使超市卖玩具平均每天盈利最多，每个玩具售价应降低7.5元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用、二次函数的应用，理解题意并列出方程是解题的关键．22．已知抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9．（1）求它的对称轴；（2）求它与x 轴，y 轴的交点坐标．解析：（1）x ＝1；（2）与x 轴的交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)，与y 轴的交点坐标为(0，9)【分析】（1）根据对称轴公式，可以求得该抛物线的对称轴；（2）令x=0求出相应的y 值，再令y=0，求出相应的x 的值，即可得到该抛物线与x 轴，y 轴的交点坐标．【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9，∴该抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝﹣62(3)⨯-＝1， 即该抛物线的对称轴为直线x ＝1；（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9，∴当x ＝0时，y ＝9，当y ＝0时，x ＝﹣1或x ＝3，即该抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y 轴的交点坐标为（0，9）【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23．已知二次函数2(2)1y x =--，（1）确定抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）如图，观察图象确定，x 取什么值时，①y ＞0，②y ＜0，③y ＝0．解析：（1）开口方向：向上，对称轴：直线x=2，顶点坐标：（2，-1）；（2）①1x <或3x >时y>0，②13x <<时，y<0；③x=1或x=3时，y=0．【分析】（1）根据顶点式可直接推出抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）令y=0，求出关于x 的方程的解，结合图象即可解答．【详解】解：（1）由于二次项系数为正数，则抛物线开口向上；根据顶点式可知，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-1）．（2）令y=0，则原式可化为（x-2）2-1=0，移项得，（x-2）2=1，开方得，x-2=±1，解得x 1=1，x 2=3．则与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）．如图：①当x ＜1或x ＞3时，y ＞0；②当x=1或x=3时，y=0；③当1＜x ＜3时，y ＜0．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟悉顶点式及正确画出图象，利用数形结合是解题的关键．24．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过原点，点11,8⎛⎫⎪⎝⎭和动点P 都是该抛物线上点． （1）求该抛物线的解析式．（2）若y 轴上点()0,A m ，()()0,0B m m ->，//BC x 轴，过点P 作PC BC ⊥于C ，设点(),P x y 满足AP PC =，求m 的值．解析：（1）218y x =；（2）m=2 【分析】 （1）运用待定系数法求解即可；（2）分别求出PC ，PA 的长，根据PC=PA 列方程求解即可．【详解】解：（1）由于该抛物线经过原点（0，0），对称轴为y 轴， ∴c=0，b=0∴该抛物线的解析式为2y ax =，把点（1，18）代入得，18a = ∴该抛物线的解析式为218y x =； （2）∵()0,A m ，B(0，-m)，P(x ，y)且//BC x 轴，PC BC ⊥，P 在抛物线上，∴C （x ，-m ），P （x ，21x 8） ∴PC=218x m + 作AM ⊥PC 于M ，则222PA AM PM =+∴221()8PA x x m =+- ∵PA=PC∴22PA PC = 即2222211()()88x m x x m +=+-整理得，2202m x x -= ∴2(1)02m x -= ∵0x ≠∴102m -= 解得，m=2．【点睛】 此题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，求出PC ，PA 的长是解答此题的关键．25．如图①，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A 、()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线23y ax bx =++的解析式；（2）如图②，连接AC ，点E 是第一象限内抛物线上的动点，过点E 作EF AC ⊥于点F ，//EG y 轴交AC 于点G ，求EFG 面积的最大值及此时点E 的坐标；（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点D ，点P 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）最大面积8164，315,24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）()1,4P -或 21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或 (1,425+或(1,425- 【分析】（1）把A,B 坐标代入即可求解；（2）先求出直线AC 解析式，证明△EFG 是等腰直角三角形，再得到当EG 最大时，EFG 面积的最大故可列出EG 关于x 的二次函数，即可求解；（3）根据菱形的性质作图，分情况讨论即可求解．【详解】（1）把()3,0A 、()1,0B -代入23y ax bx =++得093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++；（2）令x=0，解得y=3∴C （0,3）设直线AC 解析式为y=mx+n ，把()3,0A ，C （0,3）代入得033m n n =+⎧⎨=⎩解得13n n =-⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为y=-x+3，∵CO=OA∴△AOC 是等腰直角三角形，∴∠ACO=45°∵//EG y∴∠FGE=45°∵EF AC ⊥∴△EFG 是等腰直角三角形，∴EF=FG,EG 2=EF 2+FG 2=2EF 2∴S △EFG =12EF×FG=12EF 2=14EG 2 ∴当EG 最大时，EFG 面积的最大设E （x, 223x x -++）则G （x ，-x+3）∴EG=（223x x -++）-（-x+3）=-（x-32）2+94 ∴当x=32，EG 最大值为94，故此时EFG 最大面积为14×（94）2=8164，315,24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）如图①AD=DP 时，∵2y x 2x 3=-++=-（x-1）2+4∴D （1,4）又A （3,0）∴==DP∴P 1()1,425+,P 2()1,425-②DP=AP 时设P （1，y ）∵DP 2=AP 2，A （3,0）∴（4-y ）2=（3-1）2+（0-y ）2解得y=23 ∴P 321,3⎛⎫ ⎪⎝⎭③当AD=AP 时，设P （1，y ）∵AD 2=AP 2，A （3,0）∴（25）2=（3-1）2+（0-y ）2解得y=-4（4舍去）∴P 4()1,4-综上，P 点坐标为()1,4P -或 21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或 ()1,425+或()1,425-．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、等腰直角三角形及菱形的性质．26．已函数21y x x=+，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质： （1）自变量x 的取值范围是________；（2）x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格： x … －2.5 －2 －1.5 －1－0.5 －0.2 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 … y … 5.85 3.5 1.58 0 －1.75 －4.96 5.04 m n2.92 4.5 6.65 …其中m =________，n =________.（3）下图中画出了函数的一部份图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象； （4）请写出这个函数的一条性质：________________________；（5）结合图象，直接写出方程2120x x x-+=的所有实根：________.解析：（1）0x ≠；（2）2.25，2；（3）见解析；（4）答案不唯一；（5）10.6x =-，21x =，3 1.6x =.【分析】（1）观察解析式可直接得出结果；（2）分别带入相应自变量的值即可计算出；（3）先描点，然后用平滑的曲线连接各点；（4）可根写增减性，也可写相应取值范围内的最值；（5）看作两个函数交点问题来解决即可．【详解】（1）0x ≠；（2）分别将0.5x =和1x =带入解析式，得 2.25m =，2n =；（3）如图；（4）答案不唯一，如：当0x <时，y 随x 的增大而减小；（5）对于方程2120x x x-+=，可变形为212x x x +=，求该方程的实数根，即为求函数1y 与2y 交点的横坐标，其中211y x x=+，22y x =，故在图中做出22y x =的图象，如图，直接可读出三个交点得横坐标为10.6x =-，21x =，3 1.6x =．【点睛】本题考查的是新函数探究问题，但本质上考查的是对函数的研究方法和逻辑；掌握函数求自变量取值范围，以及根据函数解析式求确定自变量时的函数值是基础；画函数图象，并且注意根据自变量的取值范围来确定图象形式是关键；利用作好的图象解决问题是此类题型考查的基本核心，注重数形结合的思想，将复杂的方程或不等式简单化，是本题的目的．27．若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部份对应值如下表： x …－4 －3 －2 －1 0 1 … y… －5 0 3 4 3 0 … （2）画出此函数图象（不用列表）；（3）结合函数图象，当41x -≤<时，直接写出y 的取值范围.解析：（1）y ＝−x 2−2x ＋3；（2）见详解；（3）−5≤y≤4．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到抛物线的顶点坐标为（−1，4），则可设顶点式y ＝a （x ＋1）2＋4，然后把（0，3）代入求出a 的值即；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）观察函数函数图象，当41x -≤<时，函数的最大值为4，于是可得到y 的取值范围为−5≤y≤4．【详解】解：（1）由表知，抛物线的顶点坐标为（−1，4），设y ＝a （x ＋1）2＋4，把（0，3）代入得a （0＋1）2＋4＝3，解得a ＝−1，∴抛物线的解析式为y ＝−（x ＋1）2＋4，即y ＝−x 2−2x ＋3；（2）如图，（3）如图：当−4≤x ＜1时，−5≤y≤4．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．28．已知二次函数的图象经过点(0,3),(3,0),(1,0)-，求此二次函数的解析式，并判断点(2,3)P -是否在这个二次函数图象上．解析：223y x x =--+，点(2,3)P -在这个二次函数的图象上．【分析】先设此二次函数解析式的交点式，再将点(0,3)代入即可得，然后将点P 的坐标代入进行验证即可得．【详解】由题意，设此二次函数的解析式为31y a x x =+-()()，将点(0,3)代入得：(03)(01)3a +⨯-=，解得1a =-，则此二次函数的解析式为2(3)(1)23y x x x x =-+-=--+，即223y x x =--+；当2x =-时，()()222233=---⨯-+=y ，则点(2,3)P -在这个二次函数的图象上．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．。
2023北京初三一模数学汇编：实际问题与二次函数
2023北京初三一模数学汇编实际问题与二次函数A ．B ． ． ．（2023·北京门头沟统考一模）如图，正方形ABCD 的边长为2是AB 上一动点（点不重合），点F 在BC 延长线上，AE CF =，以BE ，BF 为边作矩形BEGF ．设AE 的长为的面积为y ，则y 与x 满足的函数关系的图像是（ ）A ．B ． ． ．二、解答题 3．（2023·北京平谷·统考一模）如图所示，某农场的小麦收割机正在收割小麦，脱离后的谷粒沿着喷射管道飞出，飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，谷粒从喷射出到着陆的过程中，谷粒的竖直高度y （单位：m ）与距离喷射口的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()()20y a x h k a =−+<．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度位：cm）与水平距离x（单位：乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表所示.根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；水平距离x/cm04080120160(1)拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：x23681012水平距离/my4 5.47.2 6.440竖直高度/m根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系2=−+<．()(0)y a x h k a(1)灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点水平距离的几组数据如下表，水平距离x/米00.5(1)水面的宽度OA=_______m；(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量．10．（2023·北京门头沟·统考一模）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度(1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如下：水平距离x/m0123456竖直高度y/m1 2.4 3.44 4.24 3.4根据以上数据，回答下列问题：①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是______m；②在水平距离5m处，放置一个高1.55m的球网，羽毛球______（填(1)建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m 据：x00.41 1.42 2.4水平距离/m(1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：x02610121416y00.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56则四边形ABFP 为矩形，BF BEGF ABFP y S S S ==−四边形四边形四边形所以24y x =−+(02)x <<这个函数的图像为抛物线，开口向下，只有故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图像，根据矩形的性质通过数形结合建立函数模型是求解的关键．抛物线二次函数图象经过点（3）观察图像可知当20x 时，0y =，所以铅球运动员出手点的最远水平距离是20m ．【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了求二次函数关系式，画二次函数的图像等，从表格中获取信息是解题的关键．5．(1)乒乓球竖直高度的最大值为50，20.005(80)50(0)y x a =−−+< (2)乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由见解析【分析】（1）根据表格数据可知()0,18与()160,18关于对称轴80x =对称，则2(80)50(0)y a x a =−+<，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据（1）的结论，令0y =，求得180x =，代入220.005()8y x h =−−+，求得2220h =，进而令0y =，求得260x =，与乒乓球桌的长度比较即可求解．【详解】（1）根据表格数据可知()0,18与()160,18关于对称轴80x =对称， 则当80x =时，50y =，即乒乓球竖直高度的最大值为50， ∴2(80)50(0)y a x a =−+<， 将点()180,0代入得，2010050a =+， 解得：0.005a =−，∴20.005(80)50(0)y x a =−−+<；（2）解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下， 由20.005(80)50(0)y x a =−−+<，令0y =， 即20.005(80)50=0x −−+， 解得：180x =或20x =−（舍去）依题意，220.005()8y x h =−−+，将点()180,0代入得，2200.005(180)8h =−−+解得：2220h =或2140h =（舍去） ∴解析式为 20.005(220)8y x =−−+ 当0y =时，20.005(220)8=0x −−+， 解得：12260,180x x ==（舍去）6210−=∴顶点坐标为(y a x ∴=(26)a ∴−解得：a =0.2(y ∴=−1210>，12d d ∴>．故答案：【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键．7．(1)y =∴设抛物线的表达式为()()24 3.240y a x a =−+<， 将点(0.8)1，代入，得1.816 3.24a =+， 解得0.09a =−，∴ 抛物线的表达式为()20.094 3.24y x =−−+；（3）解：令0y =，则()20.094 3.240x −−+= ，解得：110x =，22x =−（不符合题意舍去），答：实心球从出手到落地点的水平距离为10米．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其顶点式20y a x h k a =−+≠（）（）中(),h k 为其顶点坐标是解题关键．9．(1)60(2)4条．【分析】（1）求出抛物线与x 轴的交点坐标即可得到答案；（2）求出当5y =时，x 的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为9m 即可得到答案．【详解】（1）解：令0y =，则()20.013090x −−+=，∴()230900x −=，解得0x =或60x =， ∴()600A ，， ∴60m OA =，故答案为：60；（2）解：令5y =，得()20.013095x −−+=，∴()230400x −=解得110x =，250x =． ∴可设计赛道的宽度为501040m −=，∵每条龙舟赛道宽度为9m ，∴最多可设计赛道4条．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．10．(1)①4；②是；③函数关系式为()20.24 4.2y x =−−+； (2)<【分析】（1）①观察表格求得顶点坐标为()44.2，，即可求解； ②由()54，，即可判断；s时，分别求出20【详解】（1）解：根据自变量增加故答案为：二次．）解：设s关于。
初中数学：实际问题与二次函数-详解与练习(含答案)(K12教育文档)
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初中数学专项训练:实际问题与二次函数一、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、 如图1，用长为18米的篱笆(虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1） 设矩形的一边长为x(米），面积为y （平方米）,求y关于x 的函数关系式；（2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。
解:(1）设矩形的长为x(米），则宽为(18- x)（米)，根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=；又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧-（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a bx 时,81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回扣问题实际时,一定注意不要遗漏了单位。
2、 只围三边的矩形的面积最值例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙.问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x （米)，面积为y （平方米），则宽为（250x-)(米），根据题意，得:x x xx y 2521)250(2+-=-=；又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中,a=21-＜0，∴y 有最大值， 即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时,养鸡场的面积最大,养鸡场最大面积为2625平方米. 点评：如果设养鸡场的宽为x,上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。
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专题十一实际问题与二次函数例题分析：例1．某商品的进货单价为30元。
如果按单价40元销售，能买出40个。
销售单价每涨1元，销量就减少1个。
为获得最大利润，此商品的最佳售价应定为每个多少元？例题2.某百货商店服装柜在销售时发现：“天慧”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六．一”国际儿童节，•商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件童装每降价2元，那么平均每天就可多售出4件，要想平均每天在销售这种童装上获得最大利润，那么每件童装应降价多少元？练习：一、基础探究1．某商品销售一种纪念品，已知成批购进时单价为4元，根据市场调查，销售量与销售单价为一段时间内满足如下关系：单价为10元时销售量为300枚，•而单价每降低1元，就可多售出5枚，那么当销售单价为_______元时，可以获得最大利润，•最大利润为_______．2．如果直线y=ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax2+bx的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如图，如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，•与y轴交于C点，且OB=OC=12OA，那么b的值为（）A．-2 B．-1 C．-12D．124．抛物线y=x2+bx+c与y轴交于A点，与x轴的正半轴交于B、•C两点，且BC=2，S△ABC=3，则b的值为（）A．-5 B．-4 C．4 D．4或-45．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则：（1）这个二次函数的解析式为__________；（2）当x=______时，y=3．（3）根据图象回答：当x______时，y>0；当x______时，y<0．6．若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则直线y=abx+c 不过第_____象限．7．函数y=ax 2+bx+c 中，若ac<0，则它的图象与x 轴的关系是（ ）A ．没有交点B ．有两个交点C ．一个交点D ．不能确定8．已知方程2x 2-3x-5=0的两根是52，-1，则二次函数y=2x 2-3x-5的图象与x 轴的两个交点间的距离是_______．9．抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴的两个交点坐标分别是______、_______；•分解二次三项式-x 2-2x+3=_________．10．如图26-3-2所示，一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m ．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．（2）该运动员身高1.8m ，在这次跳投中，球在头顶上0.25m 处出手，问：球出手时，他距离地面的高度是多少？二、能力提升11．一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A•和终点站B ）．该列火车挂有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，•每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包各一个，•还得装上该站发往下面行程中每个车站的邮包各一个．例如，当列车停靠在第x 个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x-1）个车站发给该站的邮包共（x-1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n-x ）个车站的邮包共（n-x ）个． （1）根据题意完成下表：（2）根据上表，写出列车在第x 个车站启程时，邮政车厢上只有邮包的个数y （•用x 、n 表示）．（3）当n=18时，列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？12．已知某型汽车在干燥的路面上，汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系．（1）请你以汽车刹车时的车速为v为自变量，刹车距离s为函数，在如图26-3-7•所示的坐标系中描点连线，画出函数的图象；（2）观察所画的函数的图象，你发现了什么？（3）若把这个函数的图象看成是一条抛物线，请根据表中所给的数据，选择三对，求出它的函数关系式；（4）用你留下的两对数据，验证一下你所得到的结论是否正确．13．某百货商店服装柜在销售时发现：“天慧”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六．一”国际儿童节，•商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上获得最大利润，那么每件童装应降价多少元？14．如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O 恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水柱形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处到达距水面最大高度2.25m．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少，•才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为 3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少？（精确到0.1m）15．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s•的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．（1）设运动开始后第ts时，五边形APQCD的面积是Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？16．如图所示，•某市一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是16m，宽是6m，•抛物线可以用y=-132x2+8表示．（1）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶站与路面的距离均为7m，它能否完全通过这个隧道？请说明理由．（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这个隧道？说明理由．（3）为完全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？三综合探究17．如图26-3-13①所示，某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和成本进行了调研，结果如下：•每件商品的售价M元与时间（月）的关系可以用一条线段上的点来表示，每件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图26-3-13②所示）．（说明：图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本）．请你根据图象提供的信息回答：（1）每件商品3月份出售时的利润（利润=售价-成本）是多少元？（2）求图26-3-13②中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W（元）与时间t（月）•之间的函数关系式吗？（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围），•若该公司共有此种商品30000件，准备一个月内全部售完，请你计算一下至少获利多少元？18．捕鱼季节，•一渔货经销商从渔港码头按市场价收购了某种活鱼500千克，这种鱼此时市场价为20元/千克，但这种鱼如果不及时放养，•最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的鱼死去，假设放养期间鱼的个体重量基本保持不变，而从收购后1千克活鱼的市场价每天可上涨1元，但是放养一天需各种费用支出150元，且平均每天还有5千克鱼死去，•假定死鱼能于当天全部售出，售价都是10元/千克．（1）设x天后每千克活鱼的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；（2）如果放养x天后将活鱼一次性出售，并设500千克鱼的销售总额为Q元，•写出Q 关于x的函数关系式；（3）该经销商将这批活鱼放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额-•收购成本-费用）？最大利润是多少？19．如图26-3-14所示，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A点出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时，Q点从B点出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，解答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，•并指出自变量的取值范围．20．如图26-3-15所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙（•墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少？（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．中考专题十一实际问题与二次函数答案：1．10 1 8002．A3．C 点拨：由题意知OC=c，∴OB=c，OA=2c，∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2c，x2=c，∴22(2)(2)0,0.a cbc cac bc c⎧-+-+=⎪⎨++=⎪⎩∴4210,10. ac bac b-+=⎧⎨++=⎩由②×4-①，得6b+3=0，∴b=-12．4．D5．（1）y=x2-2x （2）-1或3 （3）小于0或大于2，大于0小于2 6．四7．B8．72点拨：由方程2x2-3x-5=0的两根是52，-1知二次函数y=2x2-3x-5的图象与x轴的两个交点为（52，0），（-1，0），所以它们之间的距离是72．9．（-3，0）（1，0） -（x+3）（x-1）10．（1）顶点为（0，3.5），篮圈坐标为（1.5，3.05）．设函数解析式为y=ax2+3.5•，代入（1.5，3.05）解得a=-0.2，故篮球运行轨迹所在的抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5．（2）当x=-2.5时，y=2.25．故跳投时，距地面的高度为2.25-1.8-0.25=0.2m． 8．C11．（1）如下表所示：（2）y=x（n-x）；（3）当n=18时，y=x（18-x）=-x2+18x=-（x-9）2+81，当x=9时，y取得最大值，所以列车在第9个车站启程时，邮政车厢上邮包的个数最多．12．（1）函数的图象如图所示．（2）图象可看成一条抛物线，这个函数可看作二次函数． （3）设所求函数关系式为：s=av 2+bv+c ，把v=48，s=22.5；v=64，s=36；v=96，s=72分别代入s=av 2+bv+c ，得222484822.5,646436,969672.a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩解得3,5123,160a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴s=3512v 2+316v ． （4）当v=80时，3512v 2+316v=3512×802+316×80=52.5． 当v=112时，3512v 2+316v=3512×1122+316×112=94.5．经检验，所得结论是正确的．13．设每件童装应降价x 元．由题意可列关系式为（20+2x ）（40-x ）=-2x 2+60x+800=-2（x-15）2+1 250， 则x=15时可获得最大利润． ∴每件童装应降价15元．14．（1）如图所示，建立坐标，设一条抛物线顶点为B ，水流落水与x 轴交点为C ，•根据题意有A （0，1.25），B （1，2.25），设抛物线为y=a （x-1）2+2.25．将点A 坐标代入，得a=-1，∴y=-（x-1）2+2.25．令y=0，得x 1=-0.5（舍去）． x 2=2.5．∴水池的半径至少要2.5m ．（2）由于抛物线形状与（1）相同可设此抛物线为y=-（x+m）2+k，再将点A（0，1.25）及点（3.5，0）代入，解方程组可求得m=-117，k=3141196≈3.7，所以，此时水流最大高度达3.7m．15．（1）S=t2-6t+72；0<t<6（2）由S=（t-3）2+63．即当t=3时，S有最小值为63cm2．16．（1）抛物线BCB的表达式为y=-132x2+8．x=2时，y=778m>7m，所以汽车能完全通过．（2）当x=4时，y=7.5m>7m，所以仍能安全通过．（3）限高为7.2m较适宜．（答案不唯一，符合情理即可）∴D点的坐标为（2，2）．∵点P在直线ED上，故设P点的坐标为（x，2），∵P在抛物线上，∴2=x2-4x，=2∴P（，2）或P（2）为所求．17（1）5元；（2）Q=-13t2+4t-8；（3）W=13（t-5）2+113．t=5时，W最小=113元．∴30 000件商品一个月内售完至少获得110 000元利润．18．（1）P=20+x；（2）Q=（500-5x）（20+x）+50x；Q=-5x2+450x+10 000；（3）设总利润为M，M=Q-10 000-150x=-5x2+300x．当x=30时，总利润最大，最大利润是4 500元．19．（1）设运动开始后第xs时，△PBQ的面积等于8cm2，根据题意，得12·（6-x）·2x=8，∴x2-6x+8=0，∴x1=4，x2=2．答：运动开始后第2s或第4s时，△PBQ的面积等于8cm2．（2）由题意得S=6×12-12（6-t）·2t，∴S=t2-6t+72（0<t<6）．点拨：在实际应用中，应注意自变量取值范围不再是全体实数这一根据所在．20．（1）∵AB=xm，∴BC=（24-3x）m．∴S=x（24-3x）=-3x2+24x．∵x>0，0<24-3x≤10，∴143≤x<8．∴S与x的函数关系式是S=-3x2+24x（143≤x<8）．（2）当S=45时，-3x2+24x=45，即x2-8x+15=0．解得x1=3，x2=5．而当x=3时，不满足143≤x<8，故舍去，只取x=5．∴要围成面积为45m2的花圃，AB的长是5m．（3）不能围成面积比45m2更大的花圃．∵当S>45时，-3x2+24x>45，即x2-8x+15>0．∴（x-3）（x-5）>0．∵143≤x<8，∴x-3>0，x-5>0．∴x>5，∴5<x<8．∵S=-3x2+24x=-3（x-4）2+48，∴当x>4时，S随x的增大而减小．∴当5<x<8时，S随x的增大而减小．∴不能围成面积比45m2更大的花辅．。