有限元方法读书报告

有限元读书笔记
在2009年暑假期间，在汤老师的指导下，我学习了有限元这门课程，了解
了有限元的基本概念和基本方法。利用课外书籍、资料也了解了有限元方法的相
关知识和应用情况，成为一种丰富多彩、应用广泛且实用高效的数值分析方法，
对我们方程组迭代法研究过程中有着极为重要的影响。
一、基础知识
在课程学习中，我们学习了变分原理与变分法，通过最速降线问题、短程
线问题、等周问题引入变分法的概念，即研究泛函极值问题就是变分法。研究变
分问题的求解，变分问题旨在讨论相应的约束条件和边界条件下的泛函极值问题
和多个独立变量的变分问题，而对于这类变分问题已有许多求泛函极值的必要条
件和充分条件，如Euler方程组等，就此分类讨论一元（21,()(,,)xxxJyFxyyd）
以及二元（()(,,(,),(,),(,))xyDJyFxywxywxywxyd）状态下的求解方法，在
学习中，我掌握了变分法基本引理，求泛函变分的参数导数定理以及泛函取极值
的必要条件，也掌握了泛函求极值的直接算法与过程，也了解了具有一个自变量，
一个自变函数和一阶导数的泛函的Euler方程；具有一个自变量，一个自变函数
和高阶导数的泛函的Euler方程；具有多个自变量，一个自变函数泛函的Euler
方程，以及参数变分问题。在变分问题求解学习中，对于Dirichlet原理的学习，
求解，在已知()J，|0时，得到Euler方程，同时找到序列{}nu，取
u
，

再引入坐标函数{(,)}kxy（{(,)}kxy满足线性无关和完备性），使得

1(,)nnkkkuCxy


，代入()Ju，
求得参数kC为取得极值的关键所在，也就是1908

年，Ritz提出的求解变分问题的方法。
在学习了变分原理以及变分法的基本概念和方法后，研究Dirichlet原理中
也了解到边值问题的重要性，常微分方程边值问题以及偏微分边值问题的等价变
分的研究显得十分重要。对于常微分方程边值问题等价的变分相对而言简单。
定理1：线性正算子方程uTf解是唯一的，且等价于
()(,)(,)(,)JuTuuuffu
取极小值解。

定理1的应用非常重要，在研究微分方程边值问题等价的变分过程中十分
关键，例：[()'()]()()()xddTypxyxxyxfx，存在齐次边界条件，首先对算
子进行研究，验证其是否是线性正算子，应用定理1可解得，若边界条件为非齐
次，则可化解成齐次边界条件，方法十分巧妙。
对于偏微分方程边值问题等价的变分，则对其边值问题进行系统分析，要
考虑三种基本边值问题的边界条件：
（1）Dirichlet问题：|0u
（2）Neumann问题：|0uv
（3）Robin问题：
0(())|0,()0uvxux




在三类边值问题的条件下，应用定理1，使得()(,)2(,)Juuuuf研究
变分问题，而Robin问题又可划分为三类变分问题，对于,pq的取值不同，则分
解为几类问题，其中一类涉及到非齐次边界条件时，应采取引入坐标函数的方法
求解，但区别的是此时引入的坐标函数需满足边界条件，区别于Ritz法引入坐
标函数的概念。由此得出Galerkin法和Ritz法的优劣性；Galerkin法与Ritz法得
到的结果是一致的，但是Galerkin法适用于更广泛的一类微分算子；Ritz法所选
坐标系，在所满足的边界条件中不必考虑自然边界条件，而Galerkin法需满足自
然边界条件；两个方法的背景不相同。
在前期大量的基础学习中，第二章正式进入有限元理论的理论基础学习，
首先对泛函分析里的线性空间、逆算子、Sobolev空间以及弱收敛性、紧致性概
念进行了回顾，对等价模定理进行了更深一层次的分析。最后研究了有限元方法，
对出Galerkin法和Ritz法进行了改进，采取分片多项式的方法，进行单元插值
运算，因此总结出有限元求解问题的基本步骤：
第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几
何区域。
第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相
连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网
络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增
大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。
第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包
含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方
程化为等价的泛函形式。
第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，
其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态
变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。 为保证
问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。对工程应用而言，重要的是应
注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅
精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。
第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），
反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条
件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在
结点处。
第六步：联立方程组求解和结果解释。有限元法最终导致联立方程组。联
立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量
的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并
确定是否需要重复计算。我们学习了分别从Galerkin法和Ritz法出发，研究有
限元方法，并初步掌握了有限元方法的核心。

二、知识的强化
在学习变分法的过程当中，我们一般情况下研究的是传统的变分问题，传统
的变分法所讨论的泛函指被积函数只含独立变量、变分函数和变分函数的导数，
但实际问题中所遇到的泛函极值中，有时还含有上述变量与导函数的定积分，这
样传统的变分法的应用范围就受到限制。在烟台师范学院闫庆旭《一种新变分问
题的解法及其应用中》，就
'(2)()'(2)()(())(,(),(),(),,(),(,(),(),(),,())bbmm
t
aa

JytFtytytytytGtytytytytdtd


此类别进行研究。同时得出了结论
对rxR，作约束积分方程
'(2)()(,(),(),(),,()bm
a
Gtytytytytdtx


以及泛函
'(2)()(())(,(),(),(),,(),)bm
t
a

JytFtytytytytxd


在约束条件之下，泛函(())Jyt的极大（小）值元即为(0)(,)ytx。我们还定义r元
函
数

00(,)(,)0()(,(,),,,,)m
b

m
dytxdytx

t
xxazxFtytxxd






定理2 若(())Jyt在约束条件下于0(,)ytx处达到极大（小）值，而()zx于
0
x

处达到极大（小）值，则泛函(())Jyt于00()(,)ytytx处达到极大（小）值。
这一类变分问题很大程度上在求解某些物理问题与最优控制问题上有着很
好的应用价值。
而在应用有限元方法时，单元的划分又极为重要。这个区域就是把求解区域
划分成一系列小单元。而采用有限元方法进行数值模拟时划分单元遵循以下几个
原则：
( 1) 密度适当，通常单元越小，数值结果精度越好，然而较小的单元将导
致较多的未知量, 因而增加内存需求和计算时间。在划分单元时既要考虑求解问
题精度要求，又要考虑计算量对计算机的要求。
( 2) 边界曲折、应力梯度大的地方, 单元一般划分小一些。相反, 边界平直、
应力梯度小的地方, 单元一般划分大些。一般情况下对所期望的精度应保持单元
数最少。较好的方法是: 在解变化剧烈的区域用较小的单元, 而在解变化平缓的
区域内用较大的单元。
( 3) 区域离散采用的三角形单元要避免使用狭长形状的三角形。如果是四边
形单元, 单元的内角不能太小也不能太大, 否则会影响计算结果的精度。
( 4) 每一个单元的角点不能在相邻单元的边的中间。
( 5) 对不同厚度、不同弹性模量材料的突变处应该设置成单元的边缘, 而不
能使单元跨越突变处。离散的一个基本要求是单元之间既没有重叠也没有间隔。
三、知识的拓展和延伸
理解有限元方法可以帮助我们学习数值分析，比如对方程组迭代解法的研
究、波动性方程的研究、差值与逼近方法、样条差值与分段差值等。它们都采取
了单位概念，与有限元方法完全类似，随着有限元方法在科技领域的迅速发展，
越来越多的人关注有限元方法对各类学科的影响。
对于知识的拓展和延伸，超松弛迭代方法中松弛因子确定以及具体的研究是
否能够与有限元方法相联，是我下一阶段打算去做的工作。