人教A版(2019)数学必修第一册2.2基本不等式测试题
高中数学人教A版必修第一册《22_基本不等式》同步练习卷(4)(有答案)
人教A版必修第一册《2.2 基本不等式》同步练习卷（4）一、单选题1. 函数y＝2x(2−x)（其中0<x<2）的最大值是（）A. B. C.2 D.12. 已知a>0，b>0，且2a+b=4，则1ab的最小值为（）A.1 2B.14C.2D.43. 已知实数x、y满足x>0、y>0，且，则x+2y的最小值为（）A.4B.2C.8D.64. 若正数x，y满足x+3y＝5xy，则4x+3y的最小值为（）A.275B.245C.6D.55. 若正实数x，y满足x+y＝1，则4x+1+1y的最小值为（）A.275B.447C.92D.1436. 若a>0，b>0，且，则2a+b的最小值为（）A. B.2 C. D.7. 若正数a，b满足：1a +2b=1则2a−1+1b−2的最小值为()A.√2B.2C.2√2D.18. 已知x >0，y >0，x +2y +2xy =8，则x +2y 的最小值是（ ） A.4 B.3C.92D.1129. 若两个正实数x ，y 满足1x +4y =1，且不等式x +y4<m 2−3m 有解，则实数m 的取值范围（ ）A.(−∞, −1)∪(4, +∞)B.(−1, 4)C.(−∞, 0)∪(3, +∞)D.(−4, 1)10. 若正数x ，y 满足x 2+xy −2＝0，则3x +y 的最小值是（ ） A.B.4C.4D.2二．多选题下列说法正确的是（ ） A.2√x 2+2的最小值是√2 B.x +1x (x >0)的最小值是2 C.2√x 2+4的最小值是2D.2−3x −4x 的最大值是2−4√3《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC =a ，BC =b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则该图形可以完成的所有的无字证明为( )A.a 2+b 2≥2ab(a >0, b >0)B.a+b 2≥√ab(a >0, b >0) C.√ab ≥21a +1b(a >0, b >0) D.a 2+b 22≥a+b 2(a ≥0, b >0)若a >0，b >0，a +b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A. B.ab≤1 C. D.a2+ b2≥2若正实数a，b满足a+b＝1，则下列说法正确的是（）A.+有最大值B.ab有最大值C.a2+b2有最大值D.+有最小值2三．填空题已知实数x>0，y>0，且4x +1y=2，则xy的最小值为________，x+y的最小值为________．若正数a，b满足ab＝2a+2b+5，则ab的最小值是________，a+b的最小值是________．已知m>0，n>0，且+＝，则m+2n的最小值为________．已知a，b，c为正数，则a2+b2+c2ab+bc+ac的最小值为________．四、解答题（1）证明：√5−√10>√3−√8（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：(1a −1)(1b−1)(1c−1)≥8．（1）已知a，b，c>0，求证：≥a+b+c；（2）已知a>0，b>0，a+b＝1，求证：．已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x(x≥40)万部且并全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且．（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部的函数关系式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．参考答案与试题解析人教A版必修第一册《2.2 基本不等式》2020年同步练习卷（4）一、单选题1.【答案】此题暂无答案【考点】二次来数的斗象二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】基来雨等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用基来雨等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二．多选题【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三．填空题【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】不等较的证夏【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】不等较的证夏【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型函数因值的十用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2019新人教A版高中数学 必修第一册课时同步课时作业 2.2 第1课时 基本不等式 Word版含解析
第二章 2.2 第1课时A 组·素养自测一、选择题1．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4abC ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3[解析] a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b＝16，则ab <a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．不等式(x －2y )＋1x －2y ≥2成立的条件为( B )A ．x ≥2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号B ．x >2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号C ．x ≤2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号D ．x <2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号[解析] 因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，且等号成立时(x －2y )2＝1，即x －2y ＝1，故选B ．3．已知正数a ，b 满足ab ＝10，则a ＋b 的最小值是( D ) A ．10 B ．25 C ．5D ．210[解析] a ＋b ≥2ab ＝210，等号在a ＝b ＝10时成立，故选D ． 4．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( B ) A ．13B ．12C ．34D ．23[解析] 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时取等号．5．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( B ) A ．12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2[解析] ∵ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ab <14，∴2ab <12.∵a 2＋b 22>a ＋b2>0，a ＋b ＝1， ∴a 2＋b 22>12，∴a 2＋b 2>12. ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2 ＝ab －a 2＝a (b －a )>0，∴b >a 2＋b 2，∴b 最大．6．已知a >0，b >0，A ＝a ＋b 2，B ＝ab ，C ＝2aba ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( D )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[解析] 由基本不等式可知，A ≥B ，2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，所以B ≥C ，当a ＝b 时等号成立．故选D ．二、填空题 7．若a <1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是__a ＋1a －1≤－1__. [解析] 因为a <1，即a －1<0， 所以－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(1－a )·11－a ＝2(当且仅当1－a ＝11－a，即a ＝0时取等号)．即a ＋1a －1≤－1.8．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是2[解析] 因为a >b >c ， 所以a －b >0，b －c >0. (a －b )(b －c )≤a －b ＋b －c 2＝a －c2.当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时，等号成立．所以(a －b )(b －c )≤a －c2.9．设x >0，则x 2＋x ＋3x ＋1的最小值为[解析] 由x >0，可得x ＋1>1.令t ＝x ＋1(t >1)，则x ＝t －1，则x 2＋x ＋3x ＋1＝(t －1)2＋t －1＋3t ＝t ＋3t －1≥2t ·3t－1＝23－1，当且仅当t ＝3，即x ＝3－1时，等号成立．三、解答题10．当x 取什么值时，x 2＋1x 2取得最小值？最小值是多少？[解析] x 2＋1x2≥2x 2·1x 2＝2，当且仅当x 2＝1x2，即x ＝±1时等号成立． ∴x ＝1或－1时，x 2＋1x2取得最小值，最小值为2.11．已知x ，y 都是正数，且x ≠y ，求证：(1)x y ＋y x >2；(2)2xyx ＋y <xy .[证明] (1)∵x >0，y >0，∴x y >0，yx >0，∴x y ＋yx≥2x y ·y x ＝2，∴x y ＋y x≥2. 由于当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y 时取“＝”，但x ≠y ，因此不能取“＝”．∴x y ＋y x>2. (2)∵x >0，y >0，x ≠y ，∴x ＋y >2xy ，∴2xyx ＋y <1，∴2xy ·xyx ＋y <xy ， ∴2xyx ＋y<xy . B 组·素养提升一、选择题1．(2019·广东湛江一中高二上第二次大考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，当3x ＋4y 取得最小值时，x ＋2y 的值为( B )A ．245B ．2C ．285D ．5[解析] ∵x ＋3y ＝5xy ，x >0，y >0，∴15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·(15y ＋35x )＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2·3x 5y ·12y 5x ＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y5x，即x ＝2y ＝1时取等号，∴当3x ＋4y 取得最小值时，x ＝2y ＝1，∴x ＋2y 的值为2，故选B ． 2．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( B ) A ．23B ．223C ．33 D ．233[解析] 由x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13(1x －x )．因为x >0，所以x ＋y ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x＝229＝223(当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22时，等号成立)．故x ＋y 的最小值为223.3．(多选题)设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ABC ) A ．ab <1 B ．1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22D ．a 2＋b 22<ab[解析] ∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ≠b ，∴ab <1，又∵a 2＋b 22>a ＋b2，a ＋b ＝2， ∴a 2＋b 22>1，∴ab <1<a 2＋b 22.4．(多选题)下列结论正确的是( AD ) A ．当x >0时，x ＋1x≥2 B ．当x >2时，x ＋1x的最小值是2C ．当x <54时，y ＝4x －2＋14x －5的最小值为5D ．当x >0，y >0时，x y ＋yx≥2[解析] 在A 中，当x >0时，x >0，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，结论成立；在B 中，当x >2时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，但x >2取不到1，因此x ＋1x 的最小值不是2，结论错误；在C 中，因为x <54，所以5－4x >0，则y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2×(5－4x )·15－4x ＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时取等号，结论错误；显然D 正确，故选AD ．二、填空题5．已知x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最大值是__112__.[解析] ∵x ＋3y ≥23xy ， ∴23xy ≤1，即xy ≤112，等号成立的条件为x ＝3y ＝12，即x ＝12，y ＝16.6．当x >0时，若2x ＋ax (a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__18__.[解析] ∵a >0，且2x ＋ax ≥22x ·a x ＝22a ，当且仅当2x ＝a x ，即x ＝2a 2时，2x ＋a x取得最小值，∴2a2＝3，解得a ＝18.7．已知3a ＋2b ＝1，a >0，b >0，则2a ＋1b的最小值为[解析] ∵3a ＋2b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (3a ＋2b )＝8＋4b a ＋3ab ≥8＋212＝8＋43，当且仅当a ＝3－36，b ＝3－14时取到最小值．三、解答题8．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. [证明] 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.9．已知实数a ，b 满足a >0，b >0，a ＋b ＝2，且a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥m 恒成立，求实数m 的最大值．[解析]∵a>0，b>0，a＋b＝2，令a＋1＝m，b＋1＝n，则m>1，n>1，∴a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，∴a2a＋1＋b2b＋1＝(m－1)2m＋(n－1)2n＝m＋n－4＋1m＋1n＝4mn≥4⎝⎛⎭⎫m＋n22＝1，∴m≤1，所以实数m的最大值为1.。
【高一数学】基本不等式同步课时训练-2022-2023学年上学期数学人教A版(2019)必修第一册
2.2 基本不等式—2022-2023学年高一数学人教A 版（2019）必修第一册同步课时训练一、 概念练习1.已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是( ) A.2x y xy +>B.2x yy x+> C.2xyxy x y<+ D.12xy xy+> 2.若0x >，0y >，且21x y +=，则1xx y+的最小值是( ) A.2B.32C.122+D.3223.已知0,0x y >>,21x y +=,则21y x y+的最小值为( ) A.6B.5C.32+D.222+4.若1x >,则111x x ++-的最小值等于( ) A.1B.2C.3D.45.已知0x >，0y >，且4x y xy +=，则x y +的最小值为( ) A.8B.9C.12D.16二、能力提升 6.若102a <<,则1112a a+-的最小值为( ). A.32+ B.322- C.42 D.47.已知0x >，0y >，且4x y +=，则19x y+的最小值为( ) A.2 B.3C.4D.8（多选）8.设正实数,a b 满足1a b +=，则( ) A.11a b +有最小值4 ab 12a b 2 D.22a b +有最小值129.下列说法中正确的有（ ） A.不等式2a b ab +≥ B.存在a ，使得不等式12a a +≤-成立C.若,(0,)a b ∞∈+，则2b a a b+≥D.2222y x x =++ 210.设正实数a b ，满足1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.11a b+有最小值4ab 12a b 2 D.22a b +有最小值1211.已知实数,x y 满足0x y >>且2x y +≤,则213x y x y++-的最小值为________. 12.若2,3a b >>且满足3250a b ab +--=,则223ba b +--的最小值是_______. 13.已知 ,a b 为正实数, 且196a b a b+=++, 则 a b +的最小值为___________. 14.已知正数a ，b 满足23a b ab +=. （1）若1m a =，1n b=，求2m n +的值； （2）求2111a b +++的最大值.15.回答下列问题：(1)比较2253x x ++与242x x ++的大小. (2)比较2225x y z ++与2422xy x z ++-的大小.答案以及解析1.答案：D解析：由基本不等式，2x yxy +≥2y x x y +≥，22xy xy x y xy ≤=+当且仅当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立； 12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如12x =，2y =即可取等号，D 中不等式不恒成立. 2.答案：C解析：本题考查基本不等式.因为0x >，0y >，所以1221122x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+，当且仅当222x y =时等号成立，故最小值为12+.3.答案：D解析：因为21x y +=,所以21y x =-,所以2111111y x x y x y x y -+=+=+-11(2)1x y x y ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭22222y x y x x y x y =++≥+⋅222=+, 当且仅当2,21,y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即21,21x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩时等号成立,所以21y x y +的最小值为222+4.答案：D 解析：1,10x x >∴->,1111122(1)24111x x x x x x ∴++=-++≥-⋅=---, 当且仅当111x x -=-,即2x =时等号成立,111x x ∴++-的最小值为4,故选D. 5.答案：B解析：由4x y xy +=得411y x +=，则414()142459x y x y x y y x y x⎛⎫+=++=+++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当4x yy x=，即3x =，6y =时取等号.故选B. 6.答案：A 解析：因为102a <<,所以=120a ->,所以1121[2(12)]12212a a a a a a ⎛⎫+=++- ⎪--⎝⎭2(12)221212a a a a-=+++-2(12)232322212a a a a -≥+⋅=+-当且仅当2(12)2212a aa a-=-，即22a -=时取等号,所以1112a a+-的最小值为322+故选A. 7.答案：C解析：因为4x y +=， 所以1911919()1044y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0x >，0y >， 所以996y x y x x y x y+≥⋅，当且仅当1x =，3y =时，等号成立， 故19x y+的最小值为4. 故选C. 8.答案：ACD解析：A ：由题设，1111()()2224b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=，当且仅当12a b ==时等号成立，正确；B ：由,0a b >，则12a b ab +=≥12ab ，当且仅当12a b ==ab的最大值为12，错误； C ：由,0a b >，则2()1a b a b ++=≥2a b 12a b ==时等号成立，正确；D ：222()122b a a b +≥=+，当且仅当12a b ==时等号成立，正确； 故选：ACD. 9.答案：BC解析：当0,0a b <<时，不等式2a b ab +≥A 错误； 当2a =-时，1522a a +=-≤-，即存在a ，使得不等式12a a +≤-成立，B 正确； 若,(0,)a b ∞∈+，则0,0a b b a >>，22b a b aa b a b∴+≥⋅=，当且仅当a b =时等号成立，C 正确；2222122222y x x x x =+≥+⋅=++221x +=时等号才能成立，但221x +=无解，故22222y x x =+>+，D 错误.故选：BC. 10.答案：ACD解析：A ：由题设，1111()()2224b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=，当且仅当12a b ==时等号成立，正确；B ：由,0a b >，则12a b ab +=≥12ab ，当且仅当12a b ==ab的最大值为12，错误； C ：由,0a b >，则2()1a b a b ++=≥2a b 12a b ==时等号成立，正确；D ：222()122b a a b +≥=+，当且仅当12a b ==时等号成立，正确；故选：ACD. 11.322+ 解析：因为2,322x y x y x y x y +++-=+≤，所以11(3)4x y x y ≥++-,故21121(3)343x y x y x y x y x y x y ⎛⎫+≥++-+ ⎪+-+-⎝⎭1223343x y x y x y x y ⎛⎫-+=++ ⎪+-⎝⎭,因为0x y >>,所以0x y ->,由基本不等式得223223x y x y x y x y -++≥+-当且仅当2,2()3,3x y x y x y x y x y +=⎧⎪-+⎨=⎪+-⎩即221,322x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,故213x y x y ++-322+. 12.答案：61解析：因为2,3a b >>且满足3250a b ab +--=,所以(2)(3)326561a b ab a b --=--+=-+=,则123a b =--，所以22332323b b a b a b -++=+=----23231212612323a b a b ++≥⋅=----,当且仅当2323a b =--，即23(2)2a a =--时取“=”,解得662,3ab +=+, 所以223ba b +--的最小值为61. 13.答案：8解析：由题()()()2199()6610616b a a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=+++=++++≥++ ⎪⎝⎭, 则有()2()6160a b a b +-+-≥, 解得8a b +≥. 当且仅当 2,6a b ==取到是小值 8 .14.答案：（1）3 （2）见解析解析：（1）由23a b ab +=，可得123b a+=，则23n m +=.（2）由（1）得1a m =，1b n=， 则212213111111m n a b m n m n ⎛⎫+=+=-+ ⎪++++++⎝⎭2113[2(1)1]116m n m n ⎛⎫=-+⋅+++ ⎪++⎝⎭12(1)2(1)13353(5222)61162m n n m ++⎡⎤=-⋅++≤-⋅+⨯=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当2(1)2(1)11m n n m ++=++中，即1a b ==时，等号成立. 15.答案：(1)2225342x x x x ++>++(2)22252422x y z xy x z ++≥++-，当且仅当12x y ==且1z =时取到等号. 解析：(1)222213()()2534)2421(x x x x x x x ++-++=++=++.因为2102()x +≥，所以2133()2440x ++>≥，所以22()(253420)x x x x ++-++>，所以2225342x x x x ++>++. (2)22252422x y z xy x z ++≥++-因为222222252422()441221x y z xy x z x x x xy y z z ++-++-=-++-++-+222()(2(0)1)1x x y z =-+-+-≥，所以22252422x y z xy x z ++≥++-，当且仅当12x y ==且1z =时取到等号.。
2019-2020学年新一线人教A版数学必修一练习：2.2 基本不等式 Word版含解析
2.2 基本不等式课后篇巩固提升基础巩固1.已知正实数a 、b 满足a+b=ab ,则ab 的最小值为( )A.1B. C.2D.42ab=a+b ≥2,()2≥2,∴ab ≥4,当且仅当a=b=2时取等号,故ab 的最小值为4.ab ab ab2.已知0<x<1,则当x (1-x )取最大值时,x 的值为( )A. B. C. D.131214230<x<1,∴1-x>0.∴x (1-x )≤,当且仅当x=1-x ,即x=时,等号成立.(x +1-x 2)2=14123.已知a ,b 是不相等的正数,x=,y=,则x ,y 的关系是( )a +b 2a +b A.x>y B.x<y C.x>yD.y<x222==a+b ,y 2=a+b ,所以x 2<y 2,∵x>0,y>0,∴x<y.a +b +2ab 2<2(a +b )24.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图所示,AB 是半圆O 的直径,点C 是AB 上一点(不同于A ,B ,O ),点D 在半圆O 上,且CD ⊥AB ,CE ⊥OD 于E ,设AC=a ,BC=b ,则该图形可以完成的“无字证明”为( )A.(a>0,b>0)ab ≤a +b2B.(a>0,b>0,a ≠b )a +b2<2ab a +b C.(a>0,b>0)2aba +b ≤ab D.(a>0,b>0,a ≠b )2aba +b <ab <a +b2AC=a ,BC=b ,可得半圆O 的半径DO=,易得DC=,DE=,∵a +b2AC ·BC =ab DC 2DO=2ab a +b DE<DC<DO ,∴(a>0,b>0,a ≠b ).故选D .2ab a +b <ab <a +b25.已知a>0,b>0,且a+2b=8,则ab 的最大值等于 .0,b>0且a+2b=8,则ab=a ·2b ≤2=×16=8,当且仅当a=2b=4,取得等号,则ab 的最1212a +2b212大值为8.6.已知4x+(x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a= .ax,得4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,即=3,a=36.ax 4x ·ax a ax a2a27.已知t>0,则的最小值为 . t 2-3t +1t=t+-3≥2-3=-1,当且仅当t=1时,取等号.1t t ·1t18.已知a>0,b>0,求证:a+b+1≥.ab +a +b≥2,a+1≥2,b+1≥2,ab a b 上面三式相加,得2(a+b+1)≥2+2+2,ab a b 所以a+b+1≥.ab +a +b 9.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:≥9.1a +1b +1ca>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,所以=3++1a +1b +1c =a +b +c a +a +b +c b +a +b +c c a b +b a ca+≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时取等号.+ac cb +bc 13能力提升1.(多选题)若正实数a ,b 满足a+b=1,则下列说法错误的是( )A.ab 有最小值B.有最小值14a +b 2C.有最小值4D.a 2+b 2有最小值1a +1b 22a>0,b>0,且a+b=1,∴1=a+b ≥2,∴ab ≤.∴ab 有最大值,∴选项A 错误;()2=a+b+2ab 1414a +b =1+2≤1+2=2,∴,即有最大值,∴B 项错误;≥4,∴ab ab 14a +b ≤2a +b 21a +1b =a +bab =1ab有最小值4,∴C 正确;a 2+b 2=(a+b )2-2ab=1-2ab ≥1-2×,∴a 2+b 2的最小值是,不是,∴D 错1a +1b 14=121222误.2.已知a>b>c ,则的大小关系是 . (a -b )(b -c )与a -c2a>b>c ,∴a-b>0,b-c>0,∴.a -c2=(a -b )+(b -c )2≥(a -b )(b -c )当且仅当b=时取等号.a +c2≤a -c23.直角三角形的周长等于2,则这个直角三角形面积的最大值为 .a 、b ,斜边长为c ,面积为S ,周长L=2,由于a+b+=L ≥2a 2+b 2(当且仅当a=b 时取等号),∴.ab +2ab ab ≤L 2+2∴S=ab ≤2=·2=L 2=3-2.1212L 2+212(2-2)L 23-2242-224.已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,且abc=1.求证:a+b+c<.1a2+1b2+1c2a ,b ,c 都是正实数,且abc=1,所以=2c ,=2a ,=2b ,1a2+1b2≥2ab 1b2+1c2≥2bc 1a2+1c2≥2ac 以上三个不等式相加,得:2≥2(a+b+c ),即≥a+b+c ,1a2+1b2+1c 21a2+1b2+1c2因为a ,b ,c 不全相等,所以上述三个不等式中的“=”不都同时成立,所以a+b+c<.1a2+1b2+1c2。
2019新人教A版高中数学 必修第一册课时同步课时作业 2.2 第2课时 基本不等式的应用 Word版含解析
第二章 2.2 第2课时A 组·素养自测一、选择题1．若x ∈{x |－2<x <0}，则x (2＋x )的最小值是( C ) A ．－2 B ．－32C ．－1D ．－12[解析] 因为x ∈{x |－2<x <0}，所以2＋x >0，所以x (2＋x )＝－(－x )(2＋x )≥－⎝⎛⎭⎫x ＋2－x 22＝－1，当且仅当x ＝－1时，等号成立．2．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( B )A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b23．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D )A ．a ≤2B ．a ≥2C ．a ≥3D ．a ≤3[解析] 由于x >1，所以x －1>0，1x －1>0，于是x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当1x －1＝x －1即x ＝2时等号成立， 即x ＋1x －1的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a ≤3，故选D ． 4．设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( B )A ．6B ．9C ．12D ．15[解析] x ，y 为正数，(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy ≥9，当且仅当y ＝2x 时等号成立．选B ．5．若对所有正数x ，y ，不等式x ＋y ≤a x 2＋y 2都成立，则a 的最小值是( A ) A ． 2 B ．2 C ．2 2D ．8[解析] 因为x >0，y >0， 所以x ＋y ＝x 2＋y 2＋2xy ≤2x 2＋2y 2＝2·x 2＋y 2， 当且仅当x ＝y 时等号成立，所以使得x ＋y ≤a x 2＋y 2对所有正数x ，y 都成立的a 的最小值是 2.故选A ．6．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为( C )A ．2B ．4C ．8D ．16 [解析] 因为点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 所以－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.因为m >0，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2·n m ·4mn ＝8，当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号．故选C ．二、填空题7．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是__2254__.[解析] (1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝2254，即xy 的最大值是2254.当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值．8．已知正数a 、b 满足9a ＋1b ＝3，则ab 的最小值为__4__.[解析] 9a ＋1b＝3≥29ab⇒ab ≥2⇒ab ≥4. 当且仅当9a ＝1b ，即a ＝6，b ＝23时取等号．9．已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy>m ＋2恒成立，则实数m 的取值范围是__m <6__.[解析] 因为x >0，y >0，所以2y x ＋8x y ≥8，当且仅当2y x ＝8xy 时，“＝”成立．所以m ＋2<8，解得m <6.三、解答题10．若正数a 、b 满足：1a ＋2b ＝1，求2a －1＋1b －2的最小值．[解析] 正数a 、b 满足1a ＋2b ＝1，则1a ＝1－2b ＝b －2b ，则1b －2＝a b ，由正数a 、b 满足1a ＋2b ＝1，则2b ＝1－1a ＝a －1a ，则2a －1＝b a ，2a －1＋1b －2＝b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故2a －1＋1b －2的最小值为2.11．某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A 产品，根据过去的经验，每月A 产品销售数量y (万件)与销售员的数量x (人)之间的函数关系式为y ＝920xx 2＋3x ＋1 600(x >0)．在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？(精确到0.1万件)[解析] 依题意得y ＝920x ＋3＋1 600x (x ∈N *)．因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(万件)． 所以当销售员为40人时，销售量最大，最大销售量约为11.1万件．B 组·素养提升一、选择题1．已知m ，n ∈R ，且m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( B ) A ．100 B ．50 C ．20 D ．10[解析] 由m 2＋n 2≥2mn得mn ≤m 2＋n 22＝50，当且仅当m ＝n ＝±52时等号成立．2．已知0<x <1，a ，b 为常数，且ab >0，则y ＝a 2x ＋b 21－x 的最小值为( A )A ．(a ＋b )2B ．(a －b )2C ．a ＋bD ．a －b[解析] y ＝a 2x ＋b 21－x ＝⎝⎛⎭⎫a 2x ＋b 21－x [x ＋(1－x )]＝a 2＋b 2＋a 2(1－x )x ＋b 2x 1－x ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a＋b )2，当且仅当x ＝aa ＋b时取等号．3．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( B )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] (x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2y x ·axy＝1＋a ＋2a ， 当且仅当y x ＝axy ，即y ＝ax 时取等号．依题意得1＋a ＋2a ≥9，即(a －2)(a ＋4)≥0，又a ＋4>0，∴a ≥2，解得a ≥4，故a 的最小值为4，故选B ．4．(多选题)已知集合U ＝R ，A ＝{p |p ＝a ＋1a －2，a >2}，B ＝{q |q ＝－x 2＋8，x ∈R }，则下列正确的是( ABD )A ．A ∩B ＝{x |4≤x ≤8} B ．A ∪B ＝RC ．A ⊆BD ．∁U A ⊆B[解析] 由a >2，故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4，当且仅当a ＝3时取等号． 所以A ＝{p |p ≥4}，B ＝{q |q ≤8}． 二、填空题5．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4的最小值是__1__.[解析] f (x )＝(x －2)2＋12x －4＝x －22＋12x －4＝2x －44＋12x －4≥22x －44·12x －4＝1. 当且仅当2x －44＝12x －4，即x ＝3时取“＝”．6．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为__36__.[解析] ∵正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，∴1x＋4y＋9z＝(x＋y＋z)(1x＋4y＋9z)＝1＋4＋9＋yx＋4xy＋zx＋9xz＋4zy＋9yz≥14＋2yx·4xy＋2zx·9xz＋24zy·9yz＝36，当且仅当x＝16，y＝13，z＝12时取等号．故答案为36.7．(2019·湖南湘潭高二期末)一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于v2800km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要__10__h.[解析]当最后一辆汽车出发，第一辆汽车走了50·v2800v＝v16小时，最后一辆车走完全程共需要400v小时，所以一共需要400v＋v16小时，结合基本不等式，计算最值，可得400v＋v16≥2400v·v16＝10，故最小值为10小时．三、解答题8．(2019·福建厦门双十中学高二上第二次月考)设a>0，b>0，且a＋b＝1a＋1b.(1)求a＋b的最小值；(2)证明：a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．[解析]由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，且a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，知a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.(2)证明：由(1)知a2＋b2≥2ab＝2，且a＋b≥2，因此a2＋b2＋a＋b≥4，①假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则a2＋b2＋a＋b<4，②①②两式矛盾，故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．9．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？[解析] (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)， ∴2020年该产品的利润y ＝1.5x ·8＋16x x －8－16x －m ＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。
人教A版(2019)必修第一册第二章一元二次函数方程不等式单元测试(含答案解析)
∴ 当且仅当 时取等，但是 ，所以不能取等，所以 .所以该命题是正确的.
对于④ ，∴ ，所以该命题是正确的.
综上所述，正确的不等式有 个.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查不等式的性质、基本不等式、差比较法，属于中档题.
7．A
【解析】
分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可.
9．D
【分析】
利用特殊值排除错误选项，利用指数函数单调性判断正确选项.
3．下列不等式的证明过程正确的是（）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 则
D．若 ，且 ，则
4．已知关于x的不等式 的解集为空集，则 的最小值为（）
A． B．2C． D．4
5．设 ， ，则 的大小关系是（）
A． B． C． D．不确定
6．若 ，则下列不等式中正确的不等式有（）个.
① ；② ；③ ；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】
∵ ，
∴ .
又∵ ， ，
∴ .
若 ，则 ， 或 ，不符合 .
∴ .
∴ .
∴ .
故选：A
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式比较大小，属于基础题.
6．C
【分析】
结合不等式的性质、基本不等式、差比较法对四个不等式逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于①，因为 ，所以 ，所以该命题是错误的.
对于②，因为 ，所以 ， ，所以 ，所以该命题是正确的.
【详解】
由 ， ，且 知 ，
所以最大值为A，
所以 ，
所以 为四个代数式中最大的.
故选：B
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人教A版（2019）数学必修第一册2.2基本不等式测试题
一、单选题（共8题；共16分）
1.已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
2.在等差数列中，且，则的最大值等于（）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 36
3.下列各式中，最小值等于２的是（）
A. B. C. D.
4.若，则下列不等式①a+b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④中，正确的不等式有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5.已知x>0，由不等式……可以推出结论
,则a= ( )
A. B. C. a=1 D.
6.已知由正数组成的等比数列中，前6项的乘积是64，那么的最小值是（）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
7.已知a，b均为正数，，则使的取值范围是（）
A. B. C. D.
8.现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（）
A. 1m
B. 1.5m
C. 0.75m
D. 0.5m
二、填空题（共7题；共7分）
9.已知a＞0，b＞0，2a+b=1，则的最小值为________．
10.已知t＞0，则函数的最小值为________．
11.已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为________ ．
12.，动直线过定点，动直线过定点，若直线l 与相交于点（异于点），则周长的最大值为________
13.已知各项为正数的等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n使得，则
的最小值为________．
14.已知且，则的最小值为________.
15.已知a＞0，b＞0，且4a﹣b≥2，则的最大值为________．
三、解答题（共3题；共25分）
16.某商品上市30天内每件的销售价格元与时间天函数关系是该商
品的日销售量件与时间天函数关系是.
（1）求该商品上市第20天的日销售金额；
（2）求这个商品的日销售金额的最大值.
17.选修4-5：不等式选讲
已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证：+ ≥ ．
18.已知实数，且，若恒成立.
（1）求实数m的最小值；
（2）若对任意的恒成立，求实数x的取值范围.
答案
一、单选题
1. C
2. C
3. D
4. B
5. D
6.B
7. C
8.A
二、填空题
9. 10.﹣2 11. 12.13.14.15.
三、解答题
16. （1）解：该产品上市第20天的销售价格为30元，日销售量为25件，所以该商品上市第20天的日销售金额是30×25=750元
（2）解：日销售金额为y元，则y=QP 当，时，=
，所以当x=15时，y取得的最大值为900元；当，时，
= ，所以当x=20时，y取得的最大值为750元，综上第15天时，这
个商品的日销售金额最大，最大值为900元
17.（I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．∵m∈N*，∴m=1．
（II）证明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，
∴α+β=2．
∴+ = = ≥ = ，当且仅当α=2β=
时取等号
18.（1）解：
∴，∴
∴（当且仅当时取等号）
又，故，即的最小值为3．
（2）解：由（1）
若对任意的恒成立，故只需
或或
解得或．。