寒假六年级奥数零基础班讲义第十三讲数论综合(一)
第一板块：质数与合数
森森大课堂
质数：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数(也叫做素数)。 合数：一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。
注意：①0和1不是质数，也不是合数。
②常用的100以内的质数：2 、3、5 、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。
③除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。 考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点。
⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9。这也是很多题解题思路，需要大家注意。
判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于P 的质数p (均为整数)，使得p 能够整除P ，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P ，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数K 2，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除P ，如没有能够除尽的那么P 就为质数。
例如：149很接近144＝12×12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以
149是质数。
有1个2n ＋1位整数，(n 是整数，n ≥1)，21
222231111个个n n L L 是质数还是合数？
已知P 是质数，P 2＋1也是质数，求P 5＋1997是多少？
如果a ，b 均为质数，且3a ＋7b ＝41，则a ＋b _______。
数论综合（一）
(★★)
(★★)
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第二板块：约数个数及和定理
⑴请把111555分解质因数(写成分解质因数的标准式)；
⑵111555可以写成两个连续奇数的乘积，这两个奇数之和是多少？
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一、质因数与分解质因数
质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
二、唯一分解定理：任何一个大于1的自然数都可以写成质数的连乘积，
即：1212a a n p p =??33k a a k p p ??L 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。
三、部分特殊数的分解：
111＝3×37； 1001＝7×11×13； 11111＝41×271； 10001＝73×137； 1995＝3×5 ×7 × 19； 1998＝2×3×3×3×37； 2007＝3×3×223 ； 2008＝2×2×2×251； 2009＝72×41 ； 10101＝3×7×13×37 最小的3位质数是101，最小的4位质数是1009。
3个质数的倒数之和是
16611986，则这3个质数之和为多少？
第三板块：约数与倍数
森森大课堂
1．因数和倍数的定义：如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a
的因数(或约数)。
2．最大公因数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么称这个自然数是
这若干个自然数的公因数。在所有公因数中最大的一个公因数，称
(★★)
(★★)
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为这若干个自然数的最大公因数。
例如(8，12)＝4， (6，9，15)＝3。
3．最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是
这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称
为这若干个自然数的最小公倍数。
例如：(8，12)＝24， (6，9，15)＝90。
4．求最大公因数的方法：
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如：231＝3×7×11， 252＝22×32×7，所以(231，252)＝3×7＝21 ；
又如：24＝23×3， 36＝22×32，所以(24，36)＝22×3＝12；
②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘。 例如：2181239632
，所以(12，18)＝2×3 ＝6；
③辗转相除法
5．求最小公倍数的方法：
①分解质因数法：先分解质因数，然后把所有出现过的因数连乘起来，相同的只乘一次。 例如：231＝3×7×11，252＝22×32×7，
所以[231，252]＝22×32×7×11＝2772；
又如：24＝23×3，36＝22×32，
所以(24，36)＝23×32＝72；
②短除法：先找所有包含的因数，然后相乘。
把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？
一次考试，参加的学生中有17得优，13
得良，12得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人。
(★★) (北大附中入学考题) (★★) (西城区13中入学试题)
六年级奥数-牛吃草问题-教师讲义
第八讲牛吃草问题 牛吃草问题概念及公式 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，牛吃草问题的历史起源是17世纪英国伟大的科学家牛顿1642—1727)提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰ 五大基本公式: 1) 设定一头牛一天吃草量为“1” 2）草的生长速度＝草量差÷时间差； 3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； 5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 这五个公式是解决牛吃草问题的基础。首先一般假设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我先介绍一些比较浅显的牛吃草问题，后面给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点 求天数 例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？ 解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（200-150）÷（20-10）=5份 10×20=200份=原草量+20天的生长量原草量：200-20×5=100份或 15×10=150份=原草量+10天的生长量原草量：150-10×5=100份 100÷（25-5）=5天 答：这片牧草可供25头牛吃5天？
小学五年级奥数高斯课本知识讲解
位值原理 一、知识引领 在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，而每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的。比如一个数由1、2、3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1、2、3能组成很多数，例如213、321、123……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123。 从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小： 个位上的数字代表几个1； 十位上的数字代表几个10； 百位上的数字代表几个100； …… 那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123=1×100+2，这个结论被称为位值原理。有的时候，为了分析问题方便，我们并不能将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如23456=231000+45我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用。 二、精讲精练 例题1：一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数。 练习一：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？ 例题2：在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这两个数。 练习2：在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数。 例题3：一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7。试求两个数的差。 . .
练习3：把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数最大可以是多少？ 例题4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“2=5”中，“学习爱”所表示的三位数最小是多少？ 练习4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“2=5”中，“用微信交作业”所表示的六位数最小是多少？ 三、奥赛传真 1、（1）851= ×100+ ×10+ ×1；（2）55984= ×1000+ ×10+ ×1. 2、（1）= ×100+ ×10+ ×1; （2）= ×10000 ×100+ ×1. 3、在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得到的三位数是原数的7倍，这个两位数是 . 4、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。它比原来的两位数小54，那么原来的两位数最小是 . 5、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。它与原来的两位数的和是187，那么原来两位数是 . 等积变形 . .
奥数 六年级 千份讲义 14 01应用题综合
1. 细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，粗蜡烛可以点12个小时，细蜡烛可以点7个小时，两根蜡烛同时点燃，那么多少小时后细蜡烛的长度是粗蜡烛的13？ 2. 甲乙丙丁四车同时在一条路上行驶：甲车12点追上丙车，14点与丁相遇，16点与乙相遇；乙车17 点与丙相遇，18点追上丁。那么丙和丁几点几分相遇？ 3. 甲、乙两船速度相同，同时出发向上游行驶，乙落后甲30千米。出发时甲船上一物品落入水中，10 分钟后此物距甲船3千米，甲船在共行驶10千米后折向下游追赶此物，追上时恰遇乙船，那么水流的速度为多少？ 4. 一批工人到甲、乙两个仓库进行搬运工作，甲仓库工作量是乙仓库工作量的1.2倍，第一天去甲仓库 的人数是去乙工地仓库的1.5倍，第二天甲仓库3/8的工人转移到乙仓库工作，第三天又将乙仓库现有工人的3/5转回甲仓库工作。三天过后，甲仓库还需9人再搬1天，乙仓库还需27名工人再搬1天，那么这批工人共有多少人？ 5. 工厂接到两个订单，第1个订单需要30个零件A ，x 个零件B ；第2个订单需要x 个零件A ，30个零件B 。甲车间生产零件B 的效率是生产零件A 效率的2倍；乙车间无论生产哪种零件效率都比甲高13。已知甲生产第1个订单会比乙生产第1个订单多用100分钟，甲生产第2个订单会比乙生产第2个订 单多用110分钟。求x 等于多少？ 6. 男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步（坡底为A ，坡顶为B ）．两人同时从A 点出发， 在A ，B 之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒6米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么两人第2007次相遇的地点离A 点多少米？
小学五年级数学知识点归纳整理
小学五年级数学知识点归纳 五年级上册 知识点概念总结 1.小数乘整数的意义：求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。 2.小数乘法法则 先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 3.小数除法 小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 4.除数是整数的小数除法计算法则 先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 5.除数是小数的除法计算法则 先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 6.积的近似数： 四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同。但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分的与实际值差值不超过最后一位数量级的二分之一：假如0～9等概率出现的话，对大量的被保留数据，这种保留法的误差总和是最小的。 7.数的互化 （1）小数化成分数 原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 （2）分数化成小数 用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。
（3）化有限小数 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 （4）小数化成百分数 只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 （5）百分数化成小数 把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 （6）分数化成百分数 通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。 （7）百分数化成小数 先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 8.小数的分类 （1）有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。 （2）无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如： 4.33 …… 3.1415926 ……（3）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 （4）循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……；一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ”，0.5454 ……的循环节是“ 54 ”。 9. 循环节：如果无限小数的小数点后，从某一位起向右进行到某一位止的一节数字循环出现，首尾衔接，称这种小数为循环小数，这一节数字称为循环节。把循环小数写成个别项与一个无穷等比数列的和的形式后可以化成一个分数。 10.简易方程：方程ax±b=c（a,b,c是常数）叫做简易方程。 11.方程：含有未知数的等式叫做方程。（注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可） 方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。 12.方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
小学奥数数论专题
名校真题测试卷10 （数论篇一） 1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2、（05年101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是_____。 3 （05年首师附中考题） 1 21+ 202 2121 + 50513131313 21212121212121 =________。 4 （04年人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 (02年人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 【附答案】 1 【解】：6 2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。 3 【解】：周期性数字，每个数约分后为1 21 + 2 21 + 5 21 + 13 21 =1 4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。 5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。 第十讲小升初专项训练数论篇（一） 一、小升初考试热点及命题方向 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。 二、考点预测 的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题
小学六年级奥数教师讲义版工程问题.docx
百度文库- 让每个人平等地提升自我 六年级奥数第三讲工程问题 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方 面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量 =工作效率×工作时间， 工作时间 =工作量÷工作效率， 工作效率 =工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可 工作效率指的是干工作的 快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、 分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量 / 天”，或“工作量 / 时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效 例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？ 分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”
例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始三个队一起干，因工作需要 甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？ 分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所 以甲队实际工作了 例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张 师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个？ 分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间， 例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1 时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？ 例 6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 60 分钟，乙需 40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？ 分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者 的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误10 分钟，再加上取东西的 5 分钟，等于比乙晚出发15
六年级奥数,牛吃草问题,教师讲义
牛吃草问题讲义 牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是： （1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； （2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点 特点：在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。 典例评析 例1、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么它可供几头牛吃20天？ 例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头年吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？
例3、一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？ 【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。 从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的;，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，也不用管它， 【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份， 原来的草量是（24-14）×6=60份。可供18头牛吃60÷（18-14）=15天 例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天? 【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量 【思考2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 8天，设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原来的草量：（20 +4）× 5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。 总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。 知识衍变
五年级奥数知识讲解列方程解应用题一
五年级奥数知识讲解列方 程解应用题一 Revised by Liu Jing on January 12, 2021
★小学五年级奥数专题讲解之“列方程解应用题（一）” 同学们在解答数学问题时，经常遇到一些数量关系较复杂的，或较隐蔽的逆向问题。用算术方法解答比较困难，如果用方程解就简便得多。它可以进一步培养我们分析问题和解决问题的能力，抽象思维能力，列方程解应用题一般分为五步： （一）审题；（弄清已知数和未知数以及它们之间的关系） （二）用字母表示未知数；（通常用“x”表示） （三）根据等量关系列出方程； （四）解方程求出未知数的值； （五）验算并答题。 例1. 金台小学学生参加申奥植树活动，六年级共植树252棵，比五年级植树 总数的1 1 4倍少8棵，五年级植树多少棵？ 思路分析：六年级比五年级植树总数的1 1 4倍少8棵，就是六年级的 1 1 4倍 的数少8，等于六年级植树的总数。等量关系是：五年级的1 1 4倍－8＝六年级 的植树总数。 解：设五年级植树x棵，根据题意列方程，得验算：把x=208代入原方程 左边=?-= 1 1 4 2088252 右边＝252左边＝右边
x=208是原方程的解。 答：五年级植树208棵。 例2. 一瓶农药700克，其中水比硫磺粉的6倍还多25克，含硫磺粉的重量是石灰的2倍，这瓶农药里，水、硫磺粉和石灰粉各多少克？ 思路分析：这是道比较复杂的“和倍应用题”，硫磺粉和水有直接关系，硫磺粉和石灰也有直接关系，因此应设未知数硫磺粉为x克。水的重量是硫磺的6倍还多25克，也就是（6x＋25）克，石灰的重量就是硫磺粉的重量除以 2，也就是1 2 x 克。等量关系式表示为： 水＋硫磺粉＋石灰＝农药重量 解：设硫磺粉的重量是x克，那么，水的重量是（625 x+）克，石灰重量 是1 2 x 克。根据题意列方程，解。 验算：把x=90代入原方程 左边 =?+++?= 6902590 1 2 90700 右边＝700 左边＝右边 x=90是原方程的解。 例3. 两袋米同样重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下的第 一袋刚好是第二袋的2倍，两袋原来各有多少千克？
小学奥数9. 数论综合(二).
第十一讲 数论综合（二） 教学目标： 1、 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型； 2、 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想 例题精讲： 板块一 质数合数 【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来， 可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来． 【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三 张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31． 【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数． 【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨 记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=?=?=?，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11． 【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那 么这9个数字最多能组成多少个质数？ 【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、 8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数 67．所以这9个数字最多可以组成6个质数． 【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位 数．求这两个整数分别是多少？ 【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都 可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=?，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了． 把九个三位数分解：111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?． 把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18． 板块二 余数问题 【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、 商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除 数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．
学而思 小学六年级奥数教师讲义版 工程问题精编版
六年级奥数第三讲工程问题 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量=工作效率×工作时间， 工作时间=工作量÷工作效率， 工作效率=工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可 工作效率指的是干工作的 快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效 例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？ 分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。
例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？ 分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了 例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？ 分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间， 例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？ 例6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？ 分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15
五年级奥数知识点
三年级奥数知识点 一、周期问题 二、解决问题（一） 三、解决问题（二） 四、植树问题 五、简单枚举 六、等量代换 七、错中求解 八、“对应解题” 九、盈亏问题 十、和倍问题 十一、差倍问题 十二、和差问题 十三、年龄问题 十四、还原问题 十五、假设问题 十六、平均数问题 十七、简单推理 春季班 暑期班 四年级奥数知识点 一、解决问题 二、和倍问题 三、和差问题 四、差倍问题 五、植树问题 六、简单枚举 七、定义运算 八、巧算年龄 九、周期问题 十、行程问题 十一、假设问题 十二、还原问题 十三、盈亏问题 秋季班 春季班 暑期班
五年级奥数知识点 秋季班 一、平均数问题 二、等差数列 三、等差数列 四、简便运算 五、倒推法解题（还原问题） 六、可能性（分类枚举） 七、周期问题 八、植树问题 九、解决问题 十、重叠问题 十一、等量代换 十二、错中求解 十三、消元解题 十四、盈亏问题 十五、年龄问题 十六、假设问题 十七、行程问题 十八、作图法解题 十九、设数法解题 二十、列方程解应用题 二十一、牛吃草问题 二十二、图形问题 二十三、逻辑推理 一、等差数列 内容概述 我们观察下面几组数列： （1）1、2、3、4、5、6、……、100 （2）1、3、5、7、9、……、99 （3）4、12、20、28、……、804 像这样按一定规律排列的一列数我们称为数列。数列中的每一个数称为一项，第一项称为首项，最后一项称为末项，有多少项称为项数。从第一项开始，后项与前项的差都相等的数列称为等差数列，这个差称为公差。关键词：首项、末项、项数、公差 关系等式： （1）项数和=（首项+末项）×项数/2 （2）项数=（末项-首项）÷公差+1 （3）末项=首项+公差×（项数-1）
六年级奥数讲义第29讲抽屉原理
抽屉原理 专题简析： 如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。 例题1： 某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？ 练习1： 1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，
为什么？ 2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？ 3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？ 例题2： 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 练习2：
1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？ 3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？ 例题3： 一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？
六年级奥数举一反三第25讲 最大最小问题含答案
第25讲 最大最小问题 一、知识要点 人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。 二、精讲精练 【例题1】a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求 a －b a+b 的最大值。 根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99 a － b a+b 的最大值是99－199+1 =49 50 答：a －b a+b 的最大值是4950 。 练习1： 1、 设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求x －y x+y 的最大值。 2、 a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求a －b a+b 的最小值。 3、 设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+y x －y 的最大值；②求x+y x －y 的最小值。
【例题2】有甲、乙两个两位数，甲数2 7 等于乙数的 2 3 。这两个两位数的差最多是多少？ 甲数：乙数=2 3 ： 2 7 =7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量 最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56。 练习2： 1.有甲、乙两个两位数，甲数的 3 10 等于乙数的 4 5 。这两个两位数的差最多是多少？ 2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的5 6 恰好等于乙数的 1 4 。这两个两位数的和最小是多少？ 3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？ 【例题3】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？ 在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。 答：这样的数对共有79个。 练习3 1、两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少？
小学奥数专题之数论
1 （人大附中考题） 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。1359 ，1935，3195，3915，9135，9315 2 （101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数45 是＿＿。 3（人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 可以分析出甲甲是偶数，是135的倍数，且是完全平方数 而135=5*3*3*3，最小再乘以15即为完全平方数，若要为偶数则需再乘4 于是丙为60，甲为90，乙为4050 4 (人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( D) A、125 B、126 C、127 D、128 预测 1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？4456 预测 2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？4.14 预测 3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是____．1331 数论篇二 1 （清华附中考题） 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.518=7=511 666-10=656 888,511,656除以这个数，余数相同 888-511=377 888-656=232 这个数为377与232的公因数，且大于10 377=13×29 232=8×29 所以这个自然数为29 2 （三帆中学考题）
六年级奥数讲义
第一讲立体图形及展开 同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图 例题选讲 例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合? 【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面 分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面， 那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3 就是上面，(如图2)。从图中不难看出点F与点N，重 合，点G与点S重合。还有一种方法就是动手制作一张 展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试 试吧! 例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长 方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面， 最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。 【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行，所 以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成 平面图形(如图2)。又因为在平面上“两点之间的线段 长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线。 练习与思考 1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果 将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点 重合? 2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面 爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条? 3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?
小学六年级奥数辅导讲义(无答案)
第一章 数与代数 例1、计算12×3 + 13×4 + 14×5 + 1 5×6 例2、计算?8.0+? ?31.0 例3、计算121 + 3032121 + 50505 212121 + 例4、2016的所有因数是多少个 例5、一个大于100的自然数，它减去12或者加上11都是完全平方数，求这个数是多少。 * 例6、将数字1到9做成9张卡牌，从中任意取出3张卡牌，用它们组成六个没有重复数字的三位数，求这六个三位数之和是所取出的三个数之和的多少倍。 例7、幼儿园小朋友分糖果，若给每个小朋友5块糖果，则剩下7块，若给每个小朋友6块糖果，则还缺4块，请计算有多少块糖果。 例8、2016个83相乘，其末尾数是多少 例9、若a 、b 、c 均为非0的自然数，a 16 + b 4 + c 2 的近似值是，那么它的准确值是多少 例10、有一种算法叫阶乘，用“！”表示，规定如下： % 0！=1, 1！=1, 2！=2×1=2， 3！=3×2×1=6， 5！=5×4×3×2×1=120 求4！等于多少。请写一个算式，算式中的数字只有4个0，运算符号可以包括加减乘除、括号和阶乘，使该算式的结果等于24。 第二章 ]
第三章推理 例1、右图表格中每个方格填入一个图形，使得表格中每行、每列及对角线上的四个方格中的图形都是且不重复。 △□☆○ ☆| ? 例2、黑盒中放有180个白色棋子和181个黑色棋子，白盒中放有181个白色棋子，每次任意从黑盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，就从白盒中拿出一个白子放入黑盒；如果两个棋子不同色，就把黑子放回黑盒．那么最多可以拿多少次，黑盒中最后剩下的棋子是什么颜色的 例3、一个正方体木块，每个面上分别标着数字1～6。2对着的数字是（），3对着的数字是（）。 例4、从1到100的自然数中，至少取多少个不同的数，其中必有两个数的 和为102说明理由。（抽屉原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则 至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体） 例5、一个岛上有两种人，一种只说真话，一种只说假话。第一天，2015 个人随机围成一圈，他们每人都说：“我左右的两个人都是骗子。”第二 天，活动继续，但有一人因病未到，剩余2014个人再次随机坐成一圈，每 个人都说：“我左右的两个人都是与我不同类型的人。”问题：那个生病 的人说真话还是假话说假话的一共有多少人 例6、A,B,C,D,E五个数，A比B大，C比D大却比E小，D比B 大，E比A小，这五个数从大到小排列是： 例7、有一路公共汽车，包括起点站和终点站共有11个车站。如果有一辆车从起点站出发，除终点站外，每一站上车的乘客中，恰好各有1位乘客从这一站坐到以后的每一站，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少需要有多少个座位
五年级奥数知识讲解 奇数和偶数
★小学五年级奥数专题讲解之“奇数和偶数” 一、奇数和偶数的性质 （一）两个整数和的奇偶性。 奇数＋奇数＝（），奇数＋偶数＝（），偶数＋偶数＝（）一般的，奇数个奇数的和是( )，偶数个奇数的和是( )，任意个偶数的和为( )。 （二）两个整数差的奇偶性。 奇数－奇数＝（），奇数－偶数＝（）， 偶数－偶数＝（），偶数－奇数＝（）。 （三）两个整数积的奇偶性。 奇数×奇数＝（），奇数×偶数＝（），偶数×偶数＝（）一般的，在整数连乘当中，只要有一个因数是偶数，那么其积必为（）；如果所有因数都是奇数，那么其积必为（）。（四）两个整数商的奇偶性。 在能整除的情况下，偶数除以奇数得（），偶数除以偶数可能得( )，也可能得( )，奇数不能被偶数整除。 (五)如果两个整数的和或差是偶数，那么这两个整数或者都是( ),或者都是( ). (六)两个整数之和与两个整数之差有相同的奇偶性，即A+B、A-B奇偶性相同(A、B为整数)。 (七)相邻两个整数之和为( )，相邻两个整数之积为( )。
(八)奇数的平方被除余1，偶数的平方是4的倍数。 (九)如果一个整数有奇数个约数，那么这个数一定是完全平方数(1,4，9,16,25。。。。。是完全平方数)。如果一个数有偶数个约数，那么这个数一定不是完全平方数。 巧妙地运用奇数和偶数的性质，可以解决很多数学问题。 一、填空： 1）在由自然数组成的自然数列的前100个数中，即从1到100中，共有（）个奇数，共有（）个偶数。 2）算式11+12+13+14+。。。。。。+89+90的得数的奇偶性为（）。3）一群同学进行投篮球比赛，投进一球得5分，投不进得1分，每人都投进10次，这些同学得分总和的奇偶性为（） 4）有一列数，它们的排列顺序是：前两个数为4、5，从第三个数起，每个数都是它前面两个数的和。这列数前1000个数（含第1000）中偶数有（）个。 5）每张方桌上放有12个盘子，每张圆桌上放有13个盘子。若共有盘子109个，则圆有（）张，方桌有（）张。 6）1+2×3+4×5+6×7+。。。+100×101的和的奇偶性为（）。二、选择 1）从3开始，根据后一数是前一数加上3，接连写出2000个数，排成一行：3,6,9，12,15,18,21。。。。，在列数中第1997个、第1998个数的奇偶性为( )。 A 奇数、偶数B奇数、奇数C 偶数、偶数D偶数、奇数
(完整)小学六年级奥数基础知识——数论
行程问题 基本行程问题平均速度火车过桥流水行船接送问题电梯行程 数论问题 奇偶分析数的整除约数倍数进位制余数问题完全平方数 几何问题 小学几何五大模型勾股定理与弦图巧求周长立体图形的体积 计数问题 加法原理乘法原理容斥原理排列组合枚举法归纳法 应用题 鸡兔同笼问题年龄问题盈亏问题牛吃草问题工程问题浓度问题 计算问题 分数列项与整数列项繁分数的计算数学计算公式换元法找规律 其他 数阵图与数字谜操作与策略抽屉原理逻辑推理不定方程染色问题 小学六年级奥数基础知识——数论一 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 （3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质 是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７． 注意：两个质数中差为1的只有3-2 ；除2外，任何两个质数的差都是偶数。 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得