《分数除法》教材分析

《分数除法》教材分析

本单元是在学生已经掌握了分数乘法的意义、分数乘法计算及其应用以及整数除法的意义、解方程等知识的基础上学习分数除法。通过本单元的学习，学生一方面完成了分数加、减、乘、除的学习任务，比较系统地掌握了分数的四则计算，掌握了解决相关实际问题的方法；另一方面也进一步加深了对乘除法关系的理解，体会知识的内在联系，为解决有关分数的实际问题提供更多的支持；同时也为后面学习比和比例、百分数等知识打下坚实的基础。本单元的内容主要包括：倒数的认识、分数除法的意义与计算以及解决相关的实际问题。

一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书<数学>六年级》，下同）的主要区别

（一）倒数的认识

新版教材将“倒数的认识”由原实验教材的“分数乘法”单元移至“分数除法”单元，并独立编排为一小节，作为分数除法的准备内容。主要是出于以下几方面的考虑：其一，由于分数除法的基本方法是“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，因此认识倒数的概念以及熟练求出一个不等于0的数的倒数，是学习分数除法的重要的知识基础；其二，这样编排，使本单元的知识呈现更有逻辑性、整体性，更符合学生的认知规律以及学生学习知识的逻辑顺序。

（二）分数除法的意义及计算方法

我们知道：分数除法的意义与整数乘法的意义相同，就是乘法的逆运算。但由于分数乘法的含义有了扩展，分数除法作为其逆运算，具体含义也自然有了扩展。因此，教学分数除法的意义，可以用“同数连加”的实际例子引出两道除法题来说明，也可以用“求一个数的几分之几是多少”的实际例子引出除法题来说明。在具体讨论分数除法的意义时，实验教材重视相关知识的类比，帮助学生理解所学知识。采用整数与分数对比、乘法与除法对比的方式，揭示出分数除法的意义与整数除法的意义相同。而新版教材对于除法意义的教学，仅从编排上看，不再单独设置例题，只在练习中加以渗透，如教材练习七第1题根据乘法算式写出两道除法算式，第2题先看清左右两题之间的关系，写出得数。通过练习，使学生体进一步体会到乘除法的互逆关系，明确分数除法的意义。但从分数除法计算方法的探寻过程看：教材结合实际情境，引导学生列出算式，通过折纸和画图的数形结合方法及分析，推理出正确的计算结果。显然，这分析的过程既是对分数除法意义和算理的理解过程，也是分数除法计算方法的探寻与归纳过程。教材将分数除法的意义教学与分数除法的计算方法教学有机地融合在一起，在充分利用分数乘除法意义互逆关系的基础上，进一步帮助学生理解算理，掌握计算方法。

（三）用分数除法知识解决实际问题

分数除法的实际问题主要有两种情况：一种是利用已学的数量关系直接列式解决实际问题，与分数除法计算方法同步教学。如例2，利用路程、时间、速度的数量关系直接列

式，只是具体数据变成了分数；另一种是数量关系涉及“一个数的几分之几”或需用抽象的“1”解决较为复杂的实际问题，首先要理清数量关系，然后通过列方程等方法解决问题。例如本单元新增的例6的“和倍、差倍”问题，例7的用抽象的“1”解决问题。利用“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的基本数量关系，借助数量之间的等量关系，列出方程解决问题。只是这里的几分之几不是直接给出的，需要通过寻找数量与对应分率之间的关系计算得到，显然，解决问题的过程自然变得相对复杂。这既是对过去列方程解决问题的扩展，也为后面解决百分数的实际问题做准备。

（四）把“比”的内容单独设置一个单元

新教材将“比”单独设置为本书的第四单元，在“分数除法”单元完成后进行教学。

二、教材例题分析

（一）倒数的认识

例1：倒数的认识

教材首先安排了几组有代表性的乘积为1的乘法算式，使学生通过计算、观察、讨论等活动，寻找归纳它们的共同特点，导出倒数的定义。并用实例突出理解“互为倒数”的含义。然后引导学生思考互为倒数的两个数有什么特点？为例1的学习做好铺垫。

例1教学求倒数的方法。教材首先安排找倒数的活动，初步体验找倒数的方法。接着总结找倒数的方法。具体分三种情况加以讨论：求分数的倒数；求整数的倒数；1和0的倒数的问题。练习六第5题通过学生对话讨论形式判断“的倒数是0.75”的合理性问题，进一步揭示互为倒数的本质：只要两个数的乘积是1，那么这两个数就互为倒数，与这两个数是整数、分数、小数无关。

（二）分数除法

例1：分数除以整数

教材以折纸活动为载体，利用数形结合的方法帮助学生直观理解分数除以整数的算理。教材分两个层次编排：先解决分数的分子能被整数整除的情况；再引出分子不能被整数整除的情况。第一个问题是分子能被整数整除的情况，有两种思考方法：一是利用整数除法的意义，将分数除法转化为整数除法理解并计算；二是利用分数的意义，将问题转化为求

的来理解计算。在此基础上提出第二个问题，凸显方法一的局限性与方法二的一般适用性。教材这样编排的意图，一是让学生在折一折、涂一涂的过程中逐步发现体悟分数除法的计算方法；二是引导学生经历从特殊到一般的探索过程，从中领悟把一个数平均分成几份，求其中的一份，就是求一个数的几分之一是多少，同时渗透转化的数学思想。在此基础上，

教材提出问题：“根据上面的折纸实验和算式，你能发现什么规律？”旨在启发学生通过思考总结出一般的计算方法。

例2：一个数除以分数

本例研究一个数除以分数的计算，包括整数除以分数和分数除以分数两种情况。根据教材提供的情境，显然“路程÷时间＝速度”这一数量关系成为列式的依据。由于学生对这一数量关系比较熟悉，所以列出分数除法算式不会感到困难，这有利于把教学重点集中于计算方法的探索与理解。

理解的算理是本例的重点。教材采用画线段图的直观方式呈现推算的思路：由于1小时里有3个小时，所以可以先求出小时走了多少千米，即先求出小时走的2 km的一半（即）。有了直观图的支持，降低了学生对中每一部分含义的理解难度，顺利完成从“除以一个分数”到“乘以这个分数的倒数”的转化。

有了整数除以分数的算理的铺垫，教材在教学时，没有呈现线段图，而是通过提问“为什么写成”，引导学生通过迁移类推，自行阐述算理。

最后教材以提问的方式，引导学生总结分数除法的一般算法，并启发学生用自己的方式表示这一算法。

例3：分数混合运算

分数混合运算的顺序问题已在“分数乘法”单元解决了，学生在此学习分数混合运算，既是分数四则运算的综合应用，也为后面学习利用分数四则运算解决实际问题打下基础。教材提供了两种不同的解决方法，体现了不同的分析思路。先分步列式，再列综合算式解答。对于不带括号的分数乘除法混合运算，既可以从左至右按步骤计算，也可以直接转化为分数连乘后同时约分计算。

例4：“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题

本例中所要解决的问题是分数乘法中“求一个数的几分之几是多少”的逆向问题。这类问题如果用算术方法解，较难理解，学生往往难以判断哪个量是单位“1”，数量关系也较复杂。因此，教材依据“儿童体内的水分约占体重的”，根据分数乘法的意义，利用已有知识画线段图，找到等量关系，列出方程并解出方程。这样思考问题的思路与相应的分数乘法问题完全一致，只是参与列式的是未知数而已，这就大大降低了学生理解的难度。

“回顾与反思”部分中检验结果的合理性是相应乘法数量关系的二次应用。同时，对有效信息选取的反思，以及对列方程方法、价值的体会，也是学生反思的重点。

例5：“已知比一个数多（或少）几分之几是多少，求这个数”的实际问题

本例是“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的逆向问题，是以例4为基础，把条件稍做改变，形成稍复杂的问题。显然，用算术方法解决这样的实际问题，抽象程度更高，思维难度更大。教材借助小女孩的设问，引导学生通过画线段图，并给出了完整的图示，为学生分析、理解等量关系提供直观辅助。让学生经历从“多（或少）几分之几”到

“是几分之几”的转化，找到等量关系，列出形如的方程；同样，教材利用小

男孩的分析，借助线段图，引导学生找到“一个数加（或减）增加部分等于增加（或减少）后的数”这个更容易理解的数量关系，列出形如的方程。因此，教材选择符合学生顺向思维的思路，给出多样化的解题方法。

例6：“和倍、差倍”问题

本例中包括两个未知量，题中给出了这两个未知量之间的两种关系，要求学生根据这样的关系列方程解答。由于这两种关系中，一种是两个量之间的倍数关系，另一种是两个量之间的和或差的关系，因此，这样的问题过去被称为“和倍问题”“差倍问题”。

教材以篮球比赛上、下半场得分为素材，引出含有两个未知数的实际问题。在这里两个未知量是指上半场得分、下半场得分，两种关系是指上半场得分+下半场得分=42以及下半场得分是上半场得分的一半，或者上半场得分是下半场得分的2倍。

教材给出了两种解法，区别在于先设哪个量为未知数，然后利用两个量的数量关系，用代数式表示出另一个量。

例7：可用抽象的“1”解决的实际问题

教材利用修路这一“工程问题”来引入，使学生经历发现和提出问题、分析和解答问题的过程。例如，学生会认为题中缺少解题的信息，此时，教师追问：缺少什么信息呢？学生会回答：不知道公路长多少千米。这样就很自然地引导学生假设公路总长为某个具体的长度，把新问题转化为旧问题，加以解决。通过学生之间的交流，发现虽然假设的公路具体长度不同，得到的结果却是相同的，使学生产生探究原因的欲望。通过分析，发现不管公路总长是多少，两队每天修的长度分别占总长度的和是不变的，这也是能得到相同结果的内在原因。此基础上，进一步抽象，可用“1”来表示公路总长。

采用“工程问题”引出可用抽象的“1”来解决的问题，但并非是对工程问题进行系统教学，而是要建立一种数量关系的模型。要让学生经历利用自主探究解决问题的过程，掌握用假设、验证等方法解决问题的基本策略，让学生体会模型思想。

在教学中特别要注意：不必要求学生死记硬背“工作时间=工作总量÷工作效率”等数量关系，可用线段图帮助学生理解数量关系，学生只要会用具体的语言描述出来就可,并非说明用“1”表示总长的方法是最优的方法，在此例之后仍然允许学生用假设具体量的方法解决问题。