电路(第五版)._邱关源原著_电路教案__第13章拉普拉斯变换

第13章 拉普拉斯变换

● 本章重点

1、 掌握几个常见函数的拉氏变换。

2、 掌握部分分式展开法；

3、运算法求解暂态过程。 ● 本章难点 1、作运算电路

● 教学方法

本章讲述了线性动态电路的频域分析法，即拉普拉斯变换法（又称运算法）。对KCL 和KVL 运算形式及元件VCR 运算形式、运算阻抗和导纳、运算电路等重点和难点内容，讲述中不仅要讲清基本概念，还要强调和时域形式、相量形式的对应关系，并通过实例加以分析，讲清运算法在电路中的运用。课后布置一定的作业，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。本章以讲授为主，共用4课时。

● 授课内容

13.1拉普拉斯变换的定义 拉氏正变换：F(S)=

()dt e t f St -∞

⎰

-

拉氏反变换：f(t)=dS e S F j St J J ⎰+-ω

σω

σπ)(21

拉氏变换的作用：时域 复频域

微分方程 代数方程 微积分运算 代数运算 一、三个常见函数的拉氏变换

1、 阶跃函数ε(t) L[ε(t)]=S 1

2、 指数函数t e α- L[t

e α-]=α

+S 1

3、 冲激函数()t δ L[()t δ]=1 二、拉氏变换的性质

微分性质：L [f’(t)]=SF(S)-f(0-) 三、拉氏反变换（部分分式展开法）

1、 分母多项式存在n 个单根

()()()()()n P S P S P S S F S F +++=

211=n

n P S A P S A P S A +++++ 22

11

其中

：

()()111P S P S S F A -=+=

()()222P S P S S F A -=+=

()()n n n P S P S S F A -=+=

例：求原函数

()10

71

2+++=

S S S S F

解：()()()5

2521

21+++=+++=

S A S A S S S S F

()()31221-=-=+=S S S F A ()()3

4

552=-=+=S S S F A

∴()53/423/1+++-=

S S S F ∴()t

t e e t f 523

431--+-= 2、 分母多项式存在重根

()()

()()()

n

n n

P S A P S A P S A P S S F S F +++++=

+=

22

11 其中：()()P S S F P S A n

n -=⋅+= ()()P S dS

s F p s d A n n -=⋅+=--1

1

()()()P S dS s F p s d n A n n n -=⋅+-=---1

1

1!111 13.2用拉氏变换法（运算法）分析电路 一、基本定律的运算形式

1、 KCL ：

()0=∑S I 2、KVL ：()0=∑S U

二、R 、L 、C 伏安关系的运算形式

1、电阻

I(S)

R

u(t)=R i(t)

U(S)=R I(S)

2、电感

L - u(t)=L

dt

di l

U(S)=SLI(S) - Li L (0-) 2、 电容

拉氏正变换 I(S) + u(t) - + U(S) -

i(t)=C

dt

du c ()()()S u S I SC S U c C C -+=01

三、运算法分析线性电路动态过程的步骤

1、 求初值u c (0-)、i L (0-)；

2、 将激励拉氏正变换；

3、 作运算等效电路；

4、 用求解线性电路的方法求响应；

5、 将响应拉氏反变换回到时域。

例1：下图动态电路，开关K 闭合时处于稳定状态，试用运算法求：开关K 断开后的零输入响应电流i L (t)。

解：()A i 1201010201010500=+

⨯++=

- ()A i L 2201020

10500=+⨯+

=-

运算电路：

5

例2：试求图示电路的冲激响应u R (t)。

R U R (S)

解：作运算电路

()425S 2588S 10S 10

S

108S 10825S U R +

=⨯+⨯+

⨯+

= ()()25425R u t e t ε-∴=