电路(第五版)._邱关源原著_电路教案__第9章正弦稳态电路分析概要

第9章正弦稳态电路分析

●本章重点

1、阻抗和导纳的概念及电路阻抗的计算；

2、相量法分析计算电路；

3、平均功率、无功功率、视在功率及复功率的理解；

4、最大功率；

5、谐振的条件及特点的理解。

●本章难点

1、相量图求解电路；

2、提高功率因数的计算；

3、含有谐振电路的计算。

●教学方法

本章是正弦稳态电路分析的重要内容，通过举例较详细地讲述了相量法的解析方法和几何方法；对阻抗和导纳的概念、如何求解及两者间的关系也要详细讲解；对正弦稳态电路有关功率的概念、公式以及所代表的含义要讲解透彻，通过例题讲清楚提高功率因数的方法和意义；对谐振这部分内容主要讲述串联谐振，并联谐振按两者间的对偶关系加以理解。本章主要采用课堂讲授的教学方法，共用8课时。

●授课内容

9.1 阻抗和导纳

一、阻抗

1．定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该

二端网络的阻抗，记为Z ，

注意：此时电压相量U g

与电流相量I g

的参考方向向内部关联。

u

i

U U Z I I

ψψ∠==

∠ （复数）阻抗()Ω z j Z R X ψ=∠=+

其中 ()U

Z I

=Ω —阻抗Z

的模，即阻抗的值。 Z u i ?ψψ=- —阻抗Z 的阻抗角

z cos ()

R Z ?=Ω

—阻抗Z 的电阻分量

z sin ()X Z ?=Ω —阻抗Z 的电抗分量

阻抗三角形

电阻元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为

R R U R I = R I 与R U 共线

则 R R R

U Z R I ==

电感元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系的相量形式为

L L j U L I ω= 则 L L L L

j j U Z L X I ω==

=

g U U Z I

=-

g

g g

R

X

|Z |

Z ?

g

R

U g

g

g

电容的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量形式为

C C

C C

C j 11

j j I C U U I I C C ωωω===- 则 C

C C C

1j

j U Z X C I ω=-= C 1

X C

ω=-

—容抗 2. 欧姆定律的相量形式 U Z I =

电阻、电感、电容的串联阻抗：在电压和电流关联参考方向下，电阻、电感、

电容的串联，得到等效阻抗eq Z

R L C eq R L C

1

L C Z Z I Z I Z I

U Z Z Z Z I I R j L R jX jX R jX Z j C

ω?ω++=

=

=++=++=++=+=∠

其中：阻抗Z 的模为

||Z =

阻抗角分别为 1/L

C

Z

X

L C

arctg

arctg arctg

R

R

R

X

X

ωω?

+-===。

可见，电抗X 是角频率ω的函数。

当电抗X ＞0(ωL ＞1/ωC )时，阻抗角φZ ＞0，阻抗Z 呈感性； 当电抗X ＜0(ωL ＜1/ωC ＝时，阻抗角φZ ＜0，阻抗Z 呈容性； 当电抗X ＝0(ωL ＝1/ωC )时，阻抗角φZ ＝0，阻抗Z 呈阻性。 3. 串联阻抗分压公式：

引入阻抗概念以后，根据上述关系，并与电阻电路的有关公式作对比，不难

C

g

1j - C U

g g C

得知，若一端口正弦稳态电路的各元件为串联的，则其阻抗为 ∑==n

k k Z Z 1

串联阻抗分压公式 eq

k

k Z U U Z =

二、导纳

1．定义：正弦稳态无源二端网络端钮的电流相量与电压相量之比定义为该二端网络的导纳，记为Y ，即

i u

1I I

Y Z U U ψψ∠=

==

∠ 复导纳（S ） Y j Y G B ψ=∠=+

其中 I

Y U

=

—导纳Y 的模（S ） Y i u Z ?ψψ?=-=- —导纳Y 的导纳角。

Y cos (s)G Y ?= —导纳Y 的电导分量 Y sin (s)B Y ?= —导纳Y 的电纳分量 可见，同一二端网络的Z 与Y 互为倒数 特例： 电阻的导纳 R R 1Y G R

Z ==

电容的 C C j j C Y C Z B ω== B C 电容的电纳，简称容纳。

电感的 L L 1

j

j L Y B Z L

ω=-= B L 称为电感的电纳，简称感纳；

2. 欧姆定律的另一种相量形式

I Y U =

若一端口正弦稳态电路的各元件为并联的，则其导纳为 ∑==

n k k

Y Y 1

并联导纳的分流公式： eq

k

k Y I I Y =

RLC 并联正弦稳态电路中，根据导纳并联公式，得到等效导纳Y

g

G

B

|Y |

Y ?

导纳三角形

Y C L R Y jB G L

C j R C j L

j R Y Y Y Y ?ωωωω/||)1

(111=+=-+=

++=++=

可见，等效导纳Y 的实部是等效电导G (＝1/R )＝|Y |cos φY ；

等效导纳Y 的虚部是等效电纳B ＝|Y |sin φY ＝B C +B L ＝ωC -1/ωL ，是角频率ω的函数。

导纳的模为：||Y =导纳角分别为: 1/C

L Y

B

C L

arctg

arctg arctg

G

G

G

B

B ωω?

+-===

由于电纳B 是角频率ω的函数，当电纳B ＞0(ωC ＞1/ωL )时，导纳角φY ＞o ，导纳Y 呈容性；当电纳B ＜0(ωC ＜1/ωL )时，导纳角φY ＜o ，导纳Y 呈感性；当电纳B =0(ωC =1/ωL )时，导纳角φY ＝0导纳Y 呈阻性。 注意：两个电阻的并联与两个阻抗的并联对应

12121212R R Z Z R Z R R Z Z =

?=++ 22

Z1R11212

R Z I I I I R R Z Z =?=++

三、同一二端网络： 1

U I Z Y Y Z

I

U

=

=

=

其中：22()()()()R G R X ωωωω=

+ ， 22

()

()()()

X B R X ωωωω-=+， Y Z ??=- 一般情况下，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的等效阻抗Z (jω)是外施正弦激励角频率ω的函数，即

Z (jω)＝R (ω)+jX (ω)

式中R (ω)＝Re[Z (jω)]称为Z (jω)的电阻分量，X (ω)＝Im[Z (jω)]称为Z (jω)的电抗分量。式中电阻分量和电抗分量都是角频率ω的函数。所以，要注意到电路结构和R 、L 、C 的值相同的不含独立源的正弦稳态电路，对于角频率ω不同的外施正弦激励而言，其等效阻抗是不同的。如下图电路的等效阻抗

eq 22

j 1j (j )1

()(j )j ()R L R L R L Z j R L C R L C

ωωωωωωω??-=

+-=+-++ 22

2222

()1j ()()R L R L R L R L C ωωωωω??

=

+-??++??

()j ()R X ωω=+

同理，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的等效导纳Y (jω)也是外施正弦激励角频率ω的函数，即

Y (jω)＝G (ω)+jB (ω)

式中G (ω)＝Re[Y (jω)]称为Y (jω)的电导分量，B (ω)＝Im[Y (jω)]称为Y (jω)的电纳分量。电导分量和电纳分量也都是角频率ω的函数。所以要注意到电路结构和R 、L 、C 的值相同下的不含独立源的一端口正弦稳态电路，对于角频率ω不同的外施正弦激励言，其等效导纳是不同的。 四、电路的计算（ 完全与电阻电路一样）

例：求如图所示电路等效阻抗。

22222112

2

222

1m 2m 22

2

11

1

(j )j j j eq 1

1

j (j )j C U U U C C C R R C g C g U C U U R R U Z I

ωωωωωωω+++

+++++=

==

9.2 简单正弦稳态电路的分析、相量图

例1：

已知：S ()V u t t =，求：L C (),(),()i t i t i t

可变，找不到适于任何场合下的等效电路

j ω L

1

j

-

μF (t )

Ω

S U _ g

R 2

1

R2

Z

eq

解：将电路转化为相量模型

L 1

j j3000j 1k 3

Z L ω==?=Ω C 6

1

j

j 2k 1300010

6

Z -=-=-Ω

?? eq (12j)j 12j 1(2j 1)(1j 1)

1.5 1.5 1.52j 1.5k

2.536.9(1j2)j 11j 12

Z k -?+++=

+=+=+=+Ω=∠Ω

-+- S eq 4001636.9mA 2.536.9

U I Z ∠=

==∠-

∠

C j 1j 11636.9

8298.1mA (1j2)j 11j 1I I I =

==∠-=∠-+-

L C 1j2

25.355.3mA (1j2)j 1

I I I I -=

=-=∠--+

()36.9)mA i t t ∴=-

C ()16c o s (300098.1)m A

i t t =+ L ()22c o s (300055.

3)m A i t t =-

例2：已知：U =100V , I =5A, 且U 超前I 53.1，求L ,R X

解法1 ：令50A I =∠，则10053.1V U =∠ eq 10053.1

2053.112j 1650

U Z I

∠=

=

=∠=+Ω∠

12,16eq eq R X ∴=Ω=Ω 2

L

22

L 2

L L 22L 1210032516R X R X R R X X R X ??=??+=Ω????????=Ω=??+?

解法2 ：令1000U =∠—纯实数， 则553.1A 3j4A I =∠-=-

I

I

j X L

g

L 纯虚数

R

100010033U R I ∠=

=

=

Ω L L

1000

j 25j4U Z I ∠===Ω

- 例3：已知C 2A I =

，R I ，L 100X =Ω，且U 与C I 同相，求U ＝？

解:1、代数法：

令R 0A I =

，则R 0V U =

R L L j U I X =

=-

C R L 2j 100

I I I =+=

2

100R =Ω R 0V

U ∴= L A I =- C R L 245A I I I =+=∠-

L eq C L C

j j j R X U Z X R X I ?=+

=+ C C

j 50j 50U

X I ++=

U 与C I 同相 eq Im 0Z ??∴=?? 即C 500X += 则C 50X =-Ω

C R C j j502451002502j50210045V U X I U =+=-?∠-+=-=∠- 100V U ∴=

2

由电流三角形

L I == R L L L 10V

U U X I === R

g

R

R g

R L U =g g

1

L

R

45I tg I α-== 由电压三角形 R cos 100V U U α== 在正弦稳态电路分析和计算中，往往需要画出一种能反映电路中电压、电流关系的几何图形，这种图形就称为电路的相置图。与反映电路中电压、电流相量关系的电路方程相比较，相量图能直观地显示各相量之间的关系，特别是各相量的相位关系，它是分析和计算正弦稳态电路的重要手段。通常在未求出各相量的具体表达式之前，不可能准确地画出电路的相量图，但可以依据元件伏安关系的相量形式和电路的KCL 、KVL 方程定性地画出电路的相量图。在画相星图时，可以选择电路中某一相量作为参考相量，其它有关相量就可以根据它来确定。参考相量的初相可任意假定，可取为零，也可取其它值，因为初相的选择不同只会使各相量的初相改变同一数值，而不会影响各相量之间的相位关系。所以，通常选参考相量的初相为零。在画串联电路的相量图时，一般取电流相量为参考相量，各元件的电压相且即可按元件上电压与电流的大小关系和相位关系画出。在画并联电路的相量图时，一般取电压相量为参考相量，各元件的电流相置即可按元件上电压与电流的大小关系和相位关系画出。

例4：已知：L1C1L3C3,X X X X ><，定性作出相量图

解：1. 取1I 为参考相量，并设各元件的电压与电流为关联参考方向。

2. 作R1U

3. 作L1U

4. 作C1U

5. 作L2R1L1C1U U U U =++

6. 作2I

7. 作312I I I =+

8. 作R3U 9. 作L3U 10. 作C3U 11. 作

g

X C1

L2R3L3C3U U U U U =+++

9.3正弦稳态电路的功率 一、瞬时功率

如图所示的任意一端口电路N 0，在端口的电压u 与电流i 的参考方向对电路

内部关联下，其吸收瞬时功率 ()()()p t u t

i t =? 若设正弦稳态一端口电路的正弦电压和电流分别为

()cos u t t ω=

()c o s ()

i t I t ω?- 式中u 0ψ=为正弦电压的初相位， i ψ?=-为正弦电流的初相位，

Z u i ψψψ?=-=为端口上电压与电流的相位差。

则在某瞬时输入该正弦稳态一端口电路的瞬时功率为

则()cos cos()p t t t ωω?- []cos cos(2)UI t ?ω?=+-

c o s c o s (2U I U I t ?

ω?=+- 常量 两倍于原频率的正弦量

g

(t )

c o s c o s 2c o s s i n 2U I U I t U I t ?ω?ω?

=++ c o s (1c o s 2)s i n 2U I t U I

t ?

ωω?=++

不可逆部分R ()P t (0)≥ 可逆部分X ()P t

二、平均功率

T

01()cos T

P p t dt UI ?=

=? 可见：1. P 是一个常量，由有效值U 、I 及cos ?，u i ()?ψψ=-三者乘积确定，量纲：W

2. 当P ＞0时，表示该一端口电路吸收平均功率P ；当P ＜0时，发出平均功率|P |。

3. 单一无源元件的平均功率：R P UI =，L C 0,0P P ==。

090

0900P ???

<<>?<

感性

容性－，始终消耗功率。

三、无功功率

正弦稳态一端口电路内部与外部能量交换的最大速率(即瞬时功率可逆部分

的振幅)定义为无功功率Q ， 即 s i n Q U I

?= 可见：1. Q 也是一个常量，由U 、I 及sin ?三者乘积确定，量纲：乏(Var)

2. R L C 0,,Q Q UI Q UI ===-

0900Q ?<<> 吸收无功功率 9000Q ?-<<< 发出无功功率

四、视在功率

S

UI ，反映电源设备的容量（可能输出的最大平均功率），量纲：伏安（V A ）。

P 、Q 和S 之间满足下列关系 S 2＝P 2+Q 2 即有

P Q tg Q P S /,22=+=?

cos cos P UI S ??== sin Q S ?=

五、功率因数及其提高

1. 定义： 当正弦稳态一端口电路内部不含独立源时，cos φ用λ表示，称为该一端口电路的功率因数。 cos P

S

?=

9090c o s ??-<<>

I 超前U 指容性网络，I 滞后U 指感性网络。 2. 功率因数的提高：

例1：在50Hz f =，380V U =的交流电源上，接有一感性负载，其消耗的平均功率120kW P =，其功率因数1cos 0.6?=。求：线路电流1I 。若在感性负载两端并联一组电容器，其等值电容为374μF ，求线路电流I 及总功率因数cos ?。 解：1

120000cos 3800.6

P I U ?=

==? 令3800V U =∠，则187.7253.1A I =∠-

6C j250374103800j44.6A I j CU ωπ-==????∠=

1C 58.525.8A I I I =+=∠-，则58.5I A =，cos cos25.80.9?==

并联电容的作用：减小电流，提高功率因数

*感性负载吸收的无功功率一部分由电源提供，一部分由电容提供。

功率三角形

P

Q

S

?

g g

感性负载

情况1： 情况2： 情况3：

给定1P 、1cos ?，要求将1cos ?提高cos ?，求C ＝？

1I g

的有功分量

11I sin I I g

1I 的无功分量

g

cos I ?

cos ?补

11I I g

没有必要将cos ?补偿到1电路

11I

1C 1111sin sin sin sin ()cos cos P P P

I I I tg tg CU U U U

??????ω??=-=

-=-=

12

()P

C tg tg U ??ω=

-

六 复功率

设u i ,U U I I ψψ=∠=∠，且i I I ψ*

=∠-

则u i u i Z ()S U I U I UI S ψψψψ?*

==∠?∠-=∠-=∠

Z Z cos j sin j (VA)S S P Q ??=?+?=+

22(j )S U I Z I I ZI R X I *

*

====+

[]22Re P RI Z I ∴==? []22Im Q XI Z I ==?

2()()S U I U U Y Y U U G jB U *

*

*

*

====- 22,P GU Q BU ==- 瞬时功率守恒：()()k p t p t =∑ 平均功率守恒：2k k k p p R I ==∑∑

在一端口正弦稳态电路吸收的平均功率等于该电路内各电阻所吸收的平均功率之和。

无功功率守恒：22L C ()k k k k k k Q Q X I X X I ===+∑∑∑

在一端口正弦稳态电路总无功功率等于电路内各电感和电容吸收的无功功率之和。

复功率守恒：(j )j k k k k k S S p Q p Q ==+=+∑∑∑∑

在一端口正弦稳态电路中，总复功率等于该电路各部分的复功率之和。 视在功率不守恒：k S S ≠∑

应该注意，在一般情况下，总视在功率不等于该电路各部分的视在功率之和。因为一般情况下复数之和的模不等于复数的模之和。

g

例2：已知：2j2Z =+Ω，R L C 5A,3A,8A I I I ===，且总平均功率200W P =， 求U ＝？

解： 设：R 50A I =∠，则：L 390A I =∠-，C 890A I =∠

R L C 45A I I I I =++∠ [][]2

22

R 2

R

Re Re 4P Z I P Z I RI R I

-=+?=

=Ω

R (24545020j20V 20245V U Z I R I ∴

=?+?=++?∠=+=∠

则U =

例3：已知：12100V,86.6W,U P I I I ====，求L C ,,R X X

解：

分析 2c U X I =-，21

P R I =，L X = 作出电路的相量图，可见电流相量图为等腰三角形。 1A cos cos(30)

P P

I U U ?=

==- 则 121I I I A ==

=

2100U c I X ∴=-=-Ω

21

86.6]

50P

I L R X =

=Ω==Ω

g

g

X C

30o

2I g

I

U

9.5 最大平均功率的传输

在正弦稳态电路中研究负载在什么条件下能获得最大平均功率。这类问题可以归结为一个有源一端口正弦稳态电路向负载传送平均功率的问题。

即L ?Z =时，Z L 可获最大平均功率

P L L L L L j Z R X Z ?=+=∠

① L L ,R X 可独立变化，② L Z 可变，L ?不变，③ L Z 不变，L ?可变 。 一．L L ,R X 可独立变化 OC

eq L

U I Z Z =

+，L L L j Z R X =+，eq eq eq j Z R X =+

2

L L P R I =2OC

L L L 22

eq L eq L (,)()()

U R f R X R R X X ==+++ L L 0P R ?=?，L

L 0P X ?=? L e q L e q e q e q L e q

j R R Z R X Z X X *=??=-=?=-? —共轭匹配 此时 2

OC

Lmax

eq

4U P R = 二．L Z 可变，L ?不变

L L L L L L L cos j sin Z Z Z Z ???=∠=+ e q e q e q

e q e q e q

e q

c o s j s i n Z Z Z Z ???=∠

=+ 2

L L L

L cos ()P Z I f Z ?== OC

L L eq eq L L eq eq (cos cos )j(sin sin )

U I Z Z Z Z ????=

+++

2

L L oc

L 22

L L eq eq L L eq eq cos (cos cos )(sin sin )

Z U P Z Z Z Z ?????=

+++

L L