第5章 正弦稳态电路分析
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正弦稳态电路的分析
Z1=Z2=-j200Ω
14、如图所示14正弦稳态电路，R=XL=5Ω，I1=10A，
UC=100V，XC=10Ω，
试求U和I。
解：设 2=I2 A
=50 V
=100 2=10 A 1=10 A
所以，I= =10 AI12+I2=I22
易知 与 同相
U= UC=100 V
15、如图15a所示正弦稳态电路，R1=1KΩ，R2=2KΩ，L=1H，求Ucd=Uab时C的值。
解：电路的总阻抗为
Z=-jXC+ = +j( -XC)
当XC=1Ω和XC=2Ω，可以列出如下两个方程
(1)
(2)
解（1）、（2）得，R=2 Ω，XL=2Ω
4、图4所示工频正弦电流电路中，U=100V，感性负载Z1的电流I1=10A，功率因数λ1=0.5，R=20Ω。
（1）求电源发出的有功功率、电流I、功率因数λ
(3)u= u1+u2+u3的表达式
解：（1）将 ， 写成标准指数形式，即
=-100∠150°V=100∠-30°V
=-100+j100 V=100 ∠135°V
根据相量和正弦量的关系，可得
u1=50 cos(314t+60°) V，u2=100 cos(314t-30°) V
u3=200cos(314t+135°) V
解： =Y =( ) = 45°
I= A
11、列出图11所示电路相量形式的回路方程和结点方程。
解：设各回路方向如图所示。
回路方程如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
- = S（5）
选结点0作为参考结点，结点方程如下:
14、如图所示14正弦稳态电路，R=XL=5Ω，I1=10A，
UC=100V，XC=10Ω，
试求U和I。
解：设 2=I2 A
=50 V
=100 2=10 A 1=10 A
所以，I= =10 AI12+I2=I22
易知 与 同相
U= UC=100 V
15、如图15a所示正弦稳态电路，R1=1KΩ，R2=2KΩ，L=1H，求Ucd=Uab时C的值。
解：电路的总阻抗为
Z=-jXC+ = +j( -XC)
当XC=1Ω和XC=2Ω，可以列出如下两个方程
(1)
(2)
解（1）、（2）得，R=2 Ω，XL=2Ω
4、图4所示工频正弦电流电路中，U=100V，感性负载Z1的电流I1=10A，功率因数λ1=0.5，R=20Ω。
（1）求电源发出的有功功率、电流I、功率因数λ
(3)u= u1+u2+u3的表达式
解：（1）将 ， 写成标准指数形式，即
=-100∠150°V=100∠-30°V
=-100+j100 V=100 ∠135°V
根据相量和正弦量的关系，可得
u1=50 cos(314t+60°) V，u2=100 cos(314t-30°) V
u3=200cos(314t+135°) V
解： =Y =( ) = 45°
I= A
11、列出图11所示电路相量形式的回路方程和结点方程。
解：设各回路方向如图所示。
回路方程如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
- = S（5）
选结点0作为参考结点，结点方程如下:
第五章 正弦稳态电路分析
5.3.2 复数的概念 复数运算是正弦稳态电路分析法的数学工具，掌握复数运算和如何将正弦信号与复 数建立关系是关键。 1. 正弦信号与复数之间的关系 欧拉公式
e jx = cos x + j sin x
根据欧拉公式有
U me j(ωt+θi ) = U m cos(ωt + θi ) + jU m sin(ωt + θi )
n•
∑ ∑ I km = 0 或
Ik =0
k =1
k =1
KVL 相量形式（对于回路）
∑n • U km = 0
或
k =1
3. 电路元件的相量表示
•
•
电阻元件：U = R I
∑n • Uk =0
k =1
•
•
电感元件：U = jωL I
•
电容元件：U =
1
•
I =−j
1
•
I
jωC
ωC
4. 相量模型 所谓相量模型，就是将电路中正弦电压源和电流源用相量形式表示，电压变量和电 流变量用相量形式表示，电阻、电感和电容用阻抗形式表示。
电阻阻抗形式： Z R = R
电感阻抗形式： Z L = jωL
电容阻抗形式： ZC
=
1 jωC
=−j 1 ωC
5.3.4 电路谐振
•
•
谐振条件，对于二端口网络，端口电压U 与端口电流 I 同相位。根据这一条件
第五章 正弦稳态电路分析 •55•
可知，只有当阻抗的虚部为零才能满足这个条件。使虚部为 0 的频率为谐振频率。 谐振分为串联谐振和并联谐振。 串联谐振常用于无线接收设备中，并联谐振常用于带通滤波、选频电路等。
电路原理-正弦稳态电路的分析
对记录的数据进行分析，验证正 弦稳态电路的原理和性质。
实验结果与讨论
实验结果
通过实验观察和数据记录，可以 得出正弦稳态电路中电压和电流 的波形关系，以及元件参数对波
形的影响。
结果分析
对实验结果进行分析，验证正弦稳 态电路的基本原理，如欧姆定律、 基尔霍夫定律等。
实验讨论
讨论实验中可能存在的误差来源， 如电源稳定性、示波器的测量误差 等。同时，可以探讨如何减小误差、 提高实验精度的方法。
04 正弦稳态电路的分析实例
单相交流电路分析
总结词
分析单相交流电路时，需要计算电流、电压的有效值以及功率等参数，并考虑阻 抗、导纳和相位角等因素。
详细描述
在单相交流电路中，电压和电流都是时间的正弦函数。为了分析电路，我们需要 计算电流和电压的有效值，以及功率等参数。此外，还需要考虑阻抗、导纳和相 位角等因素，以便更准确地描述电路的性能。
实验步骤与操作
3. 观察波形
2. 连接电源
将电源连接到电路中，为电路提 供稳定的交流电压。
使用示波器观察电路中各点的电 压和电流波形，并记录数据。
4. 调整元件参数
通过调整电阻器、电容器和电感 器的参数，观察波形变化，并记 录数据。
1. 搭建正弦稳态电路
5. 分析数据
根据实验要求，使用电阻器、电 容器和电感器搭建正弦稳态电路。
相量法
1
相量法是一种分析正弦稳态电路的方法，通过引 入复数相量来表示正弦量，将时域问题转化为复 数域问题，简化计算过程。
2
相量法的核心思想是将正弦电压和电流表示为复 数形式的相量，并利用相量图进行电路分析。
3
相量法的优点在于能够直观地表示正弦量的相位 关系和幅度关系，简化计算过程，提高分析效率。
正弦稳态分析思维导图
正弦稳态分析
交流电路的分析
பைடு நூலகம்
1、将电路转换到相量域或频域 2、利用相应的电路分析方法 3、将所求得的相量域转换到时域
节点分析法
重要概念
应用基础：KCL 一般应用于包含较多并联元件、电流源或超节点的电路
方法
1、将电路各参数转换为相量域或频域 2、列出节点方程，利用相量运算解出结果，再转换为时域
网孔分析法
重要概念
应用基础：KVL 一般应用于包含较多串联元件、电压源或超网孔的电路
方法
1、将电路各参数转换为相量域或频域 2、列出网孔方程，利用相量运算解出结果，再转换为时域
叠加定理
重要概念
应用基础：交流电路是线性电路 一般应用于包含多个不同频率的独立源的电路
方法
1、单独求解不同频率的相量电路 2、将各个电路的响应求和得到电路的总响应，再转换为时域
电源变换 戴维南和诺顿等效电路
交流电路的分析
பைடு நூலகம்
1、将电路转换到相量域或频域 2、利用相应的电路分析方法 3、将所求得的相量域转换到时域
节点分析法
重要概念
应用基础：KCL 一般应用于包含较多并联元件、电流源或超节点的电路
方法
1、将电路各参数转换为相量域或频域 2、列出节点方程，利用相量运算解出结果，再转换为时域
网孔分析法
重要概念
应用基础：KVL 一般应用于包含较多串联元件、电压源或超网孔的电路
方法
1、将电路各参数转换为相量域或频域 2、列出网孔方程，利用相量运算解出结果，再转换为时域
叠加定理
重要概念
应用基础：交流电路是线性电路 一般应用于包含多个不同频率的独立源的电路
方法
1、单独求解不同频率的相量电路 2、将各个电路的响应求和得到电路的总响应，再转换为时域
电源变换 戴维南和诺顿等效电路
正弦稳态电路分析
正弦稳态电路分析一、正弦量及其三要素？1. 初相位：时间t=0时所对应的相位；2. 一般取正弦量的正最大值到正弦量计时零点（t=0）所对应的角度为该正弦量的初相位3. 正弦量的正最大值到向右的初相位为正。
即φi>0;向左即为负；4. 各种表示法（1） F=a+jb;a=Ucos ab=Usin a（2）F=a+jb=|F|（cos a+jsin a ） =|F|e ja =|F| a （4）计算器使用pol(-4.07,3.07)=5.09 RCL tan二、电路元件的伏安关系及相量表示形式？X L =wL,X C =1/wCjX L =jwL,jX C =j*1/wC=1/(-jwC)三、阻抗、导纳及其串并联？ 阻抗与导纳互为倒数关系1. 复阻抗：不含独立电源的一端口网络的端电压相量与端电流相量的比值2. 的比值；3. 电压三角形 OZ4. 阻抗三角形四、正弦量的相量表示法？1.有向相量的长度（复数的模）代表正弦量的幅值（有效值）；2.复数的幅角代表正向量的初相位；3.向量形式用大写字母表示并在字母上方加点； 五、阻抗和导纳的性质？电感角大于电容角就呈感性，小于呈容性，等于呈阻性； 六、正弦稳态电路的分析？（1）画出电路的相量模型（电压、电流、各种阻抗） （2）选择适当方法（KVL 、KCL ）列方程（3）求出未知量Q（4）写出电压电流的瞬时值 七、正弦稳态电路的功率？1.有功功率：电阻所消耗；P=UIcosa2.无功功率:电感、电容负载与电源进行能量交换的功率；Q=UIsina3.视在功率：电源输出的功率；S=UI=上述两者平方和的算术平方根4.复功率：S=P+jQ 八、功率因素的提高？在电感两端并联电容的操作，使两者夹角减小1)C=P/wU 2(tan a1-tan a2); 2)Q C =-P(tan a1-tan a2)九、最大功率传输？ 当Z L =R eq -jX eq =Zeq *时，P MAX =U OC2/4R eq十、解题步骤？1.设。
第五章正弦稳态电路的分析
正弦电流电路
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数。
②正弦信号容易产生、传送和使用。
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j
F | F | e | F |
j
极坐标式
返 回 上 页 下 页
几种表示法的关系：
Im
F a jb
F | F | e | F |
j
b |F|
F
O
| F | a b b 或 θ arctan( ) a
2 2
a
Re
a | F | cos b | F | sin
O
F Re
返 回
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下 页
特殊旋转因子
jF
Im
F
Re
jF
π jπ π π 2 , e cos( ) jsin( ) j 2 2 2
O
F
π j π π π 2 , e cos( ) jsin( ) j 2 2 2
π , e
w 2π f 2π T (3) 初相位
单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
返 回 上 页 下 页
注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
i
=0
一般规定：| |< 。
O
=/2
wt
=－/2
返 回
上 页
正弦稳态电路分析和功率计算要点
U (2) Z 为一复数，记为 Z = R + jX . I
其中： R — 电阻分量( )； X — 电抗分量()
1 — 容抗 XL = L — 感抗； X C C
U U (3) Z u i I I
Z R X
2
2
= R + jX = |Z| Z
第 九 章
正弦稳态电路的分析
9-1Байду номын сангаас
阻抗和导纳
一、阻抗 1. 元件的阻抗 元件在正弦稳态下，电压相量与电流相量（关联
U 参考方向）之比为元件的阻抗，记为 Z。即 Z 。 I
单位：欧姆（）. 电阻
IR
电感 R
U R I L jL U L
电容
IC
1 j C
1 记为 Y。 即 Y I 。单位：西门子（S）. Z U Y I YU I
元件
U
—— 欧姆定律的相量形式
一端口
+ U
I
N0
1 I U Y Z Z U I —— 输入阻抗 (导纳)
N 只含阻抗与受控源
3. 分析
I YU
称阻抗 Z 呈容性；
iii) X = 0 , Z = 0 , u – i = 0 , 电压与电流同相，
称阻抗 Z 呈阻性；
(5) 阻抗三角形
Z R X
2 2
|Z|
|Z|
|X| R
例 已知 R = 15 , L = 10mH , C = 100µ F , 求 uS(t)分别 为 120 2 cos 500 t V与 120 2 cos 3000 t V 时的稳态电 流 i(t)，并画出相量图。
其中： R — 电阻分量( )； X — 电抗分量()
1 — 容抗 XL = L — 感抗； X C C
U U (3) Z u i I I
Z R X
2
2
= R + jX = |Z| Z
第 九 章
正弦稳态电路的分析
9-1Байду номын сангаас
阻抗和导纳
一、阻抗 1. 元件的阻抗 元件在正弦稳态下，电压相量与电流相量（关联
U 参考方向）之比为元件的阻抗，记为 Z。即 Z 。 I
单位：欧姆（）. 电阻
IR
电感 R
U R I L jL U L
电容
IC
1 j C
1 记为 Y。 即 Y I 。单位：西门子（S）. Z U Y I YU I
元件
U
—— 欧姆定律的相量形式
一端口
+ U
I
N0
1 I U Y Z Z U I —— 输入阻抗 (导纳)
N 只含阻抗与受控源
3. 分析
I YU
称阻抗 Z 呈容性；
iii) X = 0 , Z = 0 , u – i = 0 , 电压与电流同相，
称阻抗 Z 呈阻性；
(5) 阻抗三角形
Z R X
2 2
|Z|
|Z|
|X| R
例 已知 R = 15 , L = 10mH , C = 100µ F , 求 uS(t)分别 为 120 2 cos 500 t V与 120 2 cos 3000 t V 时的稳态电 流 i(t)，并画出相量图。
电路相量法和正弦稳态电路的分析
故
图 (c):以 电 感 与 电 容 的 并 联 电 压 为 参 考 相 量
I2.82A 8
U C 3 0 1 A 3 0 0 V I I C I L j - 2 j = - j A , U U R U C 4 0 j + 3 0 = 5 0 5 3 . 1 V
6.2 正弦量的相量表示法
2、正弦量的相量表示
i(t) Im c(o t si)2 Ic ( to s i)
Re
2
Ie
j(t
i
)
Re
2
Ie
ji
e
jt
Re
2
I
e
jt
Re I m
e
jt
其中：
UjLI jXLI
感抗： XL L 有效值： U LI 相位： u i 90
U j
u
I
i
I
j L
t
U
O
1
i O
电压超前于电流 90°
u
6.3 正弦稳态电路的相量模型
例题 电路中已标明电压表和电流表的读数，试求电压 u 和电流 i 的有效值。
60V
6.3 正弦稳态电路的相量模型
例题 已L=知3如H，图所C示=5电路1中0-3Fi S 。 试0 . 求2 c 电o （ s 压 ut R 、4 u5 L） A 和,u C 1 0 r 。a d / s , R 2 0 ,
R
根据
iS +
uR –
C
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i (t ) 2 I cos( t i )
设一复指数函数为
2 Ie
j ( t i )
=
2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i )
可见正弦电流与上述复指数函数的实部存在着对应关系。
根据其对应关系，有
i R e [ 2 Ie
. j t
，则
. .
Re [ 2 I e
] Re [
d dt
2 Ie
j t
] Re [ 2 ( j I ) e
j t
]
dt
（3）任一个正弦量的积分用相量来表示，等于这个正弦量的相量除以 j
设
i 2 I cos( t i )
.
，则
. .
id t
Re [ 2 I e
Z ab 100 j300 j100 100 ( 200 j200 )
. .
U Z ab I S ( 200 j 200 ) 2 0 ( 400 j 400 )V
. . *
复功率 S U I S ( 400 j400 ) 2 0 ( 800 j800 )VA 有功功率 P 800 W ；无功功率 Q 800 var
. S
在相位上相差
6
2
，则有
0 . 005 5 10
. .
r 0 ，故 r 1000
0 . 005 100 0 j0.004 125 e
j 90
U1
0 . 005 U j0.004
S
V
例5.5
在正弦稳态电路中，测量电源频率的电桥如图5．5所示，试 求电源 与电桥参数的关系。
第五章 正弦稳态电路分析
5.1 应用相量法分析正弦电流电路
对于正弦电流电路，由于全部稳态响应与激励都是同一频率 的正弦函数（简称正弦量），因此，要确定电路中的任一正 弦电压或电流，只要确定了其中的有效值和初相角，就确定 了正弦电压或电流。 相量法就是应用复数来表示正弦量的有效值和初相角，使描 述正弦电流电路的微积分方程转化为代数方程，从而使正弦 电流电路的分析与计算得以简化。 对于任一正弦电流，有
C
I （2）当 I S 2 单独作用时，S 1 断开，则有
.
( R2 j
"
1
U1
C
) IS 2 1 R1
( 2 0 j2 0 ) 2 0 40
2 0 ( 2 0 j2 0 )V
R1 j L R 2 j
故得
. . ' . " 2
i ) UI cos UI cos[ 2 ( t u ) ]
U I co s {1 co s[ 2 ( t u )]} U I sin sin [ 2 ( t u )]
V A
其中
u
i
，表示电压与电流之间的相位差
Q UI sin
它反映了一端口网络与外电路进行能量交换的最大速率。无 功功率的单位是 V A （乏，即无功伏安）。
（3） 视在功率S
S UI
视在功率通常表示电力设备的容量。视在功率的单位是 V A （伏安）。
（4）复功率 S 为了能够直接应用相量电压U 和相量电流 I 来计算平均功率P 、无功功率Q、视在功率 S
例5.7
正弦稳态电路如图5.8所示，已知
R 1 R 2 20 Z ，L j L j20
. 1
IS 1
4 2
4 5 A , IS 2 2 0 A
，
，Z C
j
1
C
j 20
，
试求电流源 IS 1 两端的电压 U
及 IS 1 发出的复功率 S 1 。
j t
] d t Re [
2 Ie
j t
d t ] Re[
2(
I j
)e
j t
]
应用相量法分析稳态正弦电流电路，是把正弦量变换为相量，从而 把求解线性电路的正弦稳态问题转化为求解以相量为变量的频域中 的代数方程问题。
.
I 0
正弦电流电路中的各支路电压和各支路电流都是同频率的正弦量， 用相量法将KCL和KVL转换为相量形式。
Z 0 R 0 jX
0
,
Z l R l jX
l
Z , 那么 Z l 为何值时， l 能获得最大功率?
i N
a
Z0
P 0,
Q
0
例 5.6
正弦稳态电路如图5.7所示，已知
R 1 R 2 R 3 100 , L 1 3 H , L 2 1 H , C 1 C 2 10
4
F , i S ( t ) 2 2 cos 100 tA
试求电流源发出的复功率 S 。
a
.
R1
a i u N
b
图5．6 设 u
2U cos( t u )
i
2 I cos( t i )
它吸收的瞬时功率表示为
p u i 2U cos( t u )
u
2 I cos( t i )
UI cos UI cos( 2 t
R1
c G
R2 R4 C4 b
C3 a
R3 d . + US
解
要使电桥平衡，即结点c、d等电位，检流计中无电流通过，这时有
R1 R2 1 R4 R3 j 1 j C 4 1
C3
，即
R1 R2
(R3 j
1
C3
)(
1 R4
j C 4 )
R3 R4
C4 C3
j( C 4 R 3
] Re[ 2 I 2 e
] R e [ 2 ( I 1 I 2 )e
j t
]
而 i R [ e
j t 2 Ie ]
，故用相量表示，有
I I 1 I 2
.
.
j
（2）任一个正弦量的导数用相量来表示，等于这个正弦量的相量乘以。
设
i
di dt d
2 I cos( t i )
ZL ZC
.
I S1
.
.
U1
R1
R2
IS2
解
I 应用叠加定理，（1）当 IS 1 单独作用时，S 2 断开，则有
R1 ( R 2 j L j
'
1
.
U1
C
1
) 1 0 4 4 5 ( 2 0 j 2 0 )V I S1 2
R1 R 2 j L j
.
我们引入复功率 S ，它定义为
j( ) S U I* U Ie u i S U I c o s j U I sin
P jQ
复功率的单位是 V A （伏安）。
根据功能守恒原理，对整个电路有
在一般情况下， S 0
S 0,
.
解得 I l 1 10 0 A , Il 2 j1 0 A
. . .
I C I l 1 I l 2 (10 j10 ) A
（2）应用结点电压法，有
.
.
U 1(
1 R 1 j L1
j C
1 R 2 j L 2
)
U
S
R 1 j L1
j( t i )
] R e [ 2 Ie
j i
e
j t
j t ] ] R e [ 2 Ie
上式表明，通过数学方法，可把一个实数范围的正弦时间函数与一 个复数范围的复指数函数一一对应起来，该复指数函数包含了正弦 量的角频率、有效值、初相角，而其中的复常数则包含了正弦量的 有效值和初相角，把这个复常数称为正弦量的相量。记为
对于电路中任一结点，根据KCL有 对于电路中任一回路，根据KVL有
. .
.
I 0
.
U
或
. L
0
I Y U
.
对于一个无源一端口来说 U Z I
.
对于单一元件
R、 L、 C
有 U R IR ， U
j L I L ， C j U
.
.
1
C
IC
引入相量法后，描述正弦电流电路的微积分方程转化为以相 量为变量的频域中的代数方程，这样对于任一正弦电流电路，就 可以应用电阻电路中学过的电源等效变换，支路电流法，网孔电 流法，回路电流法，结点电压法，叠加定理，代维宁定理，诺顿 定理等进行求解了。
.
பைடு நூலகம்
1 j L
j C) - j C U
.
. 2
U
S
R1
结点2
.
U
.
2
r I1 r
.
U1 j L
由于U 2 r I 1 r
U1 j L
代入结点1 的结点电压方程，
6 . . S
并代入数据整理得 ( 0 . 005 5 10 要使U 1 与 U
.
r j0.004) U 1 0 . 005 U
回路1 ( R 1 j L 1 j
1
.
1
.
C
)I
l1
设一复指数函数为
2 Ie
j ( t i )
=
2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i )
可见正弦电流与上述复指数函数的实部存在着对应关系。
根据其对应关系，有
i R e [ 2 Ie
. j t
，则
. .
Re [ 2 I e
] Re [
d dt
2 Ie
j t
] Re [ 2 ( j I ) e
j t
]
dt
（3）任一个正弦量的积分用相量来表示，等于这个正弦量的相量除以 j
设
i 2 I cos( t i )
.
，则
. .
id t
Re [ 2 I e
Z ab 100 j300 j100 100 ( 200 j200 )
. .
U Z ab I S ( 200 j 200 ) 2 0 ( 400 j 400 )V
. . *
复功率 S U I S ( 400 j400 ) 2 0 ( 800 j800 )VA 有功功率 P 800 W ；无功功率 Q 800 var
. S
在相位上相差
6
2
，则有
0 . 005 5 10
. .
r 0 ，故 r 1000
0 . 005 100 0 j0.004 125 e
j 90
U1
0 . 005 U j0.004
S
V
例5.5
在正弦稳态电路中，测量电源频率的电桥如图5．5所示，试 求电源 与电桥参数的关系。
第五章 正弦稳态电路分析
5.1 应用相量法分析正弦电流电路
对于正弦电流电路，由于全部稳态响应与激励都是同一频率 的正弦函数（简称正弦量），因此，要确定电路中的任一正 弦电压或电流，只要确定了其中的有效值和初相角，就确定 了正弦电压或电流。 相量法就是应用复数来表示正弦量的有效值和初相角，使描 述正弦电流电路的微积分方程转化为代数方程，从而使正弦 电流电路的分析与计算得以简化。 对于任一正弦电流，有
C
I （2）当 I S 2 单独作用时，S 1 断开，则有
.
( R2 j
"
1
U1
C
) IS 2 1 R1
( 2 0 j2 0 ) 2 0 40
2 0 ( 2 0 j2 0 )V
R1 j L R 2 j
故得
. . ' . " 2
i ) UI cos UI cos[ 2 ( t u ) ]
U I co s {1 co s[ 2 ( t u )]} U I sin sin [ 2 ( t u )]
V A
其中
u
i
，表示电压与电流之间的相位差
Q UI sin
它反映了一端口网络与外电路进行能量交换的最大速率。无 功功率的单位是 V A （乏，即无功伏安）。
（3） 视在功率S
S UI
视在功率通常表示电力设备的容量。视在功率的单位是 V A （伏安）。
（4）复功率 S 为了能够直接应用相量电压U 和相量电流 I 来计算平均功率P 、无功功率Q、视在功率 S
例5.7
正弦稳态电路如图5.8所示，已知
R 1 R 2 20 Z ，L j L j20
. 1
IS 1
4 2
4 5 A , IS 2 2 0 A
，
，Z C
j
1
C
j 20
，
试求电流源 IS 1 两端的电压 U
及 IS 1 发出的复功率 S 1 。
j t
] d t Re [
2 Ie
j t
d t ] Re[
2(
I j
)e
j t
]
应用相量法分析稳态正弦电流电路，是把正弦量变换为相量，从而 把求解线性电路的正弦稳态问题转化为求解以相量为变量的频域中 的代数方程问题。
.
I 0
正弦电流电路中的各支路电压和各支路电流都是同频率的正弦量， 用相量法将KCL和KVL转换为相量形式。
Z 0 R 0 jX
0
,
Z l R l jX
l
Z , 那么 Z l 为何值时， l 能获得最大功率?
i N
a
Z0
P 0,
Q
0
例 5.6
正弦稳态电路如图5.7所示，已知
R 1 R 2 R 3 100 , L 1 3 H , L 2 1 H , C 1 C 2 10
4
F , i S ( t ) 2 2 cos 100 tA
试求电流源发出的复功率 S 。
a
.
R1
a i u N
b
图5．6 设 u
2U cos( t u )
i
2 I cos( t i )
它吸收的瞬时功率表示为
p u i 2U cos( t u )
u
2 I cos( t i )
UI cos UI cos( 2 t
R1
c G
R2 R4 C4 b
C3 a
R3 d . + US
解
要使电桥平衡，即结点c、d等电位，检流计中无电流通过，这时有
R1 R2 1 R4 R3 j 1 j C 4 1
C3
，即
R1 R2
(R3 j
1
C3
)(
1 R4
j C 4 )
R3 R4
C4 C3
j( C 4 R 3
] Re[ 2 I 2 e
] R e [ 2 ( I 1 I 2 )e
j t
]
而 i R [ e
j t 2 Ie ]
，故用相量表示，有
I I 1 I 2
.
.
j
（2）任一个正弦量的导数用相量来表示，等于这个正弦量的相量乘以。
设
i
di dt d
2 I cos( t i )
ZL ZC
.
I S1
.
.
U1
R1
R2
IS2
解
I 应用叠加定理，（1）当 IS 1 单独作用时，S 2 断开，则有
R1 ( R 2 j L j
'
1
.
U1
C
1
) 1 0 4 4 5 ( 2 0 j 2 0 )V I S1 2
R1 R 2 j L j
.
我们引入复功率 S ，它定义为
j( ) S U I* U Ie u i S U I c o s j U I sin
P jQ
复功率的单位是 V A （伏安）。
根据功能守恒原理，对整个电路有
在一般情况下， S 0
S 0,
.
解得 I l 1 10 0 A , Il 2 j1 0 A
. . .
I C I l 1 I l 2 (10 j10 ) A
（2）应用结点电压法，有
.
.
U 1(
1 R 1 j L1
j C
1 R 2 j L 2
)
U
S
R 1 j L1
j( t i )
] R e [ 2 Ie
j i
e
j t
j t ] ] R e [ 2 Ie
上式表明，通过数学方法，可把一个实数范围的正弦时间函数与一 个复数范围的复指数函数一一对应起来，该复指数函数包含了正弦 量的角频率、有效值、初相角，而其中的复常数则包含了正弦量的 有效值和初相角，把这个复常数称为正弦量的相量。记为
对于电路中任一结点，根据KCL有 对于电路中任一回路，根据KVL有
. .
.
I 0
.
U
或
. L
0
I Y U
.
对于一个无源一端口来说 U Z I
.
对于单一元件
R、 L、 C
有 U R IR ， U
j L I L ， C j U
.
.
1
C
IC
引入相量法后，描述正弦电流电路的微积分方程转化为以相 量为变量的频域中的代数方程，这样对于任一正弦电流电路，就 可以应用电阻电路中学过的电源等效变换，支路电流法，网孔电 流法，回路电流法，结点电压法，叠加定理，代维宁定理，诺顿 定理等进行求解了。
.
பைடு நூலகம்
1 j L
j C) - j C U
.
. 2
U
S
R1
结点2
.
U
.
2
r I1 r
.
U1 j L
由于U 2 r I 1 r
U1 j L
代入结点1 的结点电压方程，
6 . . S
并代入数据整理得 ( 0 . 005 5 10 要使U 1 与 U
.
r j0.004) U 1 0 . 005 U
回路1 ( R 1 j L 1 j
1
.
1
.
C
)I
l1