因式分解一 提取公因式法和公式法 超经典

因式分解（一）

——提取公因式与运用公式法

【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解；

（2）因式分解与整式的区别； （3）提公因式与公式法的技巧。

【知识要点】

1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。

☆提公因式分解因式要特别注意：

（1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，

并且注意括号内其它各项要变号。

（2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。

（3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式，

这时要特别注意各项的符号）。

（4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。

（5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。

2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2

222a ab b a b ±+=±。

平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。

完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；

(3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。

☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领：

（1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。

（3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。

【经典例题】

例1、找出下列中的公因式：

(1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式 。

(2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x －y)，2xy(y －x) 的公因式 。

(4) 322312a b a b -，34431

2

a b a b +，4224a b a b -的公因式是 。

例2、分解下列因式：

（1）2

2

3

2

1084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+ （3）323111248ab a b a b -

-+ （4）y x y x y x x 322233

1

3231+-+-

例3、把下列各式分解因式:

（1）23)(2)(m n a n m -+- （2）32)(4)(2y z y z y x -+-

例4、把下列各式分解因式：

(1)x 2－4y 2 (2)2233

1

b a +-

(3)22)2()2(y x y x +-- (4)24)x y (y)-4(x --

例5 把下列各式分解因式：

(1) 442-+-x x (2) 323x 6x 3x -+-

(3)

215103102+-p p （4）2

225

9251216.0y xy x +-

思考题：已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边，求证：()2

2222240a b c a b +--<。

【经典练习】

一、填空题

1.写出下列多项式中公因式

(1)3525x x + (2)253243143521x y x y x y +-

(3)()()23a a b a b a --- (4)32232321

25

a b c ab c a b c +-

2． 2x(b －a)+y(a －b)+z(b －a)= 。 3. －4a 3b 2+6a 2b －2ab=－2ab( )。

4. (－2a+b)(2a+3b)+6a(2a －b)=－(2a －b) ( )。

5. －(a －b)mn －a + b= .。

6．如果多项式mx A +可分解为()m x y -，则A 为 。 7．因式分解9m 2－4n 4=( )2－( )2= 。

8．因式分解0.16a 2b 4－49m 4n 2=( )2－( )2= 。 9．因式分解()22

4x y x --= 。

10．因式分解(

)3

3352

12

1

821a a a a -=⋅

-=+- 。

11．把下列各式配成完全平方式。

①229b a ++ ②2241b a +-

③+-x x 3

22

④+

-mn m 242 ⑤+

+ab a 2 ⑥+

-m m 2

二、选择题

1．多项式6a 3b 2－3a 2b 2－21a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是 ( ) A.3a 2b B.3ab 2 C.3a 3b 2 D.3a 2b 2 2．如果()222332x y mx x n -+=--，那么（ ）

A ． m=6，n=y

B ． m=-6， n=y

C ． m=6，n=-y

D ． m=-6，n=-y 3．()()222m a m a -+-，分解因式等于（ ）

A ．()()22a m m --

B ．()()21m a m --

C ．()()21m a m -+

D ．以上答案都不能 4．下面各式中，分解因式正确的是 ( )

A.12xyz －9x 2.

y 2

=3xyz(4－3xy) B.3a 2

y －3ay + 6y=3y(a 2

－a+2)

C.－x 2+xy －xz=－x(x 2+y －z)

D.a 2b + 5ab －b=b(a 2 + 5a) 5. )3)(3(-+-a a 是多项式（ ）分解因式的结果

A.92-a

B.92-a

C.92--a

D.92+-a 6. 2)23(64b a --分解因式的结果是（ ）

A.)238)(238(b a b a ---+

B.)238)(238(b a b a --++

C.)238)(238(b a b a +-++

D.)238)(238(b a b a +--+ 7. 若)2)(2)(4(162x x x x n -++=-，则n 的值是（ ）

A.6

B.4

C. 3

D.2 8. 把多项式222224)(b a b a -+分解因式的结果是（ ） A.222)4(ab b a ++ B.222)4(ab b a ++ C.)4)(4(2222ab b a ab b a -+++ D.22)()(b a b a -+ 9. 下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（ ） （1）422++a a

（2）122-+a a （3）122++a a

（4）122++-a a （5）122---a a

（6）122--a a

A.2

B.3

C.4

D.5 10.若m ab a ++1842是一个完全平方式，则m 等于（ ） A.29b B.218b C.281b D.

2

4

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