模糊理论及应用(1)
模糊集的理论及应用-1
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1.1 经典集合的基本概念
定义
10/26/2018 9:20:19 AM
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
集合是确定的、具有一定性质的事物的全体 集合常用大写字母表示 集合中的事物称为集合的元素，常用小写字母表示 集合的元素与集合的关系是：属于∊，或者，不属于∉ 对于给定的问题，所关心的事物的全体组成论域集合 集合的表示方法：
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1.2 格与代数系统
偏序集的例子
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模 糊 集 的 理 论 及 应 用
整数集合Z关于“≤”做成的集合（Z, ≤）； 集合A的幂集合关于“”做成的集合（P(A), ）； 正整数集合Z+关于“|”（整除）做成的集合（Z+, |）； 整数集合Z关于“mod(k)”做成的集合（Z, mod(k)”） 偏序集合可以做出相应的哈斯（hassen）图，其中要用到 覆盖的概念： ， L，说覆盖，如果<（ 且 ≠ ） 且不存在使得< < 。 若覆盖，则在，间画连线，且保证在上， 在下。 将所有的覆盖连线做出形成的图称为哈斯（hassen）图。
子集（⊆）
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
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注意特征函数表示方法：
AB ( x) A ( x) B ( x)
AB ( x) A ( x) B ( x)
相等（=） 并（∪） 交（∩） 余（-,c,’） 差（-） 对称差（）
A ( x) 1 A ( x)
c
上述公式可以推广到任意多 个集合的情况
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1.1 经典集合的基本概念
运算律
模糊集理论及其应用_第一章
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1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
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模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
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数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
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前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
模糊控制理论及工程应用
模糊控制理论及工程应用模糊控制理论是一种能够处理非线性和模糊问题的控制方法。
它通过建立模糊规则和使用模糊推理来实现对系统的控制。
本文将介绍模糊控制理论的基本原理，以及其在工程应用中的重要性。
一、模糊控制理论的基本原理模糊控制理论是由扬·托东（Lotfi Zadeh）于1965年提出的。
其基本原理是通过建立模糊规则，对系统的输入和输出进行模糊化处理，然后利用模糊推理来确定系统的控制策略。
模糊规则是一种类似于“如果...那么...”的表达式，用于描述输入和输出之间的关系。
模糊推理则是模糊控制系统的核心，它通过将模糊规则应用于模糊化的输入和输出，来确定控制的动作。
二、模糊控制理论的工程应用模糊控制理论在工程应用中具有广泛的应用价值。
下面将分别介绍其在机械控制和电力系统控制中的应用。
1. 机械控制模糊控制理论在机械控制领域有着重要的应用。
其优势在于能处理非线性和模糊问题，使得控制系统更加鲁棒和稳定。
例如，在机器人控制中，模糊控制可实现对复杂环境的适应性和灵活性控制，使机器人能够自主感知和决策。
此外，模糊控制还可以应用于精密仪器的控制，通过建立模糊规则和模糊推理，实现对仪器位置和姿态的精确控制。
2. 电力系统控制模糊控制理论在电力系统控制领域也有着重要的应用。
电力系统是一个复杂的非线性系统，模糊控制通过建立模糊规则和模糊推理，可以实现对电力系统的稳定性和性能进行优化。
例如，在电力系统调度中，模糊控制可以根据不同的负荷需求和发电能力，实现对发电机组的出力控制，保持电力系统的稳定运行。
此外，模糊控制还可以应用于电力系统中的故障诊断和故障恢复，通过模糊推理，快速准确地定位和修复故障。
三、总结模糊控制理论是一种处理非线性和模糊问题的有效方法。
其基本原理是通过建立模糊规则和使用模糊推理来实现对系统的控制。
模糊控制理论在机械控制和电力系统控制等工程领域有着广泛的应用。
它能够提高控制系统的鲁棒性和稳定性，并且能够适应复杂的环境和变化，具有良好的控制效果。
模糊控制理论及应用
模糊控制理论及应用模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，它能够应对现实世界的不确定性和模糊性。
本文将介绍模糊控制的基本原理、应用领域以及未来的发展趋势。
一、模糊控制的基本原理模糊控制的基本原理是基于模糊逻辑的推理和模糊集合的运算。
在传统的控制理论中，输入和输出之间的关系是通过精确的数学模型描述的，而在模糊控制中，输入和输出之间的关系是通过模糊规则来描述的。
模糊规则由模糊的IF-THEN语句组成，模糊推理通过模糊规则进行，从而得到输出的模糊集合。
最后，通过去模糊化操作将模糊集合转化为具体的输出值。
二、模糊控制的应用领域模糊控制具有广泛的应用领域，包括自动化控制、机器人控制、交通控制、电力系统、工业过程控制等。
1. 自动化控制：模糊控制在自动化控制领域中起到了重要作用。
它可以处理一些非线性和模糊性较强的系统，使系统更加稳定和鲁棒。
2. 机器人控制：在机器人控制领域，模糊控制可以处理环境的不确定性和模糊性。
通过模糊控制，机器人可以对复杂的环境做出智能响应。
3. 交通控制：模糊控制在交通控制领域中有重要的应用。
通过模糊控制，交通信号可以根据实际情况进行动态调整，提高交通的效率和安全性。
4. 电力系统：在电力系统中，模糊控制可以应对电力系统的不确定性和复杂性。
通过模糊控制，电力系统可以实现优化运行，提高供电的可靠性。
5. 工业过程控制：在工业生产中，许多过程具有非线性和不确定性特点。
模糊控制可以应对这些问题，提高生产过程的稳定性和质量。
三、模糊控制的发展趋势随着人工智能技术的发展，模糊控制也在不断演进和创新。
未来的发展趋势主要体现在以下几个方面：1. 混合控制：将模糊控制与其他控制方法相结合，形成混合控制方法。
通过混合控制，可以充分发挥各种控制方法的优势，提高系统的性能。
2. 智能化：利用人工智能技术，使模糊控制系统更加智能化。
例如，引入神经网络等技术，提高模糊控制系统的学习和适应能力。
3. 自适应控制：模糊控制可以根据系统的变化自适应地调整模糊规则和参数。
模糊系统理论
模糊系统理论一、主要内容(1)模糊数学，它用模糊集合取代经典集合从而扩展了经典数学中的概念；(2)模糊逻辑与人工智能，它引入了经典逻辑学中的近似推理，且在模糊信息和近似推理的基础上开发了专家系统；(3)模糊系统，它包含了信号处理和通信中的模糊控制和模糊方法；(4)不确定性和信息，它用于分析各种不确定性；(5)模糊决策，它用软约束来考虑优化问题。
当然，这五个分支并不是完全独立的，他们之间有紧密的联系。
例如，模糊控制就会用到模糊数学和模糊逻辑中的概念。
从实际应用的观点来看，模糊理论的应用大部分集中在模糊系统上，尤其集中在模糊控制上。
也有一些模糊专家系统应用于医疗诊断和决策支持。
由于模糊理论从理论和实践的角度看仍然是新生事物，所以我们期望，随着模糊领域的成熟，将会出现更多可靠的实际应用。
早在20世纪20年代，就有学者开始思考和研究如何描述客观世界中普遍存在的模糊现象。
1923年，著名的哲学家和数学家B．Russell在其有关“含模糊性”的论文中就认为所有的自然语言均是模糊的，如“年轻的”和“年老的”都不是很清晰的或准确的概念。
它们没有明确的内涵和外延，实际上是模糊的概念。
然而，在一个特定的环境中，人们用这些概念来描述某个具体对象时却又能让人们心领神会，很少引起误解和歧义。
与B．Russell同时代的逻辑学家和哲学家人Kasiewicz发现经典的：值逻辑只是理想世界的模型，而不是现实世界的模型，因为它在对待诸如“某人个子比较高”这一客观命题时不知所措。
他在1920年创立了多值逻辑，为建立正式的模糊模型走出了关键的第一步。
但是，多值逻辑本质不仍是精确逻辑，它只是二值逻辑的简单推广[9]。
1966年，P．N．Marinos发表了有关模糊逻辑的研究报告。
这一报告真正标志着模糊逻辑的诞生。
模糊逻辑和经典的二值逻辑的不同之处在于：模糊逻辑是一种连续逻辑。
一个模糊命题是一个可以确定隶属度的句子，它的真值可取[o，U区间中的任何数。
人工智能中的模糊理论与模糊推理
人工智能中的模糊理论与模糊推理人工智能（Artificial Intelligence，AI）是计算机科学的一个重要分支，旨在让机器能够模仿和模拟人类的智能行为。
在AI的发展过程中，模糊理论（Fuzzy Theory）和模糊推理（Fuzzy Reasoning）是扮演着重要角色的两个概念。
模糊理论和模糊推理可以帮助我们解决那些具有不确定性和模糊性的问题，并且在模拟人类的智能过程中起到了关键作用。
本文将详细介绍，并讨论其应用领域。
1. 模糊理论模糊理论是由扎德（Lotfi A. Zadeh）于1965年提出的，它是一种能够处理现实世界中不确定性和模糊性问题的数学工具。
与传统的逻辑学不同，模糊理论引入了“模糊集合”的概念，用来表示不同程度的隶属度。
在传统的二值逻辑中，一个元素只能属于集合或者不属于集合，而在模糊集合中，一个元素可以同时属于多个集合同时也可以部分属于某个集合。
模糊集合的定义通常采用隶属度函数（membership function）来表示，这个函数将每个元素在0到1之间的值来表示其属于程度。
这种思想可以很好地应用到处理模糊性问题的场景中。
例如，当我们描述一个人的高矮时，可以定义一个“高”的模糊集合，然后通过隶属度函数来表示每个人对于“高”的隶属度。
2. 模糊推理模糊推理是一种基于模糊逻辑的推理方法，它是基于模糊集合的运算来实现推理的过程。
模糊推理通过模糊集合之间的关系来表示模糊规则，从而得到推理的结果。
通常，模糊推理过程包括模糊化、模糊规则的匹配、推理方法的选择以及解模糊化等步骤。
在模糊化的过程中，将输入转化为模糊集合，并通过隶属度函数给出每个输入值的隶属度。
在模糊规则的匹配阶段，将输入的模糊集合与模糊规则进行匹配，根据匹配程度得到相应的隶属度。
然后，根据推理方法的选择，确定输出值的隶属度。
最后，通过解模糊化的过程，将模糊输出转化为确定的输出。
模糊推理的一个重要特点是能够处理模糊和不确定性的信息。
模糊集理论及应用
求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（梅花, K） }
模糊关系
模糊关系 相像关系：两者间的“相像”幵非非此即彼，而是亦此亦彼，具有程度
上的差异，具有程度上差异的关系就是模糊关系。
λ水平截集
解：
（1）λ水平截集
A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 }
A0.5={ u2,u3,u4,u5 }
A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }
模糊数
模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数μ A (u)在R上连续，且具有如下性 质：
直积U×V的一个模糊子集R成为从U到V的一个模糊关系，记为 U R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
R
V
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊关系
模糊关系的表示 R= ∫ μR(u, v) / (u, v)
U×V
例 X={ x1，x2，x3 }表示父辈的3个人x1，x2，x3 的集合，而Y={ y1， y2，y3，y4 }为他们子辈的集合，“相像关系”R∈ δ （ U×V ）是 一模糊关系，则
相等：A = B aij = bij； 包含：A B a ≤b ；
ij ij
幵：A∪B = (aij∨bij)m×n；
交：A∩B = (aij∧bij)m×n；
余：Ac = (1- aij)m×n。
0.1 0.3 0.2 例 设A , B 0.2 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1 A B , A B 0.3 0.2 0.2 0.1 ，则 0.2 0.1 c 0.9 0.7 , A 0.1 0.8 0.9
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用模糊集合论是一种重要的数学工具，它能够处理现实世界中的模糊、不确定和不精确的信息，具有广泛的应用前景。
本文首先介绍模糊集合论的基本概念和运算，然后探讨其在决策分析、控制理论、人工智能等领域的应用，并最后展望其未来发展方向。
一、模糊集合论的基本概念和运算1.1 模糊集合的定义在传统的集合论中，一个元素只能属于集合或不属于集合，不存在中间状态。
而在模糊集合论中，一个元素可以同时属于多个集合，并且对于不同的元素，其属于集合的程度也不同。
因此，模糊集合论将集合的概念进行了扩展，使其能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性。
设X为一个非空的集合，称为全集，一个模糊集A是一个从X到[0,1]的函数，即：$$A(x):Xrightarrow[0,1]$$其中，A(x)表示元素x属于模糊集A的隶属度，取值范围为[0,1]。
当A(x)=1时，表示x完全属于A；当A(x)=0时，表示x完全不属于A；当0<A(x)<1时，表示x部分属于A。
1.2 模糊集合的运算模糊集合的运算包括模糊集合的交、并、补和乘积等。
模糊集合的交：对于两个模糊集合A和B，其交集为：$$(Acap B)(x)=min{A(x),B(x)}$$模糊集合的并：对于两个模糊集合A和B，其并集为：$$(Acup B)(x)=max{A(x),B(x)}$$模糊集合的补：对于一个模糊集合A，其补集为：$$(eg A)(x)=1-A(x)$$模糊集合的乘积：对于两个模糊集合A和B，其乘积为：$$(Atimes B)(x,y)=min{A(x),B(y)}$$其中，(A×B)(x,y)表示元素(x,y)属于模糊集合A×B的隶属度。
1.3 模糊关系和模糊逻辑在模糊集合论中，还有两个重要的概念，即模糊关系和模糊逻辑。
模糊关系是指一个元素对另一个元素的隶属度，可以用矩阵表示。
例如，设A和B是两个模糊集合，它们之间的模糊关系R可以表示为： $$R=begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} R_{21} & R_{22}end{bmatrix}$$其中，Rij表示元素i与元素j之间的隶属度。
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几种常用关系
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特征函数
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集合A的特征函数表示：
A = {x ∈ X | µ A ( x) = 1}
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集合的运算与特征函数的运算有下列关系：
(1 ) A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ X , µ (2) A = B ⇔ µ (3 ) µ (4)µ (5 ) µ (6 )µ (7 ) µ
t∈ T
t∈T
{µ {µ
} ( x )}
(x)
其中， 表示上确界， 是 表示下确界， 其中，SUP是superior表示上确界，inf是inferior表示下确界，在有限的 是 表示上确界 表示下确界 情形下， 有时上、下确界分别用内插符∨ 情形下， SUP=max,inf=min, 有时上、下确界分别用内插符∨、∧来 表示， 有时还可以简化为： 表示，即∨=sup, ∧=inf,有时还可以简化为：∨=+， ∧=· 有时还可以简化为 ，
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4．在论域E中,由所有属于A而不属于B的所有元素组 在论域E 由所有属于A而不属于B 成的集合S,称为A S,称为 的差集，记为A Ｂ，亦 成的集合S,称为A与B的差集，记为A-B或A\Ｂ，亦 称为A 称为A与B的相对补 S=Ａ－Ｂ＝ Ｂ＝｛x| Ａ－Ｂ＝A A但 B｝ S=Ａ－Ｂ＝A\Ｂ＝｛x| x ∈ A但x ∉ B｝ ５．对称差：由仅属于集合Ａ与仅属于集合Ｂ的所有 对称差：由仅属于集合Ａ与仅属于集合Ｂ Θ 元素组成的集合Ｓ称为Ａ 的对称差，记为ＡＢ 元素组成的集合Ｓ称为Ａ与Ｂ的对称差，记为ＡＢ Ｂ＝（Ａ－Ｂ）∪ Ｓ＝Ａ ΘＢ＝（Ａ－Ｂ）∪（Ｂ－Ａ）
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一一映射
一一映射：如果f既是单射又是满射，则称f 为双射，也称为一一映射。
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关系
关系：表示集合中元素与元素之间的关系，元素 关系 可以是同一集合中的元素，也可以是不同集合的 元素。 定义：对于给定集合A、B的直积A×B的一个子 集R，称为A到B的二元关系，简称为关系。对于 A×B的元素(x，y)，若有<x，y>∈ R，则称x 与y相关，记为xRy；否则<x，y> R，记为 x R y。 设f:A→B，若x∈A,y∈ B,显然有{<x， y>|y=f(x)} ⊆ A×B，可见映射f是关系的特例。 N元关系： 若集合A中的全体元素均为有序的n元 组序偶，则称A为N元关系。
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９．对偶律（对偶律也称德摩根定律） 对偶律（对偶律也称德摩根定律）
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集合的直积（笛卡尔积） 集合的直积（笛卡尔积）
１．序偶：是由两个具有固定的客体组成，序偶中 元素的顺序是不允许改变的。 〈x,y> 三元组序偶〈〈x,y>,z>简写为〈x,y,z> 2. 笛卡尔积:任意给定两个集合Ａ和Ｂ，如果序偶 的第一个元素取自集合Ａ，而第二个元素取自集 合Ｂ，则所有这样的序偶组成的集合被定义为集 合Ａ和Ｂ的直积或笛卡尔积或叉积，记为： Ａ×Ｂ＝｛〈x,y>｜（x∈A）且(y∈B)｝
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集合的运算性质
Ｅ，其并 其并、 补运算具有以下性质： 设Ａ、Ｂ、Ｃ ⊆ Ｅ，其并、交、补运算具有以下性质： Ａ＝A 1．幂等律 Ａ∩Ａ＝Ａ Ａ∪Ａ＝A A∩Ｂ＝Ｂ Ｂ＝Ｂ∩ Ｂ＝Ｂ∪ 2．交换律 A∩Ｂ＝Ｂ∩Ａ Ａ∪Ｂ＝Ｂ∪Ａ )∩Ｃ＝Ａ （Ｂ∩ Ｃ＝Ａ∩ 3．结合律 (Ａ∩Ｂ)∩Ｃ＝Ａ∩（Ｂ∩Ｃ） （Ａ∪Ｂ）∪Ｃ＝Ａ∪（Ｂ∪ （Ａ∪Ｂ）∪Ｃ＝Ａ∪（Ｂ∪Ｃ） （Ｂ∪ ）＝(A∩ )∪（Ａ (A∩Ｂ （Ａ∩ 4．分配律 Ａ∩（Ｂ∪C）＝(A∩Ｂ)∪（Ａ∩Ｃ) （Ｂ∩ ）＝(A∪ (A∪Ｂ ∩（Ａ （Ａ∪ Ａ∪（Ｂ∩C）＝(A∪Ｂ) ∩（Ａ∪Ｃ) ∪Ｂ ∪(Ａ 5．吸收律 A∩(A ∪Ｂ)＝A A ∪(Ａ∩Ｂ)＝A 同一律（两极律） 6．同一律（两极律） Ａ∪Ｅ＝Ｅ Ａ∪Φ＝Ａ Ａ∩E＝Ａ Ａ ∩Φ＝Φ 7．复原律 （ＡＣ）Ｃ＝Ａ 8．互补律 Ａ∪ＡＣ＝Ｅ Ａ∩ＡＣ＝Φ
第一部分 模糊理论及其运用
內容
前言 经典集合理论回顾 Fuzzy Fuzzy 集理论 Fuzzy 隶属函数
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前言
模糊理论(fuzzy theory)最早于美国加洲 模糊理论(fuzzy theory)最早于美国加洲 大学L.A Zadeh教授在1965年所发表的 教授在1965 大学L.A Zadeh教授在1965年所发表的 Control」期刊论文中。 「Information and Control」期刊论文中。 它是一种用以数学模型来描述语意式的模糊 信息的方法。 信息的方法。 不论是消费电子产品、工业控制器、 不论是消费电子产品、工业控制器、语音辨 影像处理、机器人、决策分析、 识、影像处理、机器人、决策分析、数据探 勘、数学规划以及软件工程上都可以看见到 模糊理论的踪迹。 模糊理论的踪迹。
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模糊集合论(Fuzzy 模糊集合论(Fuzzy set)
Fuzzy set
经典集合理论 传统集合理论，通常是以二值化0 表示， 传统集合理论，通常是以二值化0或1表示， 所谓「 不是」两种的决择方式。 所谓「是」与「不是」两种的决择方式。 是一种明确的集合论 例如: 例如:男生和女生的性别 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5 1~5的 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5的 五个正整数，请问集合中有没有3 五个正整数，请问集合中有没有3，答案 是有;而集合中有没有6 答案是没有。 是有;而集合中有没有6，答案是没有。可 以很明确的分辨「 还是「 以很明确的分辨「有」还是「无」。
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映射与关系
若有一对应法则f存在， 1．定义： 设有集合A和B．若有一对应法则f存在， 定义： 设有集合A 使得对于集合A中任意元素x 中唯一的元素y 使得对于集合A中任意元素x，有B中唯一的元素y与 之对应，则称此对应法则f为从A 的映射， 之对应，则称此对应法则f为从A到B的映射，记为 f: A→B A称为映射f的定义域，B称为f的值域，y称为x在f作 称为映射f的定义域， 称为f的值域， 称为x 用下的象，记为：y=f(x)， 用下的象，记为：y=f(x)， 并用符号表示： 并用符号表示： f : x|→y 称为y x称为y的一个原象 说明：由定义可知，集合A中的所有元素在B中都有象， 说明：由定义可知，集合A中的所有元素在B中都有象， 的有的元素可以没有原象。 而B的有的元素可以没有原象。且A中可以有多个元 素对应B中的一个元素。且不允许一对多。 素对应B中的一个元素。且不允许一对多。
例1：设A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，A 到B的二元关系R={〈a,b〉|a>b}，求关系矩 阵MR
解：R={〈a,b〉|a>b}={<4,1>,<4,2>,<4,3>,<3,1>,<3,2>,<2,1>} B 123A
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方法2： 方法 ：关系图
A上关系R的关系图是一个有向图（A，R），其中： （1）用小圆圈表示ai ∈A，i=1,2,3,…,n。 （2）如有〈ai,aj〉 R，则用弧线或直线把xi,xj联结， ∈ 并标上由ai指向aj的箭号 ∈ （3）如〈ai,ai〉R，则在xi的小圈处画上一条自封闭 的弧线。 图上表示xi的小圈称为结点（顶点），有向弧线 称为有向边，自封闭弧线称为闭路（自回路），与任 何结点无联系的单独结点称为孤立点。
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几种常见映射的定义----单射 单射
单射：映射f: A→B，若有 单射 ∀ x,y ∈ A, x≠y→f(x) ≠f(y) 则称f 为单射 （A的不同元素不允许有相同的象）
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满射
满射：映射f: A→B，若 有 满射 ∀ y∈ B， 都存在 x ∈A 使y=f(x) , 则称f为满 射（B的所有的元素都有原象）
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经典集合理论回顾
经典集合论(Set Theory)是德国著名数学 经典集合论(Set Theory)是德国著名数学 CANTOR在总结前人和基础上创立的 在总结前人和基础上创立的， 家CANTOR在总结前人和基础上创立的，它 为整个经典数学的各分支提供了共同的理 论基础。 论基础。 另一个德国数学家蔡梅罗（ZERMELO） 另一个德国数学家蔡梅罗（ZERMELO）于 1908年建立了集合论的公理系统 年建立了集合论的公理系统， 1908年建立了集合论的公理系统，由这个 公理系统， 公理系统，他推出了所有数学上的重要结 这样， 果，这样，集合这个概念能作为数学的一 个基本概念得到了证明。 个基本概念得到了证明。
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集合的表示
集合用{ }表示 表示， 集合用{ }表示，对于有限集合可以用列 举法来表示： 举法来表示： 例如：X={1， 例如：X={1，2，3，…，N} ， 对于元素不能列举的集合可以使用描述 法： P={x|x具有属性 具有属性M} P={x|x具有属性M}
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集合的运算
1．交集(Intersection)：若集合S是由同时属于集 交集(Intersection)：若集合S (Intersection) 和集合B的元素组成，则称S 的交集， 合A和集合B的元素组成，则称S为A和B的交集， 表示为： 表示为： A且 S=A∩B={x|x ∈A且x ∈ B} 并集(Union) 若集合S是由所有属于集合A (Union)： 2．并集(Union)：若集合S是由所有属于集合A和集 的元素组成，则称S 的并集，表示为： 合B的元素组成，则称S为A和B的并集，表示为： A或 S=A∪B={x|x ∈A或x∈ B} 补集(Supplement) 在论域E (Supplement)： 3．补集(Supplement)：在论域E中由所有不属于集 的元素组成的集合称为集合A 合A的元素组成的集合称为集合A的补集 =EA)且 E） AC=E-A={x|(x ∉ A)且（x ∈ E）}
∉
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关系的表示
方法一： 方法一：关系矩阵
定义：设集合A={a1,a2,…,am}, B={b1,b2,…,bn}，则R：A→B可以用矩阵 R=[rij] 来表示，其中