【高中数学】 定积分与微积分基本定理 学案

第3讲 定积分与微积分基本定理

一、知识梳理 1．定积分的概念

在⎠⎛a

b f (x )d x 中，a ，b 分别叫作积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫作积分区间，f (x )

叫作被积函数，x 叫作积分变量，f (x )d x 叫作被积式．

2．定积分的性质

(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a

b f (x )d x (k 为常数)；

(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a

b f 2(x )d x ；

(3)⎠⎛a

b f (x )d x ＝⎠⎛a

c f (x )

d x ＋⎠⎛c

b f (x )d x (其中a <

c

3．微积分基本定理

一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a

b f (x )d x ＝F (b )

－F (a )，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿­莱布尼茨公式．

其中F (x )叫作f (x )的一个原函数．

为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛a

b f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪

b

a ＝F (

b )－F (a )．

常用结论

1．定积分应用的常用结论

当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．

2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0

a f (x )d x .

(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－a

a f (x )d x ＝0. 二、教材衍化

1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2

，x ≥0，

2x ，x <0，则⎠⎛－1

1f (x )d x 的值是( )

A.⎠⎛－11x 2

d x

B ．⎠⎛－112x

d x

C.⎠⎛－1

0x 2d x ＋⎠⎛0

12x

d x

D ．⎠⎛－1

02x d x ＋⎠⎛0

1x 2

d x

解析：选D.由分段函数的定义及定积分运算性质， 得⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x

d x ＋⎠⎛0

1x 2

d x .故选D.

2． ⎠⎛2

e ＋1

1

x －1

d x

＝________． 解析：⎠⎛2

e ＋1

1x －1

d x ＝ln(x －1)|

e ＋1

2＝ln e －ln 1＝1. 答案：1

3．若⎠⎜⎛0

π2(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于________．

解析：由题意知(－cos x －a sin x )⎪⎪⎪⎪π

20

＝1－a ＝2，a ＝－1.

答案：－1

4．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________m.

解析：s ＝⎠⎛1

2

(3t ＋2)d t ＝

⎪

⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t 2

1 ＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m)．

答案：132

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a

b f (t )d t .( )

(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0

a f (x )d x .( )

(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－a

a f (x )d x ＝0.( )

(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛0

1(x 2

－x )d x .( )

答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏

常见误区|Ｋ(1)误解积分变量致误； (2)不会利用定积分的几何意义求定积分；

(3)f (x )，g (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错． 1．定积分⎠⎛－1

2(t 2

＋1)d x ＝________．

解析：⎠⎛－1

2(t 2

＋1)d x ＝(t 2＋1)x |2

－1

＝2(t 2＋1)＋(t 2＋1)＝3t 2

＋3. 答案：3t 2

＋3 2.⎠⎛

2

2－x 2

d x ＝________

解析：⎠⎛

22－x 2

d x 表示以原点为圆心，2为半径的14圆的面积，故⎠

⎛

22－x 2

d x ＝14

π

×(2)2

＝π2

.

答案：π2

3．如图，函数y ＝－x 2

＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．

解析：由⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2

＋2x ＋1，

y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.

所以S ＝⎠⎛02(－x 2

＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛0

2(－x 2

＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x

3

3＋x 2⎪⎪⎪2

0＝－83＋4＝43.

答案：4

3

[学生用书P53]

定积分的计算(多维探究)