D5_2微积分基本定理
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5-2 微积分基本公式
解
sin x f ( x) = , x
π π x ∈[ , ] 4 2
x cos x − sin x cos x ( x − tan x ) f ′( x ) = = < 0, 2 2 x x
π π f ( x ) 在[ , ]上单调下降 上单调下降, 4 2
π π 故 x = 为最大值点，x = 为最小值点, 4 2
充分条件
上连续时， 若函数 f ( x ) 在[a , b]上连续时， f ( x ) 在[a , b]上可积. 上可积. 则
且只有有限个间断点， 且只有有限个间断点， 上有界， 若函数 f ( x ) 在[a , b ]上有界，
上可积. 则 f ( x ) 在[a , b ]上可积.
1
3．定积分的性质 ．
x
d x 数是 Φ ′( x ) = ∫a f ( t )dt = f ( x ) dx y x + ∆x 证 Φ ( x + ∆x ) = ∫ f ( t )dt a
∆Φ = Φ( x + ∆x ) − Φ( x )
=∫
x + ∆x a x
(a ≤ x ≤ b)
Φ(x)
f ( t )dt − ∫ f ( t )dt
∫a f ( x )dx =
b
y
f (ξ )
在区间[a , b]上至少存在一 个点ξ ，使得以区间[a , b]为
底边， 底边， 以曲线 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f (ξ )
的一个矩形的面积。 的一个矩形的面积。
13
o
a ξ
b x
可导， 例 3 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) = 1，
微积分基本定理
2 2 （2 1） （ 2 ln 2 ln 1） 1 2 ln 2 x |1 2(ln x) |1
公式 1: 公式：
b
a
1 b dx = lnx|a x
b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a
例 4．计算下列定积分 3 1 2 1 (3x - x2 )dx 解:∵ (x ) = 3x ,
1
x
1dx e ___ e 1
初等函数
练习 2:求下列定积分： (1) (x2＋2x＋3)dx； (2) (3)
0 － π 2 1
(cos x－ex)dx；
x 2 sin2 dx. 0 2
练习3：求下列定积分：
(练习) A.π
(1＋cosx)dx等于 B.2 C.π－2
微积分基本定理：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
5.在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为 线方程. 解：如右图.设切点A(x0，y0)，由 .试求：切点A的坐标及过切点A的切
y′＝2x，得过点A的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－ 令y＝0，得x＝ .即C( ,0). .
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形面积为S，
C.3
答案：D
D.2
5-2微积分基本公式
例1 求
0
b( x )
f ( t )dt 0
t 2 2
a( x )
f ( t )dt ,
e cos x lim
x 0
dt
0 [分析]：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d cos x t 2 d 1 t 2 解 cos x e dt dx 1 e dt , dx
b( x )
d b( x ) F ( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) dx a ( x )
证
F ( x)
1
0
a( x )
0
b( x )
f (t )dt
F ( x ) f b( x )b( x ) f a( x )a( x )
0 tf ( t )dt 在(0, ) 内为单调增 证明函数 F ( x ) x 0 f ( t )dt
加函数.
证
d x 0 tf ( t )dt dx
xf (x )
d x 0 f ( t )dt f ( x ), dx
F ( x )
xf ( x )0 f ( t )dt f ( x )0 tf ( t )dt
为[a , b]上的一点， 考察定积分
a
x
f ( x )dx
f ( t )dt
a
x
如果上限x 在区间[a , b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a , b]上定义了一个函数，
记
( x ) a f ( t )dt . 积分上限函数
x
积分上限函数的性质
[ 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上
0
b( x )
f ( t )dt 0
t 2 2
a( x )
f ( t )dt ,
e cos x lim
x 0
dt
0 [分析]：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d cos x t 2 d 1 t 2 解 cos x e dt dx 1 e dt , dx
b( x )
d b( x ) F ( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) dx a ( x )
证
F ( x)
1
0
a( x )
0
b( x )
f (t )dt
F ( x ) f b( x )b( x ) f a( x )a( x )
0 tf ( t )dt 在(0, ) 内为单调增 证明函数 F ( x ) x 0 f ( t )dt
加函数.
证
d x 0 tf ( t )dt dx
xf (x )
d x 0 f ( t )dt f ( x ), dx
F ( x )
xf ( x )0 f ( t )dt f ( x )0 tf ( t )dt
为[a , b]上的一点， 考察定积分
a
x
f ( x )dx
f ( t )dt
a
x
如果上限x 在区间[a , b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a , b]上定义了一个函数，
记
( x ) a f ( t )dt . 积分上限函数
x
积分上限函数的性质
[ 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上
微积分基本定理
0 f (t )dt
加函数.
证
d dx
x
0
tf
(t )dt
xf
( x),
dx
dx 0
f (t)dt
f ( x),
F(x)
xf
x
( x)0
f
(t )dt
x
f
x
( x)0 tf
2
(t )dt
0 f (t )dt
x
F(x)
f
(
x
)0 (
x
x
t
)
f (t
2
)dt
,
0 f (t)dt
f ( x) 0, ( x 0)
设 x>0, 求
x1
1 t dt
微积分基本定理应用 例2
设 x>0,
x 1dt ln t x ln x ln1 ln x
1t
1
x 1 dt ln x
1t
微积分基本定理应用 例3
回忆
y
1 1 x2
微积分基本定理应用 例3
求蓝色部分面积
y
1 1 x2
微积分基本定理应用 例3
蓝色部分面积
则F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F ( x) 为 a( x)
F( x) d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
例1
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是
0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
微积分基本定理 课件
解析：f(t)＝∫10(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]|10＝2t. 答案：2t
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
温馨提示 在找被积函数的原函数时，必须熟练掌握 导数的运算法则，否则易出错．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面 积为 S 下，则：
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图①所示， 则∫baf(x)dx＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②所示， 则∫baf(x)dx＝－S 下．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 计算下列定积分： (1)∫325x4dx； (2)∫31(1＋x＋x2)dx； (3)∫31 x＋ 1x26xdx. 解：(1)因为(x5)′＝5x4，
所以∫325x4dx＝x5|32＝35－25＝243－32＝211.
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
温馨提示 在找被积函数的原函数时，必须熟练掌握 导数的运算法则，否则易出错．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面 积为 S 下，则：
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图①所示， 则∫baf(x)dx＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②所示， 则∫baf(x)dx＝－S 下．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 计算下列定积分： (1)∫325x4dx； (2)∫31(1＋x＋x2)dx； (3)∫31 x＋ 1x26xdx. 解：(1)因为(x5)′＝5x4，
所以∫325x4dx＝x5|32＝35－25＝243－32＝211.
微积分的基本原理
微积分是数学的一门分支，是研究函数变化和极限的学科。
它是发展自古代希腊数学的逐渐发展演变而来的，具有极为广泛的应用。
微积分的基本原理主要包括导数和积分两部分。
导数，又称为微商，是微积分中最重要的概念之一。
导数描述了函数在某一点上的变化趋势。
具体来说，对于函数y=f(x)，其导数表示为f'(x)，表示函数在x处的切线斜率。
导数的计算可以通过极限的方法来进行。
设f(x)为函数，若极限lim(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)存在，则称该极限值为函数f(x)在x=a处的导数。
导数的计算可以通过一系列的微分法则来简化，如常函数导数为0、幂函数导数为幂次减一再乘以幂函数系数等。
导数的应用极为广泛。
在物理学中，导数被用来描述物理量的变化率，如速度就是位移对时间的导数。
在经济学中，导数可以用来表示边际效应，如边际利润就是总利润对产品数量的导数。
在生物学中，导数可以用来描述生物体的变化趋势，如种群增长率就是种群数量对时间的导数。
积分是导数的逆运算，也是微积分的重要概念之一。
积分可以用来求解函数的面积、计算曲线的弧长以及解决微分方程等问题。
对于函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx，是求使得F'(x)=f(x)的函数F(x)。
积分的计算同样可以通过一系列的积分法则来简化。
常见的积分法则有换元法、分部积分法和定积分中值定理等。
利用这些方法，我们可以比较容易地求解出许多函数的积分。
积分在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，积分可以用来求解连续介质的质心、质量等问题。
在工程学中，积分可以用来求解轴线弯曲、热传导等问题。
同时，积分还与概率统计学、金融学等学科有着密切的联系，它们在这些学科的研究中起到了至关重要的作用。
综上所述，微积分的基本原理主要包括导数和积分两部分。
导数用于描述函数的变化趋势，而积分用于求解函数的面积和解决微分方程等问题。
微积分在各个领域均有广泛的应用，为我们理解自然界和解决实际问题提供了强有力的工具。
最新5—2微积分基本公式
即 Φ '(x)d d xa xf(t)d tf(x).
结论：变上限积分所确定的函数
x a
f
(对t )d积t 分上限
x的导数等于被积函数f (t)在积分上限 x 处的值f (x).
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定理2 如果函数 f (x)在区间[a , b]上连续，则函数
x
Φ(x)= a f ( t )d t .
，其中
f
(x)
x12x12
当 当
x ≤1 x ＞1
解 2f(x)d x1(x1)d x21x2dx
0
0
12
0 1 d 0 x 1 x d 1 2 x 1 2 x 2 d 1 x 1 2 x 21 0 1 2 1 3 x 31 2
111(8 1 ) 1371 68
26
66 6 3
所以 1 31 1 x2d xarc x 1 t3 aanrc3 t an rc 1 t)an(
437 .
3 4 1212 12
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例3 求
d dx
x1ln1(t2)dt.
解 d d x x 1ln(1t2)dt ln(1x2).
x
例4 求
arctantdt
lim 0
x0
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作业
习题5—2
P274 1 (1) P275 4 (1) (3) (5) (7) (9) (10)
5 (1) (3) .
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该公式把计算定积分归结为求原函数的问题.
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例1 求
微积分基本公式和基本定理
ln a
(14) sh xdx ch x C
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
(15) ch xdx sh x C
23
例11. 求
dx . x3 x
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例12 求
sin
x 2
cos
x 2
dx
.
解: 原式=
xdx,
于是
2 e xdx
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证明2e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
2
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
3
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
定理 2.1 ( Newton Leibniz公式)
b f (x)dx F(b) F(a) F(x) b
a
a
----微积分基本公式
4
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
解(1)
6
例2
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin
x
cos
x
x2 0
(14) sh xdx ch x C
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
(15) ch xdx sh x C
23
例11. 求
dx . x3 x
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例12 求
sin
x 2
cos
x 2
dx
.
解: 原式=
xdx,
于是
2 e xdx
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证明2e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
2
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
3
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
定理 2.1 ( Newton Leibniz公式)
b f (x)dx F(b) F(a) F(x) b
a
a
----微积分基本公式
4
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
解(1)
6
例2
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin
x
cos
x
x2 0