概率与统计初步习题答案及分析整理

概率与统计初步

§ 9.1计数原理

(1) 某人到S城出差，在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房，其中甲旅

社还剩4间单人房、6间双人房，乙旅社剩下9间单人房、2间双人房，则现在住宿有_____________________________________________________________ 种不同的选择；解：共有4 ? 6 ? 9 ? 2 = 21不同的选择；(分析：只需要订一间房，“一步可以做完”，应该用加法计数原理)

(2) 一家人到S城旅游，入住旅社的空房只剩下12间单人房和8间双人房，现需要订

一间单人房和一间双人房，有__________________________________ 种不同的选择；解：共有：12 8 = 96种不同选择；(分析：要订两间房，可以分成两步完成：第一步，先订一间单人房，有12种不同选择；第二步，再订一间双人房，有8种不同选择；用乘法计数原理，共有12 8 = 96种不同选择；)

(3) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，共有 ______________ 种不同的投递的方法；分析：“投递的是信件”，从信件入手考虑问题；本题没有其它限制条件，一共有四封信，分成四步完成：第一步，投递第一封信，投入3个信箱中的1个，有3种不同的投递方

法；第二步考虑第二封信的投递方法，同样是投入3个信箱中的1个，有3种不同的投

递方法；第三步考虑第三圭寸信、第四步考虑第四圭寸信，同样都有3种不同的投递方法

所以完成这件事情共有： 3 3 3 3 = 34 = 81种不同的投递方法；

(4) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，并且每个信箱中至少有一封信，不同的

投递方法共有______________ 种；

2

分析：(捆绑法)分两步：第一步在四封信中抽出两封，有C4种不同的方法；第二步

把这两圭寸信捆绑，看成一圭寸信，和剩下的另外两圭寸信构成三圭寸信，按排列的方法放入三

3种不同的方法；所以完成这件事情共有：

个邮箱(即：三个位置)，有A

4 3

2 3

C4 A3 3 2 1 = 36种不同的投递方法；

2勺

(5) 3封不同的信，要投到4个不同的信箱中，共有种不同的投递的方法；分析：从信件入手考虑问题；共3封信，每封信都可以投入4个信箱中的任意一个，即每封信均有4种不同的投递方法，分四步投递四封信，方法同题 3 ,,所以共有

3

4 4 4 =4 =64种不同的投递方法；

⑹一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本阅读，不

同的选法有_______________________________________________________________ 种;

解：共有：7 8 *6=21种不同的选法；(只选一本书，“一步可完成”，用加法原理)

⑺一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本文艺书和

一本科技书回家阅读，不同的选法有__________________________________________ 种;

解：共有：8 7 56种不同的选法；（分析：需要选两本不同的书，可以两步完成，

用乘法原理：第一步，从8本不同的文艺书中任选一本，有8种不同的选法；第二步，从7本不同的科技书中任选一本，有7种不同的选法）

一 3

解：共有5 5 5 =5 =125个三位数；（分析组成三位数的各个位数上的数字可以重

分三步完成：第一步，填写百位上的数

字，从5个数字中任取一个，有5种

选法;

5个数字中任取一个，同样有

5种选法；所以完成这件事

（9）由1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的三位数，共有 __________________ 个; 解：共有5 4 3 = 60个三位数；（组成三位数的各个位数上的数字不可以重复，可以

分三步完成：第一步，填写百位上的数字，从5个数字中任取一个，有5种选法；第二

步，填写十位上的数字，由于数字不允许重复，只能从剩下的4个数字中任取一个，有

4种选法；第三步，填写个位上的数字，从剩下的3个数字中任取一个，有3种选法；

完成这件事情，共有5 4 3 60个三位数，如图：方法数： 5 4 3

百位十位个位

§ 9.2排列组合

（10） _____________________________ 7人站成一排，一共有种不同的排法；

解：共有Aj =765432 1 = 5040种；（分析：与顺序有关，是排列问题）

（11） _________________________________________ 7人中选出3人排成一排，一共有种不同的排法；

3

解：共有A7 7 6 5 = 210种不同的排法；（分析：与顺序有关，是排列问题）

（12） _____________________________________________________ 7人中选出3人组成一组，代表班级参加辩论比赛，一共有_________________________________ 种不同的选法;

3

7汇6汇5

解：共有C7 35种不同的选法；（分析：与顺序无关，是组合问题）

3汉2汉1

（13） _________________________________________________ 5人站成一排，若甲必须站在第一位，一共有______________________________________________ 种不同的排法；解：共有1

(8) 由1，2，3，4，5五个数字组成的三位数，共有个;

复，

第二步，填写十位上的数字，由于数字允许重复，仍然从

5种选法；第三步，填写个位上的数字，与第二步相同，有

情, 共有5 5 5 =53 =125个三位数，如图：方法数: 5 5 5

百位十位个位

A4-24种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，先排头，把甲放到

第一位，有1种排法；第二步，将剩下的四个人排在后面，有A：=4 3 2 1 =24种

4

不同的排法；所以共有：1 A =24种不同的排法；）

小结：若某些元素或某些位置有特殊要求的时候，那么，一般先安排这些特殊元素或位

置，然后再安排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法，计算方法用分步乘法原理；

（14）8人排成一排，其中A、B两人必须排在一起，一共有___________ 种不同的排法；

7 2

解：共有A7 A2 =5040 2 =10080种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，

将A、B两人捆绑，看成一个人，则原来的8个人可以看成是7个人排成一排，共有

A；=765432 1 =5040种不同的排法；第二步，将A、B两人在队伍中进

2

行排列，不同的排法有A2 -2 1-2种；用分步乘法计算，完成这件事情共有：

7 2

A7 A2 = 5040 2 =10080种不同的排法）

小结：如果排列中有某些元素需要排在一起，可以先将它们捆绑，看成一个元素与其它

元素进行排列后，再松绑，将需要排在一起的元素在队伍里进行第二步排列，这种方法

称为"捆绑法”；

（15） _________________________________________________________________ 8人排成一排，其中A、B、C三人不在排头并且要互相隔开，一共有 _________________________ _____________________________________________________________ 种不同的排法；

5 3

解：共有：A A5 =120 60 = 7200种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，

先不排A、B、C三人，把剩下的5个人进行排列，共有A5 ^5 4 3 2 1=120种不同的排法；第二步，将A、B、C三人放入5个人排好的队伍间隔中，由于A、B、C 三人不能排头并且互相要隔开，只能从如下图箭头所示的5个位置中任取3个位置进行排列，共有A =5 4 3 = 60种不同的排

5 = 7200种不同排法）

法；共有：A5 A

小结：当某几个元素要求不相邻（即有条件限制）时，可以先排没有条件限制的元素, 再将不能相邻的元素按要求插入已排好元素的空隙之中，这种方法叫插入法。

（16） _________________________________________________________________ 10件产品中有3件次品，从中任取2件，至少有一件次品的取法共有 _________________________ 种;

3 C7 +C；=21+3 = 24种不同的取法；（分析：取出的两件产品不需要

解：共有C

排序，与顺序无关，是组合问题；至少有一件次品包含两种情况：恰有一件次品和恰有两件次品，两种情况之间要用加法原理：恰有一件次品（即：一件次品和一件正品）的

ii 2 3 工2不冋取法共有C3 C7 =3 7 = 21种；恰有两件次品的不同取法共有C3 3

2x1种；所以完成这件事情，共有C；C；C2 =21 ? 3 = 24种不同的取法；）

（17） _________________________________________________________________ 10件产品中有3件次品，从中任取2件，至多有一件次品的取法共有 ________________________ 种;

1 1 2

解：共有C3 C；C；=21*21=42种不同的取法；（分析：取出的两件产品不需

要排序，与顺序无关，是组合问题；至多有一件次品包含两种情况：恰有一件次品和没有次品，两种情况之间要用加法原理：恰有一件次品（即一件次品，一件正品）的不同取法共有C3 C；=3x7 = 21种；没有次品（即两件都是正品）的不同取法共有

2 7 6 11 2

C；=——=21种；所以完成这件事情，共有C3 C7 +C7 =21 + 21 = 42种不同

2如

的取法）

（18） _________________________________________________________________ 集合12,3,4,5,6,7,8［每次取五个元素，按由小到大顺序排列，共有__________________________ 种

不同的排列（取法）；

7 汽6

5 2

解：共有C7 =C7 31种不同的排列；（分析：取出的五个数，由小到大的排

1

列，只有一个，与顺序无关，是组合问题；可以考虑成从7个数中取出5个数的组合数，

7 況6

5 2

共有C7 =C731种不同的排列）

2父1

（19） _____________________________________________________________ 10位乒乓球选手举行单打单循环比赛，一共需要举行________________________________________ 场比赛；

一210 汉9

解：一共需要举行C10 = -------------------- =45场比赛；（分析：单打单循环比赛，是指每两个人

2汉1

之间只比赛一场，与顺序无关，可以看成是组合问题，从10个人中抽出2个人的组合

2 10 x 9

数，就是要举行的比赛场数，一共有C10=凹卫=45场）

2汇1

（20）学生要从六门课中选学两门：①如果有两门课时间冲突，不能同时学，有_____ 种选法；②如果有两门特别的课，至少选学其中的一门，有___________________ 种选法；

2

①解法1: C6 -1 =14 （分析：先算总数，再减去不合要求的个数，“两门冲突的课同

2 1 1

时选”这一种选法是不合要求的）；解法2：C4+C2 C4 =14 （有冲突的两门课分别

记为A和B,有两种选课的方法，一是A、B两门课都不选，从剩下的没有冲突的四门课

2

程里选两门，有C4种选法；第二种情况是选学 A B中的一门，另一门课从另外的四

1 1

门课里选一门，有C2 C4种选法；这两种情况用加法原理计算）

2

②解法一：C2 C4 C2 =9（分析：两门特别的课程分别记为G和H,至少选学其中

的一门有两种情况，一是G H两门课恰好选了一个，另一个门课是其它四门课程里的

一个，有C

2 C；种选法；二是GH两门课同时都选，有C；种选法；用加法原理计算）；

2 2

解法二：C6 -C4 =9（分析：先算总数，再减去不合要求的个数，“两门特别的课程都没选，即：从另外四门一般的课程里选学两门课”这种情况是不合要求的，不合要求的选法共有C

4种）

（21）一个口袋内有6个小球，另一个口袋内有5个小球，所有这些小球的颜色互不相同，现从两个口袋各取出一个小球，有 ______________________________ 种不同的取法；

解：共有C6 C5 =6 5 =30种不同的取法；（分析：分两步完成：第一步有C6种不同的取法；第二步有C

5种不同的取法；共有C6 c5 =6X5 = 30种不同的取法）§ 9.3概率

（22）门表示必然事件，Pi：：］：1 ；??表示不可能事件，P = 0 ；

（23）一道选择题共有4个答案，其中只有一个是正确的，有位同学随意的选了一个答案，

1

那么它选对的概率是：1

4

m 1 分析：共有4个答案，即：总频数n =4，选一个答案，即：频数m=i，概率=一=—

n 4 （24）掷一颗骰子，第一次得到6点，那么他第二次掷这颗骰子得到6点的概率（B）

A.大于

6B.等于 C.等于 D.等于

6 2 36

分析：一颗骰子掷一次，会出现的可能性只有六种（即：一点至六点），每一种情况会1

出现的概率是丄，本题只考虑他第二次掷骰子得到6点的概率，与第一次掷骰子没有关系；

6

（25）甲掷两次骰子，每次掷一颗骰子，两次都得到6点的概率为（D）