数字信号处理基础pdf

Ae j(ωt+ϕ) = Acos(ωt + ϕ ) + jAsin(ωt + ϕ )
5
欧拉公式的几何意义：
( ) A1 cosω t
=
A1 2
e jω t + e− jω t
= A1 e jω t + A1 e j(−ω t )
2
2
( ) A2
sin ω
t
=
A2 2j
e jω t − e− jω t
各态历经 非各态历经
周期过程 准周期过程
3
4
简谐过程两种数学表达形式
1 三角函数形式
x(t) = Asin(ω t + ϕ )
A —振幅 ϕ —初相角 ω —角频率(rad/s) ω = 2πƒ = 2π/T
f —频率(Hz) T —周期（s）
2 复指数形式
( ) x t = Ae j(ωt+ϕ ) = Ae jωt
∫ ∫ E =
∞ x2 (t)d t
−∞
=
∞ −∞
Sx
(
f
)df
ESD
V2 ⋅S 单位： Hz
，
g2 ⋅S Hz
，
N2⋅S L Hz
● 对功率有限信号，如平稳随机信号
令 xT (t) FT→ XT ( f ) （T 表示截断）
取
Sx (
f
)
=
lim 1 T →∞ T
XT
(
f
)⋅
( XT*
f
)
称之为 x(t ) 的功率谱密度函数或 PSD (Power Spectrum Density )
X (ω ) = 1 ∞ x(t)e− jωt d t
2π −∞
( ) ∑∞
x t = X n e jnω1t
n=−∞
∫ →
x(t) = ∞ X (ω )e jωt d ω −∞
令
X ( f ) = 2π X (ω ) ，ω = 2π f ， dω = 2πdf
则
∫ X ( f ) =
F[x(t)] =
t≠0 t=0
∫∞ δ (t)dt = 1
−∞
δ
(t
−
t0
)
=
0 ∞
t ≠ t0 t = t0
∫∞ δ
−∞
(t
−
t0
)dt
=
1
可视之为宽度为τ ，幅值为 1/τ 的矩形脉冲在τ → 0 的极限情况。
用冲激函数激励系统，产生的响应称为冲激响应，表为 h(t) 。系统
∫ µ
x
=
x
=
1 T
T
xdt
0
µx = a0 = c0 = X 0 ( 称直流分量或 DC 分量 )
4 均方值（平均功率） P 或 x2 （ p ： power ）
P = x2 = 1 ∫T x2 d t
T0
∑ ∑ ∑ P
= c02
+
∞ n=1
cn 2
2
=
∞
X
2 n
n=−∞
∞
= Xn
n=−∞
⋅
注：数字信号处理的重要基础——傅里叶变换：
对连续信号 x(t) ⇔ X ( f )
FT： X ( f ) = F[x(t )] = ∫∞ x(t)e−j2πftdt −∞
∫ [ ] IFT： x(t) = F −1 X ( f ) = ∞ X ( f )e j2πftdf −∞ 对数字信号 {xn} ⇔ {X k }
2n + τ
1
≤
f
≤
2(n +1)
τ
n 为整数
14
(a) 幅值谱 (b) 相位谱
(c) 相量谱
15
ESD & PSD
● 对能量有限信号，如瞬态信号
如果
x(t) FT → X ( f )
则取
Sx( f )= X( f )⋅ X*( f )
称之为 x(t ) 的能量谱密度函数或 ESD (Energy Spectrum Density)。有
X
* n
5 均方根值（有效值） x rms ( rms ： root of mean square )
∫ x rms =
1 T x2dt T0
正弦信号：
x rms =
2 2
xp
ห้องสมุดไป่ตู้
=
0.707 x p
x av
=
2 π
xp
=
0.637 x p
xrms = π 2 = 1.111
xav
4
10
周期矩形波的幅值谱和功率谱
( ) ∞ x t e− j2π f t d t
−∞
∫ x(t) = F [−1 X ( f )] =
( ) ∞
X
f
e j2π f t d f
−∞
FT
x(t )
X(f )
IFT
FT : Fourier Transform
傅里叶变换
IFT ： Inverse Fourier Transform 傅里叶逆变换
（二）
振动过程
（三）
振动过程
物理过程与信号的分类
周期过程 非周期过程 确定性过程
随机过程 平稳过程 非平稳过程
简谐过程 复杂周期过程
准周期过程 瞬态过程 随机过程
周期过程
非周期过程
平稳随机 非平稳随机
随机过程
确定性过程 连续过程 瞬态过程
平稳随机 非平稳随机 简谐过程 复杂周期过程 准周期过程 瞬态过程 各态历经 非各态历经
傅里叶三角级数：
∑( ) ∞
x(t) = a0 + an cos nω1t + bn sin nω1t
n=1
∑∞
= c0 + cn sin(nω1t + ϕn )
n=1
其中
c0 = a0 ， cn = an2 + bn2
，
ϕn
=
arctg
an bn
∫ a 0
=
1 T
T
2 −T
x
d
t
2
∫ an
=
2 T
V2
PSD 单位： Hz
，
g2 Hz
，
N2 L Hz
（区别于 ESD 和 PSD，称 X( f ) 为线性谱）
16
傅里叶变换( FT )的重要性质
设 F[x(t)] = X ( f ) ， F[y(t)] = Y ( f ) 1 线性性： F[ax(t)+ by(t)] = aX ( f )+ bY ( f ) 2 对称性： F[X (t)] = x(− f )
= A e − A e 2
j
ω
t
−π 2
1
j
−ω
t−π 2
2
2
1
=
−
j
=
ej
−π 2
，A=
j
A12 + A22
ϕ = arctg A1
，
A2
欧拉公式的几何意义
6
周期过程展开为傅里叶级数
周期信号
x(t) = x(t + kT ) k —整数 ， T —周期 令 ω1 = 2π T （称为基频） ，则 x(t ) 可展开为
−∞
−∞
= X ( f − f0)
5 微分：
dx FT → j2πfX ( f )
dt
dnx dt n
FT →(
j 2πf
)n
X
(
f
)
6 积分：
∫t x(τ )dτ FT → −∞
1 j 2πf
X(f )
18
7 卷积定理： x(t)⋅ y(t) FT → X ( f )*Y ( f ) x(t)* y(t)FT → X ( f )⋅Y ( f )
其中
x(t )*
y(t) =
y(t )*
x(t) =
∫∞
−∞
x(τ
)y(t
−τ
)dτ
X
(f
)*Y(
f
)
=
Y(f
)*
X(
f
)
=
∫∞
−∞
X (ξ )Y ( f
−ξ
)dξ
证明：
F [x(t )*
y(t)] =
∫ ∫ ∞ ∞
−∞ −∞
x(τ )y(t
−
τ
)dτ
e− j2πft
dt
∫ ∫ =
∞ −∞
x(τ
∫ 证：
x(t) =
( ) ∞
X
f
e j2πf tdf
−∞
∫ x(− t) =
( ) ∞
X
f
e− j2πf t df
−∞
∫ 将 t 和 f 互换得： x(− f ) = ( ) ∞ X t e− j2πftdt = F[X (t)] −∞
当 x(t)是偶函数时 x(t) = x(− t) F[X (t)] = x(− f ) = x( f )
ϕn
=
−ϕ−n
=
arctg
an bn
X 0 = a0 = c0 ， ϕ0 = 0
8
周期过程相量频谱的三维表示
9
周期信号的特征参数
1 峰值 x p ( P ： peak ) 峰峰值 x p− p
2 平均绝对值 x av ( av ： average )
∫ x av
=
1 T
T 0
x dt
3 均值 µ x 或 x ( µ ： mean )
n=−∞
∫ ( ) X
n
=
1 T
T
2 −T
x
t
2
e j nω1t d t
其中
X n = X n e jϕn = X n e jϕn
Xn
= Xn
=1 2
an2 + bn2
=
1 2
cn
Xn
=
X
* −n
,
——即 X −n 为 X n 的共轭复数：
Xn
=
1 2
(an
−
jbn )
X −n
=
1 2
(an
+
jbn )
13
矩形脉冲的傅里叶频谱
矩形脉冲
x(t) = A
0
t ≤τ, 2
t >τ 2
X ( f ) = F[x(t)]= Aτ sin(πτf )
πτf
X ( f ) = X ( f ) e jϕ( f )
幅值谱
X(f )
= Aτ
sin(πτf )
πτf
相位谱
ϕ
(
f
)
=
0
,
π ,
2n τ
≤
f
≤
2n +1, τ
平均功率为：
( ) ∑∞
xt =
X ne j nω1 t
n = −∞
∑ ∑ ∑ ∞
∞
∞
P = Xn2 = Xn ⋅ Xn* = Sn
n=−∞
n=−∞
n=−∞
双边功率谱：
Sn
=
Xn
⋅
X
* n
=
X
2 n
n = 0,±1,±2,…
单边功率谱：
Sn = c0
Gn
=
2Sn
=
cn2 2
例：周期矩形波
n=0 n>0
3
时频展缩： x(kt) FT →
1 k
X
f k
1 k
x
t k
FT →
X (kf
)
证： 设 τ = kt , t = τ k ， dt = dτ / k
∫ ( ) [ ( )] F x kt
=1
τ τ ∞ x
e d −
j 2π
f k
τ
k −∞
=
1 k
X
f k
17
4 ( ) ( ) 时移和频移： x t − t0 FT → X f e− j2πft0 ( ) x t e j2πf0t FT → X ( f − f0 )
数字信号处理（DSP）基础
Digital Signal Processing
编写：刘馥清
1
模拟信号与数字信号
（基本术语） 过程：物理量（位移、速度、加速度、声压、声强、声功率、压强、应力、
应变、温度…）随时间变化的历程。 信息：研究问题所关心的过程特征。 信号：指物理过程通过传感器（也称换能器）转换成的电信号。
T
2 −T
x
cos
nω1
t
d
t
2
∫ bn
=
2 T
T
2 −T
x sin
nω1
t
d
t
2
( n = 1、2、3、…… )
7
傅里叶级数的复指数形式
Fourier series 缩写为 FS
( ) ∑[ ] ∞
x t = X0 +
X ne jnω1t + X −ne j(−nω1 )t
n=1
或
( ) ∑∞
x t = X n e jnω1t
信号是信息的载体。信号处理即从信号获取有用信息。 连续信号：幅值随时间连续变化的信号。 离散信号：只在离散时刻取值的信号。通常对连续信号采（抽）样而得到。 模拟信号：未经数字化处理的连续信号。 数字信号：数字化的离散信号，适用于计算机处理。
模拟信号 A/D
数字信号
A/D：Analog to Digital Conversion
j = −1
其中
A = Ae jϕ ——复振幅
（复振幅是相量—Phasor，有别于矢（向）量—Vector）
相互关系：
Asin(ω t + ϕ ) = Asinϕ cosω t + Acosϕ sinω t
= A1 cosω t + A2 sin ω t Ae jϕ = Acosϕ + jAsinϕ
证：设τ = t − t0 ， t = τ + t0
[ ] ∫ ( ) ( ) F x t − t0
= ∞ x τ τ e− j2πf (τ +t0 )d −∞
∫ ( ) ( ) = e− j2πft0
∞ xτ
−∞
e− j2πfτ dτ
=X
f
e− j 2πf t0
又
∫ ( ) ∫ ( ) ∞ x t e j2πf0te− j2πf t dt = ∞ x t e dt − j2π ( f − f0 )t
(a) 双边幅值谱
11
(b) 双边功率谱 (c) 单边功率谱 (d) 有效值谱
12
傅里叶变换
非周期过程：令
T →∞,
ω1
=
2π T
→ dω
,
nω1 → ω ，
∑ → ∫ , X n = X (nω1) → X (ω )⋅ dω
∫ ( ) X n
=
1 T
T
2 −T
x
t
e− jnω1 t
dt
2
∫ →
Sx ( f ) —双边谱 Gx ( f ) —单边谱
Gx
(
f
)
=
2S 0
x
(
f
)
f ≥0 f <0
P
=lim T →∞
1 T
T
∫2 −T 2
x2 (t )dt
= ∫∞ S ( f )df −∞
= ∫∞ G( f )df 0
上式称为 Perceval 定理。（单边谱与双边谱的关系同样适用于 ESD）
∑ DFT：
Xk
=
X ( fk ) =
X (k∆f )
=
1 N
N −1
x e − j2πnk / N n n=0
∑N −1
IDFT： xn = x(tn ) = x(n∆t) =
X e j2πnk / N k
k =0
( k = 0,1,… N-1 ） ( n = 0,1, … N-1 )
2
（一）
振动过程
)
∞ −∞
y(t
−τ
)e− j2πftdtdτ
∫=
∞ x(τ )Y ( f
−∞
)
e− j 2πfτ
dτ
∫ =
( ) ( ) Y f
∞ xτ
−∞
e− j 2πfτ
dτ
= X( f )⋅Y( f )
19
冲激函数 δ (t)
冲激函数，也称δ 函数，或狄拉克( Dirac )函数。
定义
δ
(t
)
=
0 ∞