在实际应用中柯西积分公式的用途正文

柯西积分公式的应用

摘要:阐述了柯西积分公式在解析函数理论中的重要地位,叙述了各种不同表示形式的柯西积分公式和高阶导数公式,并举例说明了这些公式在积分计算中的应用.

关键词:解析函数;复积分;柯西积分公式.

1 前言

《实变函数与泛函分析》是综合性大学理工科的基础课程，其中柯西积分定理和柯西积分公式是基础，是关键，也是19实际最独特的创造，是抽象科学中最和谐的理论之一．许多重要的性质定理由它们直接或者间接推导出来的．

柯西积分公式是复变函数的基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系．柯西积分公式的基本理论和相关性质已经有了详细而全面的阐述．但柯西积分公式仍然存在一些有待解决和完善的方面．有些理论的证明比较复杂，为初学者带来了诸多的不便；柯西积分公式只给出了求解光滑周线域的复积分方法；已经证明了的理论给出的例题还不够．考虑到柯西积分公式是复变函数积分的基础，对其进行研究具有较强的理论意义和现实意义．

通过阅读大量的专着，期刊还有网上的资料，本文将对实变函数中的柯西积分公式和它的几个重要的推论的意义及其性质进行归纳总结，并举出相应的例子，化抽象为具体；还将对柯西积分公式的使用条件和使用方法进行总结；然后总结归纳参考文献中得到的结论，并试图将归纳得到的这些结论做进一步的推广；在论文的最后，会选取一些经典例题做供大家参考！为完成本文我查阅大量的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去．

2 预备知识

柯西积分定理

设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则0)(=⎰c

dz z f ． 推广的柯西积分定理

设C 是一条周线，D 为C 之内部，函数)(z f 在闭域C D D +=上解析，则

0)(=⎰c

dz z f ． 复周线柯西积分定理

设D 是有复周线---++++=n C C C Λ210C C 所围成的有界1+n 连通区域，函数)z (f 在

D 内解析，在C D D +=上连续，则0)(=⎰c

dz z f ． 柯西积分公式

设区域D 的边界是周线(或复周线)C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则有

⎰-=c d z

f i z f ζζζπ)(21)( (D z ∈)． 3 柯西积分公式的推论

解析函数平均值定理

如果函数)(z f 在R z <-0ζ内解析，在闭圆R z ≤-0ζ上连续，则 ϕππϕd e R z

f z f i ⎰+=2000)(21)(，

即)(z f 在圆心0z 的值等于它在圆周上的值的算术平均数．

证：设C 表示圆周R z =-0ζ，则πϕζϕ20,0≤≤=-i e R z ，

即 ϕζi e R z +=0，

由此 ϕζϕd e iR d i =，

根据柯西积分公式

高阶导数公式

设区域D 的边界是周线(或复周线)C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则函数)(z f 在区域D 内有各阶导数，并且有

这是一个用解析函数)(z f 的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式．

现行教材中，仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式——高阶导数公式，而数学归纳法比较繁琐．下面首先给出引理，然后利用该结论导出高阶导数公式一种简单的证明．

引理 设Γ是一条可求长的曲线，)(z f 是Γ上的连续函数，对于每个自然数m 及复平面C 上的每个点Γ∉z ，定义函数

那么每个)(z F m 在区域Γ-=C D 上解析，且

证明：首先证明)(z F m 是区域G 上的连续函数，即要证明，对于G 内的任意点a ，不论0>ε多么小，总存在0>δ，只要δ<-a z （z 在G 内的点），就有ε<-)()(a F z F m m ．

因为

])

)((1)()(1)()(1)[()()(1)11()(1)(12111

m m m m k k k m m m a z a z a z a z a z a z a z --++--+---=-----=----=--∑ζζζζζζζζζζζζΛ(1)

所以 ζζζζζζζζζζζd a z a z f a z d a f z f a F z F m m m m m m ]11

[)(])()()()([)()(--++---≤---=

-⎰⎰ΓΓΛ （2）

因为)(z f 在Γ上连续，所以存在某个常数0>M ，使得对于Γ上一切点ζ，

M f ≤)(ζ．设a 与Γ的距离为r ．那么对于任意Γ∈ζ及2

r a z <-，有2

,2r r z r

r a >≥->≥-ζζ．于是有（2）得 l r

Mm a z a F z F m m m 1)2()()(+-<-， 其中l 为曲线Γ的长．

令 l

Mm r a z l r Mm a z m m m 1112)2(+++<-⇒<-εε． 取 )2

1,2min(11l Mm r m m ++=εδ． 那么，当δ<-a z ，就有ε<-)()(a F z F m m ．

其次证明)(z F m 在区域G 上解析，且满足)()(1z mF z F m m +='，在G 内任取一点a ，设

a z G z ≠∈,，由（1）得 ⎰⎰Γ-Γ---++--=--ζζζζζζd z

a z f d z a z f a z a F z F m

m m m ))(()())(()()(1Λ，

因为Γ∈a ，所以对于满足不等式m k ≤≤1的每个k ，k z z f --))((ζ在Γ上连续．根据前一部分的证明，上式右边的每个积分都在G 上定义了一个变量z 的连续函数，因此，当a z →时的极限存在，即 )()()()()()(111

a mF d z f d a f a F m m m m +Γ+Γ+=-++-='⎰⎰ζζζζζζΛ． 对于G 内的一切a 均成立．

下面使用这个引理证明高阶导数公式:

证明：由柯西积分公式，对于G 内的任意点z ，有 ⎰Γ-=ζζζπd z f i z f )(21)(，⎰Γ-=ζζζπd z f i z F m

m )()(21)(． 记)()(1z F z f =根据引理，

即 ⎰Γ+-=

ζζζπd z f i m z f m m 1)()(2!)(． 柯西不等式

设函数)(z f 在区域D 内解析，a 为D 内一点，以a 为心作圆周R a r =-ζ:，只要r 及其内部K 均含于D ，则有 Λ,2,1,)(max )(,)(!)()(==≤=-n z f R M R

R M n a f R a z n n ． 证：由上面的推导可由柯西积分公式得到高阶导数公式，下面再有高阶导数公式证明柯西不等式．应用上面得到的定理，则有

注：柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，说明解析函数在解析点a 的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关．

刘维尔定理

有界整函数)(z f 必为常数

证：设)(z f 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有M R M ≤)(．于是命1=n 时有 R

M a f ≤')(， 上式对一切R 均成立，让+∞→R ，即知0)(='a f ，而a 是z 平面上任一点，故)

(z f