第2章 特殊三角形小专题：利用勾股定理解决折叠与展开问题(含答案)

小专题(三) 利用勾股定理解决折叠与展开问题

类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题

1．如图所示，有一张直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( A )

A ．1 cm

B ．1.5 cm

C ．2 cm

D ．3 cm

第1题图 第2题图

2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于( B )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( D )

A .25

2 cm

B .152

cm

C .25

4

cm

D .154

cm

第3题图 第4题图

4．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( B )

A ．3

B .154

C ．5

D .152

5．(上城区期末)在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段A B 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为( B )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：如图1，当点D 与点Q 重合时，根据翻折对称性可得 A ′D ＝AD ＝5.

在Rt △A ′CD 中，A ′D 2＝A ′C 2＋CD 2， 即52＝(5－A ′B )2＋32，

解得A ′B ＝1.

如图2，当点P 与点B 重合时，根据翻折对称性可得A ′B ＝AB ＝3. ∵3－1＝2，

∴点A ′在BC 边上可移动的最大距离为2. 故选B .

6．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为7．

第6题图 第7题图

7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是6_cm 2．

8．如图，长方形ABCD 中，CD ＝6，BC ＝8，E 为CD 边上一点，将长方形沿直线BE 折叠，使点C 落在线段BD 上C ′处，求DE 的长．

解：∵在长方形ABCD 中，∠C ＝90°，DC ＝6，BC ＝8， ∴BD ＝62＋82＝10.

由折叠可得BC ′＝BC ＝8，EC ′＝EC ，∠BC ′E ＝∠C ＝90°， ∴C ′D ＝2，∠DC ′E ＝90°. 设DE ＝x ，则C ′E ＝CE ＝6－x . 在Rt △C ′DE 中，x 2＝(6－x )2＋22， 解得x ＝10

3.

∴DE 的长为10

3

.

类型2 利用勾股定理解决立体图形的最短路径问题

9．如图是一个封闭的正方体纸盒，E 是CD 中点，F 是CE 中点，一只蚂蚁从一个顶点A 爬到另一个顶点G ，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是( C )

A．A⇒B⇒C⇒G

B．A⇒C⇒G

C．A⇒E⇒G

D．A⇒F⇒G

10．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A

处到达点C处需要走的最短路程是2.60m.(精确到0.01 m)

第10题图第11题图

11．(凉山中考)如图，圆柱形玻璃杯，高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内离杯底4 cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为20cm.

12．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，

从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？

解：把长方体的面DCC′D′沿棱CD展开至面ABCD上，如图．

构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，

连结AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.

∴OD＝OC，

即O为DC的中点．

由勾股定理得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，

∴AC′＝10 cm.

即从顶点A沿直线到DC中点O(或A′B′中点O′)，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，

最短长度为10 cm.

13．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．

(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．

解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.

蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．

(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，

爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97；

蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，

爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89.

∵l1>l2，

∴最短路径的长是89.