【优卷】全国通用版2019高考数学二轮复习专题二数列第3讲数列的综合问题学案理8

会当凌绝顶，一览众山小 第 1 页 共 20 页 第3讲 数列的综合问题 [考情考向分析] 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．

热点一 利用Sn，an的关系式求an 1．数列{an}中，an与Sn的关系

an＝ S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.

2．求数列通项的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式． (2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋„＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an. (3)在已知数列{an}中，满足an＋1an＝f(n)，且f(1)·f(2)·„·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an. (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． 例1 已知等差数列{an}中，a2＝2，a3＋a5＝8，数列{bn}中，b1＝2，其前n项和Sn满足：bn

＋1＝Sn＋2(n∈N*)．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn. 解 (1)∵a2＝2，a3＋a5＝8， ∴2＋d＋2＋3d＝8，∴d＝1，∴an＝n(n∈N*)． ∵bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)，① ∴bn＝Sn－1＋2(n∈N*，n≥2)．② 由①－②，得bn＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn(n∈N*，n≥2)， ∴bn＋1＝2bn(n∈N*，n≥2)． 会当凌绝顶，一览众山小 第 2 页 共 20 页 ∵b1＝2，b2＝2b1， ∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴bn＝2n(n∈N*)． (2)由cn＝anbn＝n2n， 得Tn＝12＋222＋323＋„＋n－12n－1＋n2n， 12Tn＝122＋223＋324＋„＋n－12n＋n2n＋1

，

两式相减，得 12Tn＝12＋122＋„＋12n－n2n＋1＝1－2＋n2n＋1

，

∴Tn＝2－n＋22n(n∈N*)． 思维升华 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，

再求an. 跟踪演练1 (2018·绵阳诊断性考试)已知数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若an>0，数列log2 an32的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值． 解 (1)由已知a1an＝S1＋Sn，① 可得当n＝1时，a21＝a1＋a1，解得a1＝0或a1＝2， 当n≥2时，由已知可得a1an－1＝S1＋Sn－1，② ①－②得a1()an－an－1＝an. 若a1＝0，则an＝0，此时数列{an}的通项公式为an＝0. 若a1＝2，则2()an－an－1＝an，化简得an＝2an－1， 即此时数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， 故an＝2n(n∈N*)． 综上所述，数列{an}的通项公式为an＝0或an＝2n. (2)因为an>0，故an＝2n. 设bn＝log2 an32，则bn＝n－5，显然{bn}是等差数列， 由n－5≥0，解得n≥5，所以当n＝4或n＝5时，Tn最小， 会当凌绝顶，一览众山小 第 3 页 共 20 页 最小值为T4＝T5＝5()－4＋02＝－10. 热点二 数列与函数、不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题． 例2 (2018·遵义联考)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x1＋λx1＋x. (1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值； (2)设数列{an}的通项an＝1＋12＋13＋„＋1n，证明：a2n－an＋14n>ln 2. (1)解 由已知可得f(0)＝0， ∵f(x)＝ln(1＋x)－x1＋λx1＋x， ∴f′(x)＝1－2λx－λx21＋x2，且f′(0)＝0. ①若λ≤0，则当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)≥f(0)＝0，不合题意； ②若0则当00，f(x)单调递增， ∴当0f(0)＝0，不合题意； ③若λ≥12， 则当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x≥0时，f(x)≤f(0)＝0，符合题意． 综上，λ≥12. ∴实数λ的最小值为12. (2)证明 由于a2n－an＋14n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋„＋12n－1＋12n＋14n， 若λ＝12，由(1)知，f(x)＝ln(1＋x)－x2＋x2＋2x， 且当x>0时，f(x)<0， 会当凌绝顶，一览众山小 第 4 页 共 20 页 即x2＋x2＋2x>ln(1＋x)， 令x＝1n，则2n＋12nn＋1>ln n＋1n， ∴12n＋12n＋1>ln n＋1n， 12n＋1＋12n＋2>ln n＋2n＋1

，

12n＋2＋12n＋3>ln n＋3n＋2

，

„， 122n－1＋14n>ln 2n2n－1.

以上各式两边分别相加可得 12n＋12n＋1＋12n＋1＋12n＋2＋12n＋2＋12n＋3＋„＋122n－1＋14n

>ln n＋1n＋ln n＋2n＋1＋ln n＋3n＋2＋„＋ln 2n2n－1，

即1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋„＋12n－1＋12n＋14n >ln n＋1n·n＋2n＋1·n＋3n＋2·„·2n2n－1＝ln 2nn＝ln 2， ∴a2n－an＋14n>ln 2. 思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 (1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视． (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件． (3)不等关系证明中进行适当的放缩． 跟踪演练2 (2018·南昌模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，满足S4＝2a4－1，S3＝2a3－1.

(1)求{an}的通项公式； (2)记bn＝log2()an·an＋1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：1T1＋1T2＋„＋1Tn<2. (1)解 设{an}的公比为q， 由S4－S3＝a4，S4＝2a4－1得， 2a4－2a3＝a4， 所以a4a3＝2，所以q＝2.又因为S3＝2a3－1， 会当凌绝顶，一览众山小 第 5 页 共 20 页 所以a1＋2a1＋4a1＝8a1－1，所以a1＝1， 所以an＝2n－1(n∈N*)． (2)证明 由(1)知bn＝log2(an＋1·an) ＝log2(2n×2n－1)＝2n－1， 所以Tn＝1＋2n－12n＝n2， 所以1T1＋1T2＋„＋1Tn＝112＋122＋„＋1n2<1＋11×2＋12×3＋„＋1n－1n ＝1＋1－12＋12－13＋„＋1n－1－1n ＝2－1n<2. 热点三 数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果． 例3 科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m>0)． (1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)； (2)若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围． 解 设2018年的碳排放总量为a1,2019年的碳排放总量为a2，„， (1)由已知，a1＝400×0.9＋m， a2＝0.9×()400×0.9＋m＋m ＝400×0.92＋0.9m＋m＝324＋1.9m. (2)a3＝0.9×()400×0.92＋0.9m＋m＋m ＝400×0.93＋0.92m＋0.9m＋m， „， an＝400×0.9n＋0.9n－1m＋0.9n－2m＋„＋0.9m＋m