2013年高考答案

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解析：z ＝i ＋i 2＝－1＋i ，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B ．2．答案：D解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．3．答案：D解析：由2a sin B 得2sin A sin B B ，故sin A A ＝π3或2π3.又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3. 4．答案：C解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令x ＋2y ＝d ，即122d y x =-+， 由线性规划知识可得最优点为12,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以d max ＝145333+=.5．答案：B解析：设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ，y )， 则y ＝2ln x ，y ＝x 2－4x ＋5，联立得2ln x ＝x 2－4x ＋5，令h (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x (x ＞0)，由h ′(x )＝2x －4－2x＝0得x 1＝1x 2＝1舍)．当h ′(x )＜0时，即x ∈(0,1时，h (x )单调递减；当h ′(x )＞0，即x ∈(1+h (x )单调递增．又∵h (1)＝2＞0，h (2)＝1－2ln 2＜0，h (4)＝5－2ln 4＞0， ∴h (x )与x 轴必有两个交点，故答案为B ．6．答案：A解析：由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y－1)2＝1，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO 1，P ′O 1，故选A ．7．答案：C解析：θ，如图所示．故正视图的面积为Sθ(0≤θ≤π4)， ∴1≤S而1<12，故面积不可能等于12. 8．答案：D解析：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)． 设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭. 设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上， ∴12PD P D k k =， 即4443344433mm -+=+-， 解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去． ∴m ＝43. 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 9．答案：3解析：由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.10．答案：12解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 11．答案：2解析：如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD ·PC ＝PA ·PB ， 所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC所以O 到CD 距离为OE(二)必做题(12～16题) 12．答案：3解析：∵313x '⎛⎫⎪⎝⎭＝x 2，∴0T ⎰x 2d x ＝13x 30|T ＝13T 3－0＝9，∴T ＝3. 13．答案：9解析：输入a ＝1，b ＝2，不满足a ＞8，故a ＝3； a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5； a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9. 14．解析：不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a+=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩ ∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴cos 30°＝22224224c a a a()+()-()⨯，整理得，c 2＋3a 2－＝0，即e 2－＋3＝0，∴e =15．答案：(1)116- (2)10011132⎛⎫- ⎪⎝⎭16．答案：(1){x |0＜x ≤1} (2)①②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x －12cos x ＋12cos x sin xx ，g (x )＝22sin 2x＝1－cos x .(1)由f (α)＝5得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α＞0.从而g (α)＝1－cos α＝1＝41155-=.(2)f (x )≥g (x )x ≥1－cos x x ＋cos x ≥1.于是π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为2π|2π2π,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z . 18．解：(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有11312C C ＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为82369=. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列．因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)， 所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则 n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝kn N得 P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝62155=，P (X ＝4)＝31155=. 故所求的分布列为所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝346490425+++＝46.19．解法1：(1)如图，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BB 1. 又AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BB 1D ． 而B 1D ⊂平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D ．(2)因为B 1C 1∥AD ，所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)．如图，连结A 1D ，因为棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1. 从而A 1B 1⊥AD 1.又AD ＝AA 1＝3，所以四边形ADD 1A 1是正方形，于是A 1D ⊥AD 1. 故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D ．由(1)知，AC ⊥B 1D ，所以B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1＝90°－θ.在直角梯形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以∠BAC ＝∠ADB ．从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ， 故AB BCDA AB=.即AB=连结AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 12＋BD 2＝BB 12＋AB 2＋AD 2＝21， 即B 1D.在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝17AD B D ==，即cos(90°－θ). 从而sin θ＝7. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为7. 解法2：(1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)． 从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0.解得t =t =(舍去)．于是1B D ＝(3-，3，－3)，AC ＝(3，1,0)．因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1BD ，即AC ⊥B 1D ． (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝1,0)，11B C ＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z)是平面ACD 1的一个法向量，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,330.y y z +=+=⎪⎩ 令x ＝1，则n ＝(1，．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝1111B C B C ⋅⋅n n7=.即直线B 1C 1与平面ACD 1. 20．解：设点P 的坐标为(x ，y )．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x －3|＋|y －20|，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值．①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|， 因为d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|，(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号成立， 又因为|x ＋10|＋|x －14|≥24，(**)当且仅当x ∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立． 所以d 1(x )≥24，当且仅当x ＝3时，等号成立．d 2(y )＝2y ＋|y －20|≥21，当且仅当y ＝1时，等号成立．故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45. ②当0≤y ≤1时，由于“L 路径”不能进入保护区，所以d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|， 此时，d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|， d 2(y )＝1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|＝22－y ≥21.由①知，d 1(x )≥24，故d 1(x )＋d 2(y )≥45，当且仅当x ＝3，y ＝1时等号成立． 综上所述，在点P (3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．21．解：(1)由题意，抛物线E 的焦点为F 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋2p ， 由12,22p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实数根． 从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 12＋p .所以点M 的坐标为211,2p pk pk ⎛⎫+⎪⎝⎭，FM ＝(pk 1，pk 12)． 同理可得点N 的坐标为222,2p pk pk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，FN ＝(pk 2，pk 22)．于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 12k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1＞0，k 2＞0，k 1≠k 2，所以0＜k 1k 2＜2122k k +⎛⎫⎪⎝⎭＝1.故FM ·FN ＜p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|FA |＝y 1＋2p ，|FB |＝y 2＋2p ， 所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 12＋2p .从而圆M 的半径r 1＝pk 12＋p ， 故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋2212p y pk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝(pk 12＋p )2.化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 12＋1)y －34p 2＝0.同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 12)y ＝0. 又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p ＞0，所以点M 到直线l 的距离2d =22117248p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎪⎝⎭故当k 1＝14-时，d.=p ＝8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y . 22．解：(1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝2a xx a-+；当x ＞a 时，f (x )＝2x ax a-+.因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝232ax a -(+)＜0，f (x )在(0，a )上单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝232ax a (+)＞0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12.②若0＜a ＜4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增． 所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝1412422a a a a---=++， 故当0＜a ≤1时，g (a )＝f (4)＝442aa -+；当1＜a ＜4时，g (a )＝f (0)＝12.综上所述，g (a )＝4,01,421, 1.2aa aa -⎧<≤⎪⎪+⎨⎪>⎪⎩(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0＜a ＜4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1＜x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直，则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1，即221233122a ax a x a -⋅=-(+)(+).亦即x 1＋2a ＝232ax a+.(*)由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，232a x a +∈3,142a a ⎛⎫⎪+⎝⎭.故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a ＜x ＜3a }与集合B ＝3142a xx a ⎧⎫<<⎨⎪+⎩⎭的交集非空．因为342a a +＜3a ，所以当且仅当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，A ∩B ≠∅.综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.。