第八节 函
高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第八节函数与方程课件
f(x)在(-∞,0)上的零点也有2 023个,又因为f(0)=0,所以f(x)的零点个数为4
047,故选D.
增素能 精准突破
考点一
函数零点所在区间的判定
典例突破
例1.(2023辽宁葫芦岛一模)请估计函数
间
6
f(x)= -log2x
在同一平面直角坐标系中,分别作出函数f(x)
与y=ln(x-1)的图象,如图.
由图可知,函数f(x)与y=ln(x-1)的图象有3个
交点,故函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数为3.
考点三
函数零点的应用(多考向探究)
考向1.根据零点个数求参数
典例突破
-, ≥ 0,
例 3.(1)(2023 北京西城一模)设 c∈R,函数 f(x)=
若 f(x)恰有一个
2 -2, < 0.
零点,则 c 的取B.{0}∪[1,+∞)
1
C.(0,2)
1
D.{0}∪[2,+∞)
(2)已知函数f(x)=ln|x|-|x-1|,若函数y=f(x)-m有三个零点,则实数m的值
为
.
答案 (1)D
(2)-2
, ≥ 0,
解析(1)画出函数 g(x)=
画出f(x)在(0,+∞)上的图象,利用偶函数的对称性,易得f(x)在其定义域上的
图象,如图.
由图象可知,当t=0时,f(x)=t有两个解;当0<t<2时,f(x)=t有四个解.
设f(x)=t,则原方程变为t2+bt+c=0,则方程t2+bt+c=0的两根t1,t2满足t1=0且
第八节以2l为周期的函数的傅立叶级数
f (x) 4 (1)n1 sin n x
n1 n
2
(0 x 2)
(2) 将 作偶周期延拓, 则有
y
a0
2 2
2
0 x
dx
o2
x
an
2 2
2 x cos n x d x
0
2
2 x sin n x 2 2 cos n x 2
i n x
f (x) e l dx
l
(n 1, 2, )
因此得 傅里叶级数的复数形式:
i 2n x
f (x) cne T
n
cn
1 2l
l
i 2n x
f (x)e T d x
l
(n 0, 1, 2,)
例4. 把宽为 ,高为 h ,周期为 T 的矩形波展成复数形
f
(x)
a0 2
n 1
an
2
i bn
2
c0
a0
an i bn
ei
n l
x
2 n1 2
an
i bn 2
ei
n x l
cn cn
注意到 c0
a0 2
1 l
2l l
f (x) dx
cn
an
i bn 2
2
8
o2
x
二、傅里叶级数的复数形式
设 f (x)是周期为 2 l 的周期函数 , 则
f
(x)
a0 2
an
第八节 多元函数的Taylor公式
定理 2 设z = f ( x , y )在( x0 , y0 )处有极值且可偏导, 则 r (8.7) ∇ f ( x 0 , y0 ) = 0 或即 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 (8.7)'
满足 (8.7 )或(8.7 )' 的点称为 f ( x , y )的驻点.
f ( x , y ) ≥ f ( x 0 , y0 ) 则称f ( x , y )在M 0取得极小值 f ( x0 , y0 ), M 0 ( x0 , y0 )称为 f ( x , y )的极小值点 . 极大值与极小值统称为 极值 , 极大值点与极小值点 统称为极值点 .
如同一元函数 , 首先建立可微函数取得 极值的必要条件 .
∂2 f = − (1 + x + y )− 2 , ∂y 2 ∂k f 一般地 j k − j = ( −1)k −1 ( k − 1)!(1 + x + y )− k , ∂x ∂y
∂k f ( j k − j )( 0 , 0 ) = ( −1)k −1 ( k − 1)! ∂x ∂y
由(8.1)得
+ 2 f xy [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )]( x − x0 )( y − y0 ) + f yy [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )]( y − y0 )2 ∂ ∂ 2 = [( x − x0 ) + ( y − y0 ) ] f [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )], ∂x ∂y
第八节 函数与方程
1. 函数f(x)=e x+x-2()A. (-2，-1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (1,2)2. 函数f(x)=223,02,0x x xlnx x⎧+-≤⎨-+>⎩的零点个数为……………………………………………………()A. 3B. 2C. 1D. 03. 已知三个函数f(x)=2x+x，g(x)=x-2，h(x)=log2x+x的零点依次为a，b，c，则………………()A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. b＜a＜cD. c＜a＜b4. 若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=-2；f(1.5)=0.625；f(1.25)≈-0.984；f(1.375)≈-0.260；f(1.437 5)≈0.162；f(1.406 25)≈-0.054.那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为…………………………………………()A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.55. 当0≤x＜1时，函数y=ax+a-1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是………………()A. a＜12B. a＞1C. a＜12或a＞1 D.12＜a＜16. 若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)，且x∈(-1,1]时，f(x)=|x|，则log3|x|-f(x)=0的实根个数为()A. 2B. 3C. 4 D . 57. 若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是________．8. 设x0是方程ln x+x=4的解，且x0∈(k，k+1)(k∈N)，则k=________.9. 若关于x的方程22x+2x a+1=0有实根，则实数a的取值范围是________.10. 函数f(x)=x4-15，下列结论正确的有哪些？①f(x)=0在(1,2)内有一实根；②f(x)=0在(-2，-1)内有一实根；③f(x)=0没有大于2的实根；④f(x)=0没有小于-2的实根；⑤f(x)=0有四个实数根．。
第八节二元函数的极值与最值
既不取得极大值也不取 得极 小值 .
3
定理7.6 定理
( 必要条件 ) 设 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的
偏导数 f x′ ( x0 , y0 ) , f y′ ( x0 , y0 ) 存在 , 若 ( x0 , y0 ) 是 f ( x , y ) 的极值点 , 则必有 ′ f x ( x0 , y0 ) = f y′ ( x0 , y0 ) = 0
解得: 解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 由题意知,最大值在定义域 内达到,而在域 内只有 一个驻点,故此点即为所求. 一个驻点,故此点即为所求.
16
α = = 60o , x = 8 (cm)
π
练习1.讨论函数 练习 是否取得极值.
及
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
2 2⋅3 2
水箱所用材料最省. = 3 2 时, 水箱所用材料最省
18
作业： 作业：
P94 习题 习题7.8 1.(1)(2) 3. 6.
19
练习题
一、填空题: 填空题: _______点取 1 、函数 f ( x , y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) 在_______ 点取 得极_________值为___________. _________值为 得极_________值为___________. 下的极______ ______值 2 、函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1 下的极 ______ 值 为_____________. 3 、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 所确定的 的极大值是___________, ___________,极小值 函数 z = f ( x , y ) 的极大值是___________, 极小值 是_____________. 二、在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 x = 0, y = 0 及 x + 2 y − 16 = 0 三直线的距离平方之和为最小. 三直线的距离平方之和为最小. 的球且有最大体积的长方体. 三、求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.
二、函数的间断点
00x x x x =-称为自变量在处的增量；000()()()()y f x f x f x x f x =-=+-为函数的增量。
x+xy∆定义1：00()()y f x U x x x =∆设在内有定义，是处的任意增量，00()()y f x x f x ∆=+∆-是对应函数的增量，若[]000lim 0li )) m ((0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=或则称函数在点0x 连续。
称为的连续点。
0x 定义2:在的某邻域内有定义, 设函数且则称函数.)(0连续在x x f(3)可见, 函数在点0x 连续必须具备下列条件:(2) 极限存在;(1) 在点即有定义,存在;εδ--语言00()0,0f x x x x εδδ⇔∀>∃>-<在连续当时，0()()f x f x ε-<连续的三要素2.单侧连续定义3.若00()(),f x f x -=则称函数在点左连续。
0x 若00()(),f x f x +=则称函数在点右连续。
0x 定理1函数在点连续的充要条件是0x 函数在点既左连续又右连续。
0x 注意：单侧连续的概念多用来研究分段函数在分段点处的连续性。
3.函数在区间上的连续性若在某区间上每一点都连续, 则称它在该区间上连续, 或称它为该区间上的连续函数..],[b a C 在闭区间上的连续函数的集合记作例如,在上连续.( 有理整函数)又如, 有理分式函数在其定义域内连续.()(,)P x C ∈-∞+∞二、函数的间断点)()(lim 00x f x f x x ≠→不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形之一函数f (x ) 在点()f x 0x 0x (1) 函数在无定义;()f x 0x 在(2) 函数不存在;虽有定义, 但()f x 0x 0lim ()x x f x →在(3) 函数存在,但虽有定义, 且()f x 0x 0lim ()x xf x →这样的点称为间断点.0x间断点分类:第一类间断点:第二类间断点:称0x 为可去间断点.称0x 为跳跃间断点.称0x 若其中有一个为,∞为无穷间断点.若其中有一个为振荡,称0x 为振荡间断点.及均存在,0()f x +0()f x -若00()()f x f x +-=若00()()f x f x +-≠及中至少一个不存在,0()f x +0()f x -(2) 第二类间断点定义凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.即左右极限至少有一个不存在的点.这算定义吗？()f x x在x π∴=是函数的间断点。
高数高等数学1.8函数的连续性与间断点
2
cos
2
x x y 2 sin cos( x ) 2 2
x 0, sin x x
x
x 0
0
即函数 y sin x在(, )内连续 .
同理可证 y cos x在(, )内连续 .
x 2 , x 0, 例3 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
下列情形之一，y f ( x)在 x0不连续：
(1) f ( x)在 x0无定义；
(2) f ( x )在 x0有定义，但 lim f ( x )不存在；
x x0
(3) f ( x )在 x0有定义，且 lim f ( x )存在，但是
x x0
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
lim f ( x0 x ) f ( x0 )
yy f ( x) Nhomakorabealim y 0
y
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
左连续 右连续
x
o
x0
x
x
0 , 0, 当 x x0 x 时，有
f ( x ) f ( x0 ) y .
x U ( x0 ),
y f ( x) f ( x0 ) ---函数的增量
y
y f ( x)
y
y
x
0
x
0
x0
x 0 x x
x0
x 0 x
x
2. 函数连续的定义 定义 设函数y f ( x )在 x0的某邻域内有定义，如果
第八讲 函
四、分类
函可以从不同角度分类： 1. 按性质分，可以分为公函和便函两种。公函用于机关 单位正式的公务活动往来；便函则用于日常事务性工 作的处理。 2. 按发文目的分。函可以分为发函和复函两种。发函即 主动提出了公事事项所发出的函。复函则是为回复对 方所发出的函。但有时可以灵活处理，譬如上级发函 向下级询问有关情况，下级回复时用函虽然不为错， 但有更合适的文种可选择，那就是答复报告。再如， 对下级机关的请示，上级机关的办公部门在接到授权 的情况下，可以给以答复，但不能使用批复，只能用 函的形式。 3. 从内容和用途上，一般可以分为商洽函、申请（请求 批准）函、询问函和答复函、告知函。此外，还有催 办函、邀请函、转办函、报送材料函等等。
ห้องสมุดไป่ตู้
六、撰写要求
要注意行文简洁明确，用语把握分寸。无论是平
行机关或者是不相隶属的行文，都要注意语气平 和有礼，不要倚势压人或强人所难，也不必逢迎 恭维、曲意客套。至于复函，则要注意行文的针 对性，答复的明确性。 函也有时效性的问题，特别是复函更应该迅速、 及时。像对待其他公文一样，及时处理函件，以 保证公务等活动的正常进行。
1．格式不正规
首先是标题不规范。作为正式的公文，应该采用公文标 题的常规格式，只用“公函”二字作标题，显然不合要 求。 其次是结语不规范。此函用一般书信的祝颂语作结语， 消解了公文的特色，有些不伦不类。
2．请求近乎无理
发函单位为解决自己进修教师的住宿问题，竟要求与此 事无关的第三方帮助解决困难，要求近乎无理。合作总 是要在互利互惠的前提下才能得以实现，请求帮助也要 在合情合理的情况下才能提出，此函仅以帮助辅导、批 改作业作为交换条件(他们的教师其实并没有为对方做 辅导和批改作业的资格)，其他真正能作为对等交换的 条件完全没有，其结果可想而知 。
公文篇——第八课 函
关于同意录用×××等××名同志为国家公务员的函 省安全厅： 你厅《关于请求批准录用1996年大中专毕业生的函》（国安政〔1996〕18号） 收悉。 根据《中共四川省委组织部、四川省人事厅关于部分省级机关从1996年应届 高校、中专毕业生中考试录用国家公务员和机关工作人员的通知》（川人 〔1996〕 ××号）的规定，经考试、考核合格，同意录用×××等××名同志为国家公务 员。 特此函复。 附：录用人员名单
常用“现将有关问题说明（函复）如下”等过渡。
正 文
主体——说明致函事项。无论是商洽工作，询 问和答复问题，还是向有关主管部门请求批 准事项等，都要用简洁得体的语言把需要告 诉对方的问题、意见叙写清楚。 结语——“特此函达”、特此函商”、“特此 函 询”、“特此函告”、“请即复函”
发文机关、日期与生效标识
例 文
关于请求批准录用1996年大中专毕业生的函 省人事厅： 根据《中共四川省委组织部、四川省人事厅关于 1996年省级机关录用应届高校、中专学校优秀毕业生 的通知》（川人〔1996〕××号）规定，我们对拟录 用到我厅机关工作的大中专毕业生按规定程序进行了 统一考试、面试、体检、政审。经厅党组研究，拟录 用大中专毕业生24名。现将有关录用审批材料报上， 请审批。 附件：录用审批材料24份
训练：根据所给材料,完成公文写作
• 为做好2010年的春运工作，及时运送在广 东省工作的外省民工回家过年，广东省交 通厅准备组织民工运送专门车队，但由于 运力不足，车辆不够，于是向湖南省交通 厅去函商议，请湖南省派出大型客车20辆， 与广东省组成运送民工车队，负责运送湖 南省民工。发文字号是2009年125号. •
三、根据所、校各自人员配备情况，校方在 可能的条件下对所方研究生、科研人员的培训予 以帮助。 四、双方科研教学所需要高、精、尖仪器设 备，在可能的条件下，予对方提供利用。（略） 五、加强图书资料和情报的交流。 以上各项，如蒙同意，建议互派科研主管人员 就有关内容进一步磋商，达成协议，以利工作。 特此函达，希研究见复。
连续函数的基本性质
第八节 连续函数的基本性质一．初等函数的连续性（一）连续函数的运算性质定理１：如果函数)(x f 、)(x g 均在点0x 处连续，则（1）)()(x g x f βα+在点0x 处连续（βα,为常数）；（2）)()(x g x f 在点0x 处连续；（3）)()(x g x f 在点0x 处连续（0)(0≠x g ）； x y sin =、x y cos =在区间),(+∞-∞内连续，x x y cos sin +=、x x y cos sin ⋅=在区间),(+∞-∞内连续，x x x y cos sin tan ==在2ππ+≠k x 处连续 （二） 反函数和复合函数的连续性 1．定理2：如果函数y ＝)(x f 在区间x I 上单值、单调增加（或单调减少）且连续，那末它的反函数)(y x ϕ=也在对应的区间{}x y I x x f y y I ∈==),(|上单值、单调增加（或单调减少）且连续。
2．定理3：设函数)(x u ϕ=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0ϕ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=当0x x →时的极限存在且等于)(a f ，即()[]()a f x f x x =→ϕ0lim 。
注：（1）将定理５中的条件：0x x →换为∞→x 时相应的结论也成立。
（2）如果函数)(x u ϕ=、)(u f y =满足定理５的条件，则有下式成立： ()[]()())lim (lim 00x f a f x f x x x x ϕϕ→→==。
即在满足定理５的条件下，求复合函数()[]x f y ϕ=的极限时，函数符号和极限符号可以交换次序。
例1：求下列极限（1）)arcsin(lim 2x x x x -++∞→ （2）xx x )1ln(lim 0+→ （3）xx x μμ1)1(lim 0-+→ 定理4：设函数)(x u ϕ=在点0x x =连续，且()00u x =ϕ，而函数)(u f y =在点0u u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=在点0x x =也是连续。