2.4用因式分解法求解一元二次方程
《用因式分解法解一元二次方程》
与其他解法对比分析
01
02
03
直接开平方法
相较于直接开平方法，因 式分解法适用范围更广， 可以解决更多类型的一元 二次方程。
公式法
虽然公式法具有通用性， 但在某些情况下，使用因 式分解法可以更加简便快 捷地解决问题。
配方法
配方法与因式分解法具有 相似之处，但在处理复杂 问题时，因式分解法更具 优势。
用因式分解法解一元二次方
03
程步骤
将方程化为标准形式
移项
将方程中的所有项移到等号同一边，使另一边为0 。
化简
合并同类项，将方程化为ax²+bx+c=0的标准形 式。
进行因式分解
找公因式
观察方程中各项系数和字母部分 ，找出公因式。
提取公因式
将公因式提取出来，使方程变为两 个一次多项式的乘积等于0的形式 。
数学基础
一元二次方程是初中数学的重要内容之一，也是高中数学 和大学数学的基础。因此，掌握一元二次方程的求解方法 对于打好数学基础具有重要意义。
思维训练
通过学习和掌握一元二次方程的求解方法，可以培养学生 的逻辑思维能力、推理能力和解决问题的能力，对于学生 的全面发展具有重要意义。
02
因式分解法原理
多项式乘法逆过程
因式分解方法选择不当
针对不同的一元二次方程，要选择合 适的因式分解方法（如提公因式法、 公式法等），以提高解题效率。
忘记验根步骤
未将解代入原方程验根
在解得一元二次方程的解后，应将解代入原方程进行验根，以确保解的正确性 。
忽视解的取值范围
对于实际问题中的一元二次方程，要注意解的取值范围是否符合题意，避免得 出无意义的解。
用因式分解法求解一元二次方程说课稿
用因式分解法求解一元二次方程说课稿尊敬的各位领导、老师，大家好！我是…… 中学的数学教师……，今天我说课的内容是北师大版初中数学九年级上册第二章第4节《用因式分解法求解一元二次方程》。
对于本节课我将从教材与学情分析、教法学法分析、教学过程设计、教学设计说明这四个方面加以阐述。
一、教材与学情分析1.教材的地位和作用：本节课是在学生学习了用配方法和公式法解一元二次方程的基础上展开的，学习一元二次方程的第三种解法-----因式分解法。
任何一个一元二次方程都可以用配方法和公式法这两种方法中的一种来解，为什么还要学习因式分解法解一元二次方程呢？因为对于某些特殊的一元二次方程，用因式分解法解起来更简便。
培养学生观察思考，避繁就简和一题多解的能力等都具有重要的作用。
因式分解法解一元二次方程既可以复习八年级学过的因式分解的方法，又可以为后续处理有关一元二次方程的问题时提供多一些思路和方法。
2.学情分析：学生在八年级已经学习了因式分解，掌握了用提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。
同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作与交流的能力。
3.教学目标基于以上对教材的理解和学情的分析，根据新课标对方程的具体要求，并结合我校九年级学生的实际情况，我确定了如下教学目标：知识与技能：了解因式分解法的概念，会利用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
过程与方法：经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情推理的能力，体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法。
情感态度与价值观：积极探索不同的解法，并和同伴交流，在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的兴趣和信心。
4.教学重点难点：重点：应用因式分解法解一元二次方程。
难点：将方程化为一般式后，对方程左侧进行因式分解。
二、教法学法分析1.教法分析根据本节课的教学目标、教学内容以及学生的认知特点，教学上采用以自主探究为主，通过实际问题加深数学与生活的联系，从而使用因式分解法解方程成为一种需要。
用因式分解法求解一元二次方程【公开课教案】
2．4 用因式分解法求解一元二次方程1．了解因式分解法的解题步骤，能用因式分解法解一元二次方程；(重点) 2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(难点) 一、情景导入 王庄村在测量土地时，发现了一块正方形的土地和一块矩形的土地，矩形土地的宽和正方形的边长相等，矩形土地的长为80m ，工作人员说，正方形土地的面积是矩形面积的一半．你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？二、合作探究 探究点一：用因式分解法解一元二次方程方程(x －3)(x ＋1)＝x －3的解是( )A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x ＝3或x ＝－1D ．x ＝3或x ＝0 解析：把(x －3)看成一个整体，利用因式分解法解方程，原方程变形，得(x －3)(x ＋1)－(x －3)＝0，所以(x －3)(x ＋1－1)＝0，即x －3＝0或x ＝0，所以原方程的解为x 1＝3，x 2＝0.故答案为D.易错提醒：解形如ax 2＝bx 的方程，千万不可以在方程的两边同时除以x ，得到x ＝ba ，这样会产生丢根现象，只能提公因式，得到x 1＝0，x 2＝ba.如本题中易出现在方程两边同除以(x －3)，从而得到x ＝0的错误．探究点二：选用适当的方法解一元二次方程用适当的方法解方程： (1)3x (x ＋5)＝5(x ＋5)； (2)3x 2＝4x ＋1； (3)5x 2＝4x －1.解：(1)原方程可变形为3x (x ＋5)－5(x ＋5)＝0，即(x ＋5)(3x －5)＝0， ∴x ＋5＝0或3x －5＝0，∴x 1＝－5，x 2＝53；(2)将方程化为一般形式，得3x 2－4x －1＝0.这里a ＝3，b ＝－4，c ＝－1，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0， ∴x ＝4±282×3＝4±276＝2±73，∴x 1＝2＋73，x 2＝2－73；(3)将方程化为一般形式，得5x 2－4x ＋1＝0.这里a ＝5，b ＝－4，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0，∴原方程没有实数根．方法总结：解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解，能用因式分解法或直接开平方法的选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法时，要先计算b 2－4ac 的值，若b 2－4ac ＜0，则判断原方程没有实数根．没有特殊要求时，一般不用配方法．三、板书设计用因式分解法求解一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧步骤⎩⎪⎨⎪⎧①移项，将方程的右边化为0②把方程的左边分解成两个一次 因式的积③令每个因式分别等于0，得到两 个一元一次方程④解这两个一元一次方程选用适当的方法解一元二次方程经历因式分解法解一元二次方程的探索过程，发展学生合情合理的推理能力．积极探索方程不同的解法，体验解决问题方法的多样性．通过交流发现最优解法，在学习活动中获得成功的体验.。
《用因式分解解一元二次方程》教案
《用因式分解解一元二次方程》教案用因式分解解一元二次方程教案目标本教案旨在介绍如何使用因式分解的方法解一元二次方程。
知识回顾在开始讲解因式分解解一元二次方程之前，让我们先回顾一下相关的知识点：- 一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数且a≠0。
- 一元二次方程的解可以分为实数解和虚数解，实数解可以进一步分为有理数解和无理数解。
解题步骤接下来，我们将介绍使用因式分解解一元二次方程的步骤：步骤1：将一元二次方程化为标准形式（即将方程中的项按次数降序排列）。
步骤2：确定方程中的a、b和c的值。
步骤3：使用因式分解将方程进行分解。
步骤4：令因式中的每一个部分等于0，解方程得到各个因式对应的解。
步骤5：将得到的解进行验证，即代入原方程中检验是否满足。
实例演练下面我们通过一个实例来演示如何使用因式分解解一元二次方程：实例：解方程x^2 - 5x + 6 = 0步骤1：将方程化为标准形式，得到x^2 - 5x + 6 = 0。
步骤2：确定a、b和c的值，得到a = 1，b = -5，c = 6。
步骤3：使用因式分解将方程进行分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
步骤4：令因式中的每一个部分等于0，解方程得到x - 2 = 0和 x - 3 = 0。
步骤5：求解得到x = 2 和 x = 3，将这些解代入原方程验证是否满足。
总结因式分解是解一元二次方程的一种常用方法，通过将方程进行因式分解，可以得到方程的解。
在使用因式分解解一元二次方程时，我们需要依次进行化简、确定值、分解、解方程和验证等步骤。
通过实例的演练，我们可以更好地理解和掌握这一方法。
希望本教案对你有所帮助！。
用因式分解法求解一元二次方程课件
小亮是这样想的: 如果a b 0, 那么a 0或b 0 或a b 0.
即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
（3）、方程x2=x的根是
，方程(y-2)2=0的
根是
，方程(x+1)2=4(x+1)的根是
.
（4）（2015 北京）在实数范围内定义一种新运
算※，其规则为：a※b=a－b,根据这个规则，方
程(x-2) ※1=0的解是
。
3、解答题：
（1）解方程：2x2 ＋18=12x
（2）活学活用： 已知三角形的两边长为3和7，第三边长是
九年级数学(上)
学习目标
1、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解一 元二次方程，体会“降次”化归的思想方法。
2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解 方法，体会解决问题的灵活性和多样性。
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
4.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地 显示了“二次”转化为“一次”的过程.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
学习是件很愉快的事
淘金者
你能用分解因式法解下列方程吗？
1. x2-4=0;
2. (x+1)2-25=0.
解： (x+2)(x-2)=0,
解： [(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
用因式分解法 求解一元二次方程
用因式分解法求解一元二次方程教学设计一、学情分析学生的知识技能基础：在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；在八年级学生学习了因式分解，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析本课的具体学习任务：能根据已有的分解因式知识解决形如“x(x－a)=0”和“x2－a2=0”的特殊一元二次方程。
但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。
数学教学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本课《因式分解法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
”同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
三、教学目标1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；2、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；四、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入，探究新知；第三环节：例题解析；第四环节：巩固练习；第五环节：拓展延伸；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。
一元二次方程的求解方法
一元二次方程的求解方法一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a不等于0。
解一元二次方程是求出方程的根，即满足该方程的x的值。
求解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解、配方法、求根公式等。
下面将分别介绍这些方法。
一、因式分解法：当一元二次方程可以因式分解时，可以通过因式分解的方法求解。
具体步骤如下：1. 将方程化为二次式的因式积形式，即ax^2+bx+c=0，其中a不等于0。
2. 将二次式的因式积形式分解为两个一次式相乘的形式，即(ax+m)(ax+n)=0，其中m和n是待定系数。
3. 根据“乘积为0则其中一个因子为0”的原理，可以得到两个一次式分别为0的两个方程：ax+m=0和ax+n=0。
4. 分别解这两个一次方程，得到x的值，即为方程的根。
二、配方法：当一元二次方程无法直接因式分解时，可以通过配方法将其转化为可以因式分解的形式。
具体步骤如下：1. 将方程化为标准形式，即ax^2+bx+c=0，其中a不等于0。
2. 如果a不等于1，可以将方程两边同时除以a，化简为a'x^2+b'x+c'=0，其中a'为1。
3. 将方程中的一次项b'x进行配方，即将b'x拆分为两个部分，使得其平方项可以与二次项a'x^2相消。
4. 根据配方公式，将b'x拆分为2个数的平方，即b'x=p^2+2pq+q^2，其中p和q是待定系数。
5. 将拆分后的方程重新组合，即将a'x^2+(p^2+2pq+q^2)+c'=0，化简为(a'x^2+p^2)+(2pq+a'x)+(q^2+c')=0。
6. 根据结合律，将方程重新组合，得到(a'x^2+p^2)+(2pq+a'x)+(q^2+c')=0。
7. 将方程分解为三个一次式的和等于0的形式，即(a'x+p)^2+2pq+a'x+q^2+c'=0。
因式分解法解一元二次方程口诀是什么
因式分解法解一元二次方程口诀是什么想要了解一元二次方程用因式分解法怎么解的小伙伴，赶紧来瞧瞧吧！下面由小编为你精心准备了“因式分解法解一元二次方程口诀是什么”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！因式分解法解一元二次方程口诀是什么一移，二分，三转化，四再求根容易得。
步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
拓展阅读：因式分解法的四种方法是什么因式分解法的四种方法有提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法。
1、如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab的逆运算来进行因式分解。
因式分解是中学代数课程的一种重要的恒等变形，不仅在后面的分式通分、约分时有着直接的应用，而且在解方程以及将三角函数式变形时，也经常用到它，一开始学习因式分解，往往遇到一些困难，一是拿到题目不知道用什么方法去分解；二是不知道分解到哪一步才算是结束.要想学好因式分解，必须掌握和注意以下几点：一、了解选择因式分解方法的思路。
首先，对任何一个多项式，都应当考虑提取公因式；然后，以多项式的项数为线索、考虑分解方法.如果多项式是二项、三项的采用公式法，或化为x2+（a+b）x+ab的形式，四项以上的采用分组分解法。
用因式分解法求解一元二次方程公开课教案
题目：用因式分解法求解一元二次方程学习目标：会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体会转化思想。
学习重点：正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程．学习难点：正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程.学习过程：一、导入新课：1、如何对一个多项式进行因式分解？有哪些方法？2、如果两个数a、b,且满足ab=0,你能得到哪些结论？二、自学指导：1、自主学习认真阅读P46～47页内容：⑴、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
⑵、因式分解法的理论根据是：如果ab=0,则a=0或b=0。
⑶、自学例1，注意看清楚每一步是如何变形的？其目的是什么？2、合作交流：（1）你能例题中的思路解一元二次方程x 2-4=0吗？你是怎么想的？（2）对于一元二次方程（x+1）2-25＝0可以怎样求解？三、例题解析例. 用因式分解法解下列方程：（1）（x+2）(x+4)＝0 （2）4x(2x+1) =3(2x+1)（3）5(x 2-x) = 3(x 2+x)解：(2)：原方程可变形为4x(2x+1) -3(2x+1) = 0（2x+1）（4x-3） = 02x-1=0，或4x-3=0∴ X 1 = 21 X 2 =43（3）：原方程可变形为5x 2-5x = 3x 2+3x5x 2-3x 2-5x-3x = 02x 2-8x = 02x(x-4)= 02x=0, 或x-4=0∴ X 1 = 0 ， X 2 =4四、当堂训练1. 用因式分解法解下列方程：(1)（4x-1）（5x-7）= 0 （2） 3x(x-1）= 2-2x（3）(2x+3)2=4(2x+3) （4）2(x-3)2=x 2-92．用因式分解法解下列方程：（1）(x-2)2= (2x+3)2 (2) (x-2)(x+3) = 12（3） 2x+6= (x+3)23. 一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数。
用因式分解法求解一元二次方程
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白银市三中导学案
学科：数学 年级：九 主备人：曾万军 教研组长： 吴正锋 教务处： 李光成 上课时间： 2014 年 9月17日 学生姓名：
课题 §2.4用因式分解法求解一元二次方程 课时 课型 导学
（2）如果0ab，那么0a或0b，这是因式分解法的根据.例如：如果
(1)(1)0xx
，那么10x或___ ____，即1x或____ ____.
3.说出下列方程的根：
（1）(8)0xx （2）(31)(25)0xx
4.用因式分解法解下列方程：
(1)2540xx (2) (2)20xxx
（3）3(21)42xxx (4) 2(5)315xx
学 习 目 标 1.使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解 某些一元二次方程.
2.使学生会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高
分析问题和解决问题的能力.
重
难
点
学习重点：用因式分解法一元二次方程.
学习难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.
一、自主预习
1. 将下列各题因式分解
am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2=
2.解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
二、合作交流
1. 仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？
2.（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，
再使_________________________，从而实现_____ ____________，这种解法
叫做__________________.
三、展示拓展 1.用因式分解法解下列方程： （1）3632xx （2）22)25()4(xx (3) 3(1)2(1)xxx (4) 2(1)250x (5) 0)5(2xxx (6) 2216(2)9(3)xx 四、检测反馈
1．方程(3)0xx的根是
2．方程22(1)1xx的根是________________
3．方程)2(3)2(2xxx的解是_____ ____
4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于__ _
5．已知y=x2-6x+9，当x=___ ___时，y的值为0；当x=___ __时，y的值等于9．
6．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ）
A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，2
7．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ）
A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0
C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0
8．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）
A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对
五、归纳总结
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程右边化为
(2)将方程左边分解成两个一次因式的
(3)令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
教
学
反
思