2019高考数学文一轮分层演练：第12章选考部分 1 第1讲 Word版含解析

[学生用书P289(单独成册)]1、(2018·山西省高三考前质量检测)已知曲线C 1:x ＋3y ＝3和C 2:⎩⎨⎧x ＝6cos φy ＝2sin φ(φ为参数)、以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位、(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ,y 轴交于M ,N 两点,且线段MN 的中点为P 、若射线OP 与C 1,C 2交于P ,Q 两点,求P ,Q 两点间的距离、解:(1)C 1:ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32,C 2:ρ2＝61＋2sin 2θ、 (2)因为M (3,0),N (0,1),所以P ⎝⎛⎭⎫32，12,所以OP 的极坐标方程为θ＝π6,把θ＝π6代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1,P ⎝⎛⎭⎫1，π6、 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2,Q ⎝⎛⎭⎫2，π6、 所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1,即P ,Q 两间点的距离为1、2、在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设⊙C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ,点P 为⊙C 上一动点,点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2,点Q 为线段PM 的中点、 (1)求点Q 的轨迹C 1的方程；(2)试判定轨迹C 1和⊙C 的位置关系,并说明理由、 解:(1)由⊙C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ, 所以⊙C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0, 又点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2, 所以点M 的直角坐标为(0,4)、 设点P (x 0,y 0),点Q (x ,y ),则有x 20＋(y 0－1)2＝1、(*)因为点Q 为线段PM 的中点,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －4，代入(*)得轨迹C 1的方程为 x 2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝14、 (2)因为⊙C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1,圆心为(0,1),半径为1, 而轨迹C 1是圆心为⎝⎛⎭⎫0，52,半径为12的圆, 所以两圆的圆心距为32,等于两圆半径和,所以两圆外切、3、在极坐标系中,圆C 是以点C ⎝⎛⎭⎫2，－π6为圆心,2为半径的圆、 (1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l :θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长、解:法一:(1)设所求圆上任意一点M (ρ,θ),如图, 在Rt △OAM 中,∠OMA ＝90°,∠AOM ＝2π－θ－π6,|OA |＝4、因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |,所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ,即ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6, 验证可知,极点O 与A ⎝⎛⎭⎫4，－π6的极坐标也满足方程, 故ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6为所求、 (2)设l :θ＝－5π12(ρ∈R )交圆C 于点P ,在Rt △OAP 中,∠OP A ＝90°,易得∠AOP ＝π4,所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝22、法二:(1)圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆,所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6、 (2)将θ＝－5π12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6,得ρ＝22,所以圆C 被直线l :θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长为22、 4、在极坐标系中,曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ,ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1、 (1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ,在OQ 上取一点P ,使|OP |·|OQ |＝2,求点P 的轨迹,并指出轨迹是什么图形、解:(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1,它表示圆心为(－1,0),半径为1的圆、C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0,所以曲线C 2为直线,由于圆心到直线的距离为d ＝|－1－2|2＝32>1,所以直线与圆相离,即曲线C 1和C 2没有公共点、(2)设Q (ρ0,θ0),P (ρ,θ),则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0,即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.① 因为点Q (ρ0,θ0)在曲线C 2上, 所以ρ0cos ⎝⎛⎭⎫θ0＋π3＝1、② 将①代入②,得2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1, 即ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程,化为直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝1,因此点P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫12，－32为圆心,1为半径的圆、5、已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1,曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4、以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系、 (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值、 解:(1)依题意得ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2()cos θ＋sin θ, 即ρ2＝2()ρcos θ＋ρsin θ, 可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0,故C 2的直角坐标方程为()x －12＋(y －1)2＝2、 (2)曲线C 1的极坐标方程为 ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1, 即ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝－1,化为直角坐标方程为x ＋3y ＋2＝0,由(1)知曲线C 2是以(1,1)为圆心,2为半径的圆,且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋32>r ＝2, 于是直线与圆相离,所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222、6、在直角坐标系xOy 中,半圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)、以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系、(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53,射线OM :θ＝π3与半圆C 的交点为O ,P ,与直线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长、解:(1)由x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ,θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2、 (2)设(ρ1,θ1)为点P 的极坐标,则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3，设(ρ2,θ2)为点Q 的极坐标,则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（sin θ2＋3cos θ2）＝53，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝5，θ2＝π3，由于θ1＝θ2,所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4, 所以线段PQ 的长为4、1、在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25、(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程；(2)直线l 的方程为y ＝(tan α)x ,其中α为直线l 的倾斜角,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |＝10,求tan α的值、解:(1)由x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0、 (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )、设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0、于是ρ1＋ρ2＝－12cos α,ρ1ρ2＝11、 |AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44、由|AB |＝10得cos 2α＝38,tan α＝±153、2、在平面直角坐标系中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数),以原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3、 (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1,θ0),B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2,若A 、B 都在曲线C 1上,求1ρ21＋1ρ22的值、解:(1)因为C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，所以C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1、由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径),将D ⎝⎛⎭⎫2，π3代入,得2＝2a ×12,所以a ＝2,所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0),半径为2, 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4、 (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1,即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ、所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0, ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0、所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54、。