八年级数学下学期《第17章勾股定理》 (13)
八年级数学下册 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理课件
三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则
最大正方形E的面积是
.
关闭
根据勾股定理,可知最大正方形E的面积是正方形A,B,C,D的面积和,即
为9+25+4+9=47.
关闭
47
解析 答案
(2)ห้องสมุดไป่ตู้(1)得,△ABC'是直角三角形,且AB=20 cm,BC'=40 cm. 根据勾股定理,
得 AC'= ������������2 + ������������’2 = 202 + 402≈44.7(cm).
44.7÷12=89.4(cm/min),
故壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子, 它至少每分钟爬行90 cm.
(1)试确定壁虎所爬行的最短路线; (2)若正方体礼盒的棱长为20 cm,壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子, 求壁虎每分钟至少爬行多少厘米?(保留整数)
解:(1)方法不唯一.若把礼盒的上底面A'B'C'D'竖立起来,如图,使 它与正方体的正面(ABB'A')在同一平面内,连接AC',根据“两点间线 段最短”知,线段AC'就是壁虎捕捉蚊子所爬行的最短路线.
解:如图,延长AD,BC相交于点E,
∵∠A=60°,∠B=90°,∴∠E=30°.
在Rt△CDE中,∠CDE=90°,CD=1,
∴CE=2.
DE= ������������2-������������2 = 22-1 = 3.
则 S△CDE=12CD·DE=12×1× 3 = 23. 在 Rt△ABE 中,∠ABE=90°,∠E=30°,
为 61 . 3.证明勾股定理的常用方法: 面积法
八年级数学下册 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理课件2 (新版)新人教版.pptx
【纠错园】 如图是一个长4 m,宽3 m,高2 m的有盖仓库,在其内壁 的A处(长的四等分点)有一只壁虎,B处(宽的三等分点) 有一只蚊子,求壁虎爬到蚊子处最短距离是多少.
18
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【错因】本题考虑问题不全面,只考虑按长方体的高棱 展开,没考虑按长方体的长棱展开,漏掉其中一种情况.
20
13
【解析】把圆柱的侧面展开,得到如图所示的图形,
由题意知 1
AC=3,CE=205× =4, ∴AE= 32 4=2 5. ∴葛藤的最短长度为25尺.
答案:25
14
【备选例题】如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm, 高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕 一圈到达点B,那么所用细线最短需要( )
17.1 勾股定理 第2课时
1
【基础梳理】 1.勾股定理的应用 直角三角形中,根据勾股定理,已知两边可求第三边: Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为内角A,B,C的对 边,(1)若已知边a,b,则c= a2 b2 ;(2)若已知边a,c,则 b= c2 a2 ;(3)若已知边b,c,则a= c2 b2.
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知识点二 利用勾股定理解决立体图形中的最短路线 问题 【示范题2】(2017·东营中考)我国古代有这样一道数 学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤 自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意
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是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺, 则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处 缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛 藤的最短长度是________尺.
2
2.立体图形中距离最短问题 (1)如图,圆柱的侧面展开图是_长__方__形__,点B的位置应 在长方形的边CD的_中__点__处,点A到点B的最短距离为线 段_A_B_的长度.
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》复习教案
第17章勾股定理全章复习教学目标：1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。
教学过程：(一)知识结构图：见PPT(二)基础知识：1.勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a2 + b2 = c2几何语言：在Rt △ABC 中, ∠C=90°∴a2+b2=c2练习：1.求出下列直角三角形中未知的边．2.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X=3. 三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC8A 15B 30° 2C B A 2 45° A CB2 .勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形 几何语言： 在△ABC 中,∵a2+b2=c2∴ △ABC 是直角三角形，∠C=90°互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.基础练习二：1．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( )A 5，12，13B 2，3，3C 4，7，5D 1， 2 ， 52.若△ABC 中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,求AC 边上的高.三、典例分析：例1、如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD 的面积变式 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
121334归纳： 转化思想例2、下图是学校的旗杆,小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮他D BA C归纳： 方程思想 例3、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
第十七章 勾股定理(单元解读)八年级数学下册(人教版)
教材内容 ---教学目标定位
1.经历股定理及其逆定理的探索过程;知道这两个定理的联系与区别能运用 这两个定理解决一些简单的实际问题. 2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会运用这两个定理解决一些几 何问题. 3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题， 知道原命题成立时其逆命题不一定成立. 4.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感:通过对勾股 定理的探索和交流，培养数学学习的信心.
知识结构
◆本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的 逆定理及其应用.在第二节中结合勾股定理逆定理的内容展开，穿插介绍了 逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.
知识结构
勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三角形的一个 判定定理.教科书按照先性质后判定的顺序，第一节安排了对于勾股定理的 观察、计算、猜想、证明及简单应用的探究过程，第二节勾股定理逆定理 的安排也是设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的完整过程.展现 了“从特殊到一般”的研究几何图形的基本思路和定理课观察→计算→猜 想→证明的基本流程.
教材内容 ---地位和作用
◆勾股定理既是对直角三角形性质的丰富与深化，又是学习锐角三角函数 的基础;是“以形求数、以数溯形”的重要工具;在解决面积问题、三角形 问题、四边形问题圆的问题中都有勾股定理的“倩影”. ◆勾股定理的证明和应用历来都是中考命题的重点.近年来各地中考中有关 勾股定理方面的命题主要有以下几个方面:利用股定理解决门框是否能通过 的问题、利用勾股定理解决梯子移动的问题、利用勾股定理解决芦苇倾斜 的问题、利用勾股定理在数轴上表示无理数、利用勾股定理建立方程、折 叠问题、最短路径问题等。尤其是“利用勾股定理建立方程解决问题”几 乎在每个省份的考查中都有体现.
八年级数学下册第17章《勾股定理》知识点与常见题型总结
八年级下册 .勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解： ⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BC CD AB⋅==D B AC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，Q 12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=QRt ACD Rt AED ∆≅∆QAC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ． 4D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答： 解：设BN =x ，由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
最新人教版八年级数学下册 第十七章《勾股定理的逆定理》教案
《勾股定理的逆定理》教案1【教学设计说明】本课使学生在动手操作的基础上和合作交流的良好氛围中，让学生充分观察、动手实践，营造轻松愉快的学习氛围，以此激发学生的学习兴趣.通过巧妙而自然地在学生的认识结构与几何知识结构之间筑了一个信息流通渠道，进而达到完善学生的数学认识结构的目的.【教材分析】勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就，被广泛的应用于数学和实际生产生活的各个方面.勾股定理的逆定理是在学生研究了勾股定理的基础上进一步学习的内容，它是初中数学教学内容中的一个重要定理，是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，体现了数形结合的思想，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔.通过本节内容的学习，进一步加深学生对“性质与判定”之间的辩证统一关系的认识，同时也完善了学生的知识结构，为后续的学习打下基础.【学情分析】尽管学生知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，能力也有差距，而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到，它要求根据已知条件构造一个直角三角形，根据学生的智能状况，学生不容易想到，因此勾股定理的逆定理的证明又是本节的难点，这样如何添辅助线就是解决它的关键.在前面知识的学习过程中，学生已经经历了的自主探究、动手实践、合作学习等过程，具有了一定参与数学活动的经验和数学思考，具备了一定的进行数学活动的能力.【教学目标】1．了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.2．探索勾股定理的逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.3．在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.4．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成的过程．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用.【教学重点】勾股定理的逆定理及其运用.【教学难点】勾股定理的逆定理的证明.【课时设计】两课时.【教学策略】本节课主要通过创设问题情境，引导学生动手实践、自主学习、合作交流、采用发现法、探究法、练习法为辅的教学方法.【教学过程设计】（一）复习引入(1)勾股定理的内容是什么？(2)求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：①a=3，b=4；②a=5，b=12；③a=8，b=15.(3)上述(2)中三角形的边a，b，c有什么关系______，分别以上述a，b，c为边的三角形的形状会是什么样的呢？通过此情景引发学生的质疑、兴趣，师揭示课题，提出教学目标并板书课题.答案：（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a +b =c .（2）①c=5；②c=13；③c=17；（3）a +b =c ；直角三角形.【设计意图】在复习旧知的基础上，通过调换命题的条件和结论，巧妙地过渡到本节课的课题.（二）探索新知实验观察：1．拼一拼：同学们拿出准备好的木条，用三根木条作为三角形的边a ，b ，c 拼成一个三角形，要求如下：（1）a =3cm ，b =4cm ，c =5cm ；（2）a =5cm ，b =12cm ，c =13cm ；（3）a =8cm ，b =15c m ，c =17cm.2．量一量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并说出此三角形的形状.3．猜一猜：由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的形式说出你的观点.学生思考并回答：命题2与勾股定理的题设和结论有何关系?师生共同归纳：原命题与逆命题的定义.4．说一说：说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题成立吗?(1)两直线平行，内错角相等.(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等.(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.(4)全等三角形的对应边相等答案：2．90；直角三角形.3．命题2：如果三角形的三边长分别为a ，b ，c ，满足a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形.4．（1）内错角相等，两直线平行.成立（2）如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.不成立（3）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.不成立（4）对应边相等的两个三角形是全等三角形.成立【设计意图】通过“拼一拼”“量一量”“猜一猜”“说一说”等活动感知勾股定理的逆定理.比较勾股定理与命题2的题设与结论，认知原命题与逆命题的互逆性，凸显命题的形成过程，自然地得出勾股定理的逆命题.5．验一验：师：那勾股定理的逆命题是否正确？我们怎么验证呢？师生行为：让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路.本活动中，教师应重点关注学生：①能否在教师的引导下，理清思路.②能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论.222222222师生共同得出：把命题转化成已知求证的形式.已知：如图，在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，且a +b =c ，求证：∠C =90.222 师：△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a +b =c ．如果△ABC 是直角三角形，它应与直角边是a ，b 的直角三角形全等，实际情况是这样吗?我们作一个Rt △A 'B 'C '，使B 'C '＝a ，A 'C '＝b ，∠C '=90(如下图)Rt △A B C 会与△ABC 全等吗?'''222生：我们所作的Rt △A 'B 'C '，A 'B '＝a +b ，又因为c =a +b ，所以A 'B '=c ，2222222∠C =∠C '=90.△ABC 即A 'B '=c ．△ABC 和△A 'B 'C '三边对应相等，所以两个三角形全等，为直角三角形．即勾股定理的逆命题是正确的.师：很好，当我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，那么命题就成为一个定理.勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理.师生共同归纳出勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a ，b ，c ，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.学生明确利用勾股定理的逆定理求角要注意的事项：（1）．条件：须知道三角形三边长a 、b 、c 满足a +b =c ，往往要通过计算.结论：∠C =90（最长边c 所对的角）.（2）．书写格式：∵如图在△ABC 中，AC +BC =AC .∴∠C =90.２２２ 222【设计意图】经历定理的发生、发展、形成的探究过程，把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生，让他们在不断的尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现的愉悦，有效地突破本节的难点.（三）例题讲解例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?(1)a=15，b=17，c=8;；(2)a=13，b=15，c=14.学生根据勾股逆定理来解决此类已知三边，判断三角形形状的问题.通过思考，归纳出解题思路.师生共同归纳：像15，17，8，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.答案：(1) 152+82=225+64=289172=289∴152+82=172∴这个三角形是直角三角形(2) 132+142=169+196=365152=225∴13+14≠15222∴这个三角形不是直角三角形【设计意图】进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，理解勾股数的概念，突出本节的教学重点.例2．某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？NQ远航号海天号R21P E海岸线解:根据题意画图,如图所示:PQ=16⨯1.5=24，PR=12⨯1.5=18，QR=30242+182=302,即PQ2+PR2=QR2∴∠QPR=90由”远航“号沿东北方向航行可知，∠QPS=45.所以∠RPS=45 ，即?海天”号沿西北方向航行.【设计意图】以例2为理解勾股定理逆定理的应用.（四）拓展提高1．下面以∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别为a ，b ，c 的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1)a =15b =20c =25；(2)a =13b =10c =20；(3)a =1b =2c =3；(4)a ：b ：c =3：4：5 .2．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对应边的长分别为a ，b ，c ，且c =a -b ，则下列说法正确的是（）.A ．∠C 是钝角B ．∠C 是直角C ．∠A 是直角D ．∠B 是直角3．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（）.A ．AC +BC =AB B ．a ∶b ∶c =5∶12∶13C ．∠C =∠A +∠BD ．∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶54．一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？222222C13D ACD 4512BA 3B参考答案：1、(1)是；∠C.(2)不是.(3)是；∠B.(4)是；∠C.2、C3、D4、解析：∵AB 2+AD 2=32+42=25BD 2=52=25∴AB 2+AD 2=BD 2∴∠A =90∵BD 2+BC 2=52+122=169CD 2=132=169∴BD 2+BC 2=CD 2∴∠CBD =90∴这个零件符合要求．【设计意图】及时反馈教学效果，查漏补缺，对学有困难的同学给予鼓励和帮助.(五)知识小结你能谈谈学习这节内容的收获和体会吗？【设计意图】通过归纳总结，使学生优化概念，内化知识.(六)课后作业1．下列三条线段能组成直角三角形的是（）.A ．6，8，9B ．5，6，12C ．5，3，2D ．10，7，82．有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（）.A ．2，4，8B ．4，8，10C ．6，8，10D ．8，10，123．在△ABC 中，∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ，且(a +b )(a -b )=c ，则（）.2A ．∠A 为直角B ．∠C 为直角C ．∠B 为直角D ．不是直角三角形4．一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（）.A ．12．5B ．12C ．152D ．925．请你写一组勾股数：_________________.6．若一个三角形的三边分别为5、4、3，则它的面积为.27．已知a -5+(b -12)+c -13=0，则以a ,b ,c 为边的三角形是_____________.8．若一个三角形的三边之比为5:12:13，且周长为60cm ，则它的面积为_______cm .9．已知：在∆ABC 中，AB =13cm,BC =10cm,BC 边上的中线AD =12cm.求AC .10.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？2答案：1．C 2．C 3．A 4．B5．3，4，5答案不唯一6．67．直角三角形.解：由题意可得a=5,b=12,c=13.∵52+122=169,132=169.∴52+122=132即a 2+b 2=c 2所以三角形是直角三角形8．1209.∵AD 2+BD 2=52+122=169AB 2=132=169即AD 2+BD 2=AB 2∴△ABD 是直角三角形∴在Rt △ACD 中，AC=52+122=1311⨯120=12海里，BC =⨯50=5海里1010∵AC 2+BC 2=52+122=16910.由题意得，AC =AB 2=132=169即AC 2+BC 2=AB 2∴△ABC 是直角三角形∴乙巡逻艇向北偏西40 方向航行，即∠ABC =50 ∴∠BAC =40 ，即甲巡逻艇向北偏东50 方向航行.答：甲巡逻艇向北偏东50 方向航行.【板书设计】【教学反思】这节课的学习，我采用了体验探究的教学方式.在课堂教学中，首先由教师创设情境，提出问题；再让学生通过“拼一拼”“量一量”“猜一猜”“说一说”等活动猜想出一般性的结论；然后由去验证结论，使学生自始至终感悟、体验、尝试到了知识的生成过程，品尝着成功后带来的乐趣.这不仅使学生学到获取知识的思想和方法，同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的重要性，而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础，更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气.要想真正搞好以探究活动为主的课堂教学，必须掌握多种教学思想方法和教学技能，不断更新与改变教学观念和教学态度，使课堂真正成为学生既能自主探究，师生又能合作互动的场所，培养学生成为既有创新能力，又能够适应现代社会发展的公民.作为教师，在课堂教学中要始终牢记：学生才是学习的主体，学生才是课堂的主体；教师只是课堂教学活动的组织者、引导者与合作者.因此，课堂教学过程的设计，也必须体现出学生的主体性.。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理课件
2.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a， b， c 满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三 角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三 角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最长边，不要理所当然认为c为最 长边；
（2）验证a2＋b2与c2是否具有相等关系，若a2＋b2 ＝c2，则△ABC是以∠C为直角的பைடு நூலகம்角三角形（若c2＞a2 ＋b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2＜a2 ＋b2，则△ABC为锐角三角形）.
3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆 定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相 反，都与直角三角形有关. 4.常见的勾股定理三边的组合： ①3，4，5；②5，12，13；③6，8，10；④7， 24，25；⑤8，15，17.
5.经过证明被确认正确的命题叫做定理.我们把题 设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其 中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. （例：勾股定理与勾股定理逆定理）
第十七章 勾股定理
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直 角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边； （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求 直角三角形的另两边； （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题.
第十七章 勾股定理(应用题篇)八年级数学下册同步课堂(人教版)(解析版)
第十七章勾股定理（应用题篇）知识梳理+九大例题分析+经典同步练习知识梳理方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1．审题—分析实际问题；2．建模—建立相应的数学模型；3．求解—运用勾股定理计算；4．检验—是否符合实际问题的真实性．题型总结：确定几何体上的最短路线，先将立体图形展开成平面图形，注意展开方式，再构造直角三角形来求解最短距离；在求一些高度、长度、距离、宽度等量时，首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题再利用勾股定理进行求解。
关键词：直角三角形（寻找直角三角形、构造直角三角形）典型例题例题1．如图，是一高为2m，宽为1.5m的门框，李师傳有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；①号木板长2.8m，宽2.8m；①号木板长4m，宽2.4m．可以从这扇门通过的木板是（）A．①号B．①号C．①号D．均不能通过【答案】C【解析】根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可．解：如图，由勾股定理可得：EF==2.5,所以此门通过的木板最长为2.5m，所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米．所以选①号木板．故选C.例题2．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是（）A．2m B．4m C．6m D．8m【答案】D【解析】由题意可知OB=7m ，OA=24m ，先利用勾股定理求出AB ，梯子移动过程中长短不变，所以AB=DC ，又由题意可知OD=15m ，进而得出答案．解：在直角三角形AOB 中，因为AO=24m ，OB=7m ，由勾股定理得：=25（m ）， 由题意可知AB=CD ，又OC=24-4=20（m ），根据勾股定理得：（m ），故BD=DO -BO=15-7=8（米）．故选：D ．例题3．我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．翻译成数学问题是：如图，有一个水池，水面是边长为 10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( )A ．10 尺B ．11 尺C ．12 尺D ．13 尺【答案】D【解析】 找到题中的直角三角形，设水深为x 尺，根据勾股定理解答．解：设水深为x 尺，则芦苇长为（x ＋1）尺，根据勾股定理得：x 2＋（102）2＝（x ＋1）2， 解得：x ＝12，芦苇的长度＝x ＋1＝12＋1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：D例题4．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如AF )向外延长1倍得到点A '，B '，C '，D ，并连结得到图2.已知正方形EFGH 与正方形A B C D ''''的面积分别为21cm 和285cm ，则图2中阴影部分的面积是( )A ．215cmB ．230cmC ．236cmD ．260cm【答案】B【解析】 由正方形EFGH 与正方形A B C D ''''的面积分别为21cm 和285cm ,可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为x ，则在''Rt A ED ∆中，由勾股定理可求出x ，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．①正方形EFGH 与正方形A B C D ''''的面积分别为21cm 和285cm ，①1FG G HE E H F ====，A B B C C D A D ===''''''''=设四个直角三角形的较短边为x ，则在Rt E A D ∆''中，2D E x '=，21x A E '=+，由题意根据勾股定理得，222E E D A A D ''''+=，即()()222221x x ++=， ①13x =，2 3.5x =-（舍去），即3AF =，①314A AE C F G EF ==+=+=，2236A C H AF F ''=⨯===，132F BB DD A ==''='， ①图2中阴影部分的面积是：A B D C B D AD CB D B S S S S S '''∆∆'∆''∆=+++()2B AD A B D S S ∆'∆''=+11222B F D E A D A B '''⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 113634222⎛⎫= ⨯⨯+⨯⨯⎪⎭⨯⎝ 30=，故选：B ．例题5．如图所示，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，点A 处有一所中学，160AP m =，点A 到公路MN 的距离为80m ．假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明影响，已知拖拉机的速度为18/km h ，那么学校受影响的时间为多少秒？【答案】会受到影响，影响时间为24秒【解析】由A 点向MN 作垂线AB ，垂足为B ，通过比较AB 的长与100的大小，从而判断是否会受影响；再利用勾股定理求得距离A 点100米到离开100米的距离，除以拖拉机的速度即为影响学校的时间．解：①80100<， ∴学校会受到拖拉机的影响；如图：作AC MN ⊥于C ，则80AC =．假设当拖拉机行驶到B 点开始影响学校，行驶到D 点结束对学校的影响，则100AB AD ==米，60BC CD ∴=米，260120BD ∴=⨯=米， 18千米/时5=米/秒，÷=秒所以影响学校的时间为：120524∴拖拉机会影响学校，影响时间为24秒．例题6．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向走了到达点B，然后再沿北偏西30°方向走了50m到达目的地C．（1）求A、C两点之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的北偏东多少度方向．【答案】（1）100；（2）目的地C在营地A的北偏东30°的方向上【解析】（1）根据所走的方向判断出①ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解.∠的度数，即可求出方向.(1)如图，过点B作BE//AD.（2）求出DAC①DAB=①ABE=60°①30°+①CBA+①ABE=180°①CBA=90°AC=22BC AB=100(m).(2)在Rt①ABC中，①BC=50m,AC=100m,CAB=30°.①①DAB=60°,DAC=30°，即目的地C在营地A的北偏东30°的方向上例题7．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B 处，在沿海城市A 的正南方向240 千米，其中心风力为12 级，每远离台风中心25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20 千米/时的速度沿BC 方向移动．已知AD①BC且AD= 12AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4 级，则称受台风影响．试问：（1）A 城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案】（1）该城市会受到这次台风的影响．（2）台风影响该市的持续时间16小时（3）该城市受到这次台风最大风力为7.2级．【解析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD①BC于D，AD就是所求的线段．（2）以A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆与BC有两个交点E、F，E即开始影响，F是结束影响，求出EF长度再除以台风速度即为影响持续时间．（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，过A作AD①BC于D．在Rt①ABD中，①①ABD=30°，AB=240，①AD=12AB =120，①城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，①受台风影响范围的半径为25×（12-4）=200．①120＜200，①该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A为圆心，200为半径作①A交BC于E、F．则AE=AF=200，ED=FD．①台风影响该市持续的路程为：EF=2DF=222AF AD=320．①台风影响该市的持续时间t=320÷20=16（小时）．（3）①AD距台风中心最近，①该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．例题8．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是__．【答案】15.6cm≤a≤16.6cm．【解析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答即可解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）．13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm），故管长acm 的取值范围是15.6cm≤a≤16.6cm ．故答案为15.6cm≤a≤16.6cm ．例题9．如图，某人欲从点A 处入水横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸的地点C 偏离欲到达的地点B200m ，结果他在水中实际游了250m ，求该河流的宽度为________m.【答案】150【解析】分析：从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．详解：AB （米）．故答案为150①一、单选题1．如图，为了测量池塘的宽度DE ，在池塘周围的平地上选择了A 、B 、C 三点，且A 、D 、E 、C 四点在同一条直线上，90C ∠=︒，已测得100m AB =，60m BC =，20m AD =，10m EC =，则池塘的宽度DE （ ）A ．80mB ．60mC ．50mD ．40m【答案】C【解析】根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．解：在Rt①ABC中，AC＝80m所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一．2．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（）米．A．7B．8C．9D．10【答案】D【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解：两棵树的高度差为826m，间距为8m，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离228610m．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．3．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（）A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里【答案】B【解析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，①①AOB=90°，又①OA=8海里，OB=6海里，①AB10==（海里）．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，正确运用勾股定理,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．4．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵大树在距地面5米的C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量树尖B与树桩A相距12米，则大树折断前高为（）A．13米B．17米C．18米D．22米【答案】C【解析】在Rt①ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．解：Rt①ABC 中，AC=5米，AB=12米，由勾股定理，得：BC13=米，①树的高度为：AC+BC=18米，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．5．将一根20cm 的细木棍放入长，宽，高分别为4cm ，3cm ，12cm 的长方体盒子中，则细木棍露在外面的最短长度为（ ）．A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】B【解析】 根据题意得到木棒露在外面的最短情况，然后利用勾股定理进行求解即可．解：按如图所示的方法放置细木棒，露在盒子外面的部分才最短．在Rt CDE △中，由勾股定理，得()5cm CE ==．在Rt BCE 中，由勾股定理，得()13cm BC ===，此时露在盒子外面的部分为()20137cm AB =-=．故选B ．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若14ab =，大正方形的面积为64，则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3【答案】B【解析】 已知ab ＝14可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.由题意得：大正方形的面积为2264a b +=，又小正方形边长为-a b ，14ab =，()2222a b a b ab -=+-，()26421436a b ∴-=-⨯=，0a b ->， 6a b ∴-=．故小正方形边长为6．故选B ．【点睛】本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．7．如图，快艇从A 地出发，要到距离A 地10海里的C 地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达B 地，然后再从B 地走了6海里到达C 地，此时快艇位于B 地的（ ）．A ．北偏东20°方向上B ．北偏西20°方向上C ．北偏西30°方向上D ．北偏西40°方向上【答案】B【解析】 先根据勾股定理的逆定理得出①ABC=90°，根据平行线的性质可得：①ABE=110°，根据角的和差可得①CBE=110°－90°=20°，继而即可得出结论．解：① AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，根据勾股定理的逆定理可知222=AB BC AC ，①①ABC=90°，①①DAB=70°，AD①BE ，①①ABE=110°，则①CBE=110°－90°=20°，即点C 在点B 的北偏西20°方向上．故选B【点睛】本题主要考查勾股定理、平行线的性质、角的和差，解题的关键的利用勾股定理的逆定理求出①ABC=90°．8．如图所示，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，则AM 的长为（ ）A1B C．3D．6﹣【答案】A【解析】要求AM的长，只需求得AF的长，根据AF、AP和PF之间的关系，可得出AF的长度，又AF=AM，即可得出．在Rt①APD中，AB=2，AD=2，取AB的中点P，①AP=1，由勾股定理知==1,故选A．【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，解题关键在于求得AF的长．AO=米.若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子9．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得4的底端也恰好外移1米，则梯子AB的长度为（）A．5米B．6米C．3米D．7米【答案】A【解析】设BO xm =，利用勾股定理依据AB 和CD 的长相等列方程，进而求出x 的值，即可求出AB 的长度．解：设BO xm =，依题意，得1AC =，1BD =，4AO =．在Rt AOB 中，根据勾股定理得222224AB AO OB x =+=+，在Rt COD 中，根据勾股定理22222(41)(1)CD CO OD x =+=-++，22224(41)(1)x x ∴+=-++，解得3x =，5AB ∴==，答：梯子AB 的长为5m ．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AB CD =利用勾股定理列方程是解题的关键． 10．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】如图，过点M 作ME①PB ，在BP 上取点F ，H ，设MF=MH=150km ，求出FH ，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．解：如图，过点M 作ME①PB ，在BP 上取点F ，H ，设MF=MH=150km在Rt①PME中，①①MEP=90°，PM=240km，①MPB=30°，①ME=12PM=120km，（km），①FH=180km，①受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．故选：A【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．11．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A．10m B．11m C．12m D．13m【答案】B【解析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt①ABC 中利用勾股定理可求出x．设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，①x 2+22＝（x ﹣1）2+52，解得x ＝11，故选：B ．【点睛】此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题.12．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如AF )向外延长1倍得到点A '，B '，C '，D ，并连结得到图2.已知正方形EFGH 与正方形A B C D ''''的面积分别为21cm 和285cm ，则图2中阴影部分的面积是( )A ．215cmB ．230cmC ．236cmD ．260cm【答案】B【解析】 由正方形EFGH 与正方形A B C D ''''的面积分别为21cm 和285cm ,可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为x ，则在''Rt A ED ∆中，由勾股定理可求出x ，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．①正方形EFGH 与正方形A B C D ''''的面积分别为21cm 和285cm ，①1FG G HE E H F ====，A B B C C D A D ===''''''''=设四个直角三角形的较短边为x ，则在Rt E A D ∆''中，2D E x '=，21x A E '=+，由题意根据勾股定理得，222E E D A A D ''''+=，即()()222221x x ++=， ①13x =，2 3.5x =-（舍去），即3AF =，①314A AE C F G EF ==+=+=，2236A C H AF F ''=⨯===，132F BB DD A ==''='， ①图2中阴影部分的面积是：A B D C B D AD CB D B S S S S S '''∆∆'∆''∆=+++()2B AD A B D S S ∆'∆''=+11222B F D E A D A B '''⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 113634222⎛⎫= ⨯⨯+⨯⨯⎪⎭⨯⎝ 30=，故选：B ．【点睛】本题考查有关勾股定理的应用．解决此题的关键是根据勾股定理求出四个直角三角形的较短边．二、填空题13．如图，正方形OABC 的边OC 落在数轴上，点C 表示的数为1，点P 表示的数为﹣1，以P 点为圆心，PB 长为半径作圆弧与数轴交于点D ，则点D 表示的数为___________．1【解析】根据勾股定理求出PB的长，即PD的长，再根据两点间的距离公式求出点D对应的数．由勾股定理知：PB①PD＝5,①点D 1.1.【点睛】此题考查勾股定理及圆的半径、数轴等知识，结合各知识点熟练运用是解题关键.14．如图，一个边长为4cm的正方体，A、B为两相对的顶点，一只蚂蚁从点A沿表面爬到点B，它爬行的最短距离为________cm．【答案】【解析】把正方体进行展开，然后根据勾股定理及两点之间线段最短进行求解即可．如图，根据题意可知最短距离为AB，根据勾股定理得：AB=．蚂蚁爬行的最短距离为．【点睛】本题主要考查勾股定理及最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15．如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s【答案】8【解析】过点A作AC①ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．解：如图：过点A作AC①ON，AB=AD=200米，①公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，①AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，①AB=200米，AC=120米，①由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，①144千米/小时=40米/秒，①影响时间应是：320÷40=8秒．故答案为：8．本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．16．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm，则h的最小值__，h的最大值__．【答案】11cm 12cm【解析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，在杯子内的长度=13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范围是11≤h≤12cm．故答案为：11cm；12cm．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．17．如图，把直角三角形纸片折叠，使点C落在C′处，折痕为AD，得到①CDC′＝60°．若①ABC＝90°，AB＝1，AC，则CD＝_____．【答案】3根据周角的定义和折叠的性质可求①ADC＝150°，根据平角的定义可求①ADB＝30°，可得AD＝2AB＝2，再根据勾股定理可求BC，BD，再根据线段的和差关系可求CD的长．解：①把直角三角形纸片折叠，使点C 落在C′处，折痕为AD，①CDC′＝60°，①①ADC＝150°，①①ADB＝30°，①AD＝2AB＝2，①①ABC＝90°，①BC3=，BD=，①CD＝BC﹣BD＝3-．故答案为：3【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理得出BC与BD是解题的关键．18．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折=尺），现被大风抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈10折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为__________．【答案】4.55【解析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可．解：如图设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10−x）尺，根据勾股定理得：AC²＋BC²＝AB²，即：x²＋3²＝(10−x)²，解得：x＝4.55，故答案为：4.55.考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．19．如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，2BC =，点D 是边BC 的中点，ABC CAD ∠=∠，将ACD ∆沿直线AD 翻折，点C 落在点E 处，联结BE ，那么线段BE 的长为________．【解析】由题意可以分析知①ADC 与①ABC 相似可求出，再根据三角形面积求出EC 的长，由题意知道①BEC 为直角三角形，根据勾股定理即可求出BE 的长．由题意做图，如图：由折叠知识知EC①AD ，在①ADC 与①ABC 中，C C ABC CAD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ①①ADC①①ABC ， ①DC AC AC BC= , ①2BC =，点D 是边BC 的中点，代入DC AC AC BC=可得：，由勾股定理可得，由四边形AEDC 面积等于2①ADC 可得：21DC AC 2⨯⨯⨯=12AD EC ⨯，解得：EC=2DC AC AD ⨯⨯=2DC AC AD ⨯⨯又①ED=BD=DC ，①①BEC 是直角三角形（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），【点睛】 本题考查直角三角形折叠问题，涉及到相似和勾股定理，求出EC 是关键一步．20．（2019高桥期中考）如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的F 点处，若AB =8cm ，BC =10cm ，则EC 长为__________．【答案】3cm .【解析】首先根据勾股定理求出BF 的长，进而求出FC ，设DE xcm =，则EF DE xcm == 由长方形的宽表示出EC 的长度，根据勾股定理列出方程即可求解；设DE xcm =四边形ABCD 是矩形，∴ 8DC AB cm ==，90B C ∠=∠=由折叠的性质可得：10AF AD cm ==，DE EF xcm ==，()8EC x cm =-由勾股定理可得：6BF cm ==∴4=FC cm∴在EFC中，由勾股定理可得：()222+-=48x xx=解得：5∴853EC cm=-=故答案是：3cm【点睛】本题主要考查长方形中三角形的折叠问题，同时结合了勾股定理的计算，根据题意列出关于勾股定理的方程是求解本题的关键.21．如图，东西海岸线上有A、B两个码头，相距6千米，灯塔P到码头A距离为P在码头B的北偏东45︒方向，则灯塔P与直线AB的距离为______千米．【答案】4【解析】过P作PH①AB交AB的延长线于H，在RtΔAPH中利用勾股定理列方程求解.解：如图，过P作PH①AB 交AB的延长线于H，根据题意可得，①PBH=45°, AB=6千米，PA=①①PBH=①BPH=45°,①PH=BH，设PH=x千米，AP AH PH,在RtΔAPH中，由勾股定理得，222①2226x x,解得，x1= 4，x2= -10(不符合题意，舍去）,①PH=4千米，即灯塔P与直线AB的距离为4千米.故答案为：4【点睛】本题考查勾股定理的实际应用问题，方位问题，应用勾股定理列方程求解是解答此题的重要思路.22．将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长为h cm, 则h的取值范围是__________.【答案】11cm≤h≤12cm．【解析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB===13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故答案为11cm≤h≤12cm．【点睛】本题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．23．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若AB =AC =则DA 的长为______．【答案】6或2.【解析】由于已知没有图形，当Rt①ABC 固定后，根据“以BC 为斜边作等腰直角①BCD”可知分两种情况讨论： ①当D 点在BC 上方时，如图1，把①ABD 绕点D 逆时针旋转90°得到①DCE ，证明A 、C 、E 三点共线，在等腰Rt①ADE 中，利用勾股定理可求AD 长；①当D 点在BC 下方时，如图2，把①BAD 绕点D 顺时针旋转90°得到①CED ，证明过程类似于①求解．解：分两种情况讨论：①当D 点在BC 上方时，如图1所示，把①ABD 绕点D 逆时针旋转90°，得到①DCE ，则①ABD=①ECD ，，AD=DE ，且①ADE=90°在四边形ACDB 中，①BAC+①BDC=90°+90°=180°，①①ABD+①ACD=360°-180°=180°，①①ACD+①ECD=180°，①A 、C 、E 三点共线．在等腰Rt①ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即2AD 2=（）2，解得AD=6①当D点在BC下方时，如图2所示，把①BAD绕点D顺时针旋转90°得到①CED，则，①BAD=①CED，AD=AE且①ADE=90°，所以①EAD=①AED=45°，①①BAD=90°+45°=135°，即①CED=135°，①①CED+①AED=180°，即A、E、C三点共线．①AE=AC--在等腰Rt①ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．故答案为：6或2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．24．在锐角三角形ABC中．∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．【答案】4【解析】过点C作CE①AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′①BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据①ABC=45°，BD平分①ABC可知①BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．解：过点C作CE①AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′①BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，①ABC=45°，BD平分①ABC，①①BCE是等腰直角三角形，=4．2①CM+MN的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．三、解答题25．如图，小东将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约4米，请算出旗杆的高度．【答案】旗杆的高度为16米【解析】设旗杆的高度为x米，根据勾股定理列出方程，然后解方程即可求解．解：设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+4）米，由勾股定理得：x2+122=(x+4)2，解得：x=16，答：旗杆的高度为16米．【点睛】本题考查勾股定理的应用、解一元一次方程，读懂题意，利用勾股定理列出方程是解答的关键．26．如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是重庆市第九十四中学，AP＝160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？【答案】（1）学校会受到影响，理由见解析；（2）学校受到影响的时间是2.4秒．【解析】（1）过点A作AE①MN于点E，由点A到铁路MN的距离为80米可知AE＝80m，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB＝AC＝100m，在Rt①ABE中利用勾股定理求出BE的长，进而可得出BC的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过。
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八年级数学下学期《第17章勾股定理》例题
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则满足下列条件但不是直角三角形的是（）
A．a2﹣c2＝b2
B．a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1 （n＞1）
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．∠A＝∠B＝∠C
【分析】运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形．分别判定即可．
【解答】解：A、a2﹣c2＝b2，那么a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；故不符合题意；
B、∵a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2＝c2，故△ABC是直角三角形；故不符合
题意；
C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，故△ABC不是直角三角形；故符合题意；
D、∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝45°，
∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；故不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了直角三角形的判定方法，勾股定理逆定理的实际运用，灵活的应用此定理是解决问题的关键．
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