图框A2X-布局1
高中数学5-4三角函数的图象与性质5-4-3正切函数的性质与图象课件新人教A版必修第一册
1
2
)
3
4
2．(多选)已知函数f (x)＝tan 2x，则下列结论正确的是(
A．f (x)是奇函数
√
B．f (x)的定义域是 ≠ π
C．f (x)在
√
π
π
− ，
4
4
π
+ ，
4
∈
上单调递增
D．y＝f (x)的图象的对称中心是
√
1
2
π
，0
4
3
4
，k∈Z
)
ACD
[f (x)的定义域为 ≠
3
3
5π
1
5π
π
π
当x＝ 时，tan × − ＝tan ，无意义，排除B．故选A．]
3
2
3
3
2
• 反思领悟 解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法
• (1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案．
• (2)性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶
性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定
性质
正切函数(y＝tan x)
周期性
T＝π
对称性
正弦函数(y＝sin x)、
余弦函数(y＝cos x)
T＝2π
有无数个对称中心，不 对称中心和对称轴均有
存在对称轴
无数个
______
奇函数
π
，0
2
对称中心
，k∈Z
______________
单调性
π
π
−
+
π，
+ π ，k∈Z
在每一个区间___________________上都单调递增
集合的表示(练习及答案解析)-人教A版2019必修第一册高一数学教材配套练习
1.1 集合的概念第2课时 集合的表示基 础 练巩固新知 夯实基础1.(多选题)下列各组中M ，P 表示不同集合的是( )A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)}B ．M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R }D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }2.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( ) A ．(－5,4) B ．(5，－4) C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合4．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( ) A.{}x |x 是小于18的正奇数 B.{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5C.{}x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5D.{}x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤55．集合M ＝{(x ，y )|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }是 ( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集 6．集合{x ∈N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________．7.有下面四个结论：∈0与{0}表示同一个集合；∈集合M ＝{3,4}与N ＝{(3,4)}表示同一个集合；∈方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；∈集合{x |4＜x ＜5}不能用列举法表示．其中正确的结论是________(填写序号)．8.用列举法表示下列集合：(1)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫62－x ∈Z ，x ∈Z ； (2){(x ，y )|y ＝3x ，x ∈N 且1≤x <5}．能 力 练综合应用 核心素养9．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |为( ) A ．{0,3} B ．{1,3} C ．{－1,3} D ．{1，－3}10．已知集合A ＝{}x |x ＝2m －1，m ∈Z ，B ＝{}x |x ＝2n ，n ∈Z ，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A11.(多选题)若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R }只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．312.(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( )A ．{x |x ＝2k －1，k ∈N }B ．{x |x ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥2}C ．{x |x ＝2k ＋3，k ∈N }D ．{x |x ＝2k ＋5，k ∈N }13.已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．14.定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －23<0，则集合A －B ________.15．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求a 2014＋b 2014.16.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A 中只有一个元素，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．【参考答案】1.ABD 解析: 选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合；选项B 中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M ≠P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合．故选ABD ．2.D 解析:解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D. 3. D 解析: 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.4.D 解析:对于x ＝4s －3，当s 依次取1,2,3,4,5时，恰好对应的x 的值为1,5,9,13,17.5.D 解析:因xy ＜0，所以有x ＞0，y ＜0；或者x ＜0，y ＞0.因此集合M 表示的点集在第四象限和第二象限．6. {1} 解析: 由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1. 又x ∈N ，∈x ＝1.7.∈ 解析:{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故∈错误；∈集合M 是实数3,4的集合，而集合N 是实数对(3,4)的集合，不正确；∈不符合集合中元素的互异性，错误；∈中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．8.解：(1)因为62－x∈Z ，所以|2－x |是6的因数， 则|2－x |＝1,2,3,6，即x ＝1,3,4,0，－1,5，－4,8.所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．(2)因为x ∈N 且1≤x <5，所以x ＝1,2,3,4，其对应的y 的值分别为3,6,9,12.所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}．9.C 解析:当x >0，y >0时，m ＝3，当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1.当x ，y 异号，不妨设x >0，y <0时，m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}．10.D 解析:∈集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，∈x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，∈x 1＋x 2＋x 3为偶数．11.AB 解析:集合A 中只有一个元素，即方程kx 2＋4x ＋4＝0只有一个根．当k ＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k ≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则Δ＝16－16k ＝0，即k ＝1.所以实数k 的值为0或1.12.BD 解析:选项A ，C 中，集合内的最小奇数不大于4.13.3 解析:根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．14.{x |x ≥2} 解析: A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >－12，B ＝{x |x <2}， A －B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >－12且x ≥2＝{x |x ≥2}． 15.解: ∈A ＝B ，∈⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b ，ab ＝1.解方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或a ＝1，b 为任意实数． 由集合元素的互异性得a ≠1，∈a ＝－1，b ＝0，故a 2014＋b 2014＝1.16.解:(1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根，则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意． 综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}． (2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.。
人教A版高中数学选修2-1课件：1.4.3 含有一个量词的命题的否定
探究
写出下列命题的否定:
(1)有些实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3) ∃x0∈R, x0²+1<0.
这些命题和它们的否定在形式上 有什么变化?
第七页，编辑于星期日：六点 十四分。
以上三个命题都是特称命题,即具有形式 “∃x0∈M, p(x0)”.其中命题(1)的否定是“不存在一 个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,
解:（1）ㄱp： ∀x0∈R, x0²+2x0+2>0; （2）ㄱp：所有的三角形都不是等边三角形; （3）ㄱp：每一个素数都不含三个正因数.
第十页，编辑于星期日：六点 十四分。
例4 写出下列命题的否定,并判断其真假：
（1）p: ∃x∈R, xห้องสมุดไป่ตู้+2x+2≤0;
（2）q：至少有一个实数x,使x³+1=0
称命题的否定,有下面的结论：
特称命题p: ∃x0∈M,p(x0)， 它的否定ㄱp: ∀ x∈M,ㄱp(x).
特称命题的否定是全称命题.
第九页，编辑于星期日：六点 十四分。
例题
例3 写出下列特称命题的否定： （1）p：∃x0∈R, x0²+2x0+2≤0; （2）p：有的三角形是等边三角形;
（3）p：有一个素数含三个正因数.
（3）任意实数x都是方程3x-5=0的根; （4） ∀x∈R, x²>0;
(5) ∃x∈R, x²=1; (6) ∃x∈R, 是方程x²-3x+2=0的根.
第十三页，编辑于星期日：六点 十四分。
课后作业
课本：P27， 习题1.4 A组 3.
习题1.4 B组
2.3.3点到直线的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
是PM 在n 上的投影向量， |PQI=|PM.n|.
yA
P(x₀,y%)
n
0
O P₁
P
₂
l M(x,y)
x
内容索引
设P₁ (x₁,y₁),P₂ (x₂,y₂)是直线l:Ax+By+C=0 上的任意两点，则P₁P₂
=(x₂—x₁,y₂—y₁)是直线l的方向向量.
将 Ax₁+By₁+C=0,Ax₂+By₂+C=0
第二章 >》> 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.3 点到直线的距离公式
学习目标 活动方案 检测反馈
学习目标
学 习 目 标 XUE XI MU BIAC
1.会用向量工具推导点到直线的距离公式. 2.掌握点到直线的距离公式，能应用点到直线的距离公式解决 有关距离问题.
3.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用 等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.
内容索引
由 A(2,3) 与 B(一4,5)两点到直线 l 的距离相等，
化简，得|3k—1|=|-3k—3|, 则 3k—1=—3k—3 或 3k—1=3k+3,
解得
所以直线l的方程为x+3y-5=0. 综上所述，直线l 的方程为x=—1 或 x+3y-5=0.
内容索引
方法二：由题意，得l//AB 或l过AB 的中点. 当l//AB 时，设直线AB的斜率为kAB,直线l 的斜率为k, 则 k₁=kAB
活动方案
活动 一 探究点到直线距离的求法
探究：
如图，已知点P(x₀,y₀),直线l:Ax+By+C=0,
工程大学2023-2023学年第1学期《高等数学(上)》期末考试试卷(A卷)及标准答案
工程大学2023-2024学年第1学期《高等数学（上）》期末考试试卷（A卷）及标准答案试卷题目：高等数学（上）期末考试试卷（A卷）科目：高等数学（上）时间：2024年1月一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1.在直角坐标系中，抛物线y = x^2 - 2x 的顶点坐标是（）A. (1, -1)B. (1, 2)C. (2, 1)D. (-1, 1)2.设函数f(x) = sin(2x + π/3)，则函数 f(x) 的一个周期是（）A. π/3B. π/2C. πD. 2π3.函数 y = 3ln(2x + 1) 的图像在 x 轴上的截距是（）A. -1/2B. 1/2C. 0D. -14.设函数 f(x) = x^3 + 4x^2 + 5x，则 f(x) 的极值点是（）A. (-1, -1)B. (0, 0)C. (0, 5)D. (-5, 0)5.已知曲线 C 的参数方程为 x = t^2 - 4, y = t - 1，则曲线 C 属于（）A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 直线…二、填空题（共10题，每题3分，共30分）1.函数 f(x) = sin(2x) 的最小正周期是 _______。
2.函数 y = x^3 + 4x^2 的导函数是 _______。
…三、解答题（共4题，每题20分，共80分）1.求方程组 x^2 + y^2 = 4, x - y = 1 的解。
2.计算不定积分∫(cos^2x + 2sinx)dx。
…四、大题（共2题，每题20分，共40分）1.设 y = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 均为常数，且a ≠ 0。
若曲线 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (1, -1)，且该曲线与直线 y = x + 1 相切于点 (2, 3)，求曲线方程。
2.设函数 f(x) = e^x / (1 + e^x)，求f’(x) 和f’’(x)。
选修4-5-1不等式和绝对值不等式(人教A版·数学理)
<α<β< , 2 2 ∴ <-β<-α< , 2 2
【解析】∵ ∴-π<α-β<β-α<π,且α-β<0， ∴-π<α-β<0. 答案：(-π,0) 3.【解析】根据条件有：|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-2)-2|≤|x-1|+|2(y-2)|+2, ∵|x-1|≤1,|y-2|≤1, ∴|x-2y+1|≤1+2×1+2=5. 答案：5
.
5 x 2 4x 5 6.已知 x≥ , 则 f(x)= 的最小值为 2 2x 4
.
7.若不等式|x-2|+|x+3|<a 的解集为 ， 则 a 的取值范围为
2
.
8.设|x-2|<a 时，不等式|x -4|<1 成立，则正数 a 的取值范围是 . 2 3 9.设 x，y，z>0,且 x+3y+4z=6,则 x y z 的最大值为 . 10.如果关于 x 的不等式|x-3|-|x-4|<a 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是 11.不等式|x+2|-|x|≤1 的解集为 . 2 2 12.若实数 x,y 满足 xy>0,且 x y=2,则 xy+x 的最小值为 . 13.若关于 x 的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，则实数 a 的取值范围是
解得 1<x<2 或 0<x<1. 答案：(0,1)∪(1,2) 5.【解析】考虑绝对值不等式的几何意义：|x-a|+|x-2|可理解为数轴上的点 x 到点 a 与点 2 的距离之和， 当 a=1 或 a=3 时，对任意的 x 距离和的最小值为 1，故当 a≤1 或 a≥3 时该不等式恒成立. 答案：(-∞,1］∪［3,+∞) 6.【解析】∵x≥
人教高中数学A版必修1--第一单元 1.2-1.2.2-第1课时 应用案巩固提升 课件PPT
第一章 集合与函数概念
8．函数 y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)的值域是__________． 解析：画出函数的图象，如图所示，
观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f(2)，f(5))， 即函数的值域是[2，11)． 答案：[2，11)
2．已知函数 f(x－1)＝x2－3，则 f(2)的值为( )
A．－2
B．6
C．1
D．0
解析：选 B．法一：令 x－1＝t，
则 x＝t＋1，
所以 f(t)＝(t＋1)2－3， 所以 f(2)＝(2＋1)2－3＝6.
第一章 集合与函数概念
法二：f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2， 所以 f(x)＝x2＋2x－2， 所以 f(2)＝22＋2×2－2＝6. 法三：令 x－1＝2， 所以 x＝3， 所以 f(2)＝32－3＝6.
第一章 集合与函数概念
9.已知函数 p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数 p＝f(m)的定义域； (2)函数 p＝f(m)的值域； (3章 集合与函数概念
解：(1)观察函数 p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐 标的取值范围是－3≤m≤0 或 1≤m≤4， 由图知定义域为[－3，0]∪[1，4]． (2)由图知值域为[－2，2]． (3)由图知：p∈(0，2]时，只有唯一的 m 值与之对应．
第一章 集合与函数概念
解：f(x)＝－(x－1)2＋4 的图象如图所示： (1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0， 所以 f(1)＞f(0)＞f(3)． (2)由图象可以看出， 当 x1＜x2＜1 时， 函数 f(x)的函数值随着 x 的增大而增大， 所以 f(x1)＜f(x2)． (3)由图象可知二次函数 f(x)的最大值为 f(1)＝4，则函数 f(x)的 值域为(－∞，4]．
2022-2023学年人教A版选择性必修第一册2.3.4两条平行直线间的距离作业
2.3.4 两条平行直线间的距离课时对点练1．平行直线l 1：3x －y ＝0与l 2：3x －y ＋10＝0的距离等于( )A ．1B ．0C.10D ．3★lx 资源-[答案]A★lx 资源-[解析]l 1，l 2的距离为d ＝|10－0|32＋12＝1.2．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( )A.213B.113C.126D.526★lx 资源-[答案]C★lx 资源-[解析]5x ＋12y ＋3＝0可化为10x ＋24y ＋6＝0.由平行线间的距离公式可得d ＝|6－5|102＋242＝126.3．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是() A ．4B.21313 C.51326 D.71326★lx 资源-[答案]D★lx 资源-[解析]因为3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，所以3∶2＝6∶m ，所以m ＝4.直线6x ＋4y ＋1＝0可以转化为3x ＋2y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式可得d ＝⎪⎪⎪⎪12－(－3)32＋22＝7213＝71326.4．(多选)到直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程可能为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0 D.2x ＋y ＋2＝0★lx 资源-[答案]CD★lx 资源-[解析]因为所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0的距离为55， 所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，则d ＝|c －1|22＋12＝55， 解得c ＝0或c ＝2，故所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.5．(多选)若两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25，则m ＋n 的可能值为( )A ．3B ．－17C ．－3D ．17★lx 资源-[答案]AB★lx 资源-[解析]由题意，n ≠0，－2n ＝12，所以n ＝－4， 所以l 2：2x －4y －6＝0，即x －2y －3＝0， 由两平行直线间的距离公式得|m ＋3|12＋(－2)2＝25， 解得m ＝7或m ＝－13，所以m ＋n ＝3或m ＋n ＝－17.6．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823C.3D.833★lx 资源-[答案]B★lx 资源-[解析]由题意知，直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行， 则3＝a (a －2)，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1，当a ＝3时，直线l 1：x ＋3y ＋6＝0与l 2：x ＋3y ＋6＝0重合；当a ＝－1时，直线l 1：x －y ＋6＝0与l 2：x －y ＋23＝0平行， 两直线之间的距离为⎪⎪⎪⎪6－232＝823.7．与三条直线l 1：x －y ＋2＝0，l 2：x －y －3＝0，l 3：x ＋y －5＝0可围成正方形的直线方程为________．★lx 资源-[答案]x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0★lx 资源-[解析]易知l 1∥l 2，且它们之间的距离d ＝|2－(－3)|2＝522. 设所求直线为l 4，则l 4∥l 3，所以可设l 4：x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋5|2＝522， 解得c ＝0或－10，所以所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0.8．若直线l 1：y ＝kx ＋1与直线l 2关于点(2,3)对称，则直线l 2恒过定点______，l 1与l 2的距离的最大值是______．★lx 资源-[答案](4,5) 4 2★lx 资源-[解析]∵直线l 1：y ＝kx ＋1经过定点(0,1)，又两直线关于点(2,3)对称，则两直线经过的定点也关于点(2,3)对称，∴直线l 2恒过定点(4,5)，∴l 1与l 2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为(4－0)2＋(5－1)2＝4 2. 9．(1)求平行于直线3x ＋4y －2＝0，且与它的距离是1的直线方程；(2)求垂直于直线x ＋3y －5＝0且与点P ( －1,0)的距离是3105的直线方程． 解 (1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 由题意知|m ＋2|32＋42＝1， 解得m ＝3或－7，所以所求直线方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0.(2)设所求直线方程为3x －y ＋c ＝0，由题意，可得点P 到直线的距离等于3105，即d ＝|－3＋c |10＝3105， 解得c ＝9或c ＝－3，所以所求直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.10．设直线l 1：x －2y －1＝0与l 2：(3－m )x ＋my ＋m 2－3m ＝0.(1)若l 1∥l 2，求l 1，l 2之间的距离；(2)若直线l 2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l 2的方程． 解 (1)若l 1∥l 2，则m ≠0，∴12＝－3－m m，∴m ＝6， ∴l 1：x －2y －1＝0，l 2：x －2y －6＝0，∴l 1，l 2之间的距离d ＝51＋4＝ 5.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m ＞0，∴0＜m ＜3， 直线l 2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S ＝12m (3－m )＝－12⎝⎛⎭⎫m －322＋98， ∴当m ＝32时，S 的最大值为98， 此时直线l 2的方程为2x ＋2y －3＝0.11．已知直线l 1：mx ＋2y －4－m ＝0(m >0)在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 1与直线l 2：x ＋y －1＝0间的距离为( )A.22 B. 2 C.22或 2 D ．0或 2★lx 资源-[答案]B★lx 资源-[解析]∵直线l 1：mx ＋2y －4－m ＝0(m >0)在x 轴、y 轴上的截距相等， ∴m ＋4m ＝m ＋42，∴m ＝2，∴直线l 1：2x ＋2y －4－2＝0，即x ＋y －3＝0，则直线l 1与直线l 2：x ＋y －1＝0间的距离为|－1＋3|2＝ 2. 12．(多选)两条平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离可能取值为 ( )A ．1B ．3C ．5D ．7★lx 资源-[答案]ABC★lx 资源-[解析]当两直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，两平行直线l 1，l 2间的最大距离为|PQ |＝(－1－2)2＋[3－(－1)]2＝5，所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．13．直线l 1，l 2分别过点M (1,4)，N (－3,1)，它们分别绕点M 和N 旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d 的最大值是( )A ．5B ．4C.13D ．3★lx 资源-[答案]A★lx 资源-[解析]根据题意画出图象，如图所示，根据图象可得当l 1∥l 2，且l 1⊥MN ，l 2⊥MN 时，l 1与l 2之间的距离为|MN |；当l 1∥l 2，但是l 1与MN 不垂直，l 2与MN 不垂直时，过M 点向l 2引垂线，垂足为P ，则l 1与l 2之间的距离为|MP |；因为|MN |>|MP |，所以d max ＝|MN |＝[1－(－3)]2＋(4－1)2＝5.14．若某直线被两平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则该直线的倾斜角大小为________．★lx 资源-[答案]15°或75°★lx 资源-[解析]由两平行直线的距离公式，可得直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0的距离为d ＝|3－1|2＝2，又直线被两平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，即该直线与直线l 1所成角为30°，又直线l 1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.15.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l 2的方程为_______________．★lx 资源-[答案]x ＋y －3＝0★lx 资源-[解析]设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b ,0)，C (0，b )．所以AD ＝2，BC ＝2b .梯形的高h 就是两平行直线l 1与l 2的距离，故h ＝|b －1|2＝b －12(b >1)， 由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， 所以b 2＝9，b ＝±3.又b >1，所以b ＝3.所以所求直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.16．已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，且l 1和l 2的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5？若能，求出P 点坐标；若不能，请说明理由．解 (1)l 2的方程即为2x －y －12＝0，∴l 1和l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510， ∴⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. ∵a >0，∴a ＝3. (2)设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1和l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上， 且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或c ＝116. ∴2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0. 若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式，得 |2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， ∴x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.∵点P 在第一象限，∴3x 0＋2＝0不符合题意．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得x 0＝－3，y 0＝12，应舍去． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得x 0＝19，y 0＝3718. 所以P ⎝⎛⎭⎫19，3718即为同时满足三个条件的点．。
最新高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修2-3(考试必备)
1.3.1 二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点 二项式定理及其相关概念思考1 我们在初中学习了(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，试用多项式的乘法推导(a ＋b )3，(a ＋b )4的展开式．答案 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，(a ＋b )4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4. 思考2 能用类比方法写出(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式吗？ 答案 能，(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．梳理1．(a ＋b )n展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × ) 3．C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( × )4．(a －b )n与(a ＋b )n的二项式展开式的二项式系数相同．( √ )类型一 二项式定理的正用、逆用例1 (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．考点 二项式定理题点 运用二项式定理求展开式解 方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 解 原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n. 引申探究若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________. 答案 44解析 ∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a ＝28，b ＝16，∴a ＋b ＝28＋16＝44.反思与感悟 (1)(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1. 考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5. 类型二 二项展开式通项的应用 命题角度1 二项式系数与项的系数 例2 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －23x 10. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 解 ⎝⎛⎭⎪⎫3x －23x 10的展开式的通项是 T k ＋1＝C k 10(3x )10－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x k ＝C k 10310－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k ·1032kx- (k ＝0,1,2，…，10)．(1)展开式的第4项(k ＝3)的二项式系数为C 310＝120. (2)展开式的第4项的系数为C 31037⎝ ⎛⎭⎪⎫－233＝－77 760. (3)展开式的第4项为T 4＝T 3＋1＝－77 760x .反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． (2)第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C kn .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.跟踪训练2 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)因为T 3＝C 2n (x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n 62n x-，T 2＝C 1n (x )n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n 32n x -，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81， 所以n 2＝81，n ∈N *，故n ＝9.(2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k 9(x )9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k9932k x-，所以9－3k 2＝3，k ＝1，所以第二项为含x 3的项为T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3. 二项式系数为C 19＝9.命题角度2 展开式中的特定项例3 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 解 通项公式为T k ＋1＝C kn3n k x-(－3)k3k x-＝C k n(－3)k23n k x-.(1)∵第6项为常数项，∴当k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)令10－2k 3＝2，得k ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2k3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N .令10－2k3＝t (t ∈Z )， 则10－2k ＝3t ，即k ＝5－32t .∵k ∈N ，∴t 应为偶数．令t ＝2,0，－2，即k ＝2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2. 反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1；②求含x k 的项(或x p y q 的项)；③求常数项；④求有理项．(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练3 (1)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 1解析 展开式的通项为T k ＋1＝C k 9x 9－k(－a )k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xk＝C k9·(－a )k x9－2k(0≤k ≤9，k ∈N )．当9－2k ＝3时，解得k ＝3，代入得x 3的系数， 根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1.(2)已知n 为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x n的二项展开式的常数项是________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 160解析 由题意得n ＝6，∴T k ＋1＝2k C k 6x6－2k，令6－2k ＝0得k ＝3，∴常数项为C 3623＝160.1．(x ＋2)n的展开式共有11项，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．8 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 B解析 因为(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n的展开式共有11项，所以n ＝10，故选B.2．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn 等于( ) A ．1 B ．1 C ．(－1)nD ．3n考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 C解析 逆用二项式定理，将1看成公式中的a ，－2看成公式中的b ，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 D解析 展开式的通项为T k ＋1＝C kn (x 2)n －k·(－1)k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝(－1)k C k n x 2n －3k.令2n －3k ＝0，得n ＝32k (n ，k ∈N *)，若k ＝2，则n ＝3不符合题意，若k ＝4，则n ＝6，此时(－1)4·C 46＝15，所以n ＝6.4．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式的通项为T k ＋1＝C k 24·(x )24－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x k ＝C k 245126kx -，故当k ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项． 5．求二项式(x －3x )9展开式中的有理项． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项解 T k ＋1＝C k 9912kx -⎛⎫ ⎪⎝⎭·13kx ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(－1)k C k9·276kx -，令27－k 6∈Z (0≤k ≤9)，得k ＝3或k ＝9，所以当k ＝3时，27－k 6＝4，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4，当k ＝9时，27－k 6＝3，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.综上，展开式中的有理项为－84x 4与－x 3.1．注意区分项的二项式系数与系数的概念． 2．要牢记C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．一、选择题1．S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3，则S 等于( ) A ．x 4B ．x 4＋1 C ．(x －2)4D ．x 4＋4考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 A解析 S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44＝[(x －1)＋1]4＝x 4，故选A.2．设i 为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为( ) A ．－20i B ．15i C ．20D ．－15考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中的特定项 答案 D解析 (1＋i)6展开式中的第3项为C 26i 2＝－15. 3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数是( ) A ．－840 B ．840 C ．210D ．－210考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 B解析 在通项公式T k ＋1＝C k 10(－2y )k x 10－k中，令k ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数为C 410×(－2)4＝840.4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式中，若常数项为60，则n 等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 B解析 T k ＋1＝C k n(x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝2k C kn 32n k x-.令n －3k2＝0，得n ＝3k .根据题意有2k C k3k ＝60，验证知k ＝2，故n ＝6.5．若(1＋3x )n (n ∈N *)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( ) A ．4 B ．27 C ．36D ．108考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 D解析 T k ＋1＝C kn (3x )k，由C 2n ＝6，得n ＝4，从而T 4＝C 34·(3x )3，故第四项的系数为C 3433＝108.6．在二项式121412nx x ⎛⎫⎪+⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 C解析 二项展开式的前三项的系数分别为1，C 1n ·12，C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122，由其成等差数列，可得2C 1n ·12＝1＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122⇒n ＝1＋n (n －1)8，所以n ＝8(n ＝1舍去)．所以展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12k344kx -.若为有理项，则有4－3k4∈Z ，所以k 可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项答案 B解析 依据分段函数的解析式， 得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 4，∴T k ＋1＝C k4(－1)k xk －2.令k －2＝0，则k ＝2，故常数项为C 24(－1)2＝6. 二、填空题8.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 7的展开式中倒数第三项为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案84x8解析 由于n ＝7，可知展开式中共有8项， ∴倒数第三项即为第六项，∴T 6＝C 57(2x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝C 57·221x 8＝84x8.9．若(x ＋1)n ＝x n＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 11解析 a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n .∵a ∶b ＝3∶1， ∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31，即n (n －1)(n －2)·26n (n －1)＝3， 解得n ＝11.10．已知正实数m ，若x 10＝a 0＋a 1(m －x )＋a 2(m －x )2＋…＋a 10(m －x )10，其中a 8＝180，则m 的值为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 2解析 由x 10＝[m －(m －x )]10，[m －(m －x )]10的二项展开式的第9项为C 810m 2(－1)8·(m －x )8， ∴a 8＝C 810m 2(－1)8＝180， 则m ＝±2.又m >0，∴m ＝2.11．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 5解析 展开式的通项公式T k ＋1＝C k n(3x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x k，∴T k ＋1＝3n －k C kn52n k x-，k ＝0,1,2，…，n .令n －52k ＝0，n ＝52k ，故最小正整数n ＝5. 三、解答题12．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，且B ＝4A ，求a 的值．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数解 ∵T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝⎛⎭⎪⎫－a x k ＝(－a )k C k6362kx -，令6－3k 2＝3，则k ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2；令6－3k 2＝0，则k ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4.由B ＝4A 可得a 2＝4，又a >0， ∴a ＝2.13．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数； (3)含x 的整数次幂的项的个数． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项解 已知二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C kn 522n k x -.(1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2×10－52k ＝5，得k ＝25(20－5)＝6.所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．四、探究与拓展14．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i ) (i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 3解析 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．即a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n的展开式的通项公式知T k ＋1＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a k(k ＝0,1,2，…，n )．故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.15．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中含x 项的系数是19(m ，n ∈N *)．(1)求f (x )的展开式中含x 2项的系数的最小值；(2)当f (x )的展开式中含x 2项的系数取最小值时，求f (x )的展开式中含x 7项的系数． 考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)由题设知m ＋n ＝19，所以m ＝19－n ，含x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n＝(19－n )(18－n )2＋n (n －1)2＝n 2－19n ＋171＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋3234.因为n ∈N *，所以当n ＝9或n ＝10时，x 2项的系数的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3234＝81.(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2项的系数取最小值，此时x7项的系数为C710＋C79＝C310＋C29＝156.。
2022-2023学年人教A版选择性必修第一册 2
A 级 基础巩固1.已知圆的方程为x 2+y 2-2x+6y+8=0,则通过圆心的一条直线的方程是 ( )A.2x-y-1=0B.2x-y+1=0C.2x+y+1=0D.2x+y-1=0解析:因为圆的方程为x 2+y 2-2x+6y+8=0,所以圆心坐标为(1,-3),代入选项中的方程可知仅C 项符合.答案:C2.已知圆C :(x-a )2+(y-b )2=1过点A (1,0),则圆C 的圆心的轨迹是( )A.点B.直线C.线段D.圆解析:因为圆C :(x-a )2+(y-b )2=1过点A (1,0),所以(1-a )2+(0-b )2=1,即(a-1)2+b 2=1,所以圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.答案:D3.已知圆C :x 2+y 2+2x+ay-3=0(a 为实数)上任意一点关于直线l :x-y+2=0的对称点都在圆C 上,则a=-2.解析:由题意可知直线l :x-y+2=0过圆心(-1,-a 2),所以-1+a 2+2=0,解得a=-2.4.若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F=4.解析:由题意,知D=-4,E=8,半径r=√(-4)2+82-4F 2=4,解得F=4.5.关于x ,y 的方程x 2+y 2+2ax-2ay=0表示的圆,有下列说法:①圆心在直线y=-x 上;②圆心在x 轴上;③过原点;④半径为√2a.其中正确的是①③(填序号).解析:将圆的方程化为标准方程为(x+a )2+(y-a )2=2a 2,可知圆心为(-a ,a ),半径为√2|a|,故①③正确.6.已知点A (-1,0),B (3,0),C (0,√3).(1)若直线l 经过A ,C 两点,求直线l 的方程;(2)若圆G 经过A ,B ,C 三点,求圆G 的方程.解:(1)若直线l 经过A ,C 两点,则由截距式求得直线AC 的方程为x -1+√3=1,即√3x-y+√3=0. (2)若圆G 经过A ,B ,C 三点,设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,则有{1+0-D +0+F =0,9+0+3D +0+F =0,0+3+0+√3E +F =0,解得{D =-2,E =0,F =-3, 故圆G 的方程为x 2+y 2-2x-3=0.B 级 能力提升 7.关于x ,y 的方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是 ( ) A.14<m<1 B.m<14或m>1 C.m<14 D.m>1解析:由题意,x 2+y 2+4mx-2y+5m=0可化为(x+2m )2+(y-1)2=4m 2-5m+1.当方程表示圆时,4m 2-5m+1>0,即(4m-1)(m-1)>0,解得m<14或m>1.答案:B8.已知点M 是圆C :x 2+y 2=1上的动点,点N (2,0),则线段MN 的中点P 的轨迹方程是 ( )A.(x-1)2+y 2=14B.(x-1)2+y 2=12C.(x+1)2+y 2=12D.(x+1)2+y 2=14 解析:设线段MN 的中点P 的坐标为(x ,y ),则点M 的坐标为(2x-2,2y ).因为点M 是圆C :x 2+y 2=1上的动点,所以(2x-2)2+(2y )2=1,即(x-1)2+y 2=14.答案:A9.已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),点B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点.(1)求线段AP 中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ 中点的轨迹方程.解:(1)设线段AP 的中点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标为(x 0,y 0),因为{x =2+x 02,y =0+y 02,所以{x 0=2x -2,y 0=2y . 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4上,所以(2x-2)2+(2y )2=4,所以(x-1)2+y 2=1.(2)设线段PQ 的中点为N (x ,y ),在Rt △PBQ 中,|PN|=|BN|,设O 为坐标原点,连接ON (图略),则ON ⊥PQ ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x 2+y 2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2-x-y-1=0.10.已知圆C : x 2+y 2+Dx+Ey+3=0,其圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限,半径为√2,求圆的一般方程.解:由题意知,圆心C (-D 2,-E 2). 因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-D 2-E 2-1=0,即D+E=-2. ①又因为半径r=√D 2+E 2-122=√2,所以D 2+E 2=20. ② 由①②可得{D =2,E =-4或{D =-4,E =2. 又因为圆心在第二象限,所以-D 2<0,-E 2>0,即D>0,E<0. 所以{D =2,E =-4. 所以圆的一般方程为x 2+y 2+2x-4y+3=0.C 级 挑战创新11x 2+y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为√22,则a 的值为()A. 2B.12C. 0D.-2解析:由题意,知圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,所以圆心为(1,2). 由圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为√22,得√12+(-1)2=√22,解得a=2或a=0.12x ,y 的方程x 2+y 2-4x-2y+m=0,若方程表示圆,则圆心坐标为(2,1),实数m 的取值范围为(-∞,5).解析:x 2+y 2-4x-2y+m=0可化为(x-2)2+(y-1)2=5-m ,所以圆心为(2,1). 因为方程表示圆,所以5-m>0,即m<5.。