南通市2013届高三第二次调研测试数学参考答案及评分建议
南通市2019届高三第二次调研测试参考答案
南通市2019届高三第二次调研测试参考答案及评分建议数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 若15ii 3ia b +=+-（a b ∈，R ，i 为虚数单位），则ab = ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）． 4． 把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．6．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a = ▲ ．8．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，则111213a a a ++= ▲ ．9． 设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α． 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： ▲ （用序号表示）． 10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--． 给出下列不等式：①()()sin cos 6π6πf f <；②(sin1)(cos1)f f >；③()()cos sin 332π2πf f <；④(cos2)(sin 2)f f >．其中正确的是 ▲ （用序号表示）．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy中，设()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：1212()d P Q x x y y =-+-，． 已知()10B ，，点M 为直线220x y -+=上动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐标是 ▲ ．13．若实数x ，y ，z ，t 满足110000x y z t ≤≤≤≤≤，则x z y t +的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OC =OA OB λμ+，则()223λμ+-的取值范围是 ▲ ． 【填空题答案】1. x －y －2=02. 825-3. 真4. 26275. 26.(){}20， 7. 12 8. 1059. ①③④⇒②或②③④⇒① 10. ④ 11. 21- 12. ()312， 13. 15014. ()2+∞，二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为边P A 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，4AB BC AC ===，PA PC ==．求证： （1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥， 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，PABCOEFG(第15题)BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分 （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边P A 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△P AB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点，作过FG 且与平面EBO 平行的平面证得. 16．（本小题满分14分）已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ=，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()1f C =，且△ABC ，求sin A +sin B 的值．【解】（1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x + (3)分由()π2cos 16x ++=，得()π1co s 62x +=， ………………5分 于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分因为△ABC 1πsin 26ab =，于是ab =. ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b .PACOE FGQ由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② 由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 于是2a b +=． ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1s i 2A B a b +=+=+． ………………14分 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）试判断直线11A B 与圆C 的位置关系； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程． 【解】（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B 的倾斜角的正弦为1313=，于是228a b =，即228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率e == …………4分 （2）由e =可设()40a k k =>，c，则b =， 于是11A B的方程为：40x k -+=， 故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =242k kk +=， …………………………6分 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分 （3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12k =， …………………………10分设2OA 的中点()10,关于直线11A B：20x -+=的对称点为()m n , ，则1,112022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩． …………………………12分解得13m n ==, 所以，圆C 的方程为()(22113x y -+=． …………………………14分18．（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由分别在半径都是2km 的圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧构成，点P 在圆Q 上，点Q 在圆P 上，现在要在公园里建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ， S △RST =RT SH ⋅21． ……………………2分（第17题甲）（第17题乙）TQPNMSR甲乙由题意，△RST 在月牙形花园里， RT与圆Q只能相切或相离； ……………………4分RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BP A =θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．……………………8分令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． ………………… 11分若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， …………………14分函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积的最大值为36（km 2）． …………………16分 19． （本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA =()()11x f x ，，()()22OB x f x =，，OM =(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB ．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“MN ≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f (x )=x 2在区间[0，1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准k=18下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e －1)=0.541）． 【解】（1）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ， 所以B，N，A三点在一条直线上， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB ，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)， 则有()221124MN x x x =-=--+，故|104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，； 所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分（2）对于1e e m m +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分则直线AB 的方程11(e )ee mm my m x +-=--， ……………………10分令11()ln (e )eem m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，， 于是111()e em m h x x +'=--， ……………………13分列表如下： MN =(h x 又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0．12318<，从而命题成立． ……………………16分 20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p ra a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r ；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ． 【解】（1）当1n =时，11a =； 当*2n n ∈N ≥，时，2121(1)n a a a n -+++=-，所以22(1)21n a n n n =--=-；综上所述，*21()n a n n =-∈N ． ……………………3分 （2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p r a a a ，，成等差数列，则1213221r p k pa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112x z y+=，所以2xyz x y=-， ……………………7分令21y x =-得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--， 所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设.……………………10分（3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ， 它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项， ……12分显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以他们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． ……………………14分下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似： 若三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，则11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++， 整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾， 因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． ……………………16分 【注】1．第（2）小题当a k 不是质数时，p ，r 的解不唯一；2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设123n n n <<，且123n n n a a a ，，符合题意，则公比q >1，因123n n n a a a <<，又123n n n a a a +>，则21q q +>，所以1q <因为三项均为整数，所以q为1⎛ ⎝内的既约分数且1n a 含平方因子，经验证，仅含21或23时不合，所以12*(23)()n a k p k p =+∈N ，；3．第（3）小题的构造形式不唯一．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题中，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线，切点为A ，M 为P A 的中点， 过M 引圆的割线交圆于B ，C 两点，且∠BMP =100°，∠BPC =40°， 试求∠MPB 的大小．【解】因为MA 为圆O 的切线，所以2MA MB MC =⋅． 又M 为P A 的中点，所以2MP MB MC =⋅． 因为B M ∠=∠，所以B M∆∆． ………………5分 于是MPB MCP ∠=∠． 在△MCP中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=︒得，∠MPB =20°． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α， 即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……………………5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得232， ，， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21—A 题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πc o s 24ρθ-=P为曲线C 上的一个动点，求点P 到直线l 距离的最小值．【解】()πcos 4ρθ-=cos sin 4ρθρθ+=，则直线l的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离d =，即d =，其中cos sinϕϕ=…………………8分当()sin 1αϕ+=时，m i n d = ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值． 【解】因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1， 所以，()()()()()2111323232111323232a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当323232a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是BD 的中点，E 是D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .ABDO（第22题）EB 1A 1CC 1D 1（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ．求λ的值.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)，()11022O ，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，， 于是()111442DE =，，，()1011CD =-，，. 由cos 1DE CD 〈〉，＝11||||DE CD DE CD ⋅⋅＝. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为. ……………………5分 （2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . (7)分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2． ……………………10分23．一种抛硬币游戏，规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和期望E ξ； （2）求恰好得到n 分的概率． 【解】(1)所抛5次得分ξ的分布列为(或P (ξ＝i )= ()5551C 2i - (i =5，6，7，8，9，10) . Eξ=()5105551C2i i i -=⋅∑=152(分) . ……………………5分 (2)令p n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n =12p n －1，……………………7分即p n －23=－12()123n p --. 于是{}23n p -是以p 1－23=12－23=－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以p n －23=－16()112n --，即p n ＝()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. 答：恰好得到n 分的概率是()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. ……………………10分。
淮安2013届高三第二次调研测试数学参考答案及评分建议
因为O为△ABC的外心，所以 ，
于是 ．…………………………………………12分
所以当 时， ， ；
当 时， ， ．………………………………………………………14分
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，BC//平面PAD， ,
．求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
第11题本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的恒等变换等.
法一：由 得， ， ，
由 ， ，所以 .
= .
法二：由 得， ，由法一可知， ， .
.
法三：由 ，得 ， ， =
.
第12题本题考查数列、递推数列，概率及分类讨论.
法一：由 得 a2＝16，或a2＝6
再由a2＝16，或a2＝6及 ，得a1=32，14，12，4.故概率为 .
第5题本题考查茎叶图的概念，重在看懂所给的茎叶图.评讲时对统计的有关知识适当归纳总结一
下，统计重在操作，记住解题的步骤，按照课本的要求步骤解题.计算本题时，适当讲一些
算平均值的方法与技巧.
第6题本题考查算法的概念，算法主要考查流程图与伪代码，复习时要求能看懂流程图与伪代码就
行，不宜过难过深.
第7题本题考查圆锥曲线的几何性质.研究圆锥曲线的性质常用二种方法，一是由方程研究曲线的几何性质，二是由曲线的几何性质求曲线的方程.另外，在解题时，适当利用圆锥曲线的定义可以取到“时半功倍”之效.
第16题主要考查线面平行和面面垂直的处理，本题中当 时结论不成立， 为锐角，钝角均可。本题的辅助性的添加是解决立体几何的常用手段。
第17题考查实际问题建立数学模型的能力，理清综合费用的表示，求出平均费用后，由待定系数法求出常数。列式时注意单位要统一。本题还可以只计算一幢楼的平均成本。第（2）由数列知识求得每平方米平均综合费用为f(n)，再由利用基本不等式可得最低费用，提醒学生注意均值不等式求最值注意检验等号成立的条件一正、二定、三相等。最后作答。
2020届南通市高三第二次调研测试数学试题原卷版
江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试数学试题2020．4一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{1，4}，B ＝{a ﹣5，7}．若A I B ＝{4}，则实数a 的值是 ． 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ． 3．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 吨．4．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．5．“石头、 剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ． 6．在△ABC 中，已知B ＝2A ，AC ＝3BC ，则A 的值是 ．7．在等差数列{}n a (n N *∈)中，若124a a a =+，83a =-，则20a 的值是 ．8．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ．9．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线y ＝2x 上，过点P 作圆C ：(x ﹣4)2＋y 2＝8的一条切线，切点为T ．若PT ＝PO ，则PC 的长是 ．11．若x ＞1，则91211x x x +++-的最小值是 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线xy e =在点P(0x ，0xe )处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B(0x ，0)，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ． 13．图（1）是第七届国际数学教育大会(ICME —7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图(2)），其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，则6778A A A A ⋅u u u u u r u u u u u r 的值是 ．14．设函数2log , 04()(8), 48x a x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m = 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a r ＝(cos α，sin α)，b r＝(cos(α＋4π)，sin(α＋4π))，其中0＜α＜2π． （1）求()b a a -⋅r r r的值；（2）若c r ＝(1，1)，且()b c +r r ∥a r，求α的值．16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，点P ，Q 分别为AB 1，CC 1的中点．求证：（1）PQ ∥平面ABC ； （2）PQ ⊥平面ABB 1A 1．17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ﹣3)2＋y 2＝1，椭圆E ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N ．当AN ＝127AM 时，求直线l 的方程．18．（本题满分16分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE 将△ABC 分成面积之比为2：1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）．设AD ＝x ，DE ＝1y ，AM ＝2y （单位：百米）．（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．19．（本题满分16分）若函数()f x 在0x 处有极值，且00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“F 点”． （1）设函数2()2ln f x kx x =-(k ∈R)．①当k ＝1时，求函数()f x 的极值；②若函数()f x 存在“F 点”，求k 的值；（2）已知函数32()g x ax bx cx =++(a ，b ，c ∈R ，a ≠0)存在两个不相等的“F 点”1x ，2x ，且12()()1g x g x -≥，求a 的取值范围．20．（本题满分16分）在等比数列{}n a 中，已知11a =，418a =．设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b =-，112n n n a b S -+=-(n ≥2，n N *∈)．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （3）是否存在等差数列{}n c ，使得对任意n N *∈，都有n n n S c a ≤≤?若存在，求出所有符合题意的等差数列{}n c ；若不存在，请说明理由．江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试数学附加题21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝0 1 0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵10 2A 0b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．若曲线C 1：2214x y +=在矩阵A 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求曲线C 2的方程．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C 的方程为rρ=(r ＞0)，直线l 的方程为cos()4πρθ+=．设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB ＝r 的值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足2222222111x y z x y z ++=+++，证明：222111x y z x y z++≤+++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天， 每名员工休假的概率都是12，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业．（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为X ，求X 的分布列和数学期望． 23．（本小题满分10分）我们称n (n N *∈)元有序实数组(1x ，2x ，…，n x )为n 维向量，1nii x=∑为该向量的范数．已知n 维向量a r＝(1x ，2x ，…，n x )，其中i x ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，…，n ．记范数为奇数的n 维向量a r的个数为A n ，这A n 个向量的范数之和为B n ．（1）求A 2和B 2的值；（2）当n 为偶数时，求A n ，B n （用n 表示）．数学Ⅰ答案及评分建议一、填空题：1．9 2 3．10 4．52 5．23 6．π6 7．-15 8．13 9．2 1011．8 12．ln 6 13 14．()1-∞，二、解答题：15．（1）因为向量()cos sin αα=，a ，()()()ππcos sin 44αα=++，b ，所以()2-⋅=⋅-b a a a b a …2分()()()22ππcos cos sin sin cos sin 44αααααα=+++-+ …4分()πcos 14=--1=-． ……6分 （2）因为()11=，c ，所以+b c ()()()ππcos 1sin 144αα=++++，．因为()+b c ∥a ，所以()()()()ππcos 1sin sin 1cos 044αααα++-++=．…9分于是()()ππsin cos sin cos cos sin 44αααααα-=+-+，()ππsin 44α-=，即()π1sin 42α-=． ………………12分 因为π02α<<，所以πππ444α-<-<． 于是ππ46α-=，即5π12α=． …14分 16．（1）取AB 的中点D ，连结PD CD ，．在△1ABB 中，因为P D ，分别为1AB AB ，中点， 所以1PD BB ∥，且112PD BB =． 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，11CC BB ∥，11CC BB =．因为Q 为棱1CC 的中点，所以1CQ BB ∥，且112CQ BB =． …3分于是PD CQ ∥，PD CQ =．所以四边形PDCQ 为平行四边形，从而PQ CD ∥． ……5分又因为CD ABC ⊂平面，PQ ABC ⊄平面，所以PQ ABC ∥平面． …7分（2）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，1BB ABC ⊥平面．又CD ABC ⊂平面，所以1BB CD ⊥．因为CA CB =，D 为AB 中点，所以CD AB ⊥． ……10分由（1）知CD PQ ∥，所以1BB PQ ⊥，AB PQ ⊥． ……12分 又因为1AB BB B =I ，11AB ABB A ⊂平面，111BB ABB A ⊂平面，所以11PQ ABB A ⊥平面． ……14分17．（1）记椭圆E 的焦距为2c （0c >）．因为右顶点()0A a ，在圆C 上，右准线2a x c=与圆C ：()2231x y -+=相切．所以()22230131a a c ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，， 解得 21a c =⎧⎨=⎩，．于是2223b a c =-=，所以椭圆方程为：22143y x +=． ……4分 （2）法1：设()()N N M M N x y M x y ，，，，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()2y k x =-．由方程组 ()222143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，()2222431616120k x k x k +-+-=．所以221612243N k x k -⋅=+，解得228643N k x k -=+． ……6分 由方程组()()22231y k x x y =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， 消去y 得，()()2222146480k x k x k +-+++=， 所以224+821M k x k ⋅=+，解得222+41M k x k =+． ……8分 因为127AN AM =，所以()12227N M x x -=-． ……10分 即22121227431k k =⋅++，解得 1k =±， ……12分所以直线l 的方程为20x y --=或 20x y +-=． ……14分法2：设()()N N M M N x y M x y ，，，，当直线l 与x 轴重合时，不符题意．设直线l 的方程为：()20x ty t =+≠． 由方程组222143x ty y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()2234120tx ty ++=，所以21234N t y t -=+ ． ……6分由方程组 ()22231x ty x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 得， ()22120t x ty +-=， 所以221M t y t =+ ． ……8分 因为127AN AM =，所以127N M y y =-． ……10分即22121227341t t t t -=-⋅++，解得 1t =±， ……12分 所以直线l 的方程为20x y --=或 20x y +-=． ……14分 18．（1）因为23ADE ABC S S =△△，△ABC 是边长为3的等边三角形，又AD = x ， 所以()2121sin =3sin 23323AD AE ππ⋅⋅⨯⨯，所以6AE x =． ……2分由03603AD x AE x <=⎧⎪⎨<=⎪⎩≤，≤，得23x ≤≤． ……4分 法1：在ADE △中，由余弦定理，得22222362cos 63DE AD AE AD AE x x π=+-⋅⋅=+-．所以，直道DE 长度y 1关于x的函数关系式为[]123y x ∈，． ……6分在ADM △和AEM △中，由余弦定理，得2222cos AD DM AM DM AM AMD =+-⋅⋅∠ ①()2222cos AE EM AM EM AM AMD =+-⋅⋅π-∠ ② …8分 因为M 为DE 的中点，所以12DM EM DE ==．由①+②，得22222221222AD AE DM EM AM DE AM +=++=+，所以()()222226136622x x AM xx+=+-+， 所以2229342x AM x =++． 所以，直道AM 长度y 2关于x 的函数关系式为[]223y x =∈，． ……10分 法2：因为在ADE △中，DE AE AD =-u u u r u u u r u u u r，所以()2222222663622cos 63DE AE AE AD AD x x x x x x π=-⋅+=-⋅+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 所以，直道DE 长度y 1关于x的函数关系式为[]123y x ∈，． ……6分在△ADE 中，因为M 为DE 的中点，所以()12AM AD AE =+u u u u r u u u r u u u r． …8分所以()()2222211362644AM AD AE AD AE x x =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．所以，直道AM 长度y 2关于x的函数关系式为[]223y x =∈，．……10分（2）由（1）得，两条直道的长度之和为12+DE AM y y =+=+……12分=（当且仅当22223694x x x x⎧=⎪⎨⎪=⎩，即x =时取=“”）． …14分答：当AD百米．16分19．（1）① 当k = 1时，f ( x ) = x 2- 2 ln x( k ∈R )，所以()()()()2110x x f x x x-+'=>，令()0f x '=，得x = 1， ……2分列表如下：所以函数()f x 在x = 1处取得极小值，极小值为1，无极大值． ……4分 ② 设x 0是函数()f x 的一个“F 点”()00x >．因为()()()2210kx f x x x-'=>,所以x 0是函数()f x '的零点．所以0k >，由()00f x '=，得201kx x ==， 由00()f x x =，得2002ln kx x x -=，即00+2ln 10x x -=． ……6分 设()+2ln 1x x x ϕ=-，则()21+0x xϕ'=>，所以函数()+2ln 1x x x ϕ=-在()0+∞，上单调增，注意到()10ϕ=， 所以方程00+2ln 10x x -=存在唯一实根1，所以0=1x =，得1k =， 根据①知，1k =时，1x =是函数()f x 的极小值点，所以1是函数()f x 的“F 点”．综上，得实数k 的值为1． ……9分（2）因为g (x ) = ax 3 + bx 2 + cx ( a ，b ，c ∈ R ，a ≠ 0 )所以()()2320g x ax bx c a '=++≠．又因为函数g (x ) 存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，所以x 1，x 2是关于x 的方程()232=00ax bx c a ++≠的两个相异实数根． 所以21212412023.3b ac b x x a c x x a⎧=->⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩△，，又g (x 1) = ax 13 + bx 12 + cx 1 = x 1，g (x 2) = ax 23 + bx 22+ cx 2 = x 2，所以g (x 1) - g (x 2) = x 1- x 2，即(a x 13+ bx 12+ cx 1)- (ax 23+ bx 22+ cx 2) = x 1- x 2， 从而( x 1- x 2) [a (x 12+ x 1x 2 +x 22)+ b (x 1+ x 2 )+ c ]= x 1- x 2．因为12x x ≠，所以()()21212121a x x x x b x x c ⎡⎤+-+++=⎣⎦，即()()2221333bc b a b c aa a⎡⎤--+-+=⎢⎥⎣⎦．所以()2239ac b a -=． ………13分 因为| g (x 1) - g (x 2) | ≥ 1， 所以()()1212g x g x x x -=-==1.=解得20a -<≤．所以，实数a 的取值范围为)20-⎡⎣，． ……16分（2）（解法2） 因为g (x ) = ax 3+ bx 2+ cx ( a ，b ，c ∈ R ，a ≠ 0 ) 所以()()2320g x ax bx c a '=++≠．又因为函数g (x ) 存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，所以x 1，x 2是关于x 的方程组23232=0ax bx c ax bx cx x⎧++⎪⎨++=⎪⎩，的两个相异实数根． 由32ax bx cx x ++=得2010x ax bx c =++-=，． ……11分 （2．1）当0x =是函数g (x ) 一个“F 点”时，0c =且23b x a =-．所以()()2221033bb a b aa-+--=，即292a b =-．又()()12122013b g x g x x x a-=-=--≥，所以2249b a ≥，所以()2929a a -≤． 又a ≠ 0，所以20a -<≤．…13分 （2．2）当0x =不是函数g (x ) 一个“F 点”时，则x 1，x 2是关于x 的方程2232=010ax bx c ax bx c ⎧++⎪⎨++-=⎪⎩，的两个相异实数根． 又a ≠0，所以2313b b c c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，，得032b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，.所以212ax =-，得12x =， 所以()()12121g x g x x x -=-=，得20a -<≤．综合（2．1）（2．2），实数a 的取值范围为)20-⎡⎣，． ……16分 20．（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =，418a =，所以318q =，解得12q =．所以数列{}n a 的通项公式为：()112n n a -=． ……3分（2）由（1）得，当2n n *∈N ，≥时，()111122n nn b S --+=-， ①所以，()11122nn n bS ++=-， ②②－① 得，()11122nn n b b +-=， ……………5分所以，()()1111122n nnn b b +--=，即111n nn nb b a a ++-=，2n n *∈N ，≥． 因为11b =-，由① 得，20b =，所以()2121011b b a a -=--=， 所以111=-++nnn n a b a b ，n *∈N ． 所以数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1为公差的等差数列． ……8分 （3）由（2）得b n a n=n －2，所以b n =n －22n -1，S n =－2(a n +1+b n +1)=－2(12n +n －12n )=－n2n -1.假设存在等差数列{c n }，其通项c n =dn +c ， 使得对任意*∈N n ，都有S n ≤c n ≤a n ，即对任意*∈N n ，都有－n 2n -1≤dn +c ≤12n -1. ③ ……10分首先证明满足③的d =0. 若不然，d ≠0，则d ＞0，或d ＜0.(i) 若d ＞0，则当n ＞1－c d ，*∈N n 时，c n =dn +c ＞1≥12n -1= a n ，这与c n ≤a n 矛盾.(ii) 若0<d ，则当n ＞－1+cd，*∈N n 时，c n =dn +c ＜－1.而S n +1－S n =－n +12n+n 2n -1=n －12n≥0，S 1= S 2＜S 3＜……,所以S n ≥S 1=－1.故c n =dn +c ＜－1≤S n ，这与S n ≤c n 矛盾. 所以d =0. ………12分 其次证明：当x ≥7时，f (x )=(x －1)ln2－2ln x ＞0.因为f ′(x )=ln2－1x ＞ln2－17＞0，所以f (x )在[7，+∞)上单调递增，所以，当x ≥7时，f (x )≥f (7) =6ln2－2ln7= ln 6449＞0.所以当n ≥7，*∈N n 时，2n -1＞n 2. ……14分再次证明c =0.(iii)若c ＜0时，则当n ≥7，n ＞－1c ，n ∈N*，S n =－n 2n -1＞－1n ＞c ，这与③矛盾.(iv)若c ＞0时，同(i)可得矛盾.所以c =0. 当0n c =时，因为1012n n n S --=≤，()1102n n a -=>，所以对任意*∈N n ，都有S n ≤c n ≤a n ．所以0n c n *=∈N ，．综上，存在唯一的等差数列{ c n }，其通项公式为0n c n *=∈N ，满足题设．…16分数学Ⅱ答案及评分建议21A ．因为1-=AA E ，所以010*******a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即0100201b a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 所以121b a =⎧⎨=⎩，，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，.所以01102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ． ……4分 设()P x y ''，为曲线C 1任一点，则2214x y ''+=， 又设()P x y ''，在矩阵A 变换作用得到点()Q x y ，， 则01102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2y x x y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥='⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以2y x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，，即2x y y x '=⎧⎨'=⎩，. 代入2214x y ''+=，得221y x +=，所以曲线C 2的方程为221x y +=． ……10分B ．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，于是曲线C ：(0)r r ρ=>的直角坐标方程为222x y r +=，表示以原点为圆心，半径为r 的圆． ……3分由直线l 的方程()cos 4ρθπ+=cos cos sin sin 44ρθρθππ-=，所以直线l 的直角坐标方程方程为20x y --=． …………6分记圆心到直线l 的距离为d ，则d ==又()2222ABr d =+，即2279r=+=，所以3r =． ……10分C ．因为2222222111x y z x y z ++=+++， 所以2222222221111111111111x y z x y z x y z ++=-+-+-=++++++． ……5分 由柯西不等式得， ()()()2222222222222111111111111x y z x y zx y z x y z x y z +++++++++++++++≥．所以()22222111x y zx y z +++++≤ ．所以222111x y zx y z +++++ ……10分 22．（1）记2家小店分别为A B ，，A 店有i 人休假记为事件()012i A i =，，，B 店有i 人，休假记为事件()012i B i =，，，发生调剂现象的概率为P ． 则()()()2000211C 24P A P B ===， ()()()2111211C 22P A P B ===， ()()()2222211C 24P A P B ===．所以()()02201111144448P P A B P A B =+=⨯+⨯=．答：发生调剂现象的概率为18． ……4分（2）依题意，X 的所有可能取值为012，，．则()()2211104416P X P A B ===⨯=，()()()122111111142244P X P A B P A B ==+=⨯+⨯=，()()()11112101116416P X P X P X ==-=-==--=． (8)分所以X 的分布表为：所以()111113210164168E X =⨯+⨯+⨯=． ……10分23．（1）范数为奇数的二元有序实数对有：()10-，，()01-，，()01，，()10，，它们的范数依次为1111，，，，故2244A B ==，． ……3分 （2）当n 为偶数时，在向量()123n x x x x =L ，，，a 的n 个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：131n -L ，，，进行讨论：a 的n 个坐标中含1个0，其余坐标为1或1-，共有11C 2n n -⋅个，每个a 的范数为1n -； a 的n 个坐标中含3个0，其余坐标为1或1-，共有33C 2n n -⋅个，每个a 的范数为3n -；… a 的n 个坐标中含1n -个0，其余坐标为1或1-，共有1C 2n n -⋅个，每个a 的范数为1；所以 11331C 2C 2C 2n n n n n n n A ---=⋅+⋅++⋅L ，()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅L ． ……6分 因为()0112221C 2C 2C 2C nn n n nn n n n --+=⋅+⋅+⋅++L ， ① ()0112221C 2C 2C 2(1)C nn n n n n n n n n ---=⋅-⋅+⋅-+-L ，②2-①②得，113331C 2C 22n n n n n---⋅+⋅+=L ， 所以312nn A -=． ……8分 解法1：因为()()()()()11!!C C !!!1!k k n n n n n k n k n n k n k k n k ---=-⋅=⋅=---，所以()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅L ． ()11331111C 2C 2C 2n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅L ()123411112C 2C 2C n n n n n n n ------=⋅+⋅++L()()11312312n n n n ---=⋅=⋅-． ……10分解法2：2+①②得，022C 2C 2n n n n -⋅+⋅+=L 312n+． 又因为()()()()111!!C C !!1!!k k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---，所以 ()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅L ．()()()1133111331C 2C 2C 2C 23C 21C 2n n n n n n n n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅-⋅+⋅⋅++-⋅⋅L L ()01232111C 2C 2C 2n n n n n n n nA n ------=-⋅+⋅++⋅L()()1131313122n n n n n ---+=⋅-=⋅-． ……………10分。
江苏省南通市数学高三理数第二次联考试卷
江苏省南通市数学高三理数第二次联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·金华月考) 已知复数满足，则（）A .B . 1C .D . 22. （2分） (2019高一上·南充月考) 设全集，，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·梅河口期末) 已知命题，，则是（）A . ，B . ，C . ，D . ，4. （2分） (2019高一上·石家庄月考) 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高三上·双流期中) 已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（）A .B . 或C .D .6. （2分）(2019·丽水月考) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有多少种（）A . 1440B . 960C . 720D . 4808. （2分） (2018高二上·宾阳月考) 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（）A . 0.27,78B . 0.27,83C . 2.7,78D . 2.7,839. （2分） (2016高二上·普陀期中) 下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个10. （2分） (2019高一上·台州期中) 若，实数，满足，且当时，，则的值是（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·洛阳模拟) 已知点分别是双曲线的左，右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）已知是R上的单调增函数，则b的取值范围是（）A . 或B .C .D . 或二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在中，，，，则=________ ．14. （1分） (2019高一上·安徽期中) 已知是定义在上的偶函数，当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.15. （1分） (2019高一下·嘉兴期中) 已知等差数列的前项和为，，，则________， ________.16. （1分）与直线l垂直的向量称为直线l的一个法向量，直线2x+4y+3=0的一个法向量为=（1，________ ）三、解答题 (共7题；共35分)17. （5分） (2020高一上·合肥期末) 已知 .（1）化简；（2）若是第四象限角，且，求的值.18. （5分）(2017·霞浦模拟) 2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选．美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：赞成“自助游”不赞成“自助游”合计男性30女性10合计100（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.82819. （5分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD ，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD ，AB∥CD ， AB ＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20. （5分）(2018·重庆模拟) 如图，已知，是椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点，点在椭圆上，直线与轴的交点为，为坐标原点，且，．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于，两点（异于点），证明：直线过定点，并求该定点的坐标．21. （5分）(2018·河北模拟) 已知函数 .（1）求函数的单调区间；（2）当时，方程有两个相异实根，且，证明： .22. （5分）(2018·河北模拟) 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为 .（1）求的直角坐标方程，并求的半径；（2）当的半径最小时，曲线与交于，两点，点，求的面积.23. （5分）(2016·兰州模拟) 已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共35分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
南通市2013届第一次调研测试数学试卷
南通市2013届高三第一次调研测试数学I15．解：（1）连结11A B A C 和．因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点， 所以E F 、分别是11A B A C 和的中点． 所以//EF BC ．又BC ⊂平面ABC 中，EF Ø平面ABC 中， 故//EF 平面ABC ．（2）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱， 所以1A A ⊥平面ABC ，所以1BC A A ⊥． 故由//EF BC ，得1EF A A ⊥．又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以BC AD ⊥． 故由//EF BC ，得EF AD ⊥．而1A A AD A =I ，1,A A AD ⊂平面1A AD ，所以EF ⊥平面1A AD ． 又EF ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面1A AD ．16. 解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B +=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)． 即 2C A B =+, 得 3C π=． (2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B====， 故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα．ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．17.解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<．设DP y =，则PC x y =-．因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．ABC DEF A 1B 1C 1(第15题)由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+⇒=-，12x <<．（2）记△ADP 的面积为1S ，则 11(1)(2)S x x =--23()2x x=-+≤-当且仅当x =(1，2)时，S 1米，宽为2节能效果最好．（3）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+，12x <<．于是，3222142(2)02x S x x x x-+'=--==⇒=．关于x 的函数2S 在上递增，在上递减．所以当x =时，2S 取得最大值．2米时，制冷效果最好． 18.解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． (3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，21333p qp q=+． 所以，213()33q p p q =-(☆)．易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p+++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列， 于是2133p p -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． 19. 解：依题设c =1，且右焦点F '(1，0)．所以，2a =EF EF '++=b 2=a 2－c 2=2，故所求的椭圆的标准方程为22132y x +=． (2)设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则2211132x y +=①，2222132x y +=②．②－①，得 21212121()()()()032x x x x y y y y -+-++=．所以，k 1=212121212()423()63P P y y x x x x x y y y -+=-=-=--+． 分 (3)依题设，k 1≠k 2．设M (M x ,M y )，直线AB 的方程为y －1=k 1(x －1)，即y =k 1x +(1－k 1)，亦即y =k 1x +k 2，代入椭圆方程并化简得 2221122(23)6360k x k k x k +++-=． 于是，1221323M k k x k -=+，221223M k y k =+． 同理，1222323N k k x k -=+，122223N k y k =+． 当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k =M NM N y y x x -=-222211212146()9()k k k k k k k k +++-+=21211069k k k k --．直线MN 的方程为2211222211121063()92323k k k k k y x k k k k ---=--++， 即 21211222221211110610632()992323k k k k k k k y x k k k k k k --=+⋅+--++，亦即 2121106293k k y x k k -=--．此时直线过定点2(0,)3-．当k 1k 2=0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点2(0,)3-．综上，直线MN 恒过定点，且坐标为2(0,)3-．20. 解：（1）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立． 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤． 又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-， 故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． （2）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于“当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”． 由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=． 问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”． 01当14a ≥时，由（1），()f x 在2[e,e ]上为减函数，则min()f x =222e 1(e )e 24f a =-≤，故21124e a ≥-． 02当14a <时，由于()f x '()2111ln 24a x =--+-在2[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --．(i )若0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数， 于是，min ()f x =1(e)e e e>4f a =-≥，不合． (ii )若0a -<，即104a <<，由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以，min ()f x =00001()ln 4x f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈． 所以，2001111111ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合． 综上，得21124ea ≥-．AB EF DCO(第21A 题)南通市2013届高三第一次调研测试数学附加题参考答案与评分标准（考试时间：30分钟 满分：40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4－1：几何证明选讲如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，F 是»BC的中点．求证： （1）AB AC AE AD ⋅=⋅； （2）FAE FAD ∠=∠．证明：（1）连BE ，则E C ∠=∠，又Rt ABE ADC ∠=∠=∠，所以△ABE ∽△ADC ，所以AB AE AD AC =．∴AB AC AE AD ⋅=⋅． ……………………………………………………………………………………5分（2）连OF ，∵F 是»BC的中点，∴BAF CAF ∠=∠． 由(1)，得BAE CAD ∠=∠，∴FAE FAD ∠=∠． …………………………………………………10分B ．选修4－2：矩阵与变换已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程． 解：设A =NM ，则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………………………3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ， 则02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………………………7分 又点()','P x y 在曲线2:2C y x= 上，∴21()22x y-=，即218y x =．………………………………10分C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l的参数方程为,1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大． 解：曲线C的普通方程是2213x y +=． …………………………………………………………………2分 直线l 的普通方程是0x +=． ………………………………………………………………4分设点M的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是d…………………………………………………7分因为)4≤+≤πθ当πsin()14θ+=-，即ππ2π(42k k θ+=-∈Z )，即3π2π(4k k θ=-∈Z )时，d 取得最大值．==θθ． 综上，点M 的极坐标为7π)6时，该点到直线l 的距离最大． ………………………10分注 凡给出点M的直角坐标为(，不扣分．D ．选修4－5：不等式选讲已知0,0,a b >>且21a b +=，求224S a b =--的最大值． 解：0,0,21,a b a b >>+=Q∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-, ………………………………………………………………2分且12a b =+≥，即≤，18ab ≤, ……………………………………………………5分∴224S a b =-(14)ab =--41ab =+-≤,当且仅当11,42a b ==时，等号成立． …………………………………………………………………10分22．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ至点M ，使12PQ QM =u u u r u u u u r，且0PR PM ⋅=u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹C 1；（2）圆C 2： 22(1)1x y +-=，过点(0，1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点（从左到右），交C 2于B ，C 两点（从左到右），求证：AB CD ⋅u u u r u u u r为定值．解：（1）法一：设M (x ，y )，P (x 1，0)，Q (0，y 2)，则由10,2PR PM PQ QM ⋅==u u u r u u u u r u u u r u u u u r及R (0，－3)，得11122()(3)0,1,211.22x x x y x x y y y ⎧⎪--+-=⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩化简，得24x y =． ……………………………………………………………4分（第22题）所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ………………………………………5分法二：设M (x ，y )．由12PQ QM =u u u r u u u u r ，得 (,0),(0,)23x y P Q -．所以，3(,3),(,)22x xPR PM y =-=u u u r u u u u r ．由0PR PM =u u u r u u u u rg ，得 3(,3)(,)022x x y -⋅=，即23304x y -=．化简得 24x y =． …………………4分所以，动点M的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ………………………………………5分 （2）证明：由题意，得 AB CD AB CD ⋅=⋅u u u r u u u r，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ．设11(,)A x y ，22(,)D x y ，则1111AB FA FB y y =-=+-=． ……………………………………7分同理 2CD y =．设直线的方程为 (1)x k y =-．由2(1),1,4x k y y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得221(1)4y k y =-，即2222(24)0k y k y k --+=．所以，121AB CD AB CD y y ⋅=⋅==u u u r u u u r． ………………………………………………………………10分23．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． （1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；（2）若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数． 解：(1)当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-． 因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-， 所以，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩………………………………………………………3分 (2)当3a =时，1114,31n a n a a -+==+． ………………………………………………………………4分下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅L L ，m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立．∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立． …………………………………………………10分南通市2013届高三第一次调研测试数学Ⅰ讲评建议第1题 考查集合运算．注意集合的规范表示法，重视集合的交并补的运算．第2题 考查复数的基本概念及几何意义．对复数的概念宜适当疏理，防止出现知识盲点． 第3题 考查常见几何体的表面积与体积的计算．应熟练掌握常见几何体的表面积的计算，灵活应用等体积法计算点面距．第4题 本题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用．第5题 本题考查简易逻辑的知识．应注意四种命题及其关系，注意全称命题与特称性命题的转换．第6题 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识．对双曲线的讲评不宜过分引申．第7题 本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算．法一 用性质．S 9=9a 5= -36，S 13= 13a 7= -104，于是a 5= -4，a 7= -8，等比中项为±．法二 用基本量．S 9=9a 1+36d = -36，S 13=13a 1+78d = -104，解得a 1=4，d = -2．下同法一．第8题 本题主要考查算法及几何概型等知识．法一 当输入x =1时，可输出x =15；当输入x =9时，可输出y =79．于是当输入x的取值范围为[1，9]时，输出x 的取值范围为[15，79]，所求概率为7955379158-=-．法二 输出值为87x +．由题意：8755x +≥，故69x ≤≤．第9题 本题主要考查向量与解三角形的有关知识．满足||||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r的A ，B ，C 构成直角三角形的三个顶点，且∠A 为直角，于是BA BC ⋅u u u r u u u r =2BA u u u r =1．第10题 本题主要考查对数与线性规划的基础知识及简单运算．讲评时应强调对数的真数应大于0．强调对数函数的单调性与底数a 之间的关系．第11题 本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义． (1)()e (0)e x f f x f x ''=-+1(1)(1)e (0)1ef f f ''⇒=-+(0)1f ⇒=． 在方程2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+中，令x =0，则得(1)e f '=． 讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别． 第12题 本题主要考查三角函数及其应用．考题取自教材的例题．教学中应关注课本，以及有关重要数学模型的应用，讲评时还要强调单位书写等问题．S (t )=103sin()32t ππ+，求S (5)= -1.5即可．第13题 本题主要考查直线与圆的有关知识． 圆心C (-1，0)到直线l ：y =ax +3的距离为3d =<，解得a >0或a <34-．由PA =PB ，CA =CB ，得PC ⊥l ，于是1PC k a =-，进而可求出x 0的取值范围．第14题 考查灵活运用所学知识分析问题与解决问题的能力，考查运用基本不等式解决问题．讲评时应注意加强对学生运用整体法观察问题解决问题能力的培养．法一 2223631013x x x x m x x +-+-=+--2231613x x x x --=++--． 当且仅当223113x x x x --=--，即2x =时m 取得最小，此时点P 的坐标为(2,3)． 法二 33213612x y x y m x y -+--+-=+--21612y x x y --=++--．当且仅当2112y x x y --=--时m 取得最小值．下略． 第15题 本题主要考查空间点线面的位置关系，考查逻辑推理能力以及空间想象能力．讲评时应注意强调规范化的表达．注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、公理、定理等．第16题 本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识，涉及两角和与差的三角公式、正余弦定理等．讲评时，应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略，同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用，例如两边之和大于第三边，sin (A +B )=sinC ，面积公式及等积变换等．(2)法一：由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， 故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332ααα⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦．ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．法二：由正弦定理得：2sin c R C ==．由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，故2234a b ab +=+．因为0,0a b >>，所以2234a b +>．又222a b ab +≤，故2222342a b a b +++≤，得2232a b +≤．因此，223342a b <+≤．第17题 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查．讲评时，应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律，教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理，在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心．在使用基本不等式应注意验证取等号的条件，使用导数时应谨慎决断最值的取值情况．第18题 本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算，考查创新能力．两个基本数列属C 能要求，属高考必考之内容，属各级各类考试之重点．第(3)问中，若数列{a n }为等差数列，则数列{n a k }(k >0且k ≠1)为等比数列；反之若数列{a n }为等比数列，则数列{log a n a }(a >0且a ≠1)为等差数列．第(3)问中，如果将问题改为“是否存在正整数m ，p ，q (其中m <p <q )，使b m ，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(m ，p ，q )；若不存在，说明理由．”那么，答案仍然只有唯一组解．此时，在解题时，只须添加当m ≥2时，说明方程组无解即可，其说明思路与原题的解题思路基本相同．对于第(2)问，在得到关系式：1(1)n n n a na +-=后，亦可将其变形为11n n a n a n +=-，并进而使用累乘法(迭乘法)，先行得到数列{a n }的通项公式，最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可．但需要说明n ≥2．考虑到这是全市的第一次大考，又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检测，因而在评分标准的制定上，始终本着让学生多得分的原则，例如本题中的第(1)问4分，不设置任何的障碍，基本让学生能得分．第19题 本题主要考查直线与椭圆的基础知识，考查计算能力与独立分析问题与解决问题的能力．讲评本题时，要注意对学生耐挫能力的培养．第（2）问，亦可设所求直线方程为y -1=k 1(x -1)，与椭圆方程联立，消去一个变量或x 或y ，然后利用根与系数的关系，求出中点坐标与k 1的关系，进而求出k 1的值．第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则两动弦的中点所在直线过定值．此结论在抛物线中也成立．另外，也可以求过两中点所在直线的斜率的最值．近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势：多考一点“算”，少考一点“想”． 第20题 本题主要考查函数与导数的知识，考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．第（2）可另解为：命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '+≤成立”等价于“21[e,e ]x ∃∈，使()1max ()f x f x a '+≤”．由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，于是()max 14f x a '+=．故21[e,e ]x ∃∈，使11111()ln 4x f x ax x =-≤，即21[e,e ]x ∃∈，使1111ln 4a x x -≥．所以当2[e,e ]x ∈时，()min11ln 4a x x -≥．记211(),[e,e ]ln 4g x x x x =-∈，则222224(ln )11()(ln )44(ln )x x g x x x x x x -+-'=+=⋅． 因2[e,e ]x ∈，故224[4e,4e ],(ln )[1,4]x x ∈∈，于是2()0,[e,e ]g x x '<∀∈恒成立． 所以，11()ln 4g x x x =-在2[e,e ]上为减函数，所以，min 2221111()2ln e 4e 4e g x =-=-．所以，21124ea -≥．。
江苏省南通市2013届高三第一次调研考试数学试题(WORD解析版)
2013年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x+1＞0}，则∁U A={x|x≤﹣1}．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：求解一元一次不等式化简集合A，然后直接利用补集运算求解．解答：解：由集合A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，又U=R，所以∁U A={x|x≤﹣1}．故答案为{x|x≤﹣1}．点评：本题考查了补集及其运算，是基础的会考题型．2．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数z所对应的点位于复平面的第三象限．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算把复数z化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则复数z所对应的点位于复平面的象限可求．解答：解：由z==．所以复数z所对应的点Z（﹣2，﹣3）．则复数z所对应的点位于复平面的第三象限．故答案为三．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．（5分）已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是48．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知正四棱锥的底面边长是6，高为，可以求出棱锥的侧高，代入棱锥侧面积公式，可得答案．解答：解：∵正四棱锥的底面边长是6，高为，正四棱锥的侧高为=4∴正四棱锥的侧面积是4××6×4=48故答案为：48点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，其中根据已知结合勾股定理求出棱锥的侧高是解答的关键．4．（5分）定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f（2013）=．考点：函数的周期性；函数的值．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：利用函数的周期性把要求的式子化为f（﹣1），再利用x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，求得f （﹣1）的值．解答：解：∵定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），则f（2013）=f（2×1006+1）=f（1）=f（﹣1）．∵当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，∴f（﹣1）=4﹣1=，故答案为．点评：本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，属于基础题．5．（5分）已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的否命题．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）考点：四种命题的真假关系．专题：规律型．分析：写出命题P与命题q的条件与结论，再根据四种命题的定义判断即可．解答：解：命题P的条件是：a＞0，结论是：a2≠0；命题q的条件是：a≤0，结论是：a2=0；故命题P是命题q的否命题．故答案是否命题．点评：本题考查四种命题的定义．6．（5分）已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2﹣10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将圆化成标准方程得圆x2+y2﹣10x=0的圆心为F（5，0），可得c==5，结合双曲线的离心率e==算出a=，由平方关系得到b2=20，由此即可得出该双曲线的标准方程．解答：解：∵圆x2+y2﹣10x=0化成标准方程，得（x﹣5）2+y2=25∴圆x2+y2﹣10x=0的圆心为F（5，0）∵双曲线的一个焦点为F（5，0），且的离心率等于，∴c==5，且=因此，a=，b2=c2﹣a2=20，可得该双曲线的标准方程为故答案为：点评：本题给出双曲线的离心率，并且一个焦点为已知圆的圆心，求双曲线的标准方程，着重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．7．（5分）若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为．考点：等比数列的性质；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件利用等比数列的性质可得9a5=﹣36，13a7=﹣104，解得a5=﹣4，a7=﹣8，从而求得a5与a7的等比中项±的值．解答：解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则由等比数列的性质可得9a5=﹣36，13a7=﹣104．解得a5=﹣4，a7=﹣8，则a5与a7的等比中项±=，故答案为．点评：本题主要考查等比数列的性质，等比数列求和公式的应用，属于中档题．8．（5分）已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为．。
高三第二次模拟测试(数学)试题含答案
高三第二次模拟测试（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．集合{}2=|230,A x x x x Z --≤∈，集合{}=|0B x x >，则集合AB 的元素个数为 A ．1B ．2C ．3D ．42.（5分）2．命题32000,10x R x x ∃∈-+≤否定是 A. 32000,10x R x x ∃∈-+< B. 32000,10x R x x ∃∈-+≥ C. 32000,10x R x x ∀∈-+> D. 32000,10x R x x ∀∈-+≤3.（5分）3．已知21533122log 355a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4.（5分）4．“()00f x '=”是“函数()f x 在0x x =处有极值”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.（5分）5．函数||cos ()2x x xf x =的图象大致为 A ．B ．C ．D ．6.（5分）6．(22=x dx -⎰A ．4B ．2πC ． 24π+D ．87.（5分）7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e '=A ．eB ．1-C ．1e- D ．e -8.（5分）8．已知函数()42sin f x x x =+，则不等式(1)(12)0f m f m ++-<成立的实数m 的取值范围为A ．(,2)-∞B ．(0,+)∞C ．(,0)-∞D ．(2,+)∞9.（5分）9．定义域为R 的可导函数f(x)的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '<，f(0)=2，则不等式()2x f x e <的解集为 A ．(-∞，0) B ．(-∞，2) C ．(0，+∞)D ．(2，+∞)10.（5分）10．已知x R ∈，符号表示不超过x 的最大整数，若函数[]()(0)x f x a x x=-≠有且仅有4个零点，则实数a 的取值范围是A ．45(,]56B ．4554(,][,)5643⋃ C ．34(,]45D ．3443(,][,)4532⋃11.（5分）11．某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间（单位：h ）间的关系为：0ktP P e -=，其中0,P k 是正的常数．如果在前5h 消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间为（精确到1h ，参考数据0.9log 0.5 6.579≈） A ．30 B ．31 C ．32D ．3312.（5分）12． 函数()2f x ax =-与()x g x e =的图象上存在关于直线x y =对称的点，则a 的取值范围是A. (,)4e -∞B. (,)2e -∞ C. (,)e -∞ D. 2(,)e -∞ 二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=___________. ．14.（5分）14．已知函数()22f x x ax =-+，[]1,3x ∈，图象上任意两点连线都不与x 轴平行，则实数a 的取值范围___________.15.（5分）15．,A B 是集合{}1,2,3,4的非空子集，满足A B =∅的有序集合对(),A B 共______.16.（5分）16．]12,1,e x x ⎡∀∈⎣，均有122121ln ln x x x x m x x -<-成立，则m 的取值范围为___________.三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分） 17.（10分）17.（10分）（1）计算00.520.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）计算7log 2334log lg25lg47log 8log +-+⋅ 18.（12分）18．（12分）设D 是函数()y f x =定义域的一个子集，若存在0x D ∈，使得()00f x x =-成立，则称0x 是()f x 的一个“准不动点”，也称()f x 在区间D 上存在准不动点，已知()()12log 421x x f x a =+⋅-，[]0,1x ∈.（1）若1a =，求函数()f x 的准不动点；（2）若函数()f x 在区间[]0,1上存在准不动点，求实数a 的取值范围. 19.（12分）19．（12分）已知函数322(2)()32a f x x x ax -=+-. （1）当1a =时，求曲线C ：()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若0a <时，讨论函数()f x 的单调性. 20.（12分）20．（12分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形的宽和长都分别为,x y （单位：dm ）且x y <，若剪去的正十字形部分面积为42dm ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并求其定义域；（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当x 取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值．21.（12分）21．（12分）已知函数213()ln 2(0)22f x x ax x a =+-+≥. （1）()f x 的极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12()()0f x f x +<. 22.（12分）22（12分）已知函数()sin cos =-f x x x x（1）当[0,2]x π∈时，求()f x 的最大值；（2）若[0,]x π∈时，()sin f x ax x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）C 2.（5分）C 3.（5分）A 4.（5分）B 5.（5分）A 6.（5分）B 7.（5分）C 8.（5分）D 9.（5分）A10.（5分）B 11.（5分）D12.（5分）C二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13 -214.（5分）14 2][6,)x ∈-∞⋃+∞（， 15.（5分）15 50 16.（5分）16 [1,)+∞三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分） 17.（10分）17（10分） （1）1615………………………….5分 （2）2………………………….10分 18.（12分）18（12分）（1）由题意，可得()12()log 421x xf x x =+-=-， 即4212x x x +-=，41x ∴=，0x ∴=．故当1a =，函数()f x 的准不动点为00x =．………………………….4分（2）由题意知，()12()log 421x xf x a x =+⋅-=-即4212x x x a +⋅-=在[]0,1上有根， 4212x x x a +⋅-=变形为1212xx a -=--，令[]21,2x t =∈，而11y t t=--在[]1,2上单调递增，所以112y -≤≤，即112a -≤-≤，所以112a -≤≤．………………………….8分 又4210x x a +⋅->在[]0,1上恒成立，所以122xx a >-．令[]21,2x t =∈，而1y t t=-在[]1,2上单调递减，所以max 0y =，即有0a >，综上，01a <≤，即实数a 的取值范围为(]0,1．………………………….12分 19.（12分）19（12分）20.（12分）20（12分）（1）由题意可得：224xy x -=，则：242x y x+=y x >且0x >，即242x x x+> 02x ∴<<y ∴关于x 的解析式为242x y x+=，定义域为()0,2…………….5分 （2）设正十字形的外接圆的直径为d2222222245422224x d x y x x x x ⎛⎫+∴=+=+=++≥= ⎪⎝⎭当且仅当22544x x =，即2x 时取等号即2x =时，2min2d =∴正十字形外接圆面积：2224d S d ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时x =分 21.（12分）21（12分）（1）1()2'=+-f x ax x 221,-+=ax x x(0,)x ∈+∞. ①当0a =时，21()-+'=x f x x. 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.即函数()f x 只有一个极大值点12，无极小值点. ②当01a <<时，440∆=->a ，令()0f x '=，得=x当11x a ⎛⎛⎫+-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在,⎛ ⎝⎭⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；当x ∈⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在⎝⎭上单调递减.即函数()f x . ③当1a ≥时，440∆=-≤a ，此时()0f x '≥恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点.综上所述，当0a =时，()f x 有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点； 当01a <<时，()f x 有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；当1a ≥时，()f x 没有极值点………………………………………………………..6分 （2）由（1）可知，当且仅当01a <<时，()f x 有两个极值点1,x 2x ，且1,x 2x 为方程2210-+=ax x 的两根，即122,+=x x a 121=x x a， 所以()()()()2212121212ln 232a f x f x x x x x x x +=++-++ 21424ln32a a a a a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭2ln 2=--+a a. 令2()ln 2,=--+g a a a(0,1)∈a ，则22122()0-'=-+=>ag a aa a恒成立， 所以()g a 在(0,1)上单调递增，所以()(1)ln1220<=--+=g a g ，即()()120f x f x +<.………………………………………………………12分 22.（12分）22（12分）（1）()sin cos ()cos (cos sin )sin f x x x x f x x x x x x x '=-⇒=--=， 则由[0,2]x π，可知()'f x 在(0,)π上为正，在(,2)ππ上为负⇒()f x 在[0,]π上为增函数，在[,2]ππ上为减函数，∴当[0,2]xπ时，max ()()f x f ππ== (4)分（2）()sin f x ax x ≥-对[0,]x π∀∈恒成立，即2sin cos 0x x x ax --≥对[0,]x π∀∈恒成立. 设()2sin cos h x x x x ax =--，[0,]x π∈()2cos cos sin cos sin h x x x x x a x x x a '=-+-=+-()cos h x x x ''=，0,2x π⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0h x ''≥，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h x ''≤.()()22h x h a ππ''∴=-，又(0)1h a '=-，()1h a π'=--.（i ）02a π-即2aπ时，()0h x '，()h x 在][0,π上递减，()(0)0h x h ≤=，舍. （ii ）02a π->即2a π<时，①当10a --<，10a -<即12a π<<时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=.且00x x <<，()00h x '<，()h x 在()00,x 内递减，()(0)0h x h =，矛盾，舍；②当10a --<，10a -即11a -<时，0,2x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且00x x <，()00h x '，0x x π<，()00h x '<，()h x ∴在()00,x 上递增，在0(,)x π上递减，又(0)0h =，()(1)0h a ππ=->，所以()0h x 成立.③10a --，10a -即1a -，()0h x '>，()h x 在[0,]π上递增，则()(0)0h x h =.满足题意.综上，1a . ………………………………………………………12分。
南通市2019届高三第二次调研数学试卷与答案(word)
2019届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{13}=A a ，，，{45}=B ，．若A B =I {4}，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】4 2． 复数2i2i z =+（i 为虚数单位）的实部为 ▲ ． 【答案】253． 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为 49，则该单位行政人员的人数为 ▲ ． 【答案】354. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为 ▲ ． 【答案】235． 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ ．【答案】306.函数y 的定义域为 ▲ ．【答案】[2)+∞，7. 将函数2sin3y x =的图象向左平移π12个单位长度得到()y f x =的图象，则π3f 的值为 ▲ ．【答案】8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右顶点(20)A ，到渐近线的 b 的值为 ▲ ． 【答案】29． 在△ABC 中，已知C = 120°，sin B = 2 sin A ，且△ABC 的面积为，则AB 的长为 ▲ ．【答案】10．设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A = 2 m ，PB = 3 m ，PC = 4 m ，则球O 的表面积为 ▲ m 2． 【答案】29π11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，，，， 则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为 ▲ ． 【答案】512．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>( a ，b ，c ∈R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则25c a b++的最小值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆224x y +=上，且AB =，点P （3，-1），()16PO PA PB ⋅+=uu u r uu r uu r，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为 ▲ ．【答案】115， 14．已知集合{|21}{|88}N N A x x k k B x x k k **==-∈==-∈，，，，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T ．若967S T +≤，则n m 2+的 最大值为 ▲ ． 【答案】44二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a =(cos sin )αα，，b = ()ππsin()cos()66αα++，，其中π02α<<．（1）若a ∥b ，求α的值； （2）若1tan 27α=-，求⋅a b 的值．【解】（1）因为a ∥b ，所以ππcos cos()sin sin()066αααα+-+=，……………………………………………2分所以πcos(2)06α+=． …………………………………………………………………4分 因为π02α<<，所以ππ7π2666α<+<．于是ππ262α+=， 解得π6α=． ………………………………………………………6分 （2）因为π0α<<，所以02πα<<，又1tan 20α=-<，故π2πα<<．因为sin 21tan 2cos 27ααα==-，所以cos 27sin 20αα=-<， 又22sin 2cos 21αα+=，解得sin 2cos2αα=．……………………………………………………10分 因此，⋅a b πππcos sin()+sin cos()sin(2)666ααααα=++=+ …………………………12分ππsin 2cos cos2sin 66αα=+(12⋅． ……………………………………14分16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1．设A 1C 与AC 1交于 点D ，B 1C 与BC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面ABB 1A 1；（2）BC 1⊥平面A 1B 1C ．【证明】（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面ACC 1 A 1为平行四边形．又A 1C 与AC 1交于点D ，所以D 为AC 1的中点，同理，E 为BC 1的中点．所以DE ∥AB ．………………3分 又AB ⊂平面ABB 1 A 1，DE ⊄平面ABB 1 A 1，所以DE ∥平面ABB 1A 1． ………………………………………………………………6分 （2）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1．ABCA 1B 1C 1ED（第16题）又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1B 1． ………………………………………8分 又A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，BB 1∩B 1C 1 = B 1，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1． ……………………………………………………………10分 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BC 1．………………………………………12分 又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C ． 又A 1B 1∩B 1C = B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ，所以BC 1⊥平面A 1B 1C ．………………………………………………………………14分 17. (本小题满分14分)图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构 成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全 等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M ．已知HM = 5 m ，BC = 10 m ， 梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH = θπ(0)4θ<<．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k （k 为正的常数），下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为16 k ．现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为 何值时，总造价最低？【解】（1）由题意FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，得FH ⊥HM ． …………2分 在Rt △FHM 中，HM = 5，FMH θ∠=， 所以5cos FM θ=．……………………………………4分因此△FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=．①（第17题）②ABC DE F HMθ A BC DE F HMθ从而屋顶面积22=+V 梯形FBC ABFE S S S 252516022 2.2cos cos cos θθθ=⨯+⨯⨯=．所以S 关于θ的函数关系式为160cos S θ=(π04θ<<)． ………………………………6分（2）在Rt △FHM 中，5tan =FH θ，所以主体高度为65tan =-h θ． ……………8分 所以别墅总造价为16=⋅+⋅y S k h k160(65tan )16cos =⋅+-⋅k k θθ16080sin 96cos cos =-+k k k θθθ()2sin 8096cos -=⋅+k k θθ…………………………………………10分记2sin ()-=f θθθ，π0θ<<，所以2sin 1()cos f θθθ-'=2， 令()0'=f θ，得1sin 2=θ，又π04θ<<，所以π6=θ．………………………………12分列表：所以当π6=θ时，()f θ有最小值．答：当θ为π6时该别墅总造价最低． …………………………………………………14分18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)y x a b a b+=>>，C 2与C 11，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PA PB为定值；② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．【解】（1）设椭圆C 2的焦距为2c，由题意，a =，c a =，222a b c =+，解得b =，因此椭圆C 2的标准方程为221y x +=． ……………………………3分（2）①1°当直线OP 斜率不存在时，1PA，1PB，则3PA PB ==- ……………………………4分2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y=代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22(41)4k x +=， 所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．………6分所以222P A x x =，由题意，P A x x 与同号，所以P x 从而||||3||||PA P A PB P A x x x x PA PB x x x x --====--+所以3PA PB =- ……………………………………………………………8分②设00()P x y ，，所以直线1l 的方程为010()y y k x x -=-，即1100y k x k y x =+-， 记100t k y x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22211(41)8440k x k tx t +++-=， 因为直线1l 与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以22211(8)4(41)(44)0k t k t =-+-=V ，即221410k t -+=，将100t k y x =-代入上式，整理得，222010010(4)210x k x y k y --+-=， ……………12分 同理可得，222020020(4)210x k x y k y --+-=，所以12k k ，为关于k 的方程2220000(4)210x k x y k y --+-=的两根， 从而20122014y k k x -⋅=-．……………………………………………………………………14分（第18题）又点在00()P x y ，椭圆C 2：22182y x +=上，所以220012y x =-，所以2012201211444x k k x --⋅==--为定值． ………………………………………………16分 19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 【解】（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=， 令()f x '0=得，1x =或2x =． ………………………………………………………2分 列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-． ………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>， 从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>， 记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数， 所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立， 即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立． …………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立 ，所以002x x =，又00x >，所以0x = ………………………………………………10分法二：变形得0022x x ++≥在()0+∞，上恒成立 ，因为2x x +=≥x =，所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =10分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，， 不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩， ………………………………………………14分 消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，， 记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t -'=--=-<， 所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=． 从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个 不同的切点． ……………………………………………………………………………16分20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均不为零．设数列{}n a 的前n 项和为S n ，数列{}2n a 的前n 项和为T n ，且2340n n n S S T -+=，n *∈N ． （1）求12a a ，的值；（2）证明：数列{}n a 是等比数列；（3）若1()()0n n na na λλ+--<对任意的n *∈N 恒成立，求实数λ的所有值． 【解】（1）因为2340n n n S S T -+=，*n ∈N ．令1n =，得22111340a a a -+=，因为10a ≠，所以11a =． 令2n =，得()()()22222314110a a a +-+++=，即22220a a +=，因为20a ≠，所以212a =-．……………………………………………………………3分 （2）因为2340n n n S S T -+=， ① 所以2111340n n n S S T +++-+=， ② ②-①得，()21111340n n n n n S S a a a +++++-+=，因为10n a +≠，所以()11340n n n S S a +++-+=，③ …………………………………5分 所以()1340(2)n n n S S a n -+-+=≥， ④当2n ≥时，③-④得，()1130n n n n a a a a ++++-=，即112n n a a +=-，因为0n a ≠，所以112n n a a +=-． 又由（1）知，11a =，212a =-，所以2112aa =-，所以数列{}n a 是以1为首项，12-为公比的等比数列． ……………………………8分 （3）由（2）知，()112n n a -=-．因为对任意的*n ∈N ，()()10n n na na λλ+--<恒成立， 所以λ的值介于()112n n --和()12nn -之间．因为()()111022n nn n --⋅-<对任意的*n ∈N 恒成立，所以0λ=适合． ……………10分 若0λ>，当n 为奇数时，()()11122n n n n λ--<<-恒成立，从而有12n n λ-<恒成立．记2()(4)2n n p n n =≥，因为22211(1)21(1)()0222n n n n n n n p n p n +++-+++-=-=<， 所以()(4)1p n p =≤，即212n n ≤，所以12nn n ≤（*）， 从而当25n n λ≥且≥时，有122n n n λ-≥≥，所以0λ>不符． ………………………13分若0λ<，当n 为奇数时，()()11122nn n n λ--<<-恒成立，从而有2nn λ-<恒成立．由（*）式知，当15n n λ≥且≥-时，有12nn n λ-≥≥，所以0λ<不符．综上，实数λ的所有值为0． ………………………………………………………………16分 21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m ，n ∈R ，向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵12m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M 及另一个特征值．【解】由题意得，3=，M αα即11132123m m n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2 1.m n ==，即矩阵1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦=M . …………………………………………………5分 矩阵M 的特征多项式()212()14021f λλλλ--==--=--， 解得矩阵M 的另一个特征值为1λ-=.…………………………………………………10分 B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1x t y t=+⎧⎨=⎩，( t 为参数)，椭圆C 的参数方程为)(sin cos 2为参数，θθθ⎪⎩⎪⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】由题意得，直线l 的普通方程为10x y --=．①椭圆C 的普通方程为2212x y +=．② …………………………………………………4分由①②联立，解得A (01)，-，B ()4133，， ……………………………………………8分 所以AB =10分 C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均是正实数，且，164222=++z y x 求证：6x y z ++≤． 【证】由柯西不等式得，()()()222222212112x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥ ……………5分因为222416x y z ++=，所以()2916364x y z ++⨯=≤， 所以，6x y z ++≤，当且仅当“2x y z ==”时取等号．…………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分． 22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，AB = 1，AP = AD = 2. （1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）若点M ，N 分别在AB ，PC 上，且⊥MN 平面PCD ，试确定点M ，N 的位置． 【解】（1）由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直．以{}AB AD AP u u u r u u u r u u u r ，，为正交基底，建立如图所示的空间 直角坐标系A xyz -，则(100)(120)(020)(002)B C D P ，，，，，，，，，，，.从而(102)(122)(022)PB PC PD =-=-=-，，，，，，，，u u r u u u r u u u r 设平面PCD 的法向量()x y z =n ，，，则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uu u r uu u r，，即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，， 不妨取1y =，则01x z ==，． 所以平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，． ………………………………………3分 （第22题）设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，所以sin cos PB PB PB θ⋅=〈〉=⋅n n nuu ruu ruu r， 即直线PB 与平面PCD．……………………………………5分（2）设(00)M a ，，，则(00)MA a =-，，，u u u r设PN PC λ=，u u u r u u u r 则()22PN λλλ=，，-，u u u r而(002)AP =，，，u u u r 所以(222)MN MA AP PN a λλλ=++=--u u u r u u u r u u u r u u u r，，． ……………………………………8分 由（1）知，平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，， 因为MN ⊥平面PCD ，所以MN uuu r∥n ．所以0222a λλλ-=⎧⎨=-⎩，，解得，1122a λ==，．所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点． …………………………………………10分 23.（本小题满分10分）已知*12(4)n a a a n n ∈N ≥，，，，均为非负实数，且122n a a a +++=．证明：（1）当4n =时，12233441+++1a a a a a a a a ≤；（2）对于任意的*4n n ∈N ≥，，122311++++1n n n a a a a a a a a -≤L ．证明：（1）当4n =时，因为1a ，2a ，…，4a 均为非负实数，且12342a a a a +++=， 所以122334412134313124+++=(+)+(+)(+)(+)a a a a a a a a a a a a a a a a a a =………………………2分 23124(+)+(+)=12a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤．………………………………………………………………4分 （2）①当4n =时，由（1）可知，命题成立； ②假设当(4)n k k =≥时，命题成立，即对于任意的4k ≥，若1x ，2x ，…，k x 均为非负实数，且12+++2k x x x =L ，则122311++++1k k k x x x x x x x x -≤L ．则当+1n k =时，设12+1++++2k k a a a a =…，并不妨设{}+112+1max k k k a a a a a =，，…，，． 令()1122311+k k k k x a a x a x a x a -+====，，，，则12+++2k x x x =…． 由归纳假设，知122311++++1k k k x x x x x x x x -≤．………………………………………8分因为123a a a ，，均为非负实数，且+11k a a ≥， 所以121123112+()()k k x x x x a a a a a a +=+++23111312122311k k k a a a a a a a a a a a a a a +++=+++++≥．所以1212311223113411(+)+(++)()()k k k k k k x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+++++++≥≥，即1223+1+11++++1k k k a a a a a a a a ≤，也就是说，当+1n k =时命题也成立．所以，由①②可知，对于任意的4n ≥，122311++++1n n n a a a a a a a a -…≤．…………10分。
【数学】2020南通二模参考答案与评分建议
2020届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}14A =，，{}57B a =-，．若{}4A B =，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】9 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则 z 的模是 ▲ ．3． 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 ▲ 吨．【答案】104．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ． 【答案】525．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头． 甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ▲ ．【答案】236．在△ABC 中，已知B = 2A ，AC，则A 的值是 ▲ ． 【答案】π67．在等差数列{a n } ( n ∈ N *)中，若a 1 = a 2 + a 4，a 8 = -3，则a 20的值是 ▲ ．【答案】-158．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下 底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ▲ ． 【答案】139．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的左顶点为A ，右焦点为F ，过F作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】2（第8题）（第4题）10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线2y x =上，过点P 作圆C ：22(4)8x y -+=的一条切线，切点为T ．若PT PO =，则PC 的长是 ▲ ．11．若x > 1，则91211x x x +++-的最小值是 ▲ ．【答案】812．在平面直角坐标系xOy 中，曲线e x y =在点()00e x P x ，处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B ( x 0，0 )，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ▲ ．【答案】ln 613．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME -7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中OA 1 = A 1A 2 = A 2A 3 = … = A 7A 8 = 1，则6778A A A A ⋅的值是 ▲ ．14．设函数f ( x )2log 04(8)48x a x f x x ⎧-<⎪=⎨-<<⎪⎩，≤，，． 若存在实数m ，使得关于x 的方程f ( x ) = m 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1-∞，说明：第6题答案写成角度也对；第12题自然对数符合“ln ”书写错误不给分；第14题答案写成“1a <”或者“{}|1a a <”也算正确。
江苏省南通市2019届高三第二次调研数学试卷与答案
2019届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{13}=A a，，，{45}=B，．若A B=I{4}，则实数a的值为▲．【答案】42．复数2i2iz=+（i为虚数单位）的实部为▲．【答案】2 53．某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为▲．【答案】354. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为▲．【答案】235．执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为▲．【答案】306.函数y=的定义域为▲．【答案】[2)+∞，7.将函数2sin3y x=的图象向左平移π12个单位长度得到()y f x=的图象，则π3f的值为▲．【答案】8.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22221(00)yx a ba b-=>>，的右顶点(20)A，到渐近线的b的值为▲．【答案】29．在△ABC中，已知C= 120°，sin B= 2 sin A，且△ABC的面积为AB的长为▲ ．【答案】10．设P，A，B，C为球O表面上的四个点，P A，PB，PC两两垂直，且P A= 2 m，PB= 3 m，PC= 4 m，则球O的表面积为▲m2．【答案】29πWhile i< 711．定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，，，，则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为 ▲ ． 【答案】512．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>( a ，b ，c ∈R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则25c a b++的最小 值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆224x y +=上，且AB =P （3，-1），()16PO PA PB ⋅+=uu u r uu r uu r，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为 ▲ ．【答案】115， 14．已知集合{|21}{|88}N N A x x k k B x x k k **==-∈==-∈，，，，从集合A 中取出m 个不同元 素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T ．若967S T +≤，则n m 2+的 最大值为 ▲ ． 【答案】44二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a =(cos sin )αα，，b = ()ππsin()cos()66αα++，，其中π02α<<． （1）若a ∥b ，求α的值； （2）若1tan 27α=-，求⋅a b 的值．【解】（1）因为a ∥b ，所以ππcos cos()sin sin()066αααα+-+=，……………………………………………2分所以πcos(2)06α+=． …………………………………………………………………4分 因为π02α<<，所以ππ7π2666α<+<．于是ππ262α+=， 解得π6α=． ………………………………………………………6分（2）因为π02α<<，所以02πα<<，又1tan 207α=-<，故π2π2α<<．因为sin 21tan 2cos 27ααα==-，所以cos27sin20αα=-<，又22sin 2cos 21αα+=，解得sin 2cos2αα=．……………………………………………………10分因此，⋅a b πππcos sin()+sin cos()sin(2)666ααααα=++=+ …………………………12分ππsin 2cos cos 2sin 66αα=+(12=⋅= ……………………………………14分16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1．设A 1C 与AC 1交于 点D ，B 1C 与BC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面ABB 1A 1；（2）BC 1⊥平面A 1B 1C ．【证明】（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面ACC 1 A 1为平行四边形．又A 1C 与AC 1交于点D ，所以D 为AC 1的中点，同理，E 为BC 1的中点．所以DE ∥AB ．………………3分 又AB ⊂平面ABB 1 A 1，DE ⊄平面ABB 1 A 1，所以DE ∥平面ABB 1A 1． ………………………………………………………………6分 （2）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1．又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1B 1． ………………………………………8分 又A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，BB 1∩B 1C 1 = B 1，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1． ……………………………………………………………10分 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BC 1．………………………………………12分 又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C ． 又A 1B 1∩B 1C = B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ，所以BC 1⊥平面A 1B 1C ．………………………………………………………………14分 17. (本小题满分14分)图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构 成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全 等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M ．已知HM = 5 m ，BC = 10 m ， 梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH = θπ(0)4θ<<．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k （k 为正的常数），下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为16 k ．现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为 何值时，总造价最低？ABCA 1B 1C 1ED（第16题）【解】（1）由题意FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，得FH ⊥HM ． …………2分 在Rt △FHM 中，HM = 5，FMH θ∠=， 所以5cos FM θ=．……………………………………4分因此△FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=．从而屋顶面积22=+V 梯形FBC ABFE S S S 252516022 2.2cos cos cos θθθ=⨯+⨯⨯=．所以S 关于θ的函数关系式为160cos S θ=(π04θ<<)． ………………………………6分 （2）在Rt △FHM 中，5tan =FH θ，所以主体高度为65tan =-h θ． ……………8分 所以别墅总造价为16=⋅+⋅y S k h k160(65tan )16cos =⋅+-⋅k k θθ16080sin 96cos cos =-+k k k θθθ()2sin 8096cos -=⋅+k k θθ…………………………………………10分记2sin ()cos -=f θθθ，π04θ<<，所以2sin 1()cos f θθθ-'=2， 令()0'=f θ，得1sin 2=θ，又π04θ<<，所以π6=θ．………………………………12分列表：所以当π6=θ时，()f θ有最小值．答：当θ为π6时该别墅总造价最低． …………………………………………………14分18．（本小题满分16分）①（第17题）②ABC DE F HMθ A BC DE F HMθ如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)y x a b a b+=>>，C 2与C 11，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PA PB为定值；② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．【解】（1）设椭圆C 2的焦距为2c，由题意，a =，c a =，222a b c =+，解得b =，因此椭圆C 2的标准方程为22182y x +=． ……………………………3分（2）①1°当直线OP 斜率不存在时，1PA =，1PB =，则3PA PB =- ……………………………4分2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y=代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22(41)4k x +=， 所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．………6分所以222P A x x =，由题意，P A x x 与同号，所以P x =从而||||3||||PA P A PB P A x x x x PA PB x x x x --====--+ 所以3PA PB =- ……………………………………………………………8分 ②设00()P x y ，，所以直线1l 的方程为010()y y k x x -=-，即1100y k x k y x =+-， 记100t k y x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22211(41)8440k x k tx t +++-=， 因为直线1l 与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以22211(8)4(41)(44)0k t k t =-+-=V ，即221410k t -+=，将100t k y x =-代入上式，整理得，222010010(4)210x k x y k y --+-=， ……………12分 同理可得，222020020(4)210x k x y k y --+-=，所以12k k ，为关于k 的方程2220000(4)210x k x y k y --+-=的两根，从而20122014y k k x -⋅=-．……………………………………………………………………14分B（第18题）又点在00()P x y ，椭圆C 2：22182y x +=上，所以2200124y x =-，所以2012201211444x k k x --⋅==--为定值． ………………………………………………16分 19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 【解】（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=， 令()f x '0=得，1x =或2x =． ………………………………………………………2分 列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-． ………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>， 从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>， 记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数， 所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立，即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立． …………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立 ，所以002x x =，又00x >，所以0x =． ………………………………………………10分法二：变形得0022x x x x ++≥在()0+∞，上恒成立 ，因为2x x+=≥x 时，等号成立）， ()f x ↗极大值↘极小值↗所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =．……………………………10分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，， 不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .22x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩， ………………………………………………14分 消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，，记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t t -'=--=-<，所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=．从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个 不同的切点． ……………………………………………………………………………16分20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均不为零．设数列{}n a 的前n 项和为S n ，数列{}2n a 的前n 项和为T n ， 且2340n n n S S T -+=，n *∈N ．（1）求12a a ，的值；（2）证明：数列{}n a 是等比数列；（3）若1()()0n n na na λλ+--<对任意的n *∈N 恒成立，求实数λ的所有值． 【解】（1）因为2340n n n S S T -+=，*n ∈N ．令1n =，得22111340a a a -+=，因为10a ≠，所以11a =． 令2n =，得()()()22222314110a a a +-+++=，即22220a a +=，因为20a ≠，所以212a =-．……………………………………………………………3分（2）因为2340n n n S S T -+=， ① 所以2111340n n n S S T +++-+=， ② ②-①得，()21111340n n n n n S S a a a +++++-+=，因为10n a +≠，所以()11340n n n S S a +++-+=，③ …………………………………5分 所以()1340(2)n n n S S a n -+-+=≥， ④当2n ≥时，③-④得，()1130n n n n a a a a ++++-=，即112n n a a +=-，因为0n a ≠，所以112n n a a +=-． 又由（1）知，11a =，212a =-，所以2112aa =-，所以数列{}n a 是以1为首项，12-为公比的等比数列． ……………………………8分 （3）由（2）知，()112n n a -=-．因为对任意的*n ∈N ，()()10n n na na λλ+--<恒成立，所以λ的值介于()112n n --和()12nn -之间．因为()()111022n nn n --⋅-<对任意的*n ∈N 恒成立，所以0λ=适合． ……………10分若0λ>，当n 为奇数时，()()11122n n n n λ--<<-恒成立，从而有12n n λ-<恒成立．记2()(4)2n n p n n =≥，因为22211(1)21(1)()0222n n n n n n n p n p n +++-+++-=-=<， 所以()(4)1p n p =≤，即212n n ≤，所以12n n n ≤（*），从而当25n n λ≥且≥时，有122n n n λ-≥≥，所以0λ>不符． ………………………13分若0λ<，当n 为奇数时，()()11122nn n n λ--<<-恒成立，从而有2n n λ-<恒成立．由（*）式知，当15n n λ≥且≥-时，有12n n n λ-≥≥，所以0λ<不符．综上，实数λ的所有值为0． ………………………………………………………………16分 21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m ，n ∈R ，向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵12m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M 及另一个特征值．【解】由题意得，3=，M αα即11132123m m n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2 1.m n ==，即矩阵1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦=M . …………………………………………………5分 矩阵M 的特征多项式()212()14021f λλλλ--==--=--， 解得矩阵M 的另一个特征值为1λ-=.…………………………………………………10分 B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1x t y t =+⎧⎨=⎩，( t 为参数)，椭圆C 的参数方程为)(sin cos 2为参数，θθθ⎪⎩⎪⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【解】由题意得，直线l 的普通方程为10x y --=．①椭圆C 的普通方程为2212x y +=．② …………………………………………………4分 由①②联立，解得A (01)，-，B ()4133，， ……………………………………………8分 所以()()333AB =．…………………………………………………10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均是正实数，且，164222=++z y x 求证：6x y z ++≤． 【证】由柯西不等式得，()()()222222212112x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥……………5分因为222416x y z ++=，所以()2916364x y z ++⨯=≤，所以，6x y z ++≤，当且仅当“2x y z ==”时取等号．…………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分． 22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，AB = 1，AP = AD = 2. （1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）若点M ，N 分别在AB ，PC 上，且⊥MN 平面PCD ，试确定点M ，N 的位置． 【解】（1）由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直． 以{}AB AD AP uu u r uuu r uu u r，，为正交基底，建立如图所示的空间 直角坐标系A xyz -，则(100)(120)(020)(002)B C D P ，，，，，，，，，，，.从而(102)(122)(022)PB PC PD =-=-=-，，，，，，，，.uu r uu u r uu u r设平面PCD 的法向量()x y z =n ，，， 则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uu u ruu u r，，即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，， 不妨取1y =，则01x z ==，．所以平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，． ………………………………………3分 设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，所以sin cos PB PB PB θ⋅=〈〉==⋅n n nuu ruu ruu r， 即直线PB 与平面PCD．……………………………………5分（2）设(00)M a ，，，则(00)MA a =-，，，uuu r设PN PC λ=，uuu r uu u r 则()22PN λλλ=，，-，uuu r而(002)AP =，，，uu u r 所以(222)MN MA AP PN a λλλ=++=--uuu r uuu r uu u r uuu r，，． ……………………………………8分 由（1）知，平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，， 因为MN ⊥平面PCD ，所以MN uuu r∥n ．所以0222a λλλ-=⎧⎨=-⎩，，解得，1122a λ==，．所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点． …………………………………………10分 23.（本小题满分10分）已知*12(4)n a a a n n ∈N ≥，，，，均为非负实数，且122n a a a +++=．证明：（1）当4n =时，12233441+++1a a a a a a a a ≤；（2）对于任意的*4n n ∈N ≥，，122311++++1n n n a a a a a a a a -≤L ．证明：（1）当4n =时，因为1a ，2a ，…，4a 均为非负实数，且12342a a a a +++=， 所以122334412134313124+++=(+)+(+)(+)(+)a a a a a a a a a a a a a a a a a a =………………………2分 23124(+)+(+)=12a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤．………………………………………………………………4分 （2）①当4n =时，由（1）可知，命题成立； ②假设当(4)n k k =≥时，命题成立，即对于任意的4k ≥，若1x ，2x ，…，k x 均为非负实数，且12+++2k x x x =L ，则122311++++1k k k x x x x x x x x -≤L ．则当+1n k =时，设12+1++++2k k a a a a =…，并不妨设{}+112+1max k k k a a a a a =，，…，，． 令()1122311+k k k k x a a x a x a x a -+====，，，，则12+++2k x x x =…． 由归纳假设，知122311++++1k k k x x x x x x x x -≤．………………………………………8分因为123a a a ，，均为非负实数，且+11k a a ≥， 所以121123112+()()k k x x x x a a a a a a +=+++23111312122311k k k a a a a a a a a a a a a a a +++=+++++≥．所以1212311223113411(+)+(++)()()k k k k k k x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+++++++≥≥，即1223+1+11++++1k k k a a a a a a a a ≤，也就是说，当+1n k =时命题也成立．所以，由①②可知，对于任意的4n ≥，122311++++1n n n a a a a a a a a -…≤．…………10分。