高考一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积

第二讲 空间几何体的表面积与体积

知识梳理·双基自测 知识梳理

知识点一 柱、锥、台和球的侧面积和体积

侧面积 体积

圆柱 S 侧＝2πrh V ＝_S 底·h__＝πr 2

h

圆锥 S 侧＝_πrl __ V ＝13S 底·h＝13πr 2h ＝13

πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·h＝13π(r 21＋r 2

2＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝_ch__ V ＝_S 底h__ 正棱锥 S 侧＝1

2ch′

V ＝1

3

S 底h 正棱台 S 侧＝1

2(c ＋c′)h′

V ＝1

3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h 球

S 球面＝_4πR 2

V ＝43

πR 3 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各面面积之和__.

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_矩形__、_扇形__、_扇环形__；它们的表面积等于_侧面积__与底面面积之和．

重要结论

1．长方体的外接球：

球心：体对角线的交点；半径：r ＝_a 2

＋b 2

＋c

2

2__(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．

2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球： (1)外接球：球心是正方体中心；半径r ＝_

3

2

a__(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体中心；半径r ＝_a

2__(a 为正方体的棱长)；

(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝_

2

2

a__(a 为正方体的棱长)． 3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：

(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_6

4

a__(a 为正四面体的棱长)； (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_

6

12

a__(a 为正四面体的棱长)． 双基自测

题组一 走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )

(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则R ＝

3

2

a.( √ ) (5)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × ) 题组二 走进教材

2．(必修2P 27T1)已知圆锥的表面积等于12π cm 2

，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( B ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cm

D ．3

2

cm [解析] 由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧

πrl＋πr 2

＝12π2πr

l ＝π，∴3r 2

＝12，∴r ＝2.

题组三 走向高考

3．(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C ) A ．12π B ．24π C ．36π

D ．144π

[解析] 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线长的一半， 即R ＝

23

2

＋23

2

＋23

2

2

＝3，

所以，这个球的表面积为S ＝4πR 2

＝4π×32

＝36π.故选：C ．

4．(2018·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )

A ．122π

B ．12π

C ．82π

D ．10π

[解析] 设圆柱底面半径为r ，则4r 2

＝8，即r 2

＝2.∴S 圆柱表面积＝2πr 2

＋4πr 2

＝12π.

5．(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3

)是( A )

A ．7

3 B ．14

3

C ．3

D ．6

[解析] 由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面．棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫12×2×1×2＝13＋2＝73.

故选：A ．

考点突破·互动探究

考点一 几何体的表面积——自主练透

例1 (1)(2021·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( C )

A ．2＋ 5

B ．4＋ 5

C ．2＋2 5

D ．5

(2)(2021·安徽江南十校联考)已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该

几何体的表面积为( B )

A ．78－9π

2

B ．78－9π

4

C ．78－π

D ．45－9π

2

(3)(多选题)(2021·山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( AB )

A ．2π

B ．(1＋2)π

C ．22π

D ．(2＋2)π

[解析] (1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC)，如图所示，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝1

2×5

×1＝

52，S △SBC ＝1

2

×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C ．

(2)由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个1

8

球，如图所示．

∴S ＝3×3×2＋3×5×4－27π4＋9π2＝78－9

4

π.故选B ．

(3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为π＋2π；若绕斜边旋转一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为2π，故选A 、B ．