2023年福建高三期末质检七市联考数学试题
福建省福州2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
福州2023-2024学年第一学期第二学段期末考试高三数学期末考试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{}e 2,x A y y x ==+∈R∣，集合{lg(1)}B x y x ==-∣，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.[1,2]B.(1,2]C.(1,2)D.[1,2)2.复数z 满足(2i)i +=z ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（）A.2i 5B.25C.2i 5-D.25-3.已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若513a a a =，且4a 与5a 的等差中项为3，则5S 等于（）A.312B.314C.152D.1544.已知正三棱台111ABC A B C -的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为60 ，则此三棱台的体积为（）A. B.C. D.5.设直线()()110R a x ay a +--=∈与圆224x y +=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围为（）A.⎤⎦B.⎤⎦C.[]2,4 D.⎡⎤⎣⎦6.我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC ∠，且AB AC =，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈D 已滑到D ¢的位置，且,,A B D '三点共线，40cm,AD B ='为AD '的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为25cm ，则当伞完全张开时，BAC ∠的余弦值是（）A.2332-B.1932-C.58-D.38-7.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l与E 的右支交于点P ，Q 设12PF F △与12QF F 的内切圆圆心分别是M ，N ，直线OM ，ON 的斜率分别是12,k k ，则12223k k =-，则双曲线E 的离心率为（）A.22B.21+ C.2D.628.设函数()(1)e e (0)x x f x a x ax a a =+-+->，若关于x 的不等式()0f x <有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（）A.3232e e ,4e 23e 1⎛⎫⎪--⎝⎭ B.3232e e ,4e 23e 1⎡⎫⎪⎢--⎣⎭C.221e ,2e 3e 1⎛⎫⎪-⎝⎭ D.221e ,2e 3e 1⎡⎫⎪⎢-⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.向量1,32AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r 在向量(2,1)AC = 上的投影向量的坐标为42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.“2m =”是“直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行”的充要条件C.若正数a ，b 满足2a b +=，且a b >，则ln ln 0a b +<D.已知,αβ为两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥10.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11,2n n n a b a S ==+，若数列{}n b 既是等差数列，又是等比数列，则（）A.{}n b 常数数列B.{}n a 是等比数列C.{}n S 为递减数列D.ln n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列11.在三棱锥A BCD -中，已知BC BD ⊥，棱AC ，BC ，AD 的中点分别是E ，F ，G ，2AB AC AD CD ====，则（）A.过点E ，F ，G 的平面截三棱锥所得截面是菱形B .平面ADC ⊥平面BCDC.异面直线AC ，BD 互相垂直D.三棱锥A BCD -外接球的表面积为16π312.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点(2,)E t 到点F 的距离为4，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为P ，则（）A.PM PN ⊥B.sin PMN ∠的取值范围为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.若2AFFB =，则直线l D.tan AOB ∠有最大值43-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知π2cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．14.写出一个同时满足下列性质①②③的椭圆的标准方程为___________．①中心在原点，焦点在y 轴上；②离心率为12；③焦距大于8．15.已知O 的半径是1，点P 满足||OP =，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C两点，D 为BC 的中点，设π04APC αα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则当α=___________时，PA PD ⋅ 取得最大值．16.已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是棱DP 上的动点，N 是平面ECD 内的动点，则当||||AM MN +取得最小值时，线段DN 的长度等于___________．四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，其他小题各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan tan cos b A b B A+=．（1）求B ∠的大小；（2）若4,3a c ==，直线PQ 分别交AB ，BC 于P ，Q 两点，且PQ 把ABC 的面积分成相等的两部分，求PQ 的最小值．18.己知数列{}n a 的前n 项积为n b ，且211n nb a +=．（1）证明：{}n b 是等差数列；（2）从{}n b 中依次取出第1项，第2项，第4项……第12n -项，按原来顺序组成一个新数列{}n c ，求数列(){}1n n c -的前n 项和．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，112PA AB BC ===，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：AE PC ⊥；（2）试求BF 的长，使平面AEF 与平面PCD 夹角的余弦值为105．20.某公司食堂每天中午给员工准备套餐，套餐只有A 、B 、C 三种，公司规定：每位员工第一天在3个套餐中任意选一种，从第二天起，每天都是从前一天没有吃过的2种套餐中任意选一种．（1）若员工甲连续吃了3天的套餐，求第三天吃的是“套餐A ”的概率；（2）设员工甲连续吃了5天的套餐，其中选择“套餐B ”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．21.己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别是A ，B ，点E （异于A ，B 两点）在椭圆C 上，直线EA 与EB 的斜率之积为12-，椭圆C 的短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P ，N ，若11||||PQ QN +为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．22.已知函数()ln ()f x x ax x a =-+∈R 有两个不同的零点，分别记为m ，n ，且m n <．（1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式1e k k mn +>恒成立（e 为自然对数的底数），求正数k 的取值范围．福州2023-2024学年第一学期第二学段期末考试高三数学期末考试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{}e 2,x A y y x ==+∈R∣，集合{lg(1)}B x y x ==-∣，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.[1,2]B.(1,2]C.(1,2)D.[1,2)【答案】B 【解析】【分析】先化简两个集合，根据阴影部分可求答案.【详解】由题意图中阴影部分为U B A ⋂ð，而()()2,,1,A B ∞∞=+=+，(],2U A ∞=-ð，所以(1,2]U B A = ð.故选：B.2.复数z 满足(2i)i +=z ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（）A.2i 5B.25C.2i 5-D.25-【答案】D 【解析】【分析】由复数除法运算以及共轭复数、虚部的概念即可求解.【详解】由题意()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 5z -+===++-，所以12i 5z -=的虚部为25-.故选：D.3.已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若513a a a =，且4a 与5a 的等差中项为3，则5S 等于（）A.312B.314C.152D.154【答案】B 【解析】【分析】根据基本量法求出1a 和q ，然后由求和公式可得.【详解】记等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由题可知，21533456a a a a a a ⎧==⎨+=⎩，即2134116a q a q aq ⎧=⎨+=⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1193a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩（舍去），所以()55112314124S -==-.故选：B4.已知正三棱台111ABC A B C -的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为60 ，则此三棱台的体积为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正三棱台的几何特征求出棱台的高，再求出上下底面积，利用棱台的体积公式求解即可.【详解】由题意可知正三棱台111ABC A B C -的上底面面积为16622⨯⨯⨯=，下底面面积为1121222⨯⨯⨯=设11,AB A B 中点为1,D D ，1,H H 为下、上底面中心，连接11,,DD CD HH ，过1D 作1D E ⊥底面ABC 交CD 于E ，由正三棱台的性质可知1DD AB ⊥，CD AB ⊥，因为平面11A B BA ⋂平面ABC AB =，所以1D DC ∠为棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，即160D DC ∠=︒，因为1112332DH DC ==⨯⨯=，1111116332D H D C ==⨯=，所以11DE DH D H =-=，1tan 603D E DE =⋅︒=，所以此三棱台的体积(133V =⨯+⨯=，故选：C5.设直线()()110R a x ay a +--=∈与圆224x y +=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围为（）A.⎤⎦B.⎤⎦C.[]2,4 D.⎡⎤⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由条件可知直线过定点()1,1D ，直线CD l ⊥时，弦AB 最短，直线l 过圆心时，弦AB 最长，求解即可.【详解】设直线()()110R a x ay a +--=∈为l ，方程变形为()10a x y x -+-=，所以直线恒过定点()1,1D ，因为圆的方程为224x y +=，所以圆心()0,0C ，半径2r =，2<，所以D 在圆的内部，当直线CD l ⊥时，弦AB 最短，因为CD ==，所以AB ==，当直线l 过圆心时，弦AB 最长为24r =，故AB 的取值范围为4⎡⎤⎣⎦.故选：D .6.我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC ∠，且AB AC =，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈D 已滑到D ¢的位置，且,,A B D '三点共线，40cm,AD B ='为AD '的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为25cm ，则当伞完全张开时，BAC ∠的余弦值是（）A.2332-B.1932-C.58-D.38-【答案】A 【解析】【分析】先通过题意求出,,AD AB BD ，再通过余弦定理求出cos BAD ∠，进而通过倍角公式可得BAC ∠的值.【详解】当伞完全张开时，402515cm AD =-=，因为B 为AD '的中点，所以120cm 2AB AC AD =='=，当伞完全收拢时，40cm AB BD AD '+==，所以20cm BD =，在ABD △中，2224002254003cos 2220158AB AD BD BAD AB AD ∠+-+-===⋅⨯⨯，所以2923cos cos22cos 1216432BAC BAD BAD ∠∠∠==-=⨯=-.故选：A.7.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l与E 的右支交于点P ，Q 设12PF F △与12QF F 的内切圆圆心分别是M ，N ，直线OM ，ON 的斜率分别是12,k k ，则123k k =-，则双曲线E 的离心率为（） A. B.1+ C.D.62【答案】C【解析】【分析】先根据内切圆的性质确定圆心的坐标，进而得出12,k k ，结合等量关系可得答案.【详解】设12PF F △的内切圆和三边分别相切于点,,D E H ,则1212122PF PF DF HF EF EF a -=-=-=，又122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以OE a =.设直线l 的倾斜角为θ，则由内切圆的性质可得2π2MF E θ-∠=，()22πtan tan2ME EF MF E c a θ-=∠=-，所以1πtan 2c a k a θ--⎛⎫=⎪⎝⎭；同理可得()tan2NE c a θ=-，所以2tan 2a c k a θ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；因为12πtan tan 322c a a c k k a a θθ---⎛⎫⎛⎫=⋅=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()213e -=-，解得e =.故选：C.8.设函数()(1)e e (0)x x f x a x ax a a =+-+->，若关于x 的不等式()0f x <有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（）A.3232e e ,4e 23e 1⎛⎫⎪--⎝⎭ B.3232e e ,4e 23e 1⎡⎫⎪⎢--⎣⎭C.221e ,2e 3e 1⎛⎫⎪-⎝⎭D.221e ,2e 3e 1⎡⎫⎪⎢-⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】把不等式转化为111e x x x a ->+-，令1()1e x x h x x -=+-，求得e 2()ex xx h x ='+-，令()e 2x x x ϕ=+-，()e 2x x x ϕ=+-在R 上单调递增，存在唯一的()00,1x ∈使得0()0x ϕ=，得出函数()h x 的单调性，结合(0)h ，()h 1，1()h -，(2)h ，(3)h 的值和题设条件，得出2311234e e a -<≤-，求解即可.【详解】∵()(1)e e 0x x f x a x ax a =+-+-<，等价于111ex x x a ->+-.令1()1e x x h x x -=+-则e 2()ex xx h x ='+-，令()e 2x x x ϕ=+-，()e 2x x x ϕ=+-在R 上单调递增，又由(0)0ϕ<，(1)0ϕ>，∴存在唯一的()00,1x ∈使得0()0x ϕ=，当0x x <时，()0x ϕ<，()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0x ϕ>，()0h x '>，()h x 单调递增，又(0)2h =，(1)2h =，(1)2e h -=，21(2)3e h =-，32(3)4eh =-.所以当()0f x <有且仅有三个整数解时，有2311234e e a -<≤-，解得3232e e 4e 23e 1a ≤<--，即实数a 的取值范围是3232e e ,4e 23e 1⎡⎫⎪⎢--⎣⎭.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.向量1,32AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r 在向量(2,1)AC = 上的投影向量的坐标为42,55⎛⎫⎪⎝⎭B.“2m =”是“直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行”的充要条件C.若正数a ，b 满足2a b +=，且a b >，则ln ln 0a b +<D.已知,αβ为两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥【答案】CD 【解析】【分析】利用投影向量的求法可判定A 的正误，利用直线平行的条件可得B 的正误，利用对数运算及基本不等式可得C 的正误，根据空间位置关系可得D 的正误.【详解】对于A ，向量1,32AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r 在向量(2,1)AC = 上的投影向量的坐标为()4842,1,555AB AC AC AC AC ⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭ ，A 不正确.对于B ，直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行，则有26m m +=且1m ≠-，解得2m =或3m =-，所以“2m =”是“直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行”的充分不必要条件，B 不正确.对于C ，因为2a b +=，所以212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以ln ln ln ln10+=≤=a b ab ，因为a b >，所以等号不成立，故ln ln 0a b +<，C 正确.对于D ，因为,//m βαα⊥，所以m β⊥，因为//n β，所以m n ⊥，D 正确.故选：CD.10.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11,2n n n a b a S ==+，若数列{}n b 既是等差数列，又是等比数列，则（）A.{}n b 常数数列B.{}n a 是等比数列C.{}n S 为递减数列D.ln n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的性质，结合等比数列的定义逐一判断即可.【详解】对于选项A ：设等差数列{}n b 的公差为d ，由题意可知：1111b a a =+=，因为数列{}n b 也是等比数列，因此有()()2321211201n b b d d d b b b =⇒+=+⇒=⇒=，显然{}n b 既是等差数列，又是等比数列，符合题意，故A 正确；对于选项B ：可知1n n n b a S =+=，当2n ≥时，111n n a S --+=，两式相减得12n n a a -=，且112a =，可得112n n a a -=，可知数列{}n a 是以112a =为首项，公比为12的等比数列，则12n n a =，故B 正确；对于选项C ：因为12n n a =，1n n n b a S =+=，可得112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据指数函数的单调性和单调性的性质可以判断数列{}n S 为递增数列，故C 错误；对于选项D ：因为1ln ln 12ln 2nna n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭==，所以数列ln n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是不为零的常数列，所以它是等差数列，故D 正确；故选：ABD11.在三棱锥A BCD -中，已知BC BD ⊥，棱AC ，BC ，AD 的中点分别是E ，F ，G ，2AB AC AD CD ====，则（）A.过点E ，F ，G 的平面截三棱锥所得截面是菱形B.平面ADC ⊥平面BCDC.异面直线AC ，BD 互相垂直D.三棱锥A BCD -外接球的表面积为16π3【答案】ABD 【解析】【分析】A 项，利用中位线证明平行关系与长度关系得四边形为菱形；B 项，取CD 的中点P ，由勾股定理证明AP BP ⊥，由等腰三角形三线合一得AP CD ⊥，由线线垂直证线面垂直再证面面垂直即可；C 项，假设垂直推证BD AB ⊥，由斜边与直角边关系可推出矛盾；D 项，取ACD 的中心O ，由面面垂直性质定理得线面垂直关系，由勾股定理得OB OA =，利用球心到各顶点距离相等可得正三角形ACD 的中心O 即为球心.【详解】选项A ，如图，连接EF ，EG ，取BD 的中点H ，连接GH ，FH ，由F 是BC 的中点，得FH CD ∥，12FH CD =，同理得EG D C ∥，12EG CD =，所以EG FH ∥，112EG FH CD ===，四边形EFHG 是平行四边形，于是过点E ，F ，G 的平面截三棱锥所得截面即为四边形EFHG ，且由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF AB ∥，112EF AB ==，因此EF EG =，所以四边形EFHG 为菱形，故A 正确；选项B ，取CD 的中点P ，连接,AP BP ，由2AC AD CD ===，得AP =，由BC BD ⊥，得1BP =，又2AB =，所以222AB AP BP =+，所以AP BP ⊥，又AP CD ⊥，BP CD P = ，又,BP CD ⊂平面BCD ，所以AP ⊥平面BCD ，又AP ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面BCD ，故B 正确；选项C ，假设AC BD ⊥，已知BC BD ⊥，且,,AC BC C AC BC ⋂=⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，所以BD AB ⊥，所以AD AB >，这与已知“2AD AB ==”矛盾，故C 错误；选项D ，取正三角形ADC △的中心O ，连接,,,OA OB OC OD ，则OA OC OD ==，由于BCD △是直角三角形，CD 为斜边，则PB PC PD ==，由平面ADC ⊥平面BCD ，平面ADC 平面BCD CD =，由OP CD ⊥，且OP ⊂平面ADC ，所以OP ⊥平面BDC ，所以OP PB ⊥，则2222OB OP PB OP PC OC =+=+，所以ADC △的外心O 就是三棱锥A BCD -的外接球球心，所以外接球半径R 就是ADC △的外接圆半径，可知3232233R =⨯⨯=，所以三棱锥A BCD -外接球的表面积为216π4π3R =，故D 正确．故选：ABD.12.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点(2,)E t 到点F 的距离为4，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为P ，则（）A.PM PN ⊥B.sin PMN ∠的取值范围为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.若2AFFB =，则直线l 3D.tan AOB ∠有最大值43-【答案】BD 【解析】【分析】由题意计算可得4p =，即可得抛物线解析式，设()11,A x y 、()22,B x y ，:2AB l x my =+，联立曲线则可得与两交点有关韦达定理，借助中点公式与距离公式可得以线段AB 为直径的圆的方程，令0x =即可得M 、N 两点坐标，计算PM PN k k ⋅即可得A ，计算tan PMN ∠的范围即可得sin PMN ∠的范围即可得B ，由2AFFB =可计算出A ，B 两点具体坐标，即可得C ，由()tan tan AOB AOF BOF ∠=∠+∠，借助两角和的正切公式及所得韦达定理计算即可得D.【详解】由(2,)E t 在抛物线上，故有24t p =，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又4EF =，4===，化简得()()4120p p -+=，又0p >，故4p =，即28y x =，设()11,A x y 、()22,B x y ，:2AB l x my =+，联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，可得28160y my --=，0∆>，则128y y m +=，1216y y =-，则()2122121242284422222m y y x x my my m m +++++++====+，128422y y m m +==，故()242,4P m m +，AB ==288m ==+，则2442AB m =+，故以线段AB 为直径的圆的方程为()()()2222242444x m y m m --+-=+，令0x =，有()()()222222444421612y m m m m -=+---=+，故4y m=±，由圆的对称性，不妨设(0,4Mm +，(0,4N m-，则()222224444161204204242PM PNm m m m m k k m m m -+⋅=⨯=-----+，则PM PN k k ⋅不恒等于1-，故A 错误；过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则22tan PQ PMN MQ∠===2==，令2433m t +=≥，则234t m -=，则tan PMN ∠=，由对勾函数性质可知，1y t t=+在[)3,+∞上单调递增，故3tan 3PMN ∠≥=，故3090PMN ︒≤∠<︒，则1sin ,12PMN ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭，故B 正确；若2AF FB = ，则有()()1212222020x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，即2112262x x y y+=⎧⎨=-⎩，由1216y y =-，故22216y =，解得2y =±，则1y = ，则21x =，14x =，故(41lk -±==- ，故C 错误；()tan tan tan tan 1tan tan AOF BOFAOB AOF BOF AOF BOF∠+∠∠=∠+∠=-∠⋅∠，由1111tan 00AO y x y F x -∠==-，22220tan 0y yBOF x x -∠==--，故1212211211222121tan tan tan 1tan tan 1x x x y x y AOF BOFAOB AOF BOF x y x y x y y y y x --∠+∠∠===-∠⋅∠++⋅()()()12212121212122241636464my y my y y y y y y y+-+-==-++，则当0m =时，tan AOB ∠有最大值，且其最大值为43-，故D 正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知π2cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】59-【解析】【分析】首先将5πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为ππsin 262α⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可得到答案.【详解】由题意可得：5ππππsin 2sin 2cos 26626ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22π252cos 121639α⎛⎫⎛⎫=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：59-.14.写出一个同时满足下列性质①②③的椭圆的标准方程为___________．①中心在原点，焦点在y 轴上；②离心率为12；③焦距大于8．【答案】22175100x y +=（答案不唯一，符合题意即可）【解析】【分析】根据离心率可得,,a b c 之间的关系，结合题意取c 的值，即可得方程.【详解】由题意可知：2221228c e a a b c c ⎧==⎪⎪=+⎨⎪>⎪⎩，可得24a cbc =⎧⎪=⎨⎪>⎩，令5c =，可得10,a b ==又因为中心在原点，焦点在y 轴上，可得椭圆的标准方程为22175100x y +=.故答案为：22175100x y +=（答案不唯一，符合题意即可）.15.已知O 的半径是1，点P满足||OP =，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C两点，D 为BC 的中点，设π04APC αα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则当α=___________时，PA PD ⋅ 取得最大值．【答案】π8【解析】【分析】由题意可知：1PA =，π4OPD α∠=-，根据数量积的定义结合三角恒等变换整理得π1sin 2242PA PD α⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭ ，再根据正弦函数的有界性分析求解.【详解】由题意可知：点P 在以O的圆上，因为直线PA 与O 相切于点A ，则PA OA ⊥，221PA OP OA =-=，可知π4OPA ∠=，π4OPD α∠=-，又因为D 为BC 的中点，则OD PC ⊥，可得ππcos 244PD OP αα⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πcos 2cos 4PA PD PA PD ααα⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ 21112π1cos sin cos sin 22sin 2222242αααααα⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，且π04α<<，可得ππ3π2444α<+<，可知：当ππ242α+=，即π8α=时，PA PD ⋅ 取到最大值2122+.故答案为：π8.16.已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是棱DP 上的动点，N 是平面ECD 内的动点，则当||||AM MN +取得最小值时，线段DN 的长度等于___________．【答案】31136【解析】【分析】取CE 中点O ，先由OP ⊥平面CDE ，得N 在线段DO 上，再把PDO △沿PD 翻折到平面APD 上，得到||||AM MN +取得最小值时AN OD ⊥，由此求出结果.【详解】取CE 中点O ，连接DO ，OP由正四面体性质可得DE AB ⊥，CE AB ⊥，因为DE CE E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE 因为//OP AB ，所以OP ⊥平面CDE ，当||||AM MN +取得最小值时，MN ⊥平面CDE ，所以N 在线段DO 上，由OP ⊥平面CDE ，得OP OD ⊥，111242OP AE AB ===，22213DP =-=，所以111342OD =-=，将PDO △沿PD 翻折到平面APD 上，如图由题意知30ADP ︒∠=，3sin 623OP ODP DP ∠==，1133cos 623OD ODP DP ∠==，则3113cos cos(30)12ODA ODP ︒∠=∠+=，所以当||||AM MN +取得最小值时，即AN OD ⊥，所以31133113cos 2126DN AD ODA =⋅∠=⨯=故答案为：31136四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，其他小题各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3tan tan cos cb A b B A+=．（1）求B ∠的大小；（2）若4,3a c ==，直线PQ 分别交AB ，BC 于P ，Q 两点，且PQ 把ABC 的面积分成相等的两部分，求PQ 的最小值．【答案】（1）π3B ∠=（2【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互换、两角和的正弦公式以及诱导公式即可求解；（2）由三角形面积公式首先得6xy =，进一步结合基本不等式以及余弦定理即可求解.【小问1详解】因为tan tan cos b A b B A+=，所以sin sin sin sin cos cos A B B B A B +=即()sin sin cos cos sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B A B A B C BB B A B A B A B ++===，所以tan B =，即π3B ∠=.【小问2详解】由题意不妨设,,z BP x Q Q B y P ===，由题意1113422222BPQ S xy =⋅=⨯⨯⨯⨯，所以6xy =，由余弦定理、基本不等式得2222212262z x y xy x y xy xy xy xy =+-⨯=+-≥-==，等号成立当且仅当3x y ==<，综上所述，PQ .18.己知数列{}n a 的前n 项积为n b ，且211n nb a +=．（1）证明：{}n b 是等差数列；（2）从{}n b 中依次取出第1项，第2项，第4项……第12n -项，按原来顺序组成一个新数列{}n c ，求数列(){}1n n c -的前n 项和．【答案】（1）证明见解析（2）1(1)22n n +-⋅+【解析】【分析】（1）由211n n b a +=，1n n n b a b -=，代入可得121n n n b b b -+=，化简即可证明结论；（2）由等差数列的通项公式可得n b ，从而得到数列{}n c 的通项公式，利用错位相减即可求得结果.【小问1详解】因为数列{}n a 的前n 项积为n b ，所以1nn n b a b -=()*2,N n n ≥∈，又因为211n n b a +=，所以121n n nbb b -+=，化简可得12n n b b --=()*2,Nn n ≥∈，当1n =时，11211b b +=，解得：13b =，所以{}n b 是等差数列，首项为3，公差为2.【小问2详解】由（1）可得32(1)21n b n n =+-=+,所以11222121n n n n c b --==⋅+=+，故()12n n n c n -=⋅，令数列(){}1n n c -的前n 项和为n T ，则231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ①23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ②①-②可得：231121212122nn n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅ 化简可得：12(1)2n n T n +=+-⋅，所以数列(){}1n n c -的前n 项和12(1)2n n T n +=+-⋅19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，112PA AB BC ===，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：AE PC ⊥；（2）试求BF 的长，使平面AEF 与平面PCD 夹角的余弦值为105．【答案】（1）证明见解析（2）14【解析】【分析】（1）建立空间坐标系，写出向量坐标，利用向量数量积证明垂直；（2）求出平面法向量，根据线面角可求答案.【小问1详解】以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z轴，建系如图，()()()()()1,0,0,0,0,1,1,2,0,0,2,0,0,0,0B P C D A ,因为E 为线段PB 的中点，所以11,0,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭;11,0,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()1,2,1PC =-;因为0AE PC ⋅=,所以AE PC ⊥.【小问2详解】设[]0,2BF a =∈，则()1,,0F a ,则()11,0,,1,,022AE AF a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,设平面AEF 的一个法向量为(),,n x y z =，n AE n AF ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩()12x z x ay ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1y =-，则(),1,n a a =-- .()()1,0,0,0,2,1DC DP ==-,设平面PDC 的一个法向量为()111,,m x y z =，00m DC m DP ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩ 111020x y z =⎧⎨-+=⎩，令11y =，则()0,1,2m = .设平面AEF 与平面PCD 的夹角为θ，cos m n m n θ⋅==5=，解得14a =，即14BF =.20.某公司食堂每天中午给员工准备套餐，套餐只有A 、B 、C 三种，公司规定：每位员工第一天在3个套餐中任意选一种，从第二天起，每天都是从前一天没有吃过的2种套餐中任意选一种．（1）若员工甲连续吃了3天的套餐，求第三天吃的是“套餐A ”的概率；（2）设员工甲连续吃了5天的套餐，其中选择“套餐B ”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）13（2）分布列见解析，53【解析】【分析】（1）分第一天吃的是“套餐A ”和第一天吃的是“套餐B ”（或“套餐C ”），结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意可知：X 的可能取值为0,1,2,3，结合题意求分布列和期望.【小问1详解】若第一天吃的是“套餐A ”，则第二天吃的是“套餐B ”或“套餐C ”，此时的概率为11111326P =⨯⨯=；若第一天吃的是“套餐B ”（“套餐C ”），则第二天吃的是“套餐C ”（“套餐B ”），此时的概率为121113226P =⨯⨯=；所以第三天吃的是“套餐A ”的概率1213P P P =+=.【小问2详解】由题意可知：X 的可能取值为0,1,2,3，则有：()21111103222224P X ==⨯⨯⨯⨯=；()131111211121111111C 132223222322223P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=；()112211111112112111132C 11111C 13223222322322224P X ==⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=；()111131132212P X ==⨯⨯⨯⨯=；可知X 的分布列为X0123P124131324112所以X 的期望为()111315012324324123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.21.己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别是A ，B ，点E （异于A ，B 两点）在椭圆C 上，直线EA 与EB 的斜率之积为12-，椭圆C 的短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P ，N ，若11||||PQ QN +为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．【答案】21.2212x y +=22.存在稳定点()1,0Q ±，理由见详解【解析】【分析】（1）根据题意可得,A B 两点坐标，设出点(),E x y ，由12⋅=-EA EB k k 化简可得椭圆C 的标准方程；（2）设直线0:PN x my x =+，与椭圆方程联立，由韦达定理可得12y y +，12y y ，又1PQ =，2QN y =，从而可求11PQ QN+的表达式，即可求解.【小问1详解】由题，22b =，即1b =，所以()0,1A ，()0,1B -，设(),E x y ，由12⋅=-EA EB k k 可得，1112y y x x -+⋅=-，化简得2212x y +=，又点,A B 满足上式，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】存在这样的点()0,0Q x ，设直线0:PN x my x =+，()11,P x y ，()22,N x y ，120y y <，联立02212x my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()222002220m y mx y x +++-=，012222mx y y m -∴+=+，2012222x y y m -=+，22088160m x ∆=-+>，又1PQ y ===，2QN =，1212121111y y PQ QN y y y y ⎛⎫+∴+=+=⎪⎪⎭121212y y y y -==-2002122x m =⨯-+，要使上式为定值，则2021x -=，故当01x =±时，11PQ QN+为定值，综上，存在这样的稳定点()1,0Q ±.【点睛】思路点睛：第二问，设出直线0:PN x my x =+与椭圆方程联立，得到根与系数关系，又利用两点间距离公式可得又()22210111PQ x x y m y =-+=+，221QN m =+，代入11PQ QN +运算化简得解.22.已知函数()ln ()f x x ax x a =-+∈R 有两个不同的零点，分别记为m ，n ，且m n <．（1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式1e k k mn +>恒成立（e 为自然对数的底数），求正数k 的取值范围．【答案】（1）111a e<<+；（2）1k ≥.【解析】【分析】（1）利用导数求出函数()f x 的单调性和最大值，由最大值大于0即可解得结果；（2）根据不等式1e k k mn +>，两边取自然对数后，得到1ln ln k m k n +<+，结合题设得1()k am m k an n +<-+-，消去a 后得)l 1n (ln m nm nk m kn -+<+-，再通过双变量化单变量，构造函数讨论单调性得出.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，1()1f x a x'=+-，当1a ≤时，因()0f x '>，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增，不存在两个零点，不合题意；当1a >时，设1()()1g x f x a x '==+-，21()0g x x'=-<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，即1()1f x a x'=+-在()0,∞+上单调递减，由()0f x '=，得11x a =-，当101x a <<-时，()0f x '>；当101x a <<-时，()0f x '<；所以当11x a =-时候，()f x 取得最大值.即111ln ln(1)11111a f a a a a a ⎛⎫=-+=---⎪----⎝⎭,当x 趋近于0时，(1)a x -趋近于0，ln x 趋近于负无穷，()f x 趋近于负无穷；当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于负无穷.所以若函数()f x 有两个不同的零点，则ln(1)10a --->，即1ln(1)1ln a e -<-=，解得11a e<+，又1a >，所以实数a 的取值范围111a e<<+.【小问2详解】因为()ln ()f x x ax x a =-+∈R 有两个不同的零点m ，n ，由题知0m n <<，且ln 0ln 0m am m n an n -+=⎧⎨-+=⎩，即ln ln am m man n n -=⎧⎨-=⎩，相减得到：ln ln 1m n a m n--=-由不等式1e k k mn +>恒成立，则1ln(ln )e k k mn +>恒成立，即1ln ln k m k n +<+恒成立，所以1()k am m k an n +<-+-恒成立，故1(1)(1)k m a kn a +<-+-恒成立，即1()(1)k m kn a +<+-恒成立，所以)l 1n (ln m n m n k m kn -+<+-恒成立，即)l 1n (ln m nm nk m kn -+<+-恒成立，即l 11n m mn mkn k n-++<恒成立.设mt n =，则(0,1)t ∈时，不等式1()ln 1t k t k t ++<-恒成立，因为0t k +>，10t -<进而得0(l 1)(n 1)t t t k k--<++在(0,1)t ∈时恒成立，设1()l 1)n ()(h t t t kt k -=-++，(0,1)t ∈，注意到(1)0h =.则21(1()()()()1)t k t h t t k k t +--'=-++，即222222221(1)()((())()(1))t t k h t t t k t t k t t t k --'=-=+--+++=+，又因为(0,1)t ∈且0k >，则2(1)0()t t t k -<+，所以当1k ≥时，20t k -<，即()0h t '>，故()h t 在(0,1)t ∈单调递增，而1t =时0(l 1)(n 1)t t t k k--=++，所以()0h t <恒成立，故1k ≥满足题意.当01k <<时，若2(,1)t k ∈，由()0h t '<，则()h t 在2(,1)t k ∈单调递减，所以当2(,1)t k ∈时()0h t >，与题设不符.综上所述，正数k 的取值范围1k ≥.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点及不等式恒成立的证明等知识，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力、推理论证能力，本题综合性强，能力要求高.。
2023年福建高三省质检数学试题及答案解析
你若盛开，蝴蝶自来。
2023年福建高三省质检数学试题及答案解析2023年福建高三省质检数学试题及答案解析2023届福建高三“省质检”联考考试时间支配在2023年4月6日-4月8日。
以下是关于2023年福建高三省质检数学试题及答案的相关内容，供大家参考!2023年福建高三省质检数学试题2023年福建高三省质检数学试题答案2023福建省质检成果查询时间依据往年状况，估计周末各地就间续能查到成果啦!不同地市和学校的阅卷进度、查分方式不一样，大家急躁等待学校老师通知哦。
而此前有消息称，本次“省质检”漳州的阅卷时间自4月6日下午开头，至10日中午结束。
也就是说目前已考完科目正在阅卷中，最快的话这两天就会有部分学校可以领先查到部分科目的成果了，10日晚上估计全部科目可查。
高三模拟考试和高考哪个难第1页/共3页千里之行，始于足下。
这个回答没有肯定的答案，由于每年的模拟卷内容不通、高考的考卷难度也不同。
而且由于考生的成果不同，对于考卷的难易程度推断也不同。
所以这个问题没有准确的答案。
假如根据总体的水平来评估，高考试卷的难度不会高于模拟考试卷，高考中基础部分和中级难度的题目占比在80%左右，只有20%是拔高题。
所以假如基础学问打的好，那么对于考生来说，高考题目不难。
高考的题目的难度是在问法、提问方式上，而并不是运用了超纲的学问点，与大家传统意义上的难度不通。
相比高考的难度，模拟考要更难一点。
由于模拟考试的目的是期望通过考试来推断同学对学问点的把握状况，假如过于简洁就起不到探底的目的。
高考与模拟考试分数差的大吗1、历次高三模拟考试的平均分最接近高考成果：理科生都知道，做试验减小误差的方法就是多做几次，然后求平均值。
所以想知道自己高考也许能考多少分或者说高考与模拟考会差多少分，那你可以把自己做的全部模拟题的分数加起来取平均值，多次模拟考试的平均分最接近高考成果。
2、最终高三两三次的模拟考试分数比较接近高考分数：一般状况下，前几次的高考模拟题，老师一般出题比较偏难一点，主要是为了让高三的同学收收心，让他们更快的投入到高考冲刺阶段。
福建省福州市2023届高三质量检测数学试题
一、单选题二、多选题1. 设函数，若，，，则，，的大小为（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（ ）（1）或；（2）且；（3）或；（4）且．A ．3B ．2C ．1D ．03. 已知抛物线的焦点为F ，点A 在C 上．O 为坐标原点，若，则的面积为（ ）A ．1B ．2C．D．4. 下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（ ）A．B．C．D．5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位6. 等差数列，，，……，的公差为，若以上述数列，，，……，为样本，则此样本的方差为A．B．C．D．7. 设、是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）A ．若，，，则B．若，，则C ．若，，则D ．若，，，则8. 如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．9. 下列命题中，正确的命题的序号为（ ）A．已知随机变量服从二项分布，若，则B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量服从正态分布，若，则D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大10.已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，直线与圆相离福建省福州市2023届高三质量检测数学试题福建省福州市2023届高三质量检测数学试题三、填空题四、解答题B ．若直线是圆的一条对称轴，则C ．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为D ．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为11. 某地卫健委为监测当地居民的某健康指标，随机抽取100人，检测该健康指标的指标值，并按四个区间分组制作图表如下所示，根据下列相关信息，则（）指标区间男､女人数比(男性：女性)城､乡人数比(城市户口：乡村户口)A．该地居民的健康指标值的众数的估计值为1B ．该地居民的健康指标值的中位数的估计值为0C ．样本数据中，的男性中至少有1人是城市户口D ．若从该地居民中随机任选3人，恰有1人的的概率为12. 已知m 、n 为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，且，则B ．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，，则13. 已知，那么，当代数式取最小值时，点的坐标为________14.若，，则__________．15.曲线在点处的切线方程为______．16.已知数集.如果对任意的i ，j (且)，与两数中至少有一个属于A .则称数集A 具有性质P .（1）分别判断数集是否具有性质P ，并说明理由：（2）设数集具有性质P .①若，证明：对任意都有是的因数；②证明：.17. 已知,分别为等腰直角三角形的边上的中点，，现把沿折起（如图2），连结，得到四棱锥．（1）证明：无论把转到什么位置，面面；（2）当四棱锥的体积最大时，求到面的距离及体积的最大值．18. 设公差大于0的等差数列的前项和为.已知，且成等比数列，记数列的前项和为.(1)求；(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.19. 十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，生产一件该款芯片有三道工序，每道工序的生产互不影响，这三道工序的次品率分别为，，．(1)①求生产一件该芯片的次品率．②试产100件该芯片，估计次品件数的期望．(2)某手机生产厂商将该款芯片投入到某新款手机上使用，并对部分芯片做了技术改良，推出了两种型号的手机，甲型号手机采用没有改良的芯片，乙型号手机采用改良了的芯片，现对使用这两种型号的手机用户进行回访，就他们对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用甲型号手机的有30人，其中对开机速度满意的有15人；使用乙型号手机的有70人，其中对开机速度满意的有55人．完成下列列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度的满意度有关．甲型号乙型号合计满意不满意合计附：，．0.0500.0100.0050.0013.841 6.6357.87910.82820. 如图所示，三棱柱中，，面面，，与相交于．(1)求证：面；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值．21. 在三棱锥中，，，M为棱BC的中点.(1)证明：；(2)若平面平面ABC，，，E为线段PC上一点，，求点E到平面PAM的距离.。
福建省2023高三七市联考数学试题及答案1
福建省2023高三七市联考数学试题及答案福建省2023高三七市联考数学试题及答案经了解的为写作提供原始材料。
当然并不是说字字都要查找，要查的是自己没有把握的东西。
以下是小编整理的福建省2023高三七市联考数学试题，希望可以提供给大家进行参考和借鉴。
福建省2023高三七市联考数学试题福建省2023高三七市联考数学试题答案高考数学答题注意事项(1)填写好全部考生信息，检查试卷有无问题;(2)调节情绪，尽快进入考试状态，可解答那些一眼就能看得出结论的简单选择或填空题(一旦解出，信心倍增，情绪立即稳定);(3)对于不能立即作答的题目，可一边通览，一边粗略地分为a、b两类：a类指题型比较熟悉、容易上手的题目;b类指题型比较陌生、自我感觉有困难的题目，做到心中有数。
高考数学如何快速提分一、回归基础查缺漏高考数学快速提分考生应当结合数学课本，把高考数学知识点从整体上再理一遍，要特别重视新课程新增的内容，看看有无知识缺漏，若有就应围绕该知识点再做小范围的高考复习，消灭知识死角。
二、重点知识再强化高考数学以三角、概率、立体几何、数列、函数与导数、解析几何、解三角形、选做题为主，也是数学大题必考内容，这些板块应在老师指导下做一次小专题的强化训练，熟悉不同题型的解法。
如果学校没有专门安排，考生可以把最近做过的综合试卷选五六份分类整理，把这些高考数学重点知识涉及的不同题型、解法较系统地温习一遍，快速提分就有望实现。
高考数学复习技巧1、训练想像力。
有的数学问题既要凭借图形，又要进行抽象思维。
同学们不但要学会看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力比如，几何中的“点”没有大小，只有位置。
现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。
所以说，几何中的“点”只存在于大脑思维中。
2、准确理解和牢固掌握各种数学运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据，概念模糊，公式、法则含混，必定影响数学运算的准确性。
为了提高运算的速度，收集、归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和迅速性。
福建省2023届高三高考模拟(高三毕业班适应性练习卷)省质检数学试题(含解析)
福建省2023届高三高考模拟（高三毕业班适应性练习卷）省质检数学试题一、单选题1．（2023·福建·统考模拟预测）已知集合{}lg A x y x ==，{}2B y y x ==，则（ ）A ．RA B ⋃＝B ．R A B ⊆ðC ．A B B I ＝D ．A B⊆2．（2023·福建·统考模拟预测）已知z 是方程x 2-2x +2=0的一个根，则|z |=（ ）A．1B C D ．23．（2023·福建·统考模拟预测）函数()2ln 2x x f x x-+＝的图象大数为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2023·福建·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n 使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n 足够大时，可以得到π与n 的关系为（ ）A ．360πsin 2n n︒≈B ．180πsinn n︒≈C ．π≈D ．π≈5．（2023·福建·统考模拟预测）已知双曲线C ：22221x y a b -（a >0，b >0）的离心率为12F F ，，1F 关于C 的一条渐近线的对称点为P .若12=PF ，则12PF F △的面积为（ ）A ．2B C ．3D ．46．（2023·福建·统考模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A ，B ，C 等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B ，C 两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（ ）A ．72B ．84C ．88D ．1007．（2023·福建·统考模拟预测）已知ln 2a =，1e b a=-，2a c a =-，则（ ）A ．b c a>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．c b a>>8．（2023·福建·统考模拟预测）已知()2,X N μσ:，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布()25.40,0.05N ，现从中随机抽取N 个，这N 个零件中恰有K 个的质量指标ξ位于区间()5.35,5.55.若45K =，试以使得()45P K =最大的N 值作为N 的估计值，则N 为（ ）A ．45B ．53C ．54D ．90二、多选题9．（2023·福建·统考模拟预测）已知向量()1,2a =r ，()4,2b =-r ，则（ ）A ．()()a b a b-⊥+r r r r B ．a b a b-=+r r r r C ．b a -r r 在a r 上的投影向量是a -r D ．a r在a b +r r 上的投影向量是()3,4-10．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数f (x)=sin x x ωω(ω>0)满足:f (π6)=2,f (2π3)=0,则( )A ．曲线y =f (x )关于直线7π6x ＝对称B ．函数y =f (π3x -)是奇函数C ．函数y =f (x )在(π6,7π6)单调递减D ．函数y =f (x )的值域为[-2,2]11．（2023·福建·统考模拟预测）已知抛物线C 的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，PQ 垂直l 于点Q ，直线QF 与C 相交于M ､N 两点.若M 为QF 的三等分点，则（ ）A ．cos ∠12PQM ＝B ．sin∠QPM C ．NF QF=D．PN 12．（2023·福建·统考模拟预测）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 为侧面11AA D D 上的点，N 为侧面11CC D D 上的点，则下列判断正确的是（ ）A．若BM M 到直线1A DB ．若11B N AC ⊥，则1N CD ∈，且直线1B N //平面1A BD C ．若1M A D ∈，则1B M 与平面1A BDD ．若1M A D ∈，1N CD ∈，则M ，N三、填空题13．（2023·福建·统考模拟预测）写出过点()2,0且被圆224240x x y y -+-+=截得的弦的一条直线的方程___________.14．（2023·福建·统考模拟预测）已知{an }是单调递增的等比数列，a 4+a 5=24，a 3a 6=128，则公比q 的值是___________.15．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤，则a 的取值范围是___________.四、解答题16．（2023·福建·统考模拟预测）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若1c =，D 为ABC V 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，求四边形ABCD 面积的最大值.17．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足：11a =，28a =，212122log n n n a a a -++=，2122216n a n n a a ++=.(1)证明：{}21n a -是等差数列：(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，2023n S >，求n 的最小值.18．（2023·福建·统考模拟预测）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A 地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.x y t1021ii x=∑101i ii x y=∑1021ii t=∑101i ii t y=∑2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中()ln 2012i i t x =-，101110ii t t ==∑(1)根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率.(2)已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i u u v v u v nu vu u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.19．（2023·福建·统考模拟预测）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2ABPC ==，PA PB ==M 是棱PD 上的点，且四面体MPBC 的体(1)证明：PM MD =；(2)若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交PA 于点Q ，求平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值.20．（2023·福建·统考模拟预测）已知圆221()116A x y ++=：，直线1l 过点20(1)A ，且与圆1A 交于点B ，C ，BC 中点为D ，过2A C 中点E 且平行于1A D 的直线交1AC 于点P ，记P 的轨迹为Γ(1)求Γ的方程；(2)坐标原点O 关于1A ，2A 的对称点分别为1B ，2B ，点1A ，2A 关于直线y x =的对称点分别为1C ，2C ，过1A 的直线2l 与Γ交于点M ，N ，直线1B M ，2B N 相交于点Q .请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.①QBC △的面积是定值；②12BB B V 的面积是定值：③12QC C △的面积是定值.21．（2023·福建·统考模拟预测）已知函()()e xf x x a =+，R a ∈.(1)讨论()f x 在()0,∞+的单调性；(2)是否存在01,,a x x ，且10x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线？证明你的结论.五、双空题22．（2023·福建·统考模拟预测）如图，一张4A 纸的长AD ＝，宽2AB a =，.M ，N 分别是AD ，BC 的中点.现将ABD △沿BD 折起，得到以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥，则三棱锥A BCD -的外接球O 的半径为___________；在翻折的过程中，直线MN 被球O 截得的线段长的取值范围是___________.参考答案：1．D【分析】利用函数的定义域及值域求出两个集合，再根据集合的交集、并集、补集运算即可.【详解】因为{}{}lg 0A x y x x x ===>，{}{}20B y y x y y ===≥，所以A B ⊆，所以A B B ⋃＝，A B A ⋂＝，又{}0A x x =>，所以{}R 0A x x =≤ð，不满足R A B ⊆ð，故选项A 、B 、C 错误，选项D 正确，故选：D.2．B【分析】根据实系数一元二次方程的性质，结合共轭复数、复数模的性质进行求解即可.【详解】因为方程x 2-2x +2=0是实系数方程，且()224240∆=--⨯=-<，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即1,222i 1i 2z ±==±，即1i 1i z z =±⇒==m 故选：B 3．C【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数()f x 为奇函数.然后得到0x >时，()ln 2x f x x x x =-++，根据导函数求得()f x 的单调性，并且可得极大值点011ex <<，即可得出答案.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠.又()()2ln 2x x f x x---+--＝()2ln 2x x f x x-+==--，所以，函数()f x 为奇函数.当0x >时，()2ln 2ln 2x x x f x x x x x-+=-++＝，则()22221ln 2ln 11x xx x x f x x x x ⋅-++'=-+-=-.设()2ln 1g x x x =++，则()120g x x x'=+>在()0,∞+上恒成立，所以，()g x 在()0,∞+上单调递增.又421e 210e g -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，21e 110e g -⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以，根据零点存在定理可得，0211,e e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，有()00g x =，且当00x x <<时，有()0g x <，显然()22ln 10x x f x x ++'=->，所以()f x 在()00,x 上单调递增；当0x x >时，有()0g x >，显然()22ln 10x x f x x ++'=-<，所以()f x 在()00,x 上单调递减.因为011ex <<，所以C 项满足题意.故选：C.4．A【分析】设圆的半径为r ，由题意可得221360πsin 2r n r n︒≈⋅⋅⋅，化简即可得出答案.【详解】设圆的半径为r ，将内解正n 边形分成n 个小三角形，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面即可得：221360πsin 2r n r n︒≈⋅⋅⋅，解得：360πsin 2n n︒≈.故选：A.5．D【分析】设2PF 与渐近线交于M ，由对称性知1//OM PF 且112OM PF ＝，在直角2OMF △中可求得,a b ，再由1224PF F OMF S S =V V 求得12PF F △的面积.【详解】设2PF 与渐近线b y x a =交于M ，则2F M OM ⊥，2tan bMOF a ∠=，2sin b MOF c∠=，所以222sin F M OF MOF b =⋅∠=，OM a ==，由,O M 分别是12F F 与2PF 的中点，知1//OM PF 且1112OM PF ＝＝，即1a =，由e =得2c b ==，所以1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=V V ，故选：D 6．D【分析】由题意可知，若甲去B 点，则剩余4人，可只去,A C 两个点，也可分为3组去,,A B C 3个点.分别求出安排种法，相加即可得出甲去B 点的安排方法.同理，即可得出甲去C 点的安排方法，即可得出答案.【详解】若甲去B 点，则剩余4人，可只去,A C 两个点，也可分为3组去,,A B C 3个点.当剩余4人只去,A C 两个点时，人员分配为1,3或2,2，此时的分配方法有22312242412222C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=；当剩余4人分为3组去,,A B C 3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有2343C A 36⋅=，综上可得，甲去B 点，不同的安排方法数是143650+=.同理，甲去C 点，不同的安排方法数也是50，所以，不同的安排方法数是5050100+=.故选：D.7．A【分析】构造()22xf x x =-，根据导函数可得()f x 在()0,1上单调递减，进而可得出c a >.构造()12e xh x x x =--+，根据导函数可得()h x 在()0,1上单调递减，进而由102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得出()ln 20h <，整理即可得出c b <，即可得出答案.【详解】令()22xf x x =-，则()2ln 22x f x '=-，令()2ln 22xg x =-，则()2ln 220x g x '=⋅>恒成立，所以()g x ，即()f x '在R 上单调递增.又()12ln 22220f '=-<-=，所以，当()0,1x ∈时，()()10f x f ''<<恒成立，所以，()f x 在()0,1上单调递减.又()112210f =-⨯=，0ln 21<<，所以()()ln 210f f >=，即，ln 222ln 20->，即220a a ->，即2a a a ->，所以c a >.令()12e xh x x x =--+，则()212ln 21xh x x'=--，令()212ln 21xk x x =--，则()232ln 220xk x x '=⋅+>在()0,∞+恒成立.所以，()k x ，即()h x '在R 上单调递增.又()()12ln 2112ln 210h '=--=-<，所以，当01x <<时，有()()10h x h ''<<成立，所以，()h x 在()0,1上单调递减.又121132e 2e 0222h ⎛⎫=--+=< ⎪⎝⎭，因为42ln 21ln 0e-=>，所以，1ln 212<<，所以，()1ln 202h h ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，又()ln 211ln 22ln 2e 2e ln 2a h a a=--+=--+，所以，12e 0aa a--+<，所以，12e aa a-<-，即c b <.综上可得，b c a >>.故选：A.8．B【分析】由已知可推得，()5.35 5.55P ξ<<()3P X μσμσ=-<<+，根据已知以及正态分布的对称性，可求得()5.35 5.55P ξ<<0.84≈.则(),0.84K B N :，()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅，设()454545C 0.840.16x x f x -=⋅⋅，求出函数的最大整数值，即可得出答案.【详解】由已知可得，()()5.35 5.55 5.400.05 5.4030.05P P ξξ<<=-<<+⨯()3P X μσμσ=-<<+.又()()()3332P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+-<<+=0.68270.99730.842+≈=，所以，(),0.84K B N :，()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅.设()454545C 0.840.16x x f x -=⋅⋅，则()()45454414545451C 0.840.16C 0.840.16x x x x f x f x -+-+⋅⋅=⋅⋅()()()1!44!45!10.160.161!4445!45!x x x x x x +-+=⋅=⋅>--，所以，110452.521x <=，所以()()5352f f >.()()4545454545461C 0.840.161C 0.840.16x x x x f x f x ---⋅⋅=-⋅⋅()()()!45!45!0.160.1611!4546!45!x x x x x x -=⋅=⋅<---，所以，37545377x >=+，所以()()5354f f >.所以，以使得()45P K =最大的N 值作为N 的估计值，则N 为53.故选：B.【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得(),0.84K B N :，得出()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅，利用函数求出N 的最大值.9．BC【分析】根据向量的坐标运算求出()5,0a b -=r r，()3,4a b +=-r r ，即可求出数量积以及模，判断A 、B 项；根据投影向量的公式，求出投影向量，即可判断C 、D 项.【详解】由已知可得，()5,0a b -=r r，()3,4a b +=-r r .对于A 项，因为()()()5304150a b a b -⋅+=⨯-+⨯=-≠r r r r ，故A 项错误；对于B 项，因为5a b -=r r ，5a +=r ，所以a b a b -=+r r r r，故B 项正确；对于C 项，因为()5,0b a -=-r r ，()51025b a a -⋅=-⨯+⨯=-r rr=，所以b a -r r 在a r上的投影向量是()b a a a a a a-⋅⋅==-r r r r r r r ，故C 项正确；对于D 项，()()13245a a b ⋅+=⨯-+⨯=r r r，5a b +=r r ，所以a r 在a b +r r 上的投影向量是()()51343,4,5555a a b a b a b a b ⋅++⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭++r r r r rr r r r ，故D 项错误.故选：BC.10．ABD【分析】用辅助角公式化简()f x ,再利用22,063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出ω的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.【详解】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以函数()y f x =的值域为[2,2]-,故D 正确；因为203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以112,33k k Z ππωπ+=∈,所以1131,2k k Z ω-=∈，因为26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以222,632k k Z πππωπ+=+∈,所以22121,k k Z ω=+∈，所以12311212k k -=+,即1281k k =+，所以{1,13,25,37}ω∈L ，因为()227732sin 1212sin 1426632f k k πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以曲线()y f x =关于直线76x π=对称,故A 正确；因为()22sin 121333f x k x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2222sin 12142sin 121k x k k x π=+-=+即33f x fx ππ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数,故B 正确；取13ω=,则最小正周期2271366T πππππω==<-=,故C 错误.故选：ABD 11．ACD【分析】过点M 作MH l ⊥于点H ，设准线为l 与x 交于点K ，由抛物线的定义可得1cos 2HM QMH QM ==∠，可判断A ；求出,PM QM 的长，由正弦定理可判断B ；求出,NF QF 可判断C ；求出,PN PQ 可判断D.【详解】如下图，过点M 作MH l ⊥于点H ，设准线l 与x 交于点K ，由抛物线的定义知：MF HM =，因为M 为QF 的三等分点，所以1cos 2HM QMH QM ==∠，所以60QMH QFK ∠=∠=︒，所以60PQM ∠︒＝，所以cos ∠12PQM ＝，故A 正确；对于B ，在QPF △中，由抛物线的定义知：PF PQ =，60PQM ∠︒＝，所以QPF △为等边三角形，又因为1cos 2FM FK FM QFK p FM =-∠=-，解得：23FM p =，同理可得：2FN p =，所以43QM p =，因为QPF △为等边三角形，所以2FQ PQ PF p ===M 为QF 的三等分点，所以PMQ V 中，由余弦定理可得：2222cos 60PM PQ QM PQ QM =+-⋅︒，则2221641422932PM p p p p =+-⨯⋅⋅，则PM p ，所以在PMQ V 中，由正弦定理可得：sin sin QM PMQPM PQM=∠∠，代入可得43sin p QPM =∠sin∠QPM B 不正确；对于C ，2QF QM MF p =+=，2FN p =，所以QF NF =，故C 正确；对于D ，因为60,60,120QFK QFP PFN ∠=︒∠=︒∴∠=︒，所以PFN V 中，2FN PF p ==，由余弦定理可得：222222212cos1204424122PN PF FN PF FN p p p p ⎛⎫=++⋅︒=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则PN =，所以PN ，故D 正确.故选：ACD.12．BD【分析】由已知可推得M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上.作图，即可根据圆的性质得出最小值，判断A 项；先证明1AC ⊥平面1A BD ，结合11B N AC ⊥，即可得出1B N //平面1A BD ；建立空间直角坐标系，求出平面1A BD 的法向量，表示出11cos ,n B Mu r u u u u r=C 项；MN 为直线1DA 与1CD 的公垂线段时，MN 最小.设()2222,,n x y z =，且21n DA ⊥u u r u u u r ，21n CD ⊥u u r u u u r，求出2n u u r ，即可根据投影向量，求出最小值.【详解】对于A 项，因为BM M 在以B 为半径的球上.又M 为侧面11AA D D 上的点，所以M 在球被平面11AA D D 截得的交线上.因为，AB ⊥平面11AA D D ，1AB =，BM ，所以12AM ==，所以，M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上.如图1，11AM A D ⊥，则1AM =，M 到直线1A D 12-，故A 项错误；对于B 项，如图2，连结1,AC AD .因为1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥.又BD AC ⊥，AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ，1AC CC C =I ，所以，BD ⊥平面1ACC .又1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥.同理可得，11A D AC ⊥.又BD ⊂平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，1A D BD D ⋂=，所以，1AC ⊥平面1A BD .又11B N AC ⊥，1B ∉平面1A BD ，所以直线1B N //平面1A BD ，故B 项正确；对于C 项，以点D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r为,,x y z 轴的正方向，如图3建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()11,1,1B ，()11,0,1DA =u u u u r，()1,1,0DB =u u u r，()11,1,1DB =u u u u r .因为1M A D ∈，设()1,0,DM DA λλλ==u u u u r u u u r，()01λ≤≤，()111,1,1B M DM DB λλ=-=---u u u u r u u u u r u u u r .设()1111,,n x y z =u r是平面1A BD 的一个法向量，则11100n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r ，即111100x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =，则111y z ==-，()11,1,1n =--u r是平面1A BD 的一个法向量.则111111cos ,n B M n B M n B M ⋅=u r u u u u ru r u u u u r u r u u u u r==又()222432111λλλ-+=-+≥，当1λ=时，有最小值1，≤=，即11cos ,n B M ≤u r u u uu r 所以，1B M 与平面1A BD C 项错误；对于D 项，由C 项知，()11,0,1DA =u u u u r ，()10,1,1CD =-u u u u r.当1MN DA ⊥，1MN CD ⊥，即MN 为直线1DA 与1CD 的公垂线段时，MN 最小.设()2222,,n x y z =u u r ，且21n DA ⊥u u r u u u r ，21n CD ⊥u u r u u u r ，则212100n DA n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ，即222200x z y z +=⎧⎨-+=⎩，取21x =，则()21,1,1n =--u u r.DC u u u r 在2n u u r=所以，M ，N两点之间距离的最小值为d =D 项正确.故选：BD.13．2y x =-（只需填其中的一个即可）【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心、半径.根据弦长，得出圆心到直线的距离d =先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直线的距离1d =，得出方程，即可解出k 的值.【详解】圆的方程可化为()()22211x y -+-=，圆心为()2,1，半径1r =，d ==.当直线斜率不存在时，直线方程为2x =，此时圆心在直线上，弦长为22r =，不满足题意，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为k ，则直线的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=，此时圆心到直线的距离1d ==，解得1k =±.所以，直线的方程为2y x =-或2y x =-+.故答案为：2y x =-.14．2【分析】利用等比数列性质得到3645a a a a =，再解方程组即可.【详解】由等比数列性质知3645a a a a =，联立454524128a a a a +=⎧⎨=⎩,解得45816a a =⎧⎨=⎩或45168a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是单调递增的等比数列,所以45816a a =⎧⎨=⎩，即542a q a ==.故答案为：2.15．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】分0x =，0x <以及0x >，分别讨论，构造函数，结合0x =处的函数值，推导得出函数的单调性，进而得出导函数的符号，即可推得答案.【详解】当0x =时，()()00x f x a x -=≤恒成立；当0x <时，此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥，即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <，则()22e x g x a -'=-+.设()22e xh x a -=-+，则()24e 0x h x -'=>恒成立，所以()h x ，即()g x '单调递增.又()00e 10g =-=，则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立，应有()22e0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立，即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时，22e 2x ->，所以2a ≤；当0x >时，此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤，即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-，则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+，则()()21021m x x '-=<+恒成立，所以()m x ，即()k x '单调递减.又()00k =，则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为，()121y x =+在()0,∞+上单调递减，所以()11212x <+，所以12a ≥.综上所述，a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：当0x >时，()()1ln 12x ax k x +=-，根据()00k =，可推得要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，进而推得a 的取值范围.16．(1)π6；1.【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出tan C =的范围得出答案；（2）解法一：由已知可推出BC CD ⊥，然后根据正弦定理可求出22R =，进而求出2BD =，AD =.设BC x =，CD y =，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出BC CD ⊥，然后同解法一求得AD =.设CBD θ∠=，表示出四边形的面积，根据θ的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得AD =，设点C 到BD 的距离为h ，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD 是O e 的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案.【详解】（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在ABC V 中，由正弦定理得，i s n in 2sin πs 6B A C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为()()sin sin πsin B A C A C =--=+，所以()πsin 2s n sin i 6A C A C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，展开得sin cos cos sin sin cos 122A C A C C A A ⎫+=+⎪⎪⎭，即sin cos 0n sin A C C A =，因为sin 0A ≠，故cos C C =，即tan C =又因为()0,πC ∈，所以π6C =.（2）解法一：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，所以()0BA BD BA ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0BA AD ⋅=u u u r u u u r，所以DA BA ⊥，故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=，ABD CBD S S S =+△△111222AB BC xyAD CD =+⋅=⋅221122x y +≤+⋅=，当且仅当x y ==.所以四边形ABCD1.解法二：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，BD u u u r 在BA u u u r上的投影向量为BA λu u u r ，所以()2BA BD BA BA BA λλ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .又22BA BD BA BA ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1λ=，所以BD u u u r 在BA u u u r 上的投影向量为BA u u u r ，所以DA BA ⊥.故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =，在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，CBD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos CB θ=，2sin CD θ=，所以ABD CBD S S S =+△△1122B AD CD AB C =⋅⋅+sin 2θ=，当π22θ=时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法三：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，所以()0BA BD BA ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0BA AD ⋅=u u u r u u u r ，所以DA BA ⊥.故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则ABD CBD S S S =+△△1122AD h AB BD ⋅+⋅=h =+，当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法四：设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，故ABC V 外接圆O e 的半径1R =.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=.如图2，以ABC V 外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则12A ⎛ ⎝，()10B ,. 因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()0,2πα∈，()0,2πβ∈.所以12BA ⎛=- ⎝u u u r ，()cos 1,sin BD ββ=-u u u r ，代入2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，即1BA BD ⋅=u u u r u u u r，可得11cos 122ββ-+=，即π1sin 62β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由()0,2πβ∈可知ππ11π,666β⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以解得ππ66β-=或π5π66β-=，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ，D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O e 的直径.设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD CBD S S S BD BD α=+=+⋅△△，由()0,2πα∈知sin 1α≤，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1-时，S 最大，所以四边形ABCD1.17．(1)证明见解析；(2)最小值为10.【分析】（1）解法一：（指数运算）由已知可推得212122n n a an a -++=，2123222n n a a n a ++++=，相乘结合已知，即可得出2123212n n n a a a -+++=，进而证明；解法二：（对数运算）由已知可得2222221log log 4n n n a a a +++=，结合已知即可得出2123212n n n a a a -+++=，进而证明；（2）解法一：先根据（1）推出21n a n -=，然后结合已知条件得到2122n n a +=，然后计算得到910,S S ，即可得出答案；解法二：同解法一，先求出21n a n -=，2122n n a +=，然后分组求和得出()()2841123kk k k S -+=+，进而得出()21124823k k k k S -+⨯-=+，求解即可得出答案；解法三：同解法一，先求出21n a n -=，2122n n a +=，然后分组求和得出()21124823k k k k S -+⨯-=+，求解即可得出答案.【详解】（1）解法一：由212122log n n n a a a -++=，得212122n n a an a -++=，则2123222n n a a n a ++++=，从而212121232121232222222n n n n n n n a a a a a a an n a a -+++-+++++++=⋅=.又21214222162n n a an n a a -++==，所以2121232124n n n n a a a a -+++++=，即2123212n n n a a a -+++=，所以{}21n a -是等差数列.解法二：由20n a >，且2122216n an n a a ++=，则()2122222log log 16n a n n a a ++=，得2222221log log 4n n n a a a +++=，因为212122log n n n a a a -++=，2123222log n n n a a a ++++=，所以()()21212123214n n n n n a a a a a -+++++++=，即2123212n n n a a a -+++=，所以{}21n a -是等差数列.（2）解法一：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又()21211212222n n n n a a n n a -+++++===.所以，9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()()135792468a a a a a a a a a =++++++++()()3579123452222156806952023=++++++++=+=<，又1110910695227432023S S a =+=+=>；又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.解法二：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又212122log n n n a a a -++=，所以()21211212222n n n n a a n n a -+++++===.当*k ∈N 时，21232k kS a a a a =++++L ()()135212462k k a a a a a a a a -=+++++++++L L ()()357211232222k k +=+++++++++L L ()()841123kk k -+=+，()()()2121228411124822323kk k k k k k k k k S S a +--++⨯-=-=+-=+，所以5925156248695202323S S ⨯-⨯⨯-==+=<，()51025841562743202323S S ⨯-⨯==+=>，又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.解法三：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又()21211212222n n n n a a n n a --++++===.当*k ∈N 时，2112321k k S a a a a --=++++L ()()1352124622k k a a a a a a a a --=+++++++++L L ()()357211232222k k -=+++++++++L L ()()()118411114821423k k k k k k ---++⎛⎫-=+=+ ⎪-⎝⎭，所以()4925184156695202323S S ⨯--⨯==+=<，25110910695227432023S S a ⨯+=+=+=>.又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.18．(1)()ln 2012y c x d =-+适宜，预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率84%(2)（i ）0.778；（ii ）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.【详解】（1）由散点图判断()ln 2012y c x d =-+适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型.令()ln 2012t x =-，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102212101226.810 1.580.4ˆ427.710 1.510i iii i t y t yctt =--=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ804415744...dy ct =-=-⨯=，该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为ˆ4744.yt =+，因此y 关于年份数x 的回归方程为()ˆ4ln 201274.4yx =-+所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为()ˆ4ln 202320127444ln11744424074484....y=-+=+≈⨯+=.所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%.（2）设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”，则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =.（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112232P C P A P C A P A P C A P A P C A =++0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778.（ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.19．(1)证明见解析；【分析】（1）解法一：取AB 中点O ，连接PO ，CO .推导得到PO ⊥平面ABCD ，//AD 平面PBC ，根据体积即可得出答案；解法二：先证明CO ⊥平面PAB . 过M 作//MN AD 交AP 于点N ，证明得到//MN 平面PBC ，根据体积即可得出答案；（2）解法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合平面向量基本定理，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法二：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法三：通过作图，作出二面角的平面角，构造直角三角形，即可得出答案.【详解】（1）解法一：如图1，取AB 中点O ，连接PO ，CO .因为PA PB ==2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =.又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥.又因为AB ⊂平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，AB CO O =I ，所以PO ⊥平面ABCD .因为//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，所以111433D PBC A PBC P ABC ABC V S V V PO ---⋅====⨯=△因为12M PBC D PBC V V --==，所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =.解法二：如图2，取AB 中点O ，连接PO ，CO ，因为PA PB ==2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =，又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥.因为AB ⊂平面PAB ，PO ⊂平面PAB ，AB PO O =I ，所以CO ⊥平面PAB .所以，111332A PBC C ABP ABP S V V CO --====⋅△过M 作//MN AD 交AP 于点N ，//AD BC ，所以//MN BC .又BC ⊂平面PBC ，MN ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC ，所以13M PBC N PBC C NB BP P N V V V CO S ---=⋅===△因为13A ABP P C B V CO S -⋅=△，13N NBP P C B V CO S -⋅=△，所以ABP NBP S S =△△，所以N 是PA 的中点，所以M 是PD 的中点，所以PM MD =.（2）解法一：由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥.如图3，以O 为坐标原点，OC u u u r ，OB u u u r ，OP u u ur 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B，)C，)2,0D-，()0,0,1P，所以11,2M ⎫-⎪⎪⎭，)AC =u u u r，)1,0BC =-u u u r，)3,0BD =-u u u r，()0,1,1AP =u u u r，11,2CM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==u u u r u u u r，则()1,CQ AQ AC λλ=-=-u u u r u u u r u u u r ，因为//BD α，Q α∈，C α∈，M α∈，故存在实数a ，b ，使得CQ aCM bBD =+u u u r u u u u r u u u r，所以312a b a λλ⎧=⎪⎪⎪--=-⎨⎪⎪=⎪⎩，解得431323a b λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以12,33CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r .设平面BCQ 的法向量为()1,,n x y z =u r ，则1100n CQ n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即20330y z y ⎧-+=⎪-=，取1x =，得到平面BCQ的一个法向量(1n =u r.设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1n =u u r是平面ABCD 的一个法向量，则121212cos cos ,n n n n n n β⋅===u r u u r u r u u r u r u u r .所以平面BCQ 与平面ABCD.解法二：由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图3，以O 为坐标原点，OC u u u r ，OB u u u r ，OP u u ur 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B，)C，)2,0D-，()0,0,1P，所以11,2M ⎫-⎪⎪⎭，)AC =u u u r，)1,0BC =-u u u r，)3,0BD =-u u u r，()0,1,1AP =u u u r，11,2CM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r .设平面α的法向量为(),,n x y z =r ，则00n BD n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r，即30102y y z -=⎨-+=⎪⎩.取1y =，得到平面α的一个法向量)=rn .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==u u u r u u u r，则()1,CQ AQ AC λλ=-=-u u u r u u u r u u u r ，因为3150n CQ λλ⋅=-+-+=r u u u r ，所以23λ=，所以12,33CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 设平面BCQ 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，则1100n CQ n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即1111120330y z y ⎧-+=⎪-=.取11x =，得到平面BCQ的一个法向量(1n =u r.设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1n =u u r是平面ABCD 的一个法向量，则121212cos cos ,n n n n n n β⋅===u r u u r u r u u r ur u u r .所以平面BCQ 与平面ABCD.解法三：在平面ABCD 内，过C 作//EF BD 交AD 延长线于点E ，交AB 延长线于点F ，因为ABCD 是菱形，所以AD DE =.如图4，在平面PAD 内，作1//PP AE 交EM 的延长线于点1P ，设1EP 交AP 于点Q .所以，四边形1EDPP 是平行四边形，1PP DE =，1//PPDE .所以1QPP QAE △∽△，所以112PP PQ AQ AE ==，所以点Q 是线段PA 上靠近P 的三等分点.如图5，在平面PAB 内，作//QT PO ，交AB 于T ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥平面ABCD ，所以QT BC ⊥，因为1PO =，2233QT PO ==，在平面ABCD 内，作TN BC ⊥，交BC 于点N ，连接QN ，过A 作//AK TN 交BC 于K ，在ABK V 中，2AB =，60ABK ∠=︒，所以AK AB ==所以23TN AK ==，因为QT BC ⊥，TN BC ⊥，QT T TN =I ，且两直线在平面内，所以BC ⊥平面QTN ，因为QN ⊂平面QTN ，所以BC QN ⊥.所以QNT ∠是二面角A BC Q --的平面角.在Rt QTN V 中，tan QNT QT NT ==∠cos QNT =∠所以平面BCQ 与平面ABCD .20．(1)()22:1243x y x Γ+=≠±(2)结论③正确，证明见解析【分析】（1）由几何性质知P 到1A ，2A 两点的距离之和为定值可得P 的轨迹为椭圆；（2）解法一、二：设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程并联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.解法三：当直线2l 垂直于x 轴时求得Q 横坐标为4，当直线2l 不垂直于x 轴时，设直线():1l y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程并联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.解法四：设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程，利用()22,N x y 在椭圆上得22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，将直线2B N 的方程化为()222324x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，与直线1B M 联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.【详解】（1）由题意得，()11,0A -，()21,0A .因为D 为BC 中点，所以1A D BC ⊥，即12A D C A ⊥，又1//PE A D ，所以2PE C A ⊥，又E 为2A C 的中点，所以2PA PC =，所以1211124PA PA PA PC AC A A +=+==>，所以点P 的轨迹Γ是以1A ，2A 为焦点的椭圆（左､右顶点除外）.设()2222:1x y x a a b Γ+=≠±，其中0a b >>，222a c b -=.则24a =，2a =，1c =，b ==故()22:1243x y x Γ+=≠±.（2）解法一：结论③正确.下证：12QC C △的面积是定值.由题意得，()12,0B -，()22,0B ，()10,1C -，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0，可设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，且12x ≠±，22x ≠±.由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+，所以()121223my y y y =-+.直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =--，由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得()()21122222y x x x y x ++=--，()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---，解得4x =-.故点Q 在直线4x =-，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422d C C=⨯⨯=⋅.解法二：结论③正确.下证：12QC C △的面积是定值.由题意得，()12,0B -，()22,0B ，()10,1C -，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0，可设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，且12x ≠±，22x ≠±.由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+，所以()121223my y y y =-+.直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =--，由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦，故点Q 在直线4x =-，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422dC C =⨯⨯=⋅.。
2023届福建省质检数学试卷答案
福建省2023届高中毕业班适应性练习卷数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分40分。
1．D 2．B3．C4．A5．D6．D7．A8．B二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分20分。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．BC 10．ABD 11．ACD 12．BD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分20分。
13．2y x =−，2y x =−+（只需填其中的一个即可）14．2 15．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16，3a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积及平面向量等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分．解法一：（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在ABC △中，由正弦定理得，sin 2sin sin 6B C A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ................................................................................................................. 1分又因为()()sin sin sin B A C A C =π−−=+，所以()sin 2sin sin 6A C C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ............................................................................................... 2分展开得1sin cos cos sin 2sin cos 22A C A C C A A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭， ........................................................ 3分即sin cos sin 0A C C A −=，因为sin 0A ≠，故cos C C =，即tan C =. ........................................................................ 4分 又因为()0,C ∈π，所以6C π=. .......................................................................................................... 5分 （2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=，所以()0BA BD BA ⋅−=，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分 故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥. 在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=， .............................................. 8分1131222ABD CBD S S S AB AD BC CD xy =+=⋅+⋅=+△△ ..................................................................... 9分 2231312222x y ++⋅=+， 当且仅当2x y =时，等号成立. 所以四边形ABCD 31. ........................................................................................ 10分 解法二：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分 （2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，BD 在BA 上的投影向量为BA λ, 所以()2BA BD BA BA BA λλ⋅=⋅=.又22BA BD BA BA ⋅==，所以1λ=， 所以BD 在BA 上的投影向量为BA .所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分 故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥. 在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，CBD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos CB θ=，2sin CD θ=， ......................................................................................................... 8分113sin 222ABD CBD S S S AB AD CB CD θ=+=⋅+⋅=△△. .................................................................. 9分 当π22θ=时，S 最大，所以四边形ABCD 31. ................................................ 10分 解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分（2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=，所以()0BA BD BA ⋅−=，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分 故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥. 在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ， 则113222ABD CBD S S S AB AD BD h h =+=⋅+⋅=+△△. ........................................................................ 9分 当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+. ............................................. 10分 解法四：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分 （2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ， 在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠， ......................................................................... 6分故ABC △外接圆O 的半径R =1. 即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=. 如图，以ABC △外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴， 建立平面直角坐标系xOy ，则1322A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()1,0B .因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()()0,2π0,2αβ∈∈π，. 所以()13,cos 1,sin 22BA BD ββ⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭，， ................................................................................... 7分 代入2BA BD BA ⋅=，即1BA BD ⋅=，可得113cos 122ββ−+=，....................................... 8分 即1sin 62βπ⎛⎫−= ⎪⎝⎭.由()0,2β∈π可知ππ11π666β⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，，所以解得ππ=66β−或π5π=66β−，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ,D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O 的直径. 设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD CBD S S S BD BD αα=+=+⋅=+△△， ....................................................... 9分 由()0,2πα∈知sin 1α，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1−时，S 最大，所以四边形ABCD 1. ........................................................................................ 10分 18．本小题主要考查指数与对数基本运算、递推数列、等差数列、等比数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）由212122log n n n a a a −++=，得212122n n a a n a −++=，............................................................. 2分则2123222n n aa n a ++++=，从而212121232121232222222n n n n n n n a a aa a a a n n a a −+++−+++++++=⋅=， ......................................... 3分又21214222162n n aan n a a +++==， .............................................................................................................. 4分所以21212+32124n n n n a a a a −++++=， ...................................................................................................... 5分 即212+3212n n n a a a −++=，所以{}21n a −是等差数列. ............................................................................ 6分 （2）设等差数列{}21n a −的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分 所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n −=; ....................................................................................................................................... 8分 又()21211212222n n n n aa n n a −+++++===; ....................................................................................................... 9分()()9123456789135792468S a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++++++++=++++++++()()3579123452222156806952023=++++++++=+=<，又1110910695227432023S S a =+=+=>；又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分 所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分 解法二：（1）由20n a >，且2122216n a n n a a ++=，则()2122222log log 16n an n a a ++=，............................................................................................................ 2分得2222221log log 4n n n a a a +++=， .......................................................................................................... 4分 因为212122log n n n a a a −++=，2123222log n n n a a a ++++=，所以()()2121212321=4n n n n n a a a a a −+++++++， ........................................................................................ 5分 即21232+12n n n a a a −++=，所以{}21n a −是等差数列. .............................................................................. 6分 （2）设等差数列{}21n a −的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分 所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n −=； .................................................................................................................................... 8分 又212122log n n n a a a −++=， 所以()21211212222n n n n aa n n a −+++++===； ................................................................................................ 9分当k *∈N 时, 21232k k S a a a a =++++()()135212462k k a a a a a a a a −=+++++++++()()357211232222k k +=+++++++++()()841123k k k −+=+，()()()2121228411124822323k k k k k k k k k k S S a +−−++⨯−=−=+−=+，所以5925156248695202323S S ⨯−⨯⨯−==+=<， ()51025841562743202323S S ⨯−⨯==+=>， 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分 所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分 解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................... 6分 （2）设等差数列{}21n a −的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分 所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n −=； .................................................................................................................................... 8分 又()21211212222n n n n aa n n a −+++++===； .................................................................................................... 9分当k *∈N 时， 2112321k k S a a a a −−=++++()()1352124622k k a a a a a a a a −−=+++++++++()()357211232222k k −=+++++++++()()()118411114821423k k k k k k −−−++⎛⎫−=+=+ ⎪−⎝⎭， 所以()4925184156695202323S S ⨯−−⨯==+=<，25110910=695227432023S S a ⨯+=++=>. 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分 所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分 19．本小题主要考查一元线性回归模型、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力、逻辑推理能力、直观想象能力等，考查统计与概率思想、分类与整合思想等，考查数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养，体现应用性和创新性．满分12分． 解：（1）由散点图判断ln(2012)x y c d −+=适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x的经验回归方程类型. .......................................................................................................................... 1分 令ln(2012)t x =−，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102221101226.810 1.580.4ˆ427.710 1.510i ii ii t yt y ctt==−−⨯⨯===−⨯−∑∑， ........................................................................ 2分 ˆˆ80.44 1.574.4dy ct =−=−⨯=， ....................................................................................................... 3分 该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为7.444ˆyt +=， 因此y 关于年份数x 的回归方程为ln(2012)7ˆ44 4.x y −+=. ........................................................... 4分 所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为ln(20232012)74.44ln1174.4ˆ4 2.4074.4844y−+=+≈⨯+==. 所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%. ................................................ 5分 （2）设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”， ..................................................................................................................... 6分则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =. ......................................................................... 7分（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112233P C P A P C A P A P C A P A P C A =++ ................................................................ 8分0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778. ............................................................................................... 9分 （ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P AC P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===， .............................................................. 11分因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大...................................................................... 12分20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体的体积、平面与平面的夹角等基础知识；考查直观想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．解法一：（1）如图1，取AB 中点O ，连接PO ，CO .因为2PA PB ==，2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =. 又因为ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=，所以CO AB ⊥，3CO =. 因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥. 又因为AB ⊂平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，ABCO O =，所以PO ⊥平面ABCD . ....................................................................................................................... 2分 因为AD BC ∥，BC PBC ⊂平面，AD PBC ⊄平面，所以AD PBC ∥平面，所以1133143343D PBC A PBC P ABC ABC V V V PO S −−−===⋅=⨯⨯⨯=△. ............... 3分因为3162M PBC D PBC V V −−==， ............................................................................................................. 4分 所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =. .................................................................................................................................... 5分（图1） （图2） （2）由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图2，以O 为坐标原点，OC ,OB ,OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，....................................................................................................................................................... 6分则()0,1,0A −，()0,1,0B ，()3,0,0C，)3,2,0D−，()0,0,1P ，所以311,22M ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭．则()3,1,0AC =，()3,1,0BC =−，()3,3,0BD =−，()0,1,1AP =，31,1,22CM ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭． 因为Q AP ∈,设()0,,AQ AP λλλ==，则()3,1,CQ AQ AC λλ=−=−−，因为BD α∥，Q α∈，C α∈，M α∈，故存在实数,a b ，使得CQ aCM bBD =+，............... 7分 所以333,231,,2a b a b a λλ⎧−+=−⎪⎪⎪−−=−⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得4,31,32.3a b λ⎧=⎪⎪⎪=−⎨⎪⎪=⎪⎩所以123,,33CQ ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭....................................................................................................................... 8分设平面BCQ 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0,CQ BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即230,3330y z x x y ⎧−−+=⎪⎨⎪−=⎩．取1x =，得到平面BCQ 的一个法向量()11,3,23=n ． ............................................................ 10分 设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1=n 是平面ABCD 的一个法向量， ......................................................................... 11分 则1212123cos cos ,2β⋅=<>==n n n n n n ． 所以平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值是32． ..................................................................... 12分 解法二：（1）如图3，取AB 中点O ，连接PO ，CO ， 因为2PA PB ==，2AB =， 所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =， 又因为ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=, 所以CO AB ⊥，3CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥. 因为AB ⊂平面PAB ，PO ⊂平面PAB ，ABPO O =，所以CO ⊥平面PAB . .......................................................................................................................... 2分11133223323A PBC C ABP ABP V V CO S −−==⋅=⨯⨯⨯⨯=△. ............................................................... 3分 过M 作MN AD ∥交AP 于点N ，AD BC ∥，所以MN BC ∥，又BC PBC ⊂平面，MN PBC ⊄平面，（图3）所以MN PBC ∥平面，所以1336M PBC N PBC C NBP NBP V V V CO S −−−===⋅=△，因为13C ABP ABP V CO S −=⋅△，13C NBP NBP V CO S −=⋅△所以2ABP NBP S S =△△， .......................................................................................................................... 4分 所以N 是PA 的中点，所以M 是PD 的中点，所以PM MD =. ..................................................... 5分 （2）在平面ABCD 内，过C 作EF BD ∥交AD 延长线于点E ，交AB 延长线于点F ， 因为ABCD 是菱形，所以AD DE =.如图4，在平面PAD 内，作PP AE '∥交EM 的延长线于点P '，设EP '交AP 于点Q . 所以，四边形EDP P '是平行四边形，,PP DE PP DE ''=∥， 所以QPP QAE '△∽△，所以12PQ PP AQ AE '==, 所以点Q 是线段PA 上靠近P 的三等分点......................................................................................... 7分 如图5，在平面PAB 内，作QT PO ∥，交AB 于T ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥BC ， 因为1PO =，2233QT PO ==， ......................................................................................................... 8分 在平面ABCD 内，作TN BC ⊥，交BC 于点N ，连接QN ，过A 作AK TN ∥交BC 于K ， 在ABK △中，2AB =，60ABK ︒∠=，所以332AK AB ==,（图5） 所以22333TN AK ==， .................................................................................................................... 9分 因为QT ⊥BC ，TN BC ⊥，QT TN T =，所以BC ⊥平面QTN ，因为QN ⊂平面QTN ，所以BC QN ⊥．所以QNT ∠是二面角A BC Q −−的平面角． ................................................................................. 11分在Rt QTN △中，tan QT QNT NT ∠==，所以cos QNT ∠= 所以平面BCQ 与平面ABCD..................................................................... 12分 解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................................. 5分 （2）由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图2，以O 为坐标原点，OC ,OB ,OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，....................................................................................................................................................... 6分则(0,1,0)A −，(0,1,0)B，C，2,0)D −，(0,0,1)P，所以11,)2M −．则(3,1,0)AC =，(3,1,0)BC =−，(3,3,0)BD =−，(0,1,1)AP =，1(1,)22CM =−−．设平面α的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0BD CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即30,1022y x y z −=⎨−+=⎪⎩． 取1y =，得到平面α的一个法向量)=n ． ......................................................................... 7分因为Q AP ∈,设()0,,AQ AP λλλ==，则()1,CQ AQ AC λλ=−=−−， 因为3150CQ λλ⋅=−+−+=n ，所以23λ=，所以12,33CQ ⎛⎫=−−⎪⎝⎭. ...................................... 8分 设平面BCQ 的法向量为1111(,,)x y z =n ，则110,0CQ BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即1111120,330y z y ⎧−+=⎪−=．取11x =，得到平面BCQ 的一个法向量(1=n ． ........................................................... 10分 设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1=n 是平面ABCD 的一个法向量， ......................................................................... 11分 则121212cos cos ,β⋅=<>=n n n n n n 所以平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值是2． ..................................................................... 12分21．本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．解法一：（1）由题意得，()11,0A −，()21,0A ．因为D 为BC 中点，所以1A D BC ⊥，即12A D A C ⊥， ................................................................... 1分 又1PE A D ∥，所以2PE A C ⊥， 又E 为2A C 的中点，所以2PA PC =，所以1211124PA PA PA PC A C A A +=+==>，所以点P 的轨迹Γ是以12,A A 为焦点的椭圆（左、右顶点除外）． ............................................... 2分 设Γ：22221x y a b+=（x a ≠±），其中0a b >>，222a b c −=．则24a =，2a =，1c =，223b a c =−=． ............................................................................. 3分 故Γ：22143x y +=（2x ≠±）． ......................................................................................................... 4分（2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0， 可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分 所以12122269,3434m y y y y m m −+==++， ............................................................................................ 7分 所以()121223my y y y =−+. 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =−−， .................... 8分 由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩得()()21122222y x x x y x ++=−− ............................................................................................................................ 9分 ()()211213y my y my +=−1221213my y y my y y +=−()()12212132332y y y y y y−++=−+−121231229322y y y y −−=−−13=， 解得x 4=−． ..................................................................................................................................... 11分 故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =， 因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分 解法二：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分 （2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0， 可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分 所以12122269,3434m y y y y m m −+==++， ............................................................................................ 7分 所以()121223my y y y =−+. 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =−−， .................... 8分 由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦........................................................................................................ 9分()()()()2112211213213y my y my y my y my ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦1221212323my y y y y y ⎛⎫+−= ⎪+⎝⎭()()121221212323243my y y y y y y y ++−+⎡⎤==−⎢⎥+⎣⎦. ........................................................................... 11分故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =， 因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分 解法三：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分 （2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，直线2l 的斜率不为0． （i ）当直线2l 垂直于x 轴时，2l ：1x =−，由221,431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得1,32x y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩或1,3.2x y =−⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线1B M 的方程为：()322y x =+，直线2B N 的方程为：()122y x =−， 由()()32,2122y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩得4,3,x y =−⎧⎨=−⎩所以(4,3)Q −−，故Q 到12C C 的距离4d =，此时△12QC C 的面积是121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ............................ 6分 （ii ）当直线2l 不垂直于x 轴时，设直线l ：()1y k x =+，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±． 由()221,431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()22224384120k x k x k +++−=， ................................................................. 7分 所以221212228412,4343k k x x x x k k −−+==++． ............................................................................................ 8分直线1MB 的方程为：()1122y y x x =++，直线2MB 的方程为：()2222y y x x =−−， ..................... 9分由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦...................................................................................................... 10分()()()()()()()()21122112121221212k x x k x x k x x k x x ⎡⎤++++−=⎢⎥++−+−⎢⎥⎣⎦12121242634x x x x x x −+=++． 下证：121212426434x x x x x x −+=−++．即证()121212426434x x x x x x −+=−++， 即证()121241016x x x x =−+−， 即证22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫−−=−− ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即证()()()22244121081643k k k −=−−−+，上式显然成立， ................................................................................................................................. 11分 故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =， 此时12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． 由（i ）（ii ）可知，12QC C △的面积为定值． ................................................................................. 12分 解法四：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分 （2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0， 可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分 所以12122269,3434m y y y y m m −+==++． ............................................................................................ 7分 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222y y x x =−−， .................... 8分因为2222143x y +=，所以222y x −22234x y ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，故直线2B N 的方程为：()222324x y x y ⎛⎫+=−− ⎪⎝⎭．由()()11222,2232,4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=−− ⎪⎪⎝⎭⎩得()()1212422322y y x x x x −=−+++ ............................................................................................................... 9分 ()()12124311y y mx my =−++()1221212431y y m y y m y y ⎡⎤=−⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()2224939634m m m ⎡⎤−⎢⎥=−⎢⎥−+++⎣⎦3=， 解得x 4=−． ..................................................................................................................................... 11分 故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分 22．本小题主要考查导数及其应用、函数的单调性、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）()()1e x f x x a '=++， ................................................................................................. 1分 故1x a >−−时，()0f x '>；1x a <−−时，()0f x '<. ................................................................... 2分 当10a −−>，即1a <−时，()f x 在()0,1a −−单调递减，在()1,a −−+∞单调递增； 当10a −−，即1a −≥时，()f x 在()0,+∞单调递增.综上，当1a <−时，()f x 在()0,1a −−单调递减，在()1,a −−+∞单调递增；当1a −≥时，()f x 在()0,+∞单调递增. ............................................................................................ 4分 （2）不存在01,,a x x ，且01x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线. ............ 5分 证明如下：假设存在满足条件的01,,a x x ，因为()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '−=−即()()020001e e x x y x a x a x ax =++⋅+−−， ....................................................................................... 6分同理()f x 在()()11,x f x 处的切线方程为()()1121111e e x x y x a x a x ax =++⋅+−−，且它们重合，所以()()()()011012200111e 1e ,e e ,x xx x x a x a a x ax a x ax ⎧++=++⎪⎨−−=−−⎪⎩................................................................... 7分 整理得()()()()2201110011x a a x ax x a a x ax ++−−=++−−，即()()20101120x x a x x a a +++++=，()()()20101111x x a x x a +++++=，所以()()01111x a x a ++++=， .......................................................................................................... 8分 由0101(1)e (1)e x x x a x a ++=++两边同乘以1e a +，得011101(1)e (1)e x a x a x a x a ++++++=++， .............................................................................................. 9分令001t x a =++，111t x a =++，则010101e e ,1,t t t t t t ⎧=⎨=⎩且01t t ≠，由011t t =得011t t =，代入0101e e t t t t =得11121e e t t t =，两边取对数得11112ln t t t =+. .......................... 10分令1()2ln g t t t t=+−，当0t >时，1()2ln g t t t t =+−，()222121()10t g t t t t +'=++=≥， 所以()g t 在(0,)+∞上单调递增，又()10g =，所以11t =，从而01t =，与01t t ≠矛盾； ......... 11分 当0t <时，()1()2ln g t t t t =−+−，()222121()10t g t t t t+'=++=≥， 所以()g t 在(,0)−∞上单调递增，又()10g −=，所以11t =−，从而01t =−，与01t t ≠矛盾； 综上，不存在01,t t ，使得010101e e ,1,t t t t t t ⎧=⎨=⎩且01t t ≠.故不存在01,,a x x 且01x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线. .................... 12分 解法二：（1）同解法一； .................................................................................................................... 4分（2）不存在01,,a x x ，且01x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线. ............ 5分 证明如下：假设存在满足条件的01,,a x x ，因为()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '−=−即()()()000001e e 1e x x x y x a x x a x x a =++⋅++−++， ...................................................................... 6分同理()f x 在()()11,x f x 处的切线方程为()()()11111111e e 1e x x x y x a x x a x x a =++⋅++−++，且它们重合，所以()()()()()()0111010001111e 1e ,e 1e e 1e ,x xx x x xx a x a x a x x a x a x x a ⎧++=++⎪⎨+−++=+−++⎪⎩ .......................... 7分 整理得()[]()[]011110001(1)1(1)x a x a x x a x a x a x x a +++−++=+++−++，令001t x a =++，111t x a =++，可得011t t =. ................................................................................... 8分 由0101(1)e (1)e x x x a x a ++=++两边同乘以1e a +，得011101(1)e(1)ex a x a x a x a ++++++=++，则010101e e ,1,t t t t t t ⎧=⎨=⎩且01t t ≠，.................................................... 9分令()e t h t t =，则()()01h t h t =，且01t t ≠.由（1）知，当1t >−时，()h t 单调递增，当1t <−时，()h t 单调递减， 又当0t >时，()0h t >，当0t <时，()0h t <， 所以若01,t t 存在，不妨设1010t t <−<<， 设10t mt =，1m >，又011t t =，所以201t m=，则0t =，由0110e e t t t t =，得000e e mt t mt t =即0e e mt t m =，则00ln m mt t +=，所以0ln 1m t m=−，所以ln 1m m =−，即ln 0m +=， ................................................................................ 11分令1()2ln g x x x x =−+，1x ≥，则22221(1)()10x g x x x x−'=−−=−， 所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，所以当1x >时，()(1)0g x g <=，。
福建省福州市2023届高三质量检测数学试题
一、单选题1. 下列函数中，以为周期且在区间 单调递增的是（ ）A．B．C．D．2. 若，椭圆C：与椭圆D ：的离心率分别为，，则（ ）A．的最小值为B ．的最小值为C．的最大值为D．的最大值为3. 在平面直角坐标系中，若不同的两点A (a ,b )，B (-a ,b )在函数y=f (x )的图象上，则称(A ,B )是函数y=f (x )的一组关于y 轴的对称点(A ，B )与(B ，A )视为同一组)，则函数，关于y 轴的对称点的组数为( )A ．0B ．1C ．2D ．44.已知某圆锥的母线与底面所成的角为，圆锥的体积是，则该圆锥内切球的半径为( )A．B．C．D．5. 已知是虚数单位，设复数，其中，则的值为（ ）A．B．C．D．6. 我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，…，以此类推.记第层货物的个数为，则数列的前2021项和为（ ）A．B．C．D．7. 已知点是抛物线上的一点，，是抛物线的焦点，且，则的值为（ ）A ．1B ．2C．D．8. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是A．B．C．D．9. 在逻辑运算中，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 已知为虚数单位，，则复数的虚部为( ).A．B．C ．2D．11. 已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（ ）A．B．福建省福州市2023届高三质量检测数学试题二、多选题C．D．12.已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．13. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是（ ）A ．3πB．C ．6πD ．9π14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（）A．B．C．D ．815.在中，如果，那么的形状为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形16. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A．B．C．D．17. 已知，分别为随机事件A ，B 的对立事件，，，则（ ）A．B．C ．若A ，B独立，则D ．若A ，B互斥，则18. 举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则（）A ．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600B ．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数C ．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差D ．这一星期内乙的日步数的下四分位数是1220019. 关于函数有下列命题，其中正确的是（ ）A ．是以为最小正周期的周期函数B．的表达式可改写为C．的图象关于直线对称三、填空题D．的图象关于点对称20. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，，过的直线与的右支交于点，若，则（ ）A．的渐近线方程为B．C ．直线的斜率为D ．的坐标为或21. 如图，在棱长为2的正方体中，M ，N ，P分别是，，的中点，则（）A ．M ，N ，B ，四点共面B ．异面直线与MN所成角的余弦值为C ．平面BMN 截正方体所得截面为等腰梯形D ．三棱锥的体积为22.已知向量，且则下列选项正确的是（ ）A．B．C．向量与向量的夹角是45°D．向量在向量上的投影向量坐标是23.在平面四边形中，，，则（ ）A．B．C．D．24. 一组数据是公差为2的等差数列，若去掉三项后，则（ ）A ．平均数没变B ．中位数没变C ．方差没变D ．极差没变25.已知向量，则______.26. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm 3.27. 函数，则___________.四、解答题五、解答题28. 已知函数是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为__________.29.如图，为了测定河两岸点与点间的距离，在点同侧的河岸选定点，测得，，，则点与点间的距离为__________m.30. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________.31. 已知函数f （x ），若函数y ＝f （x ）﹣a 2有3个零点，则实数a 的取值范围是___.32. 在平面直角坐标系中，从五个点：中任取三个，这三点能构成三角形的概率是____（结果用分数表示）．33. （1）化简；（2）计算.34. 已知椭圆C ：（）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A ），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.35. 计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．36.已知，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．37.已知(1)化简．(2)若为第三象限角，且，求的值．38. 化简：．39. 某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为X，若，每单提成3元，若，每单提成4元，若，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y,若，每单提成3元，若，每单提成4元，小想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表：表1：美团外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x（单）131416171820天数2612622表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计日送餐量x（单）111314151618天数4512351（1）设美团外卖配送员月工资为，饿了么外卖配送员月工资为，当时，比较与的大小关系（2）将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率（ⅰ）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y）（ⅱ）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．40. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点．(1)在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；(2)设（1）中的直线交于点，求三棱锥的体积．41. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.(1)求居民收入在的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应月收入为的人中抽取多少人？42. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3六、解答题位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N （μ，2），则P （μ-≤X ≤μ+≈0.6827，P （μ-2≤X ≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004．43. 在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形．方程图形名称图形44. 如图，已知平行六面体的底面是菱形，，且.(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；(2)求点到平面的距离.45. 如图，四棱锥P –ABCD 中，四边形ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，AD ⊥DC ，BC =CD =1，AD =2，PA =PD ，E 为PC 中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，F 为AD 上一点，PA ∥平面BEF．（1）求证：平面BEF ⊥平面PAD ；（2）若PC 与底面ABCD 所成的角为60°，求二面角E –BF –A 的余弦值．46. 已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．(1)求证：平面平面．七、解答题(2)在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．47. 若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.(1)证明：存在源数列；(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和.48. 已知椭圆的离心率为，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当时，求的面积；(3)求证：直线与直线的交点T 的纵坐标为定值．49.已知集合.若对于集合M 的任意k 元子集A ，A 中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k 为“好数”，所有“好数”的最小值记作.(1)当，即集合.（i ）写出M 的一个子集B ，且B 中存在4个元素的和为；（ii ）写出M 的一个5元子集C ，使得C 中任意4个元素的和大于；(2)证明：；(3)证明：.50. 在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．51. 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm ）， 将所得数据分组，得到如下频率分布表：分组频数频率0.10不超过8 0.5010 合计50 1.00(1)将上面表格中缺少的数据填在相应的位置；(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间内的概率；52. 买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：月份/月12345678月销售量/百个45678101113月利润/千元 4.1 4.6 4.9 5.7 6.78.08.49.6(1)求出月利润y（千元）关于月销售量x（百个）的线性回归方程（精确到0.01）；(2)某班老师购买了装有兔子玩偶和熊猫玩偶的两款盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用表示3个中装有兔子玩偶的盲盒个数，求的分布列和数学期望.参考公式：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，.参考数据：，53. 2017年8月27日~9月8日，第13届全运会在天津举行.4年后，第14届全运会将于2021年9月15日~27日在西安举行.为了宣传全运会，西安某大学在天津全运会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看天津全运会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：收看没收看男生6020女生2020（1）根据右表说明，能否有99%的把握认为，学生是否收看开幕式与性别有关？附：，其中.0.100.050.0250.010.0052.7063.841 5.024 6.6357.879（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2021年西安全运会志愿者宣传活动.若从这8人中随机选取2人到校广播站开展全运会比赛项目宣传介绍，①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到一名男生一名女生的概率；②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望.54. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这将进一步推动新能源汽车产业的八、解答题迅速发展．以下是近几年我国新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：年份20132014201520162017年份代码新能源乘用车年销量（万辆）（1）请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程类型? (给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测年我国新能源乘用车的销售量(精确到).附: 1.最小二乘法估计公式：其中55. 九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性九连环既能练脑又能练手，对开发人的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处．同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心，实为老少咸宜．据明代杨慎《丹铅总录》记载，曾以玉石为材料制成两个互贯的圆环，“两环互相贯为一，得其关换，解之为二，又合而为一”．后来，以铜或铁代替玉石．甲、乙两位同学进行九连环比赛，每局不存在平局．比赛规则规定，领先3局者获胜．若比赛进行了7局，仍然没有人领先3局，比赛结束，领先者也获胜．已知甲同学每局获胜的概率为，且每局之间相互独立．现比赛已经进行了2局，甲同学2局全输．(1)由于某种原因，比赛规则改为“五局三胜制”，试判断新规则对谁更有利，并说明理由；(2)设比赛总局数为，求随机变量的分布列及期望．56. 在2023年成都大运会的射击比赛中，中国队取得了优异的比赛成绩，激发了全国人民对射击运动的热情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，用抽签的方式确定第一次射击的人选，甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶，则此人继续射击，若未中靶，则换另一人射击．已知甲每次中靶的概率为，乙每次中靶的概率为，每次射击结果相互独立．(1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射击后甲得20分的概率；(2)求第n 次射击的人是乙的概率．57. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，点在线段上，，平面平面．(1)求四面体的体积；(2)求直线与平面所成角的正弦值．58. 给定三个条件：①成等比数列，②，③，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.问题：设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，___________.(1)求数列的通项；(2)若，求数列的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.59. 设函数f（x）=x2+|x－2|－1，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值．60. 已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，设点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程，（2）直线与直线垂直且与曲线C交于B、D两点，求面积的最大值．61. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，当时，求直线斜率的取值范围．62. 已知椭圆的焦距为2，点在C上.(1)求C的方程；(2)若过动点P的两条直线，均与C相切，且，的斜率之积为-1，点，问是否存在定点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.。
福建省福州市2023-2024学年高三下学期4月末质量检测数学试卷(解析版)
2023—2024学年福州市高三年级4月末质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合101M x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则R M =ð（）A.{}1x x <- B.{}1x x ≤- C.{}1x x >- D.{}1x x ≥-【答案】D 【解析】【分析】先解不等式再利用补集运算即可求解.【详解】由101x ≤+得10x +<，即1x <-，所以{}1M x x =<-，于是{}R 1M x x =≥-ð.故选：D.2.设a ，b ∈R ，则“0ab <”是“0a ba b+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充要条件的概念即可求解.【详解】当0ab <时，00a b >⎧⎨<⎩或0a b <⎧⎨>⎩，则0a b a b +=，即充分性成立；当0a b a b +=时，0b ba a =->，则0ab <，即必要性成立；综上可知，“0ab <”是“0a ba b+=”的充要条件.故选：C.3.等轴双曲线经过点()3,1-，则其焦点到渐近线的距离为（）A. B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】因为该曲线为等轴双曲线，不妨设该双曲线的方程为22221(0)x y a a a-=>，因为等轴双曲线经过点(3,1)-，所以22911a a-=，解得28a =，则22216c a a =+=，所以该双曲线的一个焦点坐标为(4,0)F ，易知该双曲线的一条渐近线方程为y x =，则点(4,0)F 到直线y x =的距离d ==．故选：A ．4.已知1sin 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（） A.78B.158C.158-D.78-【答案】D【解析】【分析】先利用和角公式展开1sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，平方可求sin 2α.【详解】1sin cos 4224πααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭平方可得11(1sin 2)216α+=，所以7sin 28α=-,故选D.【点睛】本题主要考查倍角公式，熟记公式是求解关键，题目较为简单,侧重考查数学运算的核心素养.5.已知非零复数z 满足1i z z -=-，则zz=（）A.1 B.1- C.iD.i-【答案】D 【解析】【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，利用条件证明a b =，再代入zz化简即可.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则由1i z z -=-知()1i 1i a b a b -+=+-.从而()()222211a b a b -+=+-，展开即得a b =.由z 非零，知0a b =≠，故()()()2i 1i i 1i 2i i i 1i 1i 1i 2i a z a b b a z a b b-----======-+++-+.故选：D.6.()()54112x x -+的展开式中2x 的系数为（）A.14- B.6- C.34D.74【答案】B 【解析】【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．【详解】5(1)x -的展开式为15C (1)(0rrrr T x r +=⋅-⋅=，1，2，3，4，5)，4(12)x +的展开式14C 2(0k k k k T x k +=⋅⋅=，1，2，3，4)，当0r =，2k =时，2x 的系数为224C 224⋅=；当1r =，1k =时，2x 的系数为54240-⨯⨯=-；当2r =，0k =时，2x 的系数为25C 10=，故2x 的系数为2410406+-=-．故选：B ．7.数列{}n a 共有5项，前三项成等差数列，且公差为d ，后三项成等比数列，且公比为q ．若第2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则d q -=（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】结合等差、等比数列的概念利用第二项写出剩下四个项，进而列方程组即可求解.【详解】由根据题意得，该数列的项为()()22,2,2,2,2d d d q d q -+++，又()()222102230d d q d d q ⎧-++=⎪⎨+++=⎪⎩，即26213021d q d q ⎧+=⎪-⎪⎨⎪+=⎪+⎩，解得24q d =⎧⎨=⎩或31q d =⎧⎨=⎩.于是2d q -=.故选：B.8.四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 为矩形，平面BEC ⊥平面ABCD，BC =，1CD CE ==，2BE =，则O 到平面ADE 的距离为（）A.13B.14C.24D.58【答案】A 【解析】【分析】根据线面关系可证得AB ⊥平面BEC ，BE CE ⊥，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，确定球心的位置，再建立空间直角坐标系，求解平面ADE 的法向量，利用空间向量的坐标运算计算O 到平面ADE 的距离即可.【详解】因为平面BEC ⊥平面ABCD ，交线为BC ，又底面ABCD 为矩形，则AB BC ⊥，因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面BEC ，则,AB CE AB EB ⊥⊥，又BC =，1CD CE ==，2BE =，所以222BE CE BC +=，则BE CE ⊥,如图，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，若四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则长方体111AD DA BECB -的顶点均在球O 的球面上，O 为体对角线11D B 中点，如图，以E 为原点，1,,EC EB ED 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()110,2,1,1,0,1,0,0,0,0,0,1,1,2,0A D E D B ，故11,1,22O ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =，又()()0,2,1,1,0,1EA ED == ，12020n EA y z y z n ED x z x z⎧⎧⋅=+==-⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩=-⎩ ，令2z =，所以()2,1,2n =-- ，又11,1,22EO ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则O 到平面ADE的距离为13EO n n ⋅==.故选：A.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.或者采用补形法，利用规则图形的外接球位置确定所求外接球球心的位置.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是（）甲乙87909691869086928795A.甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差B.甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数C.甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差D.甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数【答案】ABC 【解析】【分析】通过极差、平均数、方差、第75百分位数的计算即可求解.【详解】甲选手射击环数从小到大排列：86，87，90，91，96，则甲选手射击环数的：极差等于968610-=；平均数等于()18687909196905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909190969012.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于91.乙选手射击环数从小到大排列：86，87，90，92，95，则乙选手射击环数的：极差等于95869-=；平均数等于()18687909295905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909290959010.85⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于92.综上可知，ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC.10.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.1sin 2ϕ=B.1sin 2ϕ=-C.()y f x =的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减【答案】BC 【解析】【分析】由已知结合正弦函数的对称性可先求出ϕ，即可判断A ，B ；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C ，D 即可判断．【详解】因为函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，所以()f x 的图象关于π3x =对称，则2πππ32k ϕ+=+，Z k ∈，则6πkπϕ=-，Z k ∈，所以π()sin(2)6f x x =-或5π()sin(2)6f x x =+，因为π((π)2f f >，所以π2π6n ϕ=-，Z n ∈，1sin 2ϕ=-，A 错误，B 正确；则π()sin(2)6f x x =-，13π(sin 2π012f ==，即()f x 的图象关于点13(π,0)12对称，C 正确；当ππ2x <<时，5ππ11π2666x <-<，因为sin y t =在5π(6,11π6上不单调，D 错误．故选：BC ．11.已知函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+恰有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则（）A.1230x x x ++=B.实数a 的取值范围为(]0,1C.110ax +>D.31ax a +>【答案】ACD 【解析】【分析】利用()f x 的奇偶性可判断A 选项；将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再利用导数和基本不等式确定切线斜率的取值范围，进而得实数a 的取值范围，即可判断B 选项；由112122e1e 1x xax +=+来可判断C 选项；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，进而31ax a +>等价于323e 210x x -->，令()()2=e210xh x x x -->，用导数证明()0h x >，即可判断D 选项.【详解】函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+定义域为R ，()()()()()e e e e e e e e x x x x x x x xf x a x ax f x ----⎡⎤-=-+-+=-+-+=-⎣⎦，所以()f x 是奇函数，则()00f =，又因为()f x 有三个零点且123x x x <<，()()()1230f x f x f x ===，所以13x x =-，20x =，即1230x x x ++=，故A 选项正确；()()e eee0xxxxf x ax --=+-+=，得222e e e 121e e e 1e 1x x x x x x xax --=--==-+++，令()221e 1xg x =-+，则()()2224e 0e 1xxg x =>+'，所以()f x 在R 上增函数，要使函数()f x 有3个零点，y ax =与()y g x =的图象有3个交点，如图：又()()()2222222224e 4e 411e 1e 2e 1e 2e xxx xx x x g x ===≤=+++++'，当且仅当0x =时取等号，即()01g x <'≤，所以01a <<，故B 错误；111212222e 1110e 1e 1x x x ax ⎛⎫+=-+=> ⎪++⎝⎭，故C 选项正确；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，又30x >，要使333223212111e 1e 1x x ax a x ⎛⎫+=-+-> ⎪++⎝⎭成立，则323e 210x x -->成立，令()()2=e210xh x x x -->，()()()2=2e 100x h x x -'>>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()0=0h x h >，于是323e210x x -->，则31ax a +>，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量()3,4a =- 在向量()2,1b =- 上的投影向量为b λ，则λ等于______．【答案】2-【解析】【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为2a b b b⋅ ，所以()()()223,42,164252,1a b b λ-⋅-⋅--====--.故答案为：2-.13.倾斜角为π3的直线经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与C 交于A ，B 两点，Q 为线段AB 的中点，P 为C 上一点，则PF PQ +的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】由题意，根据给定条件，求出点Q 的横坐标，再借助抛物线的定义求解作答．【详解】易知抛物线2:12C y x =的焦点(3,0)F ，准线3x =-，直线AB的方程为3)y x =-，联立23)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理得21090x x -+=，不妨设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，由韦达定理得1210x x +=，此时线段AB 的中点Q 的横坐标5Q x =，过P 作准线3x =-的垂线，垂足为D '，过Q 作准线3x =-的垂线，垂足为D ，由抛物线的定义可得5382Q pPF PQ PD PQ QD QD x +=+≥≥+='+'==||||PF PQ +取得的最小值为8．故答案为：8．14.如图，六面体111ABCDA C D 的一个面ABCD 是边长为2的正方形，1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，且11AA =，12CC =，则该六面体的体积等于________，表面积等于______．【答案】①.6②.22【解析】【分析】根据1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，从而根据线线平行可得故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，根据柱体体积公式即可得该六面体的体积，根据几何体外表面的线线关系结合勾股定理、余弦定理、三角形面积公式、梯形面积公式、正方形面积公式，即可得几何体的表面积.【详解】如图，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，因为1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，则11,AA AD AA DC ⊥⊥，因为正方形ABCD ，所以AD DC ⊥，又,,AD DC D AD DC =⊂ 平面11A ADD ，所以DC ⊥平面11A ADD ，由1DM AA =可得四边形1AA MD 为平行四边形，所以11//,AD A M AD A M =，因为面ABCD 为正方形，则//,AD BC AD BC =，所以11//,BC A M BC A M =，则四边形1A MCB 为平行四边形，所以11//,A B MC A B MC =，又1A B ⊄平面11DCC D ，MC ⊂平面11DCC D ，所以1//A B 平面11DCC D ，因为平面11DCC D 平面11111A BC D C D =，则111//A B C D ，所以四边形11MD C C 为平行四边形，所以112MD C C ==，故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，则该六面体的体积1111ABA CDM BCC A MD V V V --=+=1111212222622ABA BCC S BC S DC ⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ；如图，连接1,BD D B ，又1A B ===，11A D ===，BD ==所以1BD ==，则在四边形111A BC D中，由余弦定理得22211111111110cos 210A B A D BD D A B A B A D +-∠===-⋅，所以11sin 10D A B ∠==，则11111111sin 610A BC D S AB A D D A B =⋅⋅∠== ，该六面体的表面积111111111ABA BCC A BCD ABCDA ADD DCC D S S S S S S S =+++++ 四边形四边形()()11112122132232622222222=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯=.故答案为：6；22.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定六面体的线线关系.关于求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n -=+（2n ≥）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <．【答案】（1）2n a n n =+，*n ∈N ；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n 项和公式求解即得.（2）利用裂项相消法求和即可得证.【小问1详解】数列{}n a 中，当2n ≥时，12n n a a n -=+，即12n n a a n --=，则12112312()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=--⋅⋅⋅+--++++()()2222462222n n n a n n n n +=+++⋅⋅⋅+-+==+，而12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+，*n ∈N ．【小问2详解】由（1）知()21n a n n n n =+=+，*n ∈N ，则()111111n a n n n n ==-++，因此()()1111122311n S n n n n =++⋅⋅⋅++⨯⨯-+1111111111223111n n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-+-=--++，而1n ≥，则1111n -<+，所以1n S <．16.甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X 服从正态分布()20,0.2N ，规定()0.2,0.2X ∈-的零件为优等品，()0.6,0.6X ∈-的零件为合格品．（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）．（附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()220.9545P μσξμσ-<<+=，()330.9973P μσξμσ-<<+=）【答案】（1）约31个（2）约为0.61【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求解；（2）利用条件概率求解即可．【小问1详解】依题意得，0μ=，0.2σ=，所以零件为合格品的概率为()()0.60.6330.9973P X P X μσμσ-<<=-<<+=，零件为优等品的概率为()()0.20.20.6827P X P X μσμσ-<<=-<<+=，所以零件为合格品但非优等品的概率为0.99730.68270.3146P =-=，所以从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为1000.314631⨯≈．【小问2详解】设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件A ，恰有1个优等品，1个为合格品但非优等品为事件B ，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C ，这批产品通过检测为事件D ，则D A BC =+，且A 与BC 互斥，所以()()()()()()P D P A P BC P A P B P C B=+=+221222C 0.6827C 0.68270.31460.6827 1.62920.6827=⨯+⨯⨯⨯=⨯，所以这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率为22()0.68271(|)0.61() 1.62920.6827 1.6292P AD P A D P D ===≈⨯．答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61．17.如图，以正方形ABCD 的边AB 所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体ADF BCE -．设P 是CE 上的一点，G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点．（1）证明：//GH 平面BCE ；（2）若BP AE ⊥，求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ，通过证明Rt Rt AFH KEH ≌△△可得GH PK ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，通过证明四边形GQEH 是平行四边形可得GH QE ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ，利用面面平行的判定定理证明平面//GIH 平面BCE ，从而即可得证//GH 平面BCE .（2）首先通过线面垂直的判定定理证明BP ⊥平面ABEF 可得BP BE ⊥，然后建立空间直角坐标系，利用向量法可求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值.【小问1详解】证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 中点，所以HF HE =，所以Rt Rt AFH KEH ≌△△，所以AH KH =，所以GH PK ∥．又因为GH ⊄平面BCE ，PK ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以//GQ AB ，12GQ AB =，又因为//AB EF ，AB EF =，所以GQ HE ∥，GQ HE =，所以四边形GQEH 是平行四边形，所以GH QE ∥，又因为GH ⊄平面BCE ，QE ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以GI BP ∥，HI EB ∥，又因为GI ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，所以//GI 平面BCE ．因为HI ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//HI 平面BCE ．又因为GI HI I ⋂=，GI ⊂平面GIH ，HI ⊂平面GIH ，所以平面//GIH 平面BCE ，又因为GH Ì平面GIH ，所以//GH 平面BCE ．【小问2详解】依题意得，AB ⊥平面BCE ，又因为BP ⊂平面BCE ，所以AB BP ⊥．又因为BP AE ⊥，AB AE A = ，AB ，AE ⊂平面ABEF ，所以BP ⊥平面ABEF ，又BE ⊂平面ABEF ，所以BP BE ⊥，所以BP ，BE ，BA 两两垂直．以B 为原点，BP ，BE ，BA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设1AB =，30BCP ∠= ，则()1,0,0P ，31,,122D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0BP =，31,,122BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BPD 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0,BP m BD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即031022x x y z =⎧-+=⎩，取2y =，得0x =，1z =，所以平面BPD 的一个法向量是()0,2,1m =，又平面BPA 的一个法向量为()0,1,0n =．设平面BPD 与平面BPA 的夹角为θ，则25cos cos ,5m n m n m n θ⋅====．所以平面DBP 与平面BPA．18.点P 是椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.（1）设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF 为定值，并求出这个定值；（2）12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.【答案】（1）证明见解析，定值为ca（2）（ⅰ）13；（ⅱ）45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由两点间距离公式（结合点P 在椭圆上）、点到直线距离公式表示出2,PF d ，两式相比即可得解；（2）（ⅰ）解法一：一方面由（1）得20cPF a x a =-，另一方面结合已知以及椭圆定义得023x PF a =-，对比两式即可得解；解法二：利用已知以及椭圆定义得12,PF PF 的一种表达式，另外结合两点间距离公式也可以分别表示12,PF PF ，从而平方后作差即可得解；解法三：表示出12,PF PF 方程，根据题意设出内心坐标，结合点到直线距离公式以及内切圆性质即可得解；（ⅱ）先求出椭圆方程，然后求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式结合导数即可求出其范围，进一步即可得解.【小问1详解】依题意，222b c a +=.设()00,P x y ，则2200221x y a b+=，0a x a -<<，所以2PF =所以20c PF x a a==-，又a c >，所以0c a x a >，20ax c >，所以20c PF a x a =-，20a d x c=-所以0220ca x PF c a a d a x c-==-，即2PF 为定值，且这个定值为c a .【小问2详解】（ⅰ）解法一：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，解得023x PF a =-由（1）得20cPF a x a =-，所以003x c a x a a -=-，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法二：依题意，00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，得0102,3,3x PF a x PF a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以0,3,3x a x a =+=-两式平方后作差，得00443cx ax =对任意0x 成立，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法三：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为IG x ⊥轴，设点I 坐标为0,3x t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求直线1PF 方程为()00y y x c x c=++，则点I 到直线1PFt =，即()()()2222000003x y c t x c t y x c ⎛⎫⎛⎫+-+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①同理，由点I 到直线2PF 的距离等于t ，可得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②将式①－②，得00084233t cx y cx ⋅=⋅，则04y t =.将04y t =代入式①，得()2200001016233y x x c x c c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得220022198x y c c+=，得229c a =，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.（ⅱ）由26a =，得3a =，又13c a =，所以1c =，2228b a c =-=，所以椭圆E的方程为221 98x y+=.根楛椭圆对称性，不妨设点P在第一象限或y轴正半轴上，即0003,0x y≤<<≤又()11,0F-，()21,0F，所以直线1PF的方程为()11yy xx=++，设直线IG与1PF交于点D，因为03Dxx=，所以()()00331Dy xyx+=+，1FCD的面积1S与12PF F△的面积S之比为()()()()00200131123313118122y xxx xSS xy+⎛⎫+⨯⎪++⎝⎭==+⨯⨯，令()()()23181xf xx+=+（03x≤<），则()()()()231181x xf xx+-+'=，当[)0,1x∈，()0f x'<，当()1,3x∈，()0f x'>，所以函数()f x在[)0,1单调递减，在()1,3单调递增.又因为()12f=，()419f=，()132f=，所以()f x的值域是41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以14192SS≤≤，所以11415SS S≤≤-，根据对称性，12PF F△被直线IG分成两个部分的图形面积之比的取值范围是45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：第二问（ⅱ）的关键在于求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式，由此即可顺利得解.19.记集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D L l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≤∃∈=且，集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D T l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≥∃∈=且，若()(),f x x D l x L ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳上界线”；若()(),f x x D l x T ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳下界线”．（1）已知函数()2f x x x =-+，()01l x kx =+．若()()0,R f x x l x L ∈∈，求k 的值；（2）已知()e 1xg x =+．（ⅰ）证明：直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”；（ⅱ）若()()ln 1h x x =-，直接写出集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂中元素的个数（无需证明）．【答案】（1）3k =或1-（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2个【解析】【分析】（1）由题意可得R x ∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，再由△0=求解即可；（2）（ⅰ）结合“最佳下界线”及充要条件的定义证明即可；（ⅱ）由定义直接写出结果即可．【小问1详解】依题意，()()0,R f x x l x L ∈∈ ，R x ∴∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，令2()(1)1x x k x ϕ=-+--，2Δ(1)4k =--，则()0x ϕ≤，且0()0x ϕ=，∴Δ0,Δ0,≤⎧⎨≥⎩，∴Δ0=，即2(1)40k --=，12k -=或12k -=-，解得3k =或1-；【小问2详解】（ⅰ）先证必要性．若直线()y l x =是曲线()y g x =的切线，设切点为()00,e 1x x +，因为()e x g x '=，所以切线方程为()()000e 1e x x y x x -+=-，即()()000e 1e 1x xl x x x =+-+（*）一方面，()()00g x l x =，所以0x ∃∈R ，()()00g x l x =，另一方面，令()()()()000e e 1e x xx G x g x l x x x =-=---，则()00G x =，因为()0e e xx G x '=-，所以当0x x <时，()0G x '<，()G x 在()0,x ∞-单调递减，当0x x >时，()0G x '>，()G x 在()0,x ∞+单调递增，所以()()00G x G x ≥=，所以()()g x l x ≥．即x ∀∈R ，()()g x l x ≥，所以()(),R g x x l x T ∈∈，即()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．再证充分性．若()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”，不妨设()l x kx b =+，由“最佳下界线”的定义，x ∀∈R ，()()g x l x ≥，且0x ∃∈R ，()()00g x l x =，令()()()e 1xH x g x l x kx b =-=+--，则()0H x ≥且()00H x =，所以()min 0H x =．因为()e xH x k '=-，①若0k ≤，则()0H x '≥，所以()H x 在R 上单调递增，所以10x x ∃<，使得()()100H x H x <=，故0k ≤不符合题意．②若0k >，令()0H x '=，得ln x k =，当(),ln x k ∞∈-时，()0H x '<，得()H x 在(),ln k ∞-单调递减，当()ln ,x k ∞∈+时，()0H x >，得()H x 在()ln ,k ∞+单调递增，所以，当且仅当ln x k =时，()H x 取得最小值()ln H k ．又由()H x 在0x 处取得最小值，()min 0H x =，所以()0,ln 0,x lnk H k =⎧⎨=⎩即000e ,e 10,x x k kx b ⎧=⎪⎨+--=⎪⎩解得0e x k =，()001e 1x b x =-+，所以()()000e 1e 1x xl x x x =+-+，由（*）式知直线()y l x =是曲线()y g x =在点()00,e 1x x +处的切线．综上所述，直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．（ⅱ）集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂元素个数为2个．【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2023年福建高三期末质检七市联考数学试题
2023年福建高三期末质检七市联考数学试题及答案
2023年福建高三期末质检七市联考数学试题及答案是怎么样？福建省七市联考数学
试卷已经发布，下面就让小编给大家带来2023年福建高三期末质检七市联考数学试题，希望大家喜欢！
2023年福建高三期末质检七市联考数学试题
文科理科数学差很多吗
通过对近年文科与理科数学试卷的分析发现，虽然二者的核心考点侧重不同，但还是有相同之处的，其表现在：三角部分、数列部分、概率统计、立体几何部分、函数部分、几何解析等内容上。
针对高考数学试卷侧重点不同，因此在备考阶段文科生与理科生的数学备考侧重点也大不同。
文科数学
因为高考文科数学相对将基础，因此文科生在数学备考阶段，除了花费一部分时间做题外，更多的还是要回归到教材本身。
把课本里的知识点搞明白，因为文科数学会更倾向于知识点一个本质的考核，因此，考生一定要掌握里面的常规的方式和方法。
当然文科数学还是有一定计算量的，只是侧重点更偏向于课本的知识，这是想对文科的同学提出的一些基本建议。
回归课本，多去看看我们之前做过的一些东西，不要一味地做新题，其实把之前做过的问题归纳在一起，融合在一起这些常规的方法就自然体现出来了。
理科数学
相比较文科数学的基础，高考理科数学更加注重对学生基本数学能力的考察，比如推理能力、计算能力以及分析问题、解决问题的能力。
这些考察重点，看上去好像跟课本没有关系，但实际上就是结合课本知识延伸而出的数学思想内容，能不能发现这样一个问题，解决这样一个问题，就是高考理科数学的考试关注的重点。
当然理科生也要回到课堂课本的内容，常规的方法，而且理科这种方法的变形可能比文科的更多一些，特征和方法是更重要的，不能盲目的追求解答难题，而忽略最基本最基础的课本知识点。
高三数学备考方法
1.夯实基础的重点方法
特别是基础差的同学，一定要老老实实的从课本开始，不要求快，要复习一个章节，掌握一个章节。
具体的方法是，先看公式，背熟，然后看课后习题，用题来思考怎么解，不要计算，只要思考就好，然后再翻课本看公式定理是怎么推导的，尤其是过程和应用案例。
特别注意这些知识点为什么产生的。
如集合、映射的数学意义是为了阐述两组数据(元素)之间的关系。
而函数就是立足于集合。
并由此产生的充要条件等知识点。
通过这么去理解，你会发现，数学基础很快就能掌握。
但记住，一定要循序渐进，不能着急。
对于容易犯的错误，要做好错题笔记，分析错误原因，找到纠正的办法;不能盲目做题，必须在搞清楚概念的基础上做才是有效的，因为盲目大量做题，有时候错误或者误解也会得到巩固，纠正起来更加困难。
对于课本中的典型问题，要深刻理解，并学会解题后反思：反思题意，防止误解;反思过程，防止谬误;反思方法，精益求精;反思变化，高屋建瓴。
这样不仅能够深刻理解这个问题，还有利于扩大解题收益，跳出题海!
2.提高基础知识应用
在注重基础的同时，又要将高中数学合理分类。
分类其实很简单，就是按照课本大章节进行分类即可。
高三复习过程中，速度快、容量大、方法多，特别是基础不好的同学，会有听了没
办法记，记了来不及听的无所适从现象，但是做好笔记又是不容忽视的重要环节，
那就应该记关键思路和结论，不要面面俱到，课后整理笔记，因为这也是再学习的过程。
再谈做题，做题大家都认为是高三复习的主旋律，其实不是的。
不论对于哪种层次的学生，看题思考才是复习数学的主旋律。
看题主要是看你不会做的题，做错的题，尤其是卡住你的那一个步骤。
为什么答案中这道题这个步骤这么写，为什么
用这个公式。
这个公式是从那几个条件确立的，它的出现时为了解决什么问题。
这
是思考方向。
很多同学都有这个问题，题目不会做，往往就是一步卡死，只要这一步解决了，后面都会。
这就是因为没有找到应用的要点。
其实数学题目并不难，所给的条件都能够利用，得出一个有用的结论，这个结论是
我们所要用来解决问题的关键，这就是数学解题的形式。
特别是数列问题。
这里我就举数列的问题，来说明如何解题和如何看题。
打比方说，很多数列都是要求通项公式，大家都知道，求通项的方法不外乎是Sn+1-Sn ，或者是：Sn-Sn-1 ，要不就是求首项和其公差或公比。
这是基本思路。
那么题目给我们的条件
也许是繁复的函数式子，但只要方向不变，就能确保把题做出来。
我们都知道，两点确定一条直线，那么数学也是两个条件确定一个式子。
3.合理有效的针对性练习
练习应具有针对性、同步性，如果见题就做常常起不到巩固作用，效益低、效果差;还要学会限时完成，才能提高效率，增强紧迫感，不至于形成拖拉作风;正确对待难题，即使做不出，也应该明确此刻的收获不一定小，因为实质上已经巩固了相关知识与方法，达到了一定的目的，不能因此影响信心。
遇到困难问题，应先自己思考，
实在没有头绪要及时向同学或老师请教，防止问题积累，降低学习热情。
高三数学要怎么复习
一、训练想像力。
有的问题既要凭借图形，又要进行抽象思维。
同学们不但要学会
看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力比如，几何中的“点”没有大小，只有位置。
现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。
所以说，几何中
的“点”只存在于大脑思维中。
二、准确理解和牢固掌握各种运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据，概念模糊，公式、法则含混，必定影响运算的准确性。
为了提高运算的速度，收集、
归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和迅速性。
三、审题。
有些题目的部分条件并不明确给出，而是隐含在文字叙述之中。
把隐含
条件挖掘出米，常常是解题的关键所在，对题目隐含条件的挖掘，都要仔细思考除了
明确给出的条件以外，是否还隐含着更多的条件，这样才能准确地理解题意。
高考数学怎么复习
侧重高考真题的训练
学习本身还要靠学生自己，教师只是指导、督促而已。
因此，学生要想在规定时间
内得到更高分数，就必须加强日常习题练习，并形成举一反三的知识迁移能力。
但并不是所有习题都适合拿来练习。
这里小编重点提倡高考真题练习。
因为真题是
经过无数专家研制的科学、均衡试题，从各方面都进行了考量，没有比这再合适的了。
并且，训练时，学生也要注意限时，毕竟考试时间有限。
必要的放弃、排除、蒙题策
略也要熟记于心。
加强日常的反思总结
有些老师经常将总结好的知识点呈现给学生，本以为这样会节省复习时间，但最终
效果却不尽人意。
因为，学生没有通过自我总结，没有那么深的印象，自然也就没有
那么好的效果。
对此，学生在日常复习中，一定要注意总结归纳，总是结论习得的过程。
只有这样
才能增强学习体验，强化知识理解和记忆。
另外，做过的习题同样需要再次反思整理，尤其是那些错题，正是学习不足的重要
表现，需要我们复习时特别注意，将其整理成数学错题集。