2024届福建各地高三一检考试具体安排(考试时间)
福建省福州市2024届高三上学期第一次质量检测数学试题及参考答案
2023~2024学年福州市高三年级第一次质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足11i z=−，则在复平面内，z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}21A x x=<，{}0B x x =>，则A B = （ ）A ．（0，1）B ．()0,+∞C ．()1,−+∞D ．(),−∞+∞3．已知点()0,2P x 在抛物线C ：24y x =上，则P 到C 的准线的距离为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）A ．90B ．180C ．270D ．3605．一个正四棱台形油槽可以装煤油3190000cm ，其上、下底面边长分别为60cm 和40cm ，则该油槽的深度为（ ） A ．75cm 4B ．25cmC ．50cmD ．75cm6．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，每次从中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．347．已知1ea =，b =，c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．a c b >>D ．c a b >>8．若定义在R 上的函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的图象在区间[]0,π上恰有5条对称轴，则ω的取值范围为（ ） A ．1721,44B ．1725,44C ．1725,44D ．3341,44二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81．以下关于这组数据判断正确的有（ ） A ．极差为13B ．中位数为82C ．平均数为79D ．方差为12410．已知圆M ：221x y +=，直线l ：(1y k x =+−，则（ ）A ．l 恒过定点)1−B ．若l 平分圆周M ，则k =C ．当k =l 与圆M 相切D ．当k <<l 与圆M 相交11．已知函数()332f x x ax =−+有两个极值点．则（ ） A ．()f x 的图象关于点()0,2对称 B ．()f x 的极值之和为-4C ．a ∃∈R ，使得()f x 有三个零点D ．当01a <<时，()f x 只有一个零点12．已知正四棱柱1111ABCD A B C D −的底面边长为2，球O 与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切，P 为平面1CDD 上一点，且直线BP 与球O 相切，则（ ） A ．球O 的表面积为4π B ．直线1BD 与BP 夹角等于45°C ．该正四棱柱的侧面积为D ．侧面11ABB A 与球面的交线长为2π第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()1,2a = ，()1,2b λλ=+−，若a b ⊥ ，则实数λ的值为__________．14．将圆周16等分，设每份圆弧所对的圆心角为θ，则sin cos θθ的值为__________．15．已知定义城为R 的函数()f x 同时具有下列三个性质，则()f x =__________．（写出一个满足条件的函数即可） ①()()()f x y f x f y +=+；②()f x ′是偶函数；③当0x y +>时，()()0f x f y +<．16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左焦点为F ，两条渐近线分别为1l ，2l ．点A 在1l 上，点B在2l 上，且点A 位于第一象限，原点O 与B 关于直线AF 对称、若2AF b =，则C 的离心率为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a S +=+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若221log n n b a −=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）记ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b =，6B π=．（1）若2c =，求a ；（2）求ABC △面积的最大值． 19．（本小题满分12分）国际上常采用身体质量指数（Body Mass Index ，缩写BMI ）来衡量人体肥瘦程度，其计算公式是()()22kg BMI m=体重单位:身高单位:．为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名男员工、30名女员工的身高和体重数据．计算得到他们的BMI 值，并根据“中国成人的BMI 数值标准”简称“指标”整理得到如下结果：（2）以频率估计概率，分别从该公司男、女员工中各随机抽取2名员工，求抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率．20．（本小题满分12分）如图，在底面为菱形的四棱锥M ABCD −中，2AD BD MB ===，MA MD ==（1）求证：平面MAD ⊥平面ABCD ；（2）已知2MN NB =，求直线BN 与平面ACN 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22143x y +=的右焦点为F ，左、右顶点分别为A ，B ．点C 在E 上，()4,P P y ，()4,Q Q y 分别为直线AC ，BC 上的点． （1）求P Q y y ⋅的值；（2）设直线BP 与E 的另一个交点为D ，求证：直线CD 经过F ．22．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a =−，记曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线为l ，l 在x 轴上的截距为()220x x >．（1）当1e x =，1a =时，求切线方程； （2）证明：12e e a a x x −≥−．答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本运算、几何意义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性． 【答案】A ．【解析】由11i z =−得11i1i 2z+==−，应选A ． 2．【考查意图】本小题以不等式为载体，主要考查集合运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性． 【答案】C ． 【解析】{}11A x x =−<<，{}0B x x =>，故()1,A B =−+∞ ，应选C ． 3．【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的图象和性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性． 【答案】C ．【解析】抛物线24y x =的准线为1x =−，由P C ∈得01x =，故P 到准线的距离为2，应选C ．4．【考查意图】本小题以二十四节气为载体，主要考查排列与组合等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和应用意识；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和应用性． 【答案】B ．【解析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏．其中1春2夏的不同情况有：1266C C 90⋅=种；2春1夏的不同情况有：2166C C 90⋅=种，所以小明选取节气的不同情况有：9090180+=种．应选B ．5．【考查意图】本小题以正四棱台形油槽为载体，主要考查空间几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和应用性． 【答案】D ．【解析】设正四棱台的高，即深度为cm h ，依题意，得()22190000604060403h=++×，解得75h =，应选D ．6．【考查意图】本小题主要考查条件概率、全概率公式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性与创新性． 【答案】C ．【解析】解法一：记第i 次摸到红球为事件i A ，摸到黄球为事件()1,2i B i =，则()()()()()21211211211123232P B P A P B A P B P B B =+=×+×=，()()()12121221433P A B P A P B A ==×=，故()()()1212223P A B P A B P B ==．应选C ． 解法二：记第i 次摸到红球为事件i A ，摸到黄球为事件()1,2i B i =．由抽签的公平性可知()22142P B ==，又()12221433P A B ×==×，所以()()()1212223P A B P A B P B ==．应选C ． 7．【考查意图】本小题以数的大小比较为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性． 【答案】A ． 【解答】解法一：1ln e e e a ==，ln 2ln 424b ==，ln 5ln 5c ，令()ln x f x x =，()21ln xf x x−′=，当e x ≥时，()0f x ′≤，故()f x 在区间[)e,+∞上单调递减，所以a b c >>．==>>b c >．在同一坐标系中作出函数()2xf x =，()2g x x =的图象，如图所示，由图可知，()()e e f g <，即e22e <，所以e22e 2e 2e <，即11e22e <，所以111ln 2ln e 2e e<=，即b a <． （令()ln x f x x=，()21ln xf x x −′=，当0e x <<时，()0f x ′>，故()f x 在区间()0,e 上单调递增，所以1ln e ln 2ln e e 2a b ==>==．） 综上，a b c >>．应选A ．8．【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、应用意识；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性． 【答案】A ．【解析】由已知，()4f x x πω=+，令42x k ππωπ+=+，k ∈Z ，得()414k x πω+=，k ∈Z ，依题意知，有5个整数k 满足()4104k ππω+≤≤，即0414k ω≤+≤，所以0,1,2,3,4k =，则4414451ω×+≤<×+，故172144ω≤<，应选A ． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【考查意图】本小题主要考查极差、中位数、平均数、方差等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查数据分析等核心素养，体现基础性． 【答案】AC ．10．【考查意图】本小题以直线与圆为载体，考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性． 【答案】BC ．【解析】依题意，l恒过定点()1−，选项A 错误；若l 平分圆周M ，则l 经过圆M 的圆心()0,0，代入直线方程得k =B 正确； 圆心()0,0O 到l的距离dk =1d r ==，l 与圆M 相切，选项C 正确；若l 与圆M相交，则1d <，即)2211k −<+，即0k <<D 错误．综上，应选BC ．11．【考查意图】本小题以三次函数为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性． 【答案】ACD ．【解答】()f x 的图象可由奇函数()33g x x ax =−的图象向上平移2个单位长度得到，故()f x 的图象关于点()0,2对称，选项A 正确．设()f x 的极值点分别为()1212,x x x x <，则由对称性可知120x x +=，故()()12224f x f x +=×=，即()f x 的极值之和为4，选项B 错误．依题意，方程()2330f x x a ′=−=0a >，1x =2x =，()f x在区间(−∞上单调递增，在区间(上单调递减，在区间)+∞单调递增．由图象可知，当()()120f x f x >>时，()f x 的图象与x 轴有3个交点，即()f x 有3个零点，选项C 正确．当01a <<时，(32210f=−+=−>，此时()f x 只有一个零点，选项D 正确．综上，应选ACD ．12．【考查意图】本小题以正四棱柱为载体，主要考查球、直线与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性． 【答案】BCD ．【解答】如图，设球O 与下底面相切于点1O ，则1OO ⊥平面ABCD ，连接1O A ，则1OAO ∠为直线OA 与平面ABCD 所成的角．因为球O与正四棱柱的侧棱相切，所以其半径11R OO O A===，所以428S ππ=⋅=表，四棱柱的侧面积为()24××，故选项A 错误，C 正确．依题意，1BB ，BP 均为球O 的切线，1BD 经过球心O ，所以111B BD PBD ∠=∠，又111B D BB =，所以11145PBD B BD ∠=∠=°，选项B 正确．对于选项D ，棱1AA 的中点F ，即球O 与棱1AA 的切点应为交线上的点，故交线应为过F 的圆．截面圆的圆心即为矩形11ABB A 的中心E ，在Rt OEF △中，OFR ==，112OEBC ==，所以截面圆半径1r EF ==，周长为2π，该选项正确．综上，应选BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【考查意图】本小题以平面向量为载体，主要考查平面向量的基本运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性． 【答案】5．【解析】由a b ⊥得()()1220λ++−=，解得5λ=． 14．【考查意图】本小题以圆的等分为载体，考查三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力，抽象概括能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性与应用性．．【解析】依题意，得8πθ=，所以11sin cos sin 2sin 224πθθθ===． 15．【考查意图】本小题以函数的性质为载体，考查函数的奇偶性、函数与导数等基础知识；考查推理论证能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性、综合性与应用性． 【答案】x −（答案不唯一，()0kx k <均可）．16．【考查意图】本小题以双曲线为载体，主要考查双曲线的离心率、双曲线的图象和性质、直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性． 【答案】2．【解答】依题意，1l 的方程为by x a=，2AF l ⊥，设垂足为P ，则FP b =．因为22AFb FP ==，所以点F ，A 关于直线2l 对称，FOP AOP ∠=∠，又1l ，2l 关于y 轴对称，所以1l 的倾斜角为1180603×°=°，故tan 60ba=°=，所以离心率2e =．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【命题意图】本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分．【解答】（1）解法一：由12n n a S +=+得21322,2,a S a S =+ =+ 设等比数列{}n a 的公比为q ，所以()()12112,12,a q a q q −=−−=解得12,2,a q = =或12,0a q =− = （舍去）．所以2n n a =．（2）212212log log 221n n n b a n −−===−， 故11b =，()()12121122n n b b n n n −−=−−−−=≥ ， 所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，所以()()1212122n n n b b n n T n ++−===．解法二：（1）因为12n n a S +=+，① 所以当2n ≥时，12n n a S −=+，② ①－②得12n n a a +=， 所以等比数列{}n a 的公比12n na qa +==． 由①式得212a a =+，得12a =，所以2n n a =．（2）12n n T b b b =++⋅⋅⋅+2123221log log log n a a a −++⋅⋅⋅+()21321log n a a a −⋅⋅⋅= ()13212log 2n ++⋅⋅⋅+−=()12122log 2n n+− =2n =．18．【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．满分12分．【解答】解法一：（1）因为b =，2c =，6B π=，根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，所以22224cos6a a π=+−，即220a −+=，解得1a =±．（2）根据余弦定理，得2222cos a b c ac B =+−，所以(222222cos 226a c ac a c ac ac π=+−=+≥=，（当且仅当1a c ==+时取等号），即(22ac ≤=，所以ABC △面积(1111sin sin 2222644ABC S ac B ac ac π===≤×+△即ABC △．解法二：（1）因为b =，2c =且6B π=，根据正弦定理，得sin sin b cB C=，2sin C=，即sin C =，因为c b >，所以C B >，所以566C ππ<<， 所以4C π=或34C π=， 当4C π=时，()1sin sin sin 642A B C ππ =+=+=+， 根据正弦定理，得sin sin a bA B=，所以sin 1sin b A a B ==+； 当34C π=时，()31sin sin sin 642A B C ππ=+=+=×+= 根据正弦定理，得sin sin a bA B=，所以sin 1sin b A a B ==−； 综上，1a=±．（2）略，同解法一． 解法三：（1）因为b =，2c =且6B π=，根据正弦定理，得sin sin b cB C=， 2sin C=，即sin C =，因为c b >，所以C B >，所以566C ππ<<， 所以4C π=或34C π=，当4C π=时，()76412A B C πππππ =−+=−+=， 根据正弦定理，得sin sin a bA B=，所以sin sin cos cos sin sin 343434b A a B ππππππ ==+=+ ；sin cos cos sin 13434ππππ + ； 当34C π=时，()36412A B C πππππ =−+=−+= ， 根据正弦定理，得sin sin a bA B=，所以sin sin cos cos sin sin 343434b AaBππππππ ==−=−sin cos cos sin 13434ππππ −；综上，1a=±．（2）根据正弦定理，得sin sin sin ac b AC B ===，所以a A =，c C =，即(251sin sin 8sin sin 8sin cos 62aC A C A A A A A π==−=21cos 22sin 22sin 22sin 222AA A A A A −=−=+=++14sin 224sin 223A A A π +−+= 因为506A π<<，所以42333A πππ−<−<， 所以当232A ππ−=，即512A π=时，sin 23A π−取得最大值为1，即ac最大值为4+，所以ABC △面积(1111sin sin 422644ABC S ac B ac ac π===≤×+△，即ABC △． 19．【命题意图】本小题主要考查分层抽样、独立事件的概率、互斥事件、对立事件的概率等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和数学运算等核心素养；体现应用性和创新性．满分12分． 【解】（1）设该公司共有x 名员工，依题意得1500505030x =+， 解得2400x =，所以该公司共有2400名员工．（2）依题意，事件“抽到一名男员工不为肥胖”的概率为404505=，事件“抽到一名女员工不为肥胖”的概率为2793010=， 由事件的独立性，得抽到的两个男员工都不存在肥胖的概率为44165525×=， 抽到的两个女员工都不存在肥胖的概率为99811010100×=， 设事件M 为“抽到的员工中至少有一名是肥胖”，则事件M 为“抽到的员工都不存在肥胖”， 所以()811632410025625P M =×=， 所以()3243011625625P M =−=，所以抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率为301625． 20．【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分． 【解答】（1）取AD 的中点为O ，连结OM ，OB ， 因为四边形ABCD 是为菱形，且2AD BD ==，所以ABD △为正三角形，所以BO AD ⊥，且BO =．因为MAMD ==MO AD ⊥，所以1MO =，又因为2MB =，所以222MO BO MB +=，所以MO BO ⊥，因为AD BO O ∩=，AD ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD 所以MO ⊥平面ABCD ， 又因为MO ⊂平面MAD ， 所以平面MAD ⊥平面ABCD ．（2）由（1）知，OA ，OB ，OM 两两垂直，故以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OM为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −．则()1,0,0A，()B，()C −，()0,0,1M，13N，所以()3,CA =，12,3CN =，()2,0,0CB =， 设平面ACN 的法向量为(),,n x y z =， 则0,0,n CA n CN ⋅= ⋅=即30,120,3x x y z = +=取1x =，则()3n −．因为()0,BM =，则cos ,BM n BM n BM n ⋅===， 所以直线BN 与平面ACN21．【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，平面向量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．【解答】（1）依题意，()2,0A −，()2,0B ．设()11,C x y ，则2211143x y +=，直线AC 方程为()1122y yx x ++，令4x =得1162P yy x =+， 直线BC 方程为()1122y yx x −−，令4x =得1122Q yy x =−，所以2121124P Q y y y x =−2121123144x x ×−=− 9=−，即P Q y y ⋅的值为9−．（2）设()22,D x y ，()4,P t ，则 直线AP 方程为()26t yx =+，直线BP 的方程为()22ty x =−，由()222,63412t y x x y=+ +=得()222227441080t x t x t +++−=， 所以2124108227t x t −−=+，即21254227t x t −=+，故()112182627t ty x t =+=+． 由()222,23412t y x x y=− +=得()2222344120t x t x t +−+−=， 所以22241223t x t −=+，即222263t x t −=+，故()2226223t ty x t −=−=+．所以()()122111x y x y −−−2222222736918273327t t t tt t t t −−−=⋅−⋅++++ ()()()222262733270327t t t t t −−+−=++，又()1,0F ，所以向量()111,FC x y =−，与()221,FDx y =−共线，所以直线CD 经过F ．解法二：（1）依题意，()2,0A −，()2,0B ．设()11,C x y ，则2211143x y +=，所以111122AC BC y yk k x x ⋅=⋅+− 21214y x =− 21213144x x −−= 34=−．即B 344242Q P AP Q y y k k −=⋅=⋅+−，故P Q y y 的值为9−． （2）设()11,C x y ，()22,D x y ，()4,P t ． 要证直线CD 经过()1,0F ，只需证向量()111,FC x y =− ，与()221,FDx y =−共线，即证()()122111x y x y −=−．（*） 因为()2222112014343x y −+==+，所以111123246PAC y x y k x y −==−⋅=+，同理可得222223242PBD y x y k x y +==−⋅=−， 所以()()21122123AC BDx y kk x y −==+，即1221123620x y x y y y −++=，① 同理可得1221123260x y x y y y −+++=，②①－②得12211244440x y x y y y −+−=，即()()122111x y x y −=−． 所以（*）式成立，命题得证．22．【命题意图】本小题主要考查导数，函数的单调性、零点、不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，直观想象能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现基础性、综合性和创新性．满分12分． 【解答】（1）()1f x x′=， 当1e x =，1a =时，()1ln e 10f x =−=，即切点为()e,0， 所以所求切线斜率()1e ekf ′=， 所以所求的切线方程为()1e e yx =−，即11ey x =−． （2）由于()11ln f x x a =−， 所以切线l 的方程为()()1111ln y x a x x x −−=−． 令0y =，得()()1111ln x a x x x −−=−，解得()2111ln x x x x a =−−．（*） 由20x >，得11e a x +<．构造函数()()ln g x x x x a =−−， 所以()ln g x a x ′=−，所以当0e a x <<时，()0g x ′>，()x 单调递增；当e a x >时，()0g x ′<，()g x 单调递减．故()()max e e a a g x g ==．所以2e a x ≤．若1e a x ≤，由（*）式知12x x ≤， 所以12e a x x ≤≤， 故12e e a a x x −≥−．若1e a x >，则()()()121212e e e e 2e a a a a a x x x x x x −−−=−−−=+−， 所以()12111e e 2ln 2e a a a x x x x x a −−−=−−−． 构造函数()()()12ln 2e e e a aa x x x x a x ϕ+=−−−<<，所以()()1ln 0x a x ϕ′=+−>，故()x ϕ在区间()1e ,e a a +上单调递增， 所以()()e 0a x ϕϕ>=，所以()1112ln 2e 0ax x x a −−−>，即所以12e e 0a a x x −−−>，即12e e a a x x −>−．综上，不等式成立12e e a a x x −≥−成立（当且仅当1e a x =时取等号）．。
高中数学试题-2024~2025学年福州市高三年级第一次质量检测数学答案
2024-2025学年福州市高三年级第一次质量检测数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
15. （13分）已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+． （1）证明：数列{}1n a +是等比数列； （2）求{}n a 的前n 项和n S ．【解法一】（1）证明：因为132n n a a +=+，且12a =，所以10n a +≠， ··················································································· 1分 所以1132111n n n n a a a a ++++=++ ········································································ 3分 3(1)31n n a a +==+， ···································································· 5分 又113a +=，所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列． ······························· 6分 （2）由（1）得13n n a +=，所以31n n a =−， ············································· 8分 所以()()()2313131n n S =−+−++−()233333n n =++++− ···························································· 10分13313n n +−=−− ············································································ 12分 133.2n n +−=− ············································································ 13分【解法二】（1）证明：因为132n n a a +=+，所以()113331n n n a a a ++=+=+， ····························································· 2分 因为12a =，所以1130a +=≠，所以10n a +≠， ········································ 4分 所以1131n n a a ++=+, 所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列． ······························· 6分 （2）略，同解法一． 16. （15分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2cos cos cos a C C B =⋅． （1）求角C ；（2）若4a =，b =D 为AB 中点，求CD 的长． 【解法一】（1）因为2cos cos cos a C C B =+⋅， 由正弦定理，得2sin cos cos sin A C B C B C =·············································· 2分()B C =+ ·································································· 4分()πA −A =，······································································ 6分 因为0πA <<，则sin 0A ≠，所以cos C =， ·········································· 7分 由于0πC <<，则π6C =； ···································································· 8分 （2）因为D 为AB 中点，故()12CD CA CB =+， ······································ 10分22111πcos 4426CA CB CA CB =++ ············································ 13分 1113164442=⨯+⨯+ 314=，················································································· 14分 所以CD ． ······································································ 15分 【解法二】（1）因为2coscos cos a CC B =⋅，由余弦定理，得2222222cos 22a b c a c b a C ab ac+−+−=··························· 2分 ， ···························································· 4分所以cos C =， ················································································ 6分 由于0πC <<，则π6C =； ···································································· 8分 （2）由（1）知，π6ACB ∠=， 在ABC △中，由余弦定理，得2222cos c a b ab ACB =+−∠··································································· 10分 22424=+−⨯ 7=， ··························································································· 11分 故c =， ······················································································· 12分 因为D 为AB 中点，所以cos cos 0ADC BDC ∠+∠=，故222222022AD CD AC BD CD BC AD CD BD CD +−+−+=⨯⨯⨯⨯， ·········································· 13分22222240CD CD +−+−=，故CD ． ··········································································· 15分 【解法三】（1）略，同解法一或解法二； （2）由（1）知，π6ACB ∠=， 在ABC △中，由余弦定理，得2222cos c a b ab ACB =+−∠··································································· 10分22424=+−⨯ 7=， ··························································································· 11分故c =， ······················································································· 12分 所以222cos 2b c a A bc+−=2224+−==， ············································································· 13分 在ACD △中，由余弦定理， 得2222cos CD AC AD AC AD A =+−⋅222⎛=+− ⎝⎭⎝314=， ······················································································· 14分故CD ． ··········································································· 15分 17. （15分）如图，在四棱锥S ABCD −中，BC ⊥平面SAB ，∥AD BC ，1SA BC ==，SB =，o 45SBA ∠=．（1）求证：SA ⊥平面ABCD ；（2）若12AD =，求平面SCD 与平面SAB 的夹角的余弦值． 【解法一】（1）在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由正弦定理，得sin sin SA SBSBA SAB=∠∠， ········································································· 1分所以1sin 45︒， ······································································ 2分 所以sin 1SAB ∠=，因为0180SAB ︒<∠<︒，所以90SAB ∠=︒，所以SA AB ⊥． ··················································································· 4分 因为BC ⊥平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥， ··················································································· 5分 又BCAB B =，所以SA ⊥平面ABCD ； ········································································· 6分 （2）解：由（1）知SA ⊥平面ABCD ，又,⊂AB AD 平面ABCD ，所以SA AB ⊥，SA AD ⊥，因为BC ⊥平面SAB ， ··········································································· 7分 ⊂AB 平面SAB ，所以BC AB ⊥，因为∥AD BC ，所以AD AB ⊥，所以,,SA AD AB 两两垂直． ··································································· 8分 以点A 为原点，分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ················································································ 9分 则1(1,1,0),,0,0,2(0,0,1),D S C ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()1,1,1SC =−，1,0,12SD ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，设平面SCD 的法向量为1(,,)x y z =n ，则11,,SC SD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即110,10,2SC x y z SD x z ⎧⋅=+−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩n n 取2x =，则()12,1,1=−n ， ·································································· 11分显然平面SAB 的一个法向量()21,0,0=n ， ················································ 12分 所以cos ⋅=⋅121212n n n ,n n n ····································································· 13分==········································································· 14分 所以平面SCD 与平面SAB ． ··································· 15分 【解法二】（1）证明：设AB x =，在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由余弦定理，得2222cos SA SB AB SB S AB BA =∠+−⋅， · (1)分 所以212co 5s 4x =+−︒， (2)分所以221x +−=， 所以2210x x −+=，解得1x =． ························································································ 3分 所以2222SA AB SB +==，所以SA AB ⊥． ················································ 4分 因为BC ⊥平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥， ··················································································· 5分 又BCAB B =，所以SA ⊥平面ABCD ； ········································································· 6分 （2）略，同解法一．【解法三】（1）设AB x =，在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由余弦定理，得2222cos SA SB AB SB S AB BA =∠+−⋅， (1)分所以212co 5s 4x =+−︒， ································································ 2分所以221x+−=，所以2210x x−+=，解得1x=． ························································································3分所以2222SA AB SB+==，所以SA AB⊥．················································4分因为BC⊥平面SAB，BC⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面SAB；·································································5分又平面ABCD平面SAB AB=，SA AB⊥，SA⊂平面SAB，所以SA⊥平面ABCD；·········································································6分（2）由（1）知SA⊥平面ABCD，过B作BM SA，则BM⊥平面ABCD，又,AB BC⊂平面ABCD，所以BM AB⊥，BM BC⊥，因为BC⊥平面SAB，···········································································7分又⊂AB平面SAB，所以BC AB⊥，所以,,BM BA BC两两垂直．··································································8分以点B为原点，分别以BA，BC，BM所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ················································································9分则1(0,1,0),1,(,0,21,0,1),CS D⎛⎫⎪⎝⎭所以()1,1,1SC=−−，11,,02CD⎛⎫=−⎪⎝⎭，设平面SCD的法向量为1(,,)x y z=n，则11,,SCCD⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩nn即110,10,2SC x y zCD x y⎧⋅=−+−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩nn取2y=，则()11,2,1=n， ···································································· 11分显然平面SAB的一个法向量()20,1,0=n， ··············································· 12分所以cos⋅=⋅121212n nn,nn n····································································· 13分=。
泉州市2024届普通高中毕业班质量监测(一)语文试题及参考答案
保密☆启用前泉州市 2024届普通高中毕业班质量监测(一)2023.08高三语文注意事项：1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I (本题共 5小题, 17分)阅读下面的文字，完成1-5题。
材料一：C919 大型客机是中国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机，是中国第一款真正意义上的民航大飞机。
C919 大型客机由中国商用飞机有限责任公司(以下简称“中国商飞”)研制，于2022年12月9日交付给东方航空，交付后密集完成了 100小时的验证飞行，全面检验了飞机的航线运行能力。
2023年5月 29日8时25分, 由C9l9大型客机执飞的东方航空MU9197航班从上海虹桥机场起飞,于11时05分平稳降落成都天府国际机场。
按计划，C9l9在“上海虹桥—成都天府”航线上实施初始商业运行，陆续引进后该机型有望逐步扩展投放到更多的航线。
一个新机型执飞商业航线，需要进行一系列准备，包括机务人员以及机场地面服务的保障等，而这些专业保障都要经历相应的培训。
这也是目前C919执飞航线较少的原因之一。
大飞机是一个国家科技能力、工业水平和综合实力的集中体现。
一架C919包含超过400万个零部件，每个零部件都要足够安全可靠，组装和审查过程也有严格的安全标准。
中国在全球采购的基础上，结合自主创新生产出了国产大飞机，并在此过程中逐步提高国产化率，这是了不起的突破。
相比同期波音、空客甚至其他国家的航空制造企业，国产民机制造企业在市场意识、市场能力、市场经验等方面几乎是从零开始。
首架 C919 商业运营迈出了重要一步，也是一个新的开始。
2024福建各地高三一检考试时间安排(一览表)
2024福建各地高三一检考试时间安排(一览表)2024福建各地高三一检考试时间是什么时候2024福建各地高三一检考试时间：福建漳州高三二检时间是1月29日-31日;漳州高三二检时间是3月7日-9日;福州高三三检时间是5月7日-日。
具体的时间大家关注各地及院校的通知。
福建高三一检考试考前如何备考1.学会融会贯通福建高三生一检备考要找到知识之间的联系。
把一章章一节节的知识之间的联系找到。
追求的是从局部到全局，从全局中把握局部。
要多思考，多尝试。
学科思维导图更强调各个知识点的逻辑联系，更能深化理解知识点的概念。
如何画科学思维导图，福建高三生不要过于纠结，不用非要使用软件，把时间浪费在这上面，一检考试时考察学生的知识储备的，准备一个大一点的本子用笔画出来就可以了，关键是要记在脑子里。
2.地毯式扫荡福建高三一检考试前，先把该复习的基础知识全面过一遍。
这一遍追求的是尽可能全面不要有遗漏，哪怕是阅读材料或者文字注释。
要有蝗虫精神，所向披靡一处不留。
福建高三一检考试前这个阶段最重要的就是要把握好课本。
俗话说，万卷不离其综。
基础知识和基本技能技巧，是教学大纲也是考试的主要要求。
在课本熟知的基础上再去把握基本的解题思路。
高三生要注意解题思路是建立在扎实的基础知识条件上的一种分析问题解决问题的着眼点和入手点。
再难的题目也无非是基础东西的综合或变式。
高中一检二检三检是什么高中一检二检三检是高考前的三次模拟考试，方便学生高考前检查自己学业水平的考试，便于高三学习查缺补漏。
一检就是高三上学期期末考试，二检在小高考前后，三检在五月上旬。
一般不同地方是不一样的。
基本是一检基本一致，二检会难一些，三检简单一些，你详情还是问问老师。
专心把不会的题目真正弄懂，不要贪多。
模考成绩不能决定高考，检验考试只是一个诊断考试，为了让同学更清醒，可能题的难度大一点。
一诊和二诊都很难，是为了学子保持一个清醒的头脑，不至于松懈和骄傲。
有难度，就有上升的空间，就要对照问题，针对问题，才能在高考中有出色的表现。
福建省福州市2024届高三第一次质量检测语文试题及参考答案
福建省福州市2024届高三第一次质量检测语文试题及参考答案一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题,19分)阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：文化是一种社会符号，互联网背景下的媒介融合使得文化符号横跨多媒体平台的传播流动不可避免，形成一种跨媒介叙事。
跨媒介叙事的概念由英国著名传播学者亨利·詹金斯首次提出并作出详细阐释：“一个跨媒介故事横跨多种媒介平台展现出来，其中每一个新文本都对整个故事做出了独特而有价值的贡献。
”跨媒介叙事的内涵包括两方面：一方面指图像、声音、文字等多种媒介联合完成对事件的叙述，进而生成不同的艺术变种；另一方面指再媒介转译后的衍生产品形成媒介增生的集群效应，在跨媒介叙事中，内容从一种媒介到另一种媒介进行再现，从而形成一种以内容为中心的网状结构，进而形成跨媒介文化IP。
IP一词本意是知识产权，泛指文化产业领域的内容版权。
文化资源自身并不能自然地成为文化产品或文化商品，只有经过再创造，成为商品符号，才能进入产业循环链而成为文化商品，并在反复使用和符号生产中实现增值。
2016年初，中国中央电视台出品的《我在故宫修文物》意外走红过程，成为跨媒介叙事的典范。
纪录片以影像叙事的方式将故宫文化资源转化为视觉符号呈现在大众眼前，从普通文物工作者的平常生活视角来呈现出人文气息，这种平民化、具有可塑性和延展性的叙事模式，为大众留出大量进行文本再创作的裂隙与创作空间。
第一次近距离地展现了文物修复专家的内心世界和日常生活，节奏轻快、视角新颖，让这一大片红墙金瓦的建筑群里，透出不同寻常的意味”，用日常“撑起宏大和厚重。
另一方面，互联网弹幕网站为文本的解读与再生产提供了直接的平台，在互联网上通过弹幕讨论、剪辑、解说的形式不断增加原文本的理解维度，产生新的叙事文本。
B站观众对《我在故宫修文物》的文本以弹装再生产”与视频再生产”两种方式实现了文本的再生产。
纪录片走红以后，制作方随之推出同名电影、书籍，形成一个IP化的跨媒介叙事单元。
福建省泉州市2024届高三高中毕业班质量监测(一)数学试题
福建省泉州市2024届高三高中毕业班质量监测（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．()()f x g x +B ．()()⋅f x g x 5．已知双曲线222:16x y C a -=的焦距为4A ．y x=±B ．3y x=±6．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若A ．3-B ．6-7．已知函数()π2sin 24f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（值可以是（）A ．3B ．58．方程2y xx y x y x=满足x y ≤的正整数解的组数为（A．0B．1C．2D．无数组b=A．0.03Eξ=B．()65C．A与B是互斥事件，但不是对立事件D．估计该市学生知识竞赛成绩的中位数不高于O O的轴截面是正方形11．已知圆柱12O上，且E，F不在平面ABCD点F在圆2BE平面ADFA．直线//C．平面ADF∥平面BCE12．已知ABP的顶点P在圆()C x-:3三、填空题四、解答题17．数列{}n a中，11a=，且(1)求{}n a的通项公式；(2)令2nnnba=，记数列{n b18．泉州是历史文化名城、“泉州十八景”是游客的争相打卡点，少打卡两个景点.为提升城市形象，泉州文旅局为大家准备了(1)求三棱锥-P ABC 的体积的最大值；(2)求二面角P AC B --的正弦值的最小值22．已知椭圆2222:1x y E a b +=22:2O x y +=与x 轴正半轴的交点为(1)求E 的方程；(2)直线l 与圆O 相切且与E。
福建省教育厅关于做好2024年中等职业学校学业水平考试工作的通知
福建省教育厅关于做好2024年中等职业学校学业水平考试工作的通知文章属性•【制定机关】福建省教育厅•【公布日期】2024.03.11•【字号】•【施行日期】2024.03.11•【效力等级】地方规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】职业教育与成人教育正文福建省教育厅关于做好2024年中等职业学校学业水平考试工作的通知各设区市教育局、平潭综合实验区社会事业局，各省属中职学校，有关高职院校：为贯彻落实中共中央办公厅、国务院办公厅《关于推动现代职业教育高质量发展的意见》，根据《福建省人民政府关于印发福建省深化高等学校考试招生综合改革实施方案的通知》和《福建省教育厅关于印发福建省高职院校分类考试招生改革实施办法的通知》精神，现就做好2024年我省中等职业学校学业水平考试（以下简称“中职学考”）工作通知如下。
一、考试类别中职学考分为合格性考试和等级性考试。
合格性考试包括公共基础知识（含德育、语文、数学、英语、计算机应用基础）、专业基础知识、专业技能考试3个部分；等级性考试包括公共基础知识中的德育、语文、数学、英语和专业基础知识。
二、考试对象全省中等职业学校2022级、2023级全日制学历教育学生（含高职院校招收的全日制中职学历教育学生，不含五年制高职教育学生）均须参加合格性考试，有升学意愿的学生还需参加等级性考试。
技工院校在校生和社会人员也可报名参加合格性考试和等级性考试。
三、考试组织（一）公共基础知识、专业基础知识考试，由省里统一组织。
（二）专业技能考试由中职学校负责组织，学校应在2024年10月底前将专业技能考试实施方案，报设区市教育局、平潭综合实验区社会事业局备案，省属中职学校报省教育厅备案。
鼓励有条件的设区市教育局统一组织实施。
四、考试内容（一）公共基础知识考试。
德育、语文、数学、英语、计算机应用基础5门课程的考试内容，按照《福建省教育厅关于印发福建省中等职业学校学业水平考试大纲（修订）的通知》（闽教考〔2021〕1号）执行。
福建省泉州市2025届高三文综毕业班第一次质量检查试题无答案
福建省泉州市2025届高三文综毕业班第一次质量检查试题（无答案）留意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题,共140分）本卷共35小题。
每小题4分,共140 分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
金融服务业是经营金融商品的特别行业，主要包括银行证券、保险等行业。
国际金融中心则是指聚集了大量金融机构，集中地开展国际金融服务的城市或地区。
1991 年上海浦东新区起先建设,选择了陆家嘴建设金融中心。
近年来,陆家嘴金融贸易区发展快速,上海金融中心的国际地位稳步上升。
图1示意上海陆家嘴位置。
据此完成1～3题。
1.金融机构的集聚能够A.降低运输成本B.加强企业协作C.降低劳动力成本D.实现金融国际化2.上海选择陆家嘴建设金融中心的主要缘由是陆家嘴A.拥有良好深水港区B. 重化工业基础较好C.靠近原有商贸中心D.经济腹地非常广袤3.上海金融中心的国际地位稳步提升的主要影响因素是A.市场B.技术C.交通D.政策上海借鉴传统农耕技术,利用黄浦江岸近5米的高差来设计建设加强型梯田湿地系统，净化效果较好,在多地快速推广。
该系统建设一系列低堰过滤系统，并大量配置水生植物,形成了人工湿地水净化系统。
我国水质分类由好到差分为I～V五类和劣五类。
图2示意“人工湿地水净化系统工作流程”。
据此完成4～6题。
4.该工程中大量配置水生植物的最主要作用是A.美化景观B.释放氧气C.减缓流速D.汲取养分5.与传统梯田相比,该工程净化水质的设计主要体现在此梯田湿地系统A.层次更多B.多级联动C.落差更大D.水量丰富6.与建设一座相同处理量的污水厂相比,这种水净化系统能够快速推广的主要缘由是该系统①净化成本更低②建设速度更快③水质改善更明显④技术复制更简洁A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④新加坡的“都市农场”是小而精的现代化农业科技园,主要实行集约经营的方式，大量运用自动化、工厂化,追求高产值,并向世界各地推广尖端农业科技成果,但其农产品自给率低。
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2024届福建各地高三一检考试具体安排(考试时间)
2024届福建各地高三一检考试具体安排
2024福建各地高三一检考试时间：福建漳州高三二检时间是1月29日-31日;漳州高三二检时间是3月7日-9日;福州高三三检时间是5月7日-日。
具体的时间大家关注各地及院校的通知。
高三质检一是什么意思
高三质检一是高考前的一次考试，是全市的大规模考试。
高三质检一是指高考之前的一次模拟考试，全市统一进行安排，然后考同样的卷子进行全市的高模拟排名。
质检是指质量检验亦称技术检验。
采用一定检验测试手段和检查方法测定产品的质量特性，并把测定结果同规定的质量标准作比较，从而对产品或一批产品作出合格或不合格判断的质量管理方法。
高三一检一般什么时候出成绩
高三一检一般考试之后两三天就会出成绩。
高三一模是高考前对考生和家长来说都非常重要的一次考试。
高三一模考试一般在每年的3月——4月进行。
一模成绩的好坏往往会影响考生的心态和最后高考冲刺阶段的复习，但相对
而言，考生和家长应该认识到的是高三一模的排名比成绩更重要。
通过“一模”分数和区县排名，考生能够比较清晰地判断自己的位置从而初步确定报考目标。
在高三一模后考生和家长要特别关注学生在一模中的学校排名要及时与近几年的排名进行比较，但同时有关专家也提醒，高考志愿填报时，考生“一模”排名和分数均要参考但不能简单套用。
高三质检考试是一模吗
高三质检考试是一模。
高三一模是高考前对考生和家长来说都非常重要的一次考试。
高三一模考试一般在每年的3月——4月进行。
一模成绩的好坏往往会影响考生的心态和最后高考冲刺阶段的复习，但相对而言，考生和家长应该认识到的是高三一模的排名比成绩更重要。
高三一模的心态
对于注意涣散、心烦意乱、浮躁、懊恼、孤独等问题的出现，在很大程度上是在学习的心态和行动上“狠劲”不足，也就是没有发疯的学习心理和劲头。
我们参加过长跑的人都知道，当跑到某一段距离时，我们会呼吸困难、全身感觉无力，如果我们继续坚持跑过这段距离时，我们的呼吸以及全身也就会逐渐变得顺畅和轻松起来。