第三节 分式的化简求值与恒等变形-学而思培优
分式的化简与求值
分式方程和分式的化简与求值【知识要点】1分式和分式方程的定义。
2、 分式的求值通常先把已知条件化成我们需要的等量关系，再代入所求得出结果。
3、 注意整体代入的思想方法。
1学会x的应用。
4、 学会等比设k 法的应用。
5、x(4)(1 )要使分式A. X1——有意义，则x 1B. xx应满足的条件是(2)(3)A.(2009年吉林省)化简x 2化简B.亠x 2时,C. x分式一1—无意义.x 2xy 2y4x-的结果是(4C. D.3x 22x 5x 6 2 x 4x 3(5)b2bD. x 12 2a b24ab 4b例3. (1)已知1 13，求分式2a 3ab 2b的值。
a b a ab ba2 2ab 3b22，求二2a2 6ab 7b2的值。
例8 .已知a 、 c 满足ab1 _b^ 3，b c1 ca 4‘c a1abc，求分式 的值。
例5 .已知ab-b c d例4 .已知：X 1xy 2 2 0，试求丄xyIII1 x 2000 y 2000的值。
的值。
例6. 已知4x(x24)AxBx CC，则A4,B,C2 x例7. 若x1x 3，求4 x2x2 x的值。
12、选择题1•将分式中的x 、y 的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（x y结 果是( )a 1A 、x6. 使分式有意义的2x 4=2 工 2 C.x= -27. 下列等式成立的是（a b 的值为 _________________A 、扩大2倍；B 、缩小2倍；C 、保持不变;D 、无法确定;3•计算的正确结果是4.若 x 2 0,则2.3 2 2 .的值等于（ （X 2 X ）2 1 3B.C. .3D. .3 或35•某人上山和下山走同一条路，且总路程为 =千米，若他上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时，则他上山和下山的平均速度为a b 2ab A. B.2 aC. b ( aba bD.)2s a bA. (-3 )-2=-9 B. ( -3 )-2=丄 C.912\a )2=a 14已知 a 2 6a9与b 1互为相反数,则式子练习a 2的取值范围是（3 19.方程——的解是 __________________2x x 32x m 10、当m时, 关于 x 的分式万程1无解x 311、若关于x 的方程 x 2 m无解，则m 的值是()x 2x 2=-4 B. m=-2C.m=-4 =212、若关于x 的分式方程 —a -1无解，则a 的值为（ ）x 1 xA. 1或-2D. 无法确定13. 某服装厂准备加工 400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20%结果共用了 18天完成任务，问计划每天加工服装多少套在这个问题中，设计划每天加工 x 套，则根据题意可得方程为二、计算22(x 1) 2x1 1 2.已知丄丄b a(1)2x 2x 31 2x 3(2)x1)2 A.型x400 (1 20%)x 18160 400 160(1 20%) x 18400 16020%x18D.400400 160 (1 20%) x18(3)(4)1x 22 x试求的值;2ab b3.已知x , y , z 均不为0，且满足4x 3y 6z 0 , x 2y 7z0，求尊黑罷2x 5y 7 z 之值。
分式的化简与求值
·江苏科技版
► 类型之二 分式的基本性质的运用
命题角度： 1．利用分式的基本性质进行通分 2．利用分式的基本性质进行约分
例 2 下列运算正确的是
( C)
A. －－xx＋－yy＝xx－ ＋yy
B. aa2－－bb22＝aa＋－bb
C. aa2－－bb22＝aa＋ －bb
D. 1x－－x12＝x＋1 1
设 S＝ S1＋ S2＋…＋ Sn，则 S＝___n_＋__1__(用含 n 的
代数式表示，其中 n 为正整数)．
[解析] Sn＝1＋n12＋n＋1 12＝1＋n1－n＋1 12＋2×nn1＋1＝ 1＋nn1＋12＋2×nn1＋1＝1＋nn1＋12，
(2)关于化简求值，近几年出现了一种开放型问题，题目中给 定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．
► 类型之四 分式的创新应用
命题角度： 1．探究分式中的规律问题 2．有条件的分式化简
例 6 [2011·成都] 设 S1＝1＋112＋212，S2＝1＋212＋312， S3＝1＋312＋412，…，Sn＝1＋n12＋n＋1 12. n2＋2n
解：原式＝a－ab＋ab＋b＋a＋b2 b·a＋a b＝a2－a＋b2＋b b2·a＋a b ＝a＋a2 b·a＋a b＝a.
·江苏科技版
例 4 [2011·苏州] 先化简，再求值：a－1＋a＋2 1÷(a2＋1)， 其中 a＝ 2－1.
[解析] 分式化简时，先乘除后加减，有括号的先算括号里
(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项式， 先要将这些多项式进行因式分解．
·江苏科技版
► 类型之三 分式的化简与求值 命题角度： 1．分式的加、减、乘、除、乘方运算法则 2．分式的混合运算及化简求值 例 3 [2011·泰州] 化简：a－b＋a＋b2 b·a＋a b.
分式的化简与运算
分式的化简与运算分式，也称作有理函数，是将两个整数之间的关系以分数形式表示出来的算式。
在数学中，分式是一种常见的表达方式，涉及到分式的化简与运算十分重要。
本文将介绍分式的化简与运算方法，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、分式的化简1.化简分式的基本原则是将分子和分母的公因式约去，使得分子与分母无公因式。
一个常见的例子是：16/24 = 2/3这里，16和24都可以被2整除，所以将分式的分子分母同时除以2，得到2/3。
2.若分子和分母都是多项式，化简分式时可以考虑因式分解。
例如：(x^2 - 4x + 4) / (x^3 - 8)这里，可以将分子和分母都进行因式分解：x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)因此，分式可以化简为：[(x - 2)^2] / [(x - 2)(x^2 + 2x + 4)] = (x - 2) / (x^2 + 2x + 4)二、分式的运算1.分式的加减运算对于两个分式，若分母相同，则可以直接将分子相加或相减，而分母保持不变。
例如：3/5 + 2/5 = 5/5 = 13/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2若分母不同，需要找到它们的最小公倍数（LCM），将分子和分母都按照最小公倍数进行扩展，然后进行加减运算。
例如： 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/21/4 - 1/6 = 3/12 - 2/12 = 1/122.分式的乘法运算将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到结果的分式。
例如： (2/3) * (3/4) = (2*3)/(3*4) = 6/12 = 1/23.分式的除法运算将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子，然后进行化简，得到结果的分式。
例如： (2/5) / (3/4) = (2/5) * (4/3) = (2*4)/(5*3) = 8/15三、综合运用对于复杂的分式化简与运算，可以根据具体情况，选择不同的方法进行处理。
化简求值(解析版)--中考数学抢分秘籍(全国通用)
化简求值--中考数学抢分秘籍（全国通用）概率预测☆☆☆☆☆题型预测解答题☆☆☆☆☆考向预测①分式的化简求值②整式的化简求值化简求值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，加减乘除运算是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。
2．从题型角度看，以解答题的第一题或第二题为主，分值8分左右，着实不少！一、分式1.分式的加减乘除运算，注意去括号，添括号时判断是否需要变号，分子计算时要看作整体。
2.分式有意义、无意义的条件：因为0不能做除数，所以在分式AB中，若B≠0，则分式AB有意义；若B＝0，那么分式AB没有意义．3．分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即ac±bc＝a±bc.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即ab±cd＝ad±bcbd.4．分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即ab·cd＝acbd.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即ab÷cd＝ab·dc＝adbc.5．分式的混合运算在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．二、因式分解因式分解的方法：(1)提公因式法公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法①运用平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．②运用完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.化简求值的解法第一种是直接代入求值，已知给出了字母的值或通过已知能求出字母的值。
2014中考数学知识点小结：分式的化简与求值
2014中考数学知识点小结：分式的化简与求值
中考频道在考试后及时公布各科中考试题答案和中考作文及试卷专家点评，请广大考生家长关注。时光飞逝，暑假过去了，新学期开始了，不管情愿与否，无论准备与否，我们已走进初三，走近我们的梦!祝愿决战2014中考的新初三学员能加倍努力，在2014年中考中也能取得优异的成绩。
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第4讲 分式的化简求值(教师版)
巩固1
已知
，则
．
答案
解析 由
可得
，
∴原式
．
故答案为： ．
标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：分式条件化简求值
巩固2
若
，则
的值为
．
答案
解析 由题得 ∴ ∴ 又∵ ∴原式 ． 故答案为： ．
标注 式 > 分式 > 分式的运算 > 题型：分式通分
巩固3
若
，则
的值是
．
答案 备选答案1 : 备选答案2 :
分析：由题知，条件的基本形式是分子、分母分别为两项之积与两项之和，满足
可进行裂项拆分；
解：由题知
，
，
，即
拆 分则 法
∴三式相加得
又∵ ∴ 【拓展】
为何正整数时，下列分式为整数．
① ；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
；⑧
；⑨
．
分析：分离常数法其核心是化简分子，在分子里面构造与分母相同的项，其本质是整数解问题；
解：①
2 已知
，则代数式
答案
解析 ∵ ∴ ∴
， ，
，
把 代入原式
的值为
．
． 标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
3 已知
，
，则
．
答案 解析 原式
． 标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
例题3 1若
，则
的值是
．
答案
解析 ∵
；∴
即
∴
．
标注 式 > 整式的乘除 > 乘法公式 > 题型：利用完全平方公式计算
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第三节 分式的化简求值与恒等变形
一、课标导航
二、核心纲要
给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略． 解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的方法外，还常常用到如下技巧：
(1)恰当引入参数．
(2)取倒数或利用倒数关系．
(3)拆项变形或拆分变形．
(4)整体代入．
(5)利用比例性质等．
本节重点讲解：一种求值．一种变形
三、全能突破
基 础 演 练
1．若,02=+y x 则2
2
22x xy y xy x -++的值为( )． 51.-A 5
3.-B 1.C D ．无法确定
2．已知,31=+
x x 则=+221x x =-x x 1
3．已知
,411=-b a 则分式b
ab a b ab a 2722-+--的值为 4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当37,225,3+-=x 时，求代数式1221
1222+-÷-+-x x x x x 的值，小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体的解题过程．
5．化简求值：
),111()111)(1(--÷-+
x x 其中⋅-=2
1x ),232(21)2(2++-÷+--x x x x x 其中⋅=21x
6．已知,1
21)12)(1(45---=---x B x A x x x 求A 、B 的值． 能 力 提 升
7.当x 分别取值2009,2008,2007,,2,1,2
1,,20071,20081,20091 时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于( )．
1.-A 1.B 0.C 2009.D
8．已知a 、b 、c 是互不相等的实数，且,a
c z c b y b a x -=-=-则z y x ++的值为( )． 1.-A 0.B 1.C 2.D
9．若73222++y y 的值为,41则1641
2-+y y 的值为( )．
1.A 1.-B .C .D
10.已知,0201352=--x x 则代数式21
)1()2(23
-+---x x x 的值是( )．
2012.A 2014.B 2017.C 2019.D
11．(1)已知.51=+a a 则=++1242
a a a
(2)已知,712=+-x x x 则=++1242
x x x
12.若,a d d c c b b a ===则d c b a d
c
b a +-+-+-的值是
13．(1)已知ab=1，求⋅+++11
11b a
(2)已知,1=abc 求⋅++++++++111c ca c
b b
c b a ab a
14．(1)已知,8=+b a 求b a a b b b a a
-÷---1
])()[(22的值．
(2)若,0136422=++-+y x y x 求x y y y x x y x -+-+2
222
).(的值．
15.如果,21<<x 求x x x x x x |
||1|12|
2|+-----的值．
16.当正整数a 为何值时，代数式
2
804399++a a 的值为整数． 17.不等于0的三个数a 、b 、c 满足
,1111c b a c b a ++=++求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．
18.已知,3
2)3)(2(12-+-+=---x c x b a x x x 当3,2,1=/x 时永远成立，求以a 、-b 、c 为三边长的四边形的 第四边d 的取值范围．
19.已知：,0(3=/=++a a z y x 且x ，
y ，z 不全相等），求222)()()())(())(())((a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+-- 的值．
20.已知分式
xy
y x -+1的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么 关系？ 中 考 链 接
21．（2012．湖南张家界）先化简：
,12
24422++÷--a a a a 再用一个你最喜欢的数代替a 计算结果． 22.（2012．江苏南京）化简代数式,12122x x x x x -÷+-并判断当x 满足不等式组⎩⎨⎧->-<+6
)1(212x x 时该代数式 的符号．
23．（2012．北京）已知,032=/=b a 求代数式)2(4252
2b a b a b a -⋅--的值． 巅 峰 突 破
24.已知,3,2,1222=++=++=C b a c b a abc 则1
11111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为( )． 1.-A .21.-B 2.C 3
2.-D
25.已知052,0423=-+=--z y x z y x 且,0=/xyz 求)2242,(1222222z
y xy x z y xyz z x z y x z z y x z -++++--++++ 的值．
26.已知：,1===cz by ax 求
444444111111111111z y x c b a +++++++++++的值．。