苏科版八年级数学上册第三章《勾股定理》单元复习试卷(含答案)
苏科版八年级上册第三章《勾股定理》单元专题培优训练卷【含答案】
苏科版八年级上册第三章《勾股定理》单元专题培优训练卷一．选择题1．下列各组数中，不是勾股数的一组是（）A．3，4，5B．4，5，6C．6，8，10D．5，12，132．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（）A．3B．12C．9D．43．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c．下列条件中；不能说明△ABC 是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．a2＝b2+c2C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝3：4：54．如图，∠C＝90o，AB＝12，BC＝3，CD＝4，若∠ABD＝90°，则AD的长为（）A．8B．10C．13D．155．如图，一棵大树在暴风雨中被台风刮倒，在离地面3米处折断，测得树顶端距离树根4米，已知大树垂直地面，则大树高约多少米？（）A．5米B．8米C．9米D．256．若a、b、c是△ABC三条边的长，且满足a2﹣2ab+b2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．锐角三角形7．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（）A．0≤h≤12B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．12≤h≤24 8．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（）A．①②B．②④C．①②③D．①③二．填空题9．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是．10．在△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝46°，则∠B＝°．11．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝．12．如图，是一个直角三角形以三边为边长向外作三个正方形，则字母A所代表的正方形的面积为．13．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝12，BC＝5，则CD ＝．14．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要m．15．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．设这个水池深x尺，则根据题意，可列方程为．16．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，若AB＝10，EF＝2，则AH＝．三．解答题17．某中学校园有一块四边形草坪ABCD（加图所示），测得∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，求这块四边形草坪的面积．18．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求证AC⊥CD．19．八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：（1）测得BD的长度为25米；（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米；（3）牵线放风筝的小明身高1.68米．求风筝的高度CE．20．三水九道谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，经过10秒后游船移动到点D的位置，此时BD＝6m，问工作人员拉绳子的速度是多少？21．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．22．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形．（1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容；（2）已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图1、图2的面积相等，请你根据此图证明（1）中的定理．参考答案一．选择题1．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项错误；B、42+52≠62，不是勾股数，此选项正确；C、62+82＝102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误；D、52+122＝132，是正整数，故是勾股数，此选项错误．故选：B．2．解：如图，由题意可得：AB＝4，AC＝5，∵AC2＝AB2+BC2，∴BC2＝25﹣16＝9，∴S＝9，故选：C．3．解：A、∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ABC不为直角三角形，故此选项符合题意；B、∵a2＝b2+c2，∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；C、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；D、∵a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；故选：A．4．解：在Rt△BCD中，∠C＝90o，由勾股定理得：BD＝，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，由勾股定理得：AD＝，故选：C．5．解：设大树高约有x米，由勾股定理得：（x﹣3）2＝32+42，解得：x＝8，答：大树高约8米．故选：B．6．解：∵a2﹣2ab+b2+|a2+b2﹣c2|＝0，即（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，∴（a﹣b）2＝0，且|a2+b2﹣c2|＝0，∴（a﹣b）2＝0，且a2+b2＝c2，∴a＝b，且△ABC是直角三角形，∴△ABC是等腰直角三角形，故选：B．7．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝13（cm），故h＝24﹣13＝11（cm）．故h的取值范围是：11cm≤h≤12cm．故选：C．8．解：由题意知，由①﹣②得2xy＝45 ③，∴2xy+4＝49，①+③得x2+2xy+y2＝94，∴（x+y）2＝94，∴x+y＝．∴结论①②③正确，④错误．故选：C．二．填空题9．解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2＝（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．10．解：∵∠C＝90°，∠A＝46°，∴∠B＝90°﹣46°＝44°，故答案为：44．11．解：在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，∴，故答案为：13．12．解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故答案是：64．13．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：AB＝，由S△ABC＝得：∴5×12＝13×CD，∴CD＝．故答案为：．14．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5＝17（米）．故答案为：17．15．解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，（x+1）2＝x2+25，故答案为：（x+1）2＝x2+25．16．解：∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，AH＝DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．故答案为：6．三．解答题17．解：连接AC，如图：∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625，∴AC＝25（m）．又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝•AB•BC+•AD•DC＝×24×7+×20×15＝234（m2）．答：这块四边形草坪的面积是234m2．18．证明：∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB＝3，BC＝4，∴根据勾股定理得：AC＝＝5，又∵CD＝12，AD＝13，∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，即AC⊥CD．19．解：在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝652﹣252＝3600，所以，CD＝±60（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝60+1.68＝61.68（米），答：风筝的高度CE为61.68米．20．解：由题意得：∠B＝90°，∵BC＝8m，BD＝6m，∴CD＝＝＝10m，∵AC＝17m，∴绳子移动了AC﹣DC＝17﹣10＝7（m），用时10秒，∴工作人员拉绳子的速度是7÷10＝0.7米/秒．21．解：公路AB不需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，因为BC＝800米，AC＝600米，所以，根据勾股定理有AB＝＝1000（米）．因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC所以CD＝＝＝480（米）．由于400米＜480米，故没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．22．解：（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2；（2）图1的面积为：S1＝，图2的面积为S2＝，∵图1、图2的面积相等，∴＝，∴a2+b2＝c2．。
第三章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)
第三章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，等边△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点，，则顶点C的坐标为（）A. B. C. D.2、如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以、为圆心，的长为半径，两弧在的内部交于点，作射线，若，则两点之间距离为（）A.10B.12C.13D.3、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( )A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm4、如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（）A. B. C. D.5、如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）A.13B.12C.11D.106、如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是（）A. B. C. D.7、绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A.4mB.5mC.6mD.8m8、如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A.y= B.y=C.y=D.y=9、以下列线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（）A.a=3，b=4，c=6B.a=1，b= ，c=C.a=5，b=6，c=8 D.a= ，b=2，c=10、若为△ABC的三边，且，则△ABC的形状不可能是（）．A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形11、如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A. B. C. D.12、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形13、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A.1B.2C.3D.414、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A.3cmB.6cmC.3 cmD.6 cm15、底面周长为12cm，高为8cm的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）cm．A.10B.8C.5D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为________．17、如图，为直角三角形，其中，则的长为________。
第三章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)
第三章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（）A.a = 3， b = 4， c = 6B.a = 6， b = 9， c = 10C.a = 8，b = 15， c = 17D.a = 13， b = 14， c = 152、如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中最大的直角三角形两直角边长分别为2，3，则正方形A，B，C，D的面积之和为（）A.13B.26C.47D.943、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY=4，则图中圆环的面积为（）A.16πB.8πC.4πD.2π4、如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）A. B. C.4 D.35、如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC+于E,∠EDC:∠EDO=1:2,且AC=10,则DE的长度是A.3B.5C.D.6、如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA n的长度为（）A.（）nB.（）n﹣1C.（）nD.（）n﹣17、直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上的中线长是（）A.6B.6.5C.6或6.5D.6或2.58、如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（）A. cmB.4cmC. cmD. cm9、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A.5，6，7B.5，12，13C.1，4，9D.5，11，1210、下列各数中，是勾股数的是（）A.0.3，0.4，0.5B.6，8，10C. ，，D.10，15，1811、如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3 上，且 l1，l2 之间的距离为 1，l2，l3 之间的距离为 3，则 AC 的长是（）A. B. C. D.512、如图，在△中，，将△绕点顺时针旋转，得到△，连接，若，，则线段的长为（）A. B. C. D.13、如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点是上一动点，，则的最小值是（）A.10B.7C.5D.414、如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD 上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）A.3B.4C.5D.615、若△ABC三边长口，b，c满足+l| b-a-1|+(c-5)2=0，则△ABC是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、填空题(共10题，共计30分)16、如图中，由一个直角三角形和两个正方形组成，如果大正方形的面积为41，AB=5，则小正方形的面积为________．17、在等腰直角中，，，如果以的中点为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点落在点处，则的长度为________.18、如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD，AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________．19、如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1，对角线A1 M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2，对角线A1 M2和A3B3交于点M3；……，依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为M n________．20、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，点E，F在边AB上，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是时，△DEF腰长的值是________．21、如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为________．22、若直角三角形的两直角边长分别为，，则斜边的长为________cm．23、如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为________.24、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=45°，DE是AB边上的高，BE=2，则AB的长是________．25、如图，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=4 ，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上。
苏科版八年级上册数学第三章 勾股定理 含答案
苏科版八年级上册数学第三章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，点是中斜边（不与，重合）上一动点，分别作于点，作于点，连接、，若，，当点在斜边上运动时，则的最小值是（）A.1.5B.2C.4.8D.2.42、如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝，BC＝1，则⊙O的半径为（）A. B. C. D.3、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE．下列结论中，正确的结论有（）①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④S= BD•四边形BCDECE；⑤BC2+DE2=BE2+CD2．A.1个B.2个C.3个D.4个4、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=8，E是边BC的中点，M是AE的中点，连接CM，则CM的长为（）A.6B.6.5C.7D.7.55、如图，在中，，，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且，给出以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）四边形CEDF面积；（4）的最小值为2.其中正确的有（）.A.4个B.3个C.2个D.1个6、如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E是半圆弧上的点，且弦AC=CD=2，弦DE=EB=，则直径AB的长是（）A. B. C. D.7、下列各组数中是勾股数的是（）A.4，5， 6B.1.5，2， 2.5C.11，60， 61D.1，，28、下列说法错误的是（）A.若△ABC中，a 2=(b+c)(b−c)，则△ABC是直角三角形B.若△ABC中，a 2+b 2≠c 2，则△ABC不是直角三角形C.若△ABC中，a:b:c=13:5:12，则∠A=90° D.若△ABC中，a、b、b三边长分别为n 2−1、2n、n 2+1(n>1)，则△ABC是直角三角形9、如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC．若AD＝5，AB ＝3，则对角线BD的长为（）A. B.2 C.9 D.810、如图，在中，，分别以、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.11、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于D，DE 垂直平分AB交AB 于E。
苏科新版八年级上册数学《第3章 勾股定理》单元学习评价卷【含答案】
苏科新版八年级上册数学《第3章勾股定理》单元学习评价卷一．选择题1．直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（）A．4B．5C．6D．102．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（）A．1：2：1B．1：：1C．1：4：1D．12：1：23．已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3：4：5；③三边长分别为7，24，25；④三边之比为5：12：13．其中能判定是直角三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列各组数是勾股数的是（）A．3，4，5B．1.5，2，2.5C．32，42，52D．，，5．两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A．100cm B．50cm C．140cm D．80cm6．在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（）A．25°B．55°C．65°D．75°7．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若ab＝8，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为（）A．1B．2C．3D．48．如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°9．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A．a＝2，b＝3．c＝4B．a＝5，b＝6，c＝8C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝7，b＝15，c＝1210．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°二．填空题11．如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为24，则AD的长为．12．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．13．如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯米．14．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为°．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B＝．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B＝．17．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为度．18．把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，另外三角板的锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB＝，则BD＝．19．已知直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，将满足a2+b2＝c2的一组正整数称为“勾股数组”，记为（a，b，c），其中a≤b＜c．事实上，早在公元前十一世纪，中国古代数学家商高就发现了“勾三、股四、弦五”，我们将其简记为（3，4，5）．类似的勾股数组还有很多…．例如：（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61），（13，84，85），…．如果a＝2n+1（n为正整数），那么b+c＝．（用含n的代数式表示）20．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为cm2．三．解答题21．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B．22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC延长线上一点，AD＝AB，求证：∠BAD＝2∠ACB．23．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．（1）求∠DCE的度数．（2）若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC．24．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．①当t为何值时，△AMN是等边三角形；②当t为何值时，△AMN是直角三角形；（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．25．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝；②b与c的关系为，a与d的关系为．26．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，请证明你的结论．27．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．参考答案与试题解析一．选择题1．解：由勾股定理得：斜边长为：＝5．故选：B．2．解：设三个角的度数分别为x，2x，x，∴根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45°，45°，90°，∴这个三角形是等腰直角三角形，∴斜边等于直角边的倍，∴相对应三边之比为1：：1．故选：B．3．解：①设两个较小的角为x，则2x+2x＝180°，则三角分别为45°，45°，90°，故是直角三角形；②设较小的角为3x，则其于两角为4x，5x，则三个角分别为45°，60°，75°，故不是直角三角形；③因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；④因为52+122＝132符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形．所以有三个直角三角形，故选：C．4．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B、1.52+22＝2.52，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数；C、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D、（）2+（）2＝（）2，不能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数．故选：A．5．解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，∵正北方向和正东方向构成直角，∴由勾股定理得＝100，∴其距离为100cm．故选：A．6．解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，∴另一个锐角的度数是90°﹣25°＝65°．故选：C．7．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝52，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∵正方形的边长a﹣b＞0，∴a﹣b＝3，故选：C．8．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵CD∥AB，∴∠1＝∠A，∴∠1＝30°，故选：A．9．解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵52+62≠82，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；D、∵72+122≠152，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．10．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∴∠ABC＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠A＝50°，故选：D．二．填空题11．解：由四边形ABCD 与四边形EFGH 均为正方形，点H 是DE 的中点，可知E 、F 、G 分别为AF 、BG 、CH 的中点，且AE ＝EH ＝DH ＝HG ＝CG ＝FG ＝BF ＝EF ＝BE ， ∴S △AEH ＝S △DHG ＝S △CGF ＝S △BFE ＝，∴S 阴影＝3×S 正方形EFGH ＝24， ∴S 正方形EFGH ＝8， ∴EH ＝DH ＝， ∴DE ＝2EH ＝4，又∠AED ＝90°， ∴＝＝＝．故答案为：2．12．解：设三边分别为5x ，12x ，13x ， 则5x +12x +13x ＝60， ∴x ＝2，∴三边分别为10cm ，24cm ，26cm ， ∵102+242＝262， ∴三角形为直角三角形， ∴S ＝10×24÷2＝120cm 2． 故答案为：120．13．解：根据勾股定理，楼梯水平长度为＝12米，则红地毯至少要12+5＝17米长， 故答案为：17． 14．解：连接AC ，由勾股定理得：AC 2＝22+12＝5， BC 2＝22+12＝5， AB 2＝12+32＝10，∴AC 2+BC 2＝5+5＝10＝BA 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，故答案为：45．15．解：∵∠C＝90°，∠A＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．16．解：∵∠C＝Rt∠，∠A＝70°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20°．17．解：设较小锐角为x度．由题意：4x+x＝90，解得x＝18，故答案为18．18．解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝BC＝1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，∴BD＝BF+DF＝1+，故答案为：1+．19．解：方法1：观察“勾股数组”（a，b，c），当a为奇数时，c＝b+1，又a＝2n+1（n为正整数），由勾股定理可得：c2﹣b2＝（2n+1）2，即（b+1）2﹣b2＝（2n+1）2，解得b＝2n2+2n，∴c＝2n2+2n+1，∴b+c＝4n2+4n+1，故答案为：4n2+4n+1．方法2：观察“勾股数组”（a，b，c），当a为大于1的正奇数时，有如下规律：32＝4+5，52＝12+13，72＝24+25，…，a2＝b+c，∴当a＝2n+1时，b+c＝（2n+1）2．20．解：设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，则由勾股定理得：a2+b2＝c2，则分别以ab为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2＝7cm2+8cm2＝15cm2，以斜边c为边长的正方形的面积是S＝c2＝a2+b2＝15cm2，故答案为：15．三．解答题21．证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB．∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠B．22．证明：∵AD＝AB，∴∠B＝∠D，设∠B＝∠D＝α，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣α，∴∠BAD＝2∠ACB．23．解：∵∠B＝30°，CD⊥AB于D，∴∠DCB＝90°﹣∠B＝60°．∵CE平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠DCB﹣∠ECB＝60°﹣45°＝15°；（2）∵∠CEF＝135°，∠ECB＝∠ACB＝45°，∴∠CEF+∠ECB＝180°，∴EF∥BC．24．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+6＝2x，解得：x＝6，即当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM＝t，AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形∴t＝6﹣2t，解得t＝2，∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．②当点N在AB上运动时，如图3，若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，∴AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得t＝；如图3，若∠ANM＝90°，由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得t＝．综上所述，当t为或s时，△AMN是直角三角形；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图4，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，∴t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．25．解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2．（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3；②结论：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2，∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．26．解：（1）点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系是OA＝OB＝OC；（2）△OMN的形状是等腰直角三角形，证明：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，∴OA＝OB＝OC，AO平分∠BAC，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠CAO＝∠B，在△BOM和△AON中∵，∴△BOM≌△AON（SAS），∴OM＝ON，∠AON＝∠BOM，∵∠AOB＝∠BOM+∠AOM＝90°，∴∠AON+∠AOM＝90°，即∠MON＝90°，∴△OMN是等腰直角三角形．27．解：（1）是．理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．故点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．综上所述BN的长为或．。
苏科版八年级上册数学第三章 勾股定理含答案(全优)
苏科版八年级上册数学第三章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列说法正确的是（）A. 一定是一次函数B.有的实数在数轴上找不到对应的点 C.长为的三条线段能组成直角三角形 D.无论为何值，点总是在第二象限2、将直角三角形的三条边长同时扩大三倍，得到的三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.直角三角形3、下列线段不能构成直角三角形的是（）A.a=6，b=8，c=10B.a=1，b= ， c=C.a=3，b=4，c=5 D.a=2，b=3，c=4、一个长方形抽屉长12厘米，宽9厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A.15厘米B.13厘米C.9厘米D.8厘米5、若△ABC三边长a，b，c满足+| |+（）2=0，则△ABC是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形6、如图，是的中线，，把沿着直线对折，点落在点的位置．如果，那么以线段为边长的正方形的面积为（）．A.6B.72C.12D.187、如图，菱形对角线，，则菱形高长为（）A. B. C. D.8、如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A.4B.6C.8D.109、如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（）A. B. C. D.10、在△ABC中，若∠B+∠C=90°，则（）A.BC=AB+ACB.AC 2=AB 2+BC 2C.AB 2=AC 2+BC 2D.BC 2=AB 2+AC 211、△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a 2=c 2﹣b2 D.a：b：c=3：4：612、如图，长方形的长是15宽是10高是20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A.20B.25C.30D.3213、图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形.若. ，则的值为（）A. B. C. D.14、在△ABC中，若AB=3，AC= ，BC= ，则下列结论正确的是( )A.∠B=90。
苏科版八年级上册数学第三章 勾股定理 含答案
苏科版八年级上册数学第三章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形2、如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC 边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为（）A. cmB.4cmC. cmD.2 cm3、一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一直角边长为8，则斜边长为（）A.6B.8C.10D.124、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5 ，BC=3，则tanB的值是（）A. B. C. D.5、已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是（）A. B. C.5 D. 或56、下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A.2，3，4B.6，8，11C.1，1，D.5，12，237、己知两边的长分别为8,15若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A.不能确定B.C.D. 或8、如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长度为（）．A. B. C. D.9、如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A.169B.25C.19D.1310、如图，已知△ABC中，AB=10 ，AC=8 ，BC = 6 ，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D ，交AC于点E ，连接CD ，则CD的长度为（）A.3B.4C.4.8D.511、如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A. B. C. D.12、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A.5，6，7B.1，4，9C.5，12，13D.5，11，1213、下列各组数中，是勾股数的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，14、如图，5行5列点阵中，左右（或上下）相邻的两个点间距离都是1，若以图中的点为顶点画正方形，共能画出面积互不相等的正方形有（）A.7个B.8个C.9个D.10个15、如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（)A. B. C.1 D.2二、填空题(共10题，共计30分)16、王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为________m．17、如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是________．18、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是边AD的中点，N是AB 上一动点（不与A、B重合），将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A1MN，连接A 1C， A1C的最小值为________.19、抛物线y=﹣x+2与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，当点P的坐标是________时，|PA﹣PB|取得最小值．20、直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边为________．21、如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是________．22、如图，长方体中，，，，一只蚂蚁从点出发，以秒的速度沿长方体表面爬行到点，至少需要________分钟。
苏科版八年级数学上册《3.1勾股定理》同步练习题带答案
苏科版八年级数学上册《3.1勾股定理》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．平面直角坐标系中，点(),3P m -和点()2,1Q ．则P 、Q 两点间的距离的最小值为（ ） A ．2B ．4-C ．4D ．52．如图，在矩形ABCD 中，4AB DE AC ⊥＝，于点E ，3AE CE ＝则DE 的长为（ ）A 3B ．2C ．22D ．233．图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中1122378OA A A A A A A a =====⋯．若88OA =，则a 的值为（ ）A ．22B ．2C 2D ．14．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A ．56B ．48C ．40D ．325．下列选择中，是直角三角形的三边长的是（ ） A ．1，2，3B 2 53C ．3，4，6D ．4，5，66．如图，在ABC 中8AB AC ==，6BC =按以下步骤作图：第一步，以点A 为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC ，AB 于M 、N 两点；第二步，分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；第三步，作射线AP ，交BC 于点E ．则AE 的长为（ ）A 55B ．8C 73D ．107．如图，在ΔABC 中9030C B ︒︒∠=∠=，，点D 是BC 上一点，AD 平分CAB ∠，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，若2BD =，则AC 的长是（ ）A ．3B 3C ．2D ．18．在直角三角形中，若两条直角边的长分别是1cm 、2cm ，则斜边的长为（ ）cm ． A ．3B 5C ．25D 359．如图，在ABC 中AB AC =，AD 为ABC 的中线，DE 为ADB 的中线，且 2.5DE =，若6BC =，则ABC 的面积为( )A ．15B ．12C ．10D ．7.510．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）A ．1.5B ．2.4C ．2.5D ．3.511．如图所示的圆柱形杯子的内直径为6cm ，内部高度为9cm ，小颖把一根直吸管放入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，则吸管的长度（整厘米数）最短是（ ）A ．9cmB ．10cmC ．11cmD ．12cm12．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4．若按照图⊥至图⊥的规律设计图案，则在第n 个图中所有等腰直角三角形的面积和为（ ）A ．4nB ．8nC ．4nD ．32二、填空题13．《九章算术》勾股章有一题：今有两人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，如图所示．那么相遇时，甲行 步，乙行 步．14．如图，在Rt ABC △中90ACB ∠=︒ 30CAB ∠=︒ 6AB =，点E 、F 分别是AB 、BC 上的动点，沿EF 所在直线折叠EBF △，使点B 落在AC 上的点D 处，当AED △是以DE 为腰的等腰三角形时，AD 的长为 ．15．在ABC 中90,2,4BCA BC AC ∠=︒==，点D 是线段AB 上的动点，连接CD ，以线段CD 为直角边如图所示作等腰直角三角形,90CDE DCE ∠=︒，则BCE 周长的最小值为 ．16．在Rt △ABC 中90C ∠=︒ 30A ∠=︒ 8AB =，则AC ＝ ． 17．如图，阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积为 2cm ．三、解答题18．把一个直立的火柴盒放倒（如图），请你用不同的方法计算梯形ACED 的面积，再次验证勾股定理？（设火柴盒截面宽为a ，长为b ，对角线为c ）19．（1）已知ABC 三边长分别为221317，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图⊥的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC ，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出ABC 的面积．请你帮助小迪计算出ABC 的面积；（2）若DEF 5a 10a 13a ，在图⊥的正方形网格（小正方形边长均为a ）中，画出格点三角形DEF ，并求出DEF 的面积；（3）若OPQ △三边长分别为222m n +，22916m n +2236m n +⊥的长方形网格（小长方形长均为m ，宽均为n ）中，画出格点三角形OPQ ，并求出OPQ △的面积．20．如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？21．如 图 ， 四 边 形 ABCD 为某工厂的平面图 ， 经 测 量80AB BC AD ===米，且90ABC ∠=︒ 135DAB ∠=︒．（参考数据： 2 1.41≈ 3 1.73≈）(1)求CD 的长；（结果精确到1米）(2)若直线AB 为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D 处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为406 求被监控到的道路长度为多少米？22．如图，小明在山下E 处发现正前方山上有个电视塔，测得塔尖C 的仰角为30︒，小明朝正前方笔直行走400m 到达F 处，此时测得塔尖C 的仰角为60︒，若小明的眼睛离地面1.6m ，请算出这个电视塔塔尖离地面的高度CG （结果保留根号）．23．如图，长方形纸片ABCD 6cm AB = 8cm BC = 现将该纸片折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF(1)试判断AEF △的形状，并说明理由； (2)求线段AE 的长； (3)求折痕EF 的长．24．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 上一点，连接ED 并延长使DF DE =．(1)证明：AC BF ∥；(2)若8BC =，AB=5，DB 平分ABF ∠，求AD 的长．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B B A B B B B 题号 11 12 答案 CA1．C【分析】根据两点间的距离公式计算即可．【详解】解：P 、Q 22(2)(31)m -+--⊥2(2)0m -≥⊥P 、Q 2(31)4-- 故答案为：C ．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，明确2(2)0m -≥是解题的关键．2．D【分析】由矩形的性质得出OA OD OC ==，得出OAD ODA ∠=∠，由已知条件3AE CE =得出OE CE =，90DEA ∠=︒由线段垂直平分线的性质得出OD CD =，得出OCD 为等边三角形，因此60DOC ∠=︒，由三角形的外角性质得出30DAC ∠=︒，由含30︒角的直角三角形的性质即可得出DE 的长．【详解】解：⊥四边形ABCD 是矩形 ⊥1122OA AC BD == ⊥OA OD OC == ⊥OAD ODA ∠=∠ ⊥3AE CE = ⊥()111422CE AC OC OE CE ===+ ⊥OE CE =，又DE AC ⊥故点D 在线段OC 的垂直平分线上. ⊥OD CD = ⊥OC OD CD == ⊥OCD 为等边三角形 ⊥60OCD ∠=︒⊥9030DAC OCD ∠=︒-∠=︒ ⊥在Rt ACD △中4CD AB == ⊥28AC CD ==⊥22228443AD AC CD -=-=⊥1232DE AD == 故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，证明OCD 是等边三角形是本题的关键． 3．A【分析】根据勾股定理得到22OA a ，33OA a 找到n OA na 的规律，列方程即可得到结论．【详解】解：∵1OA a = 2222a OA a a + 33OA a ⋯ ∴n OA na = ∴8=8OA a ∵88OA = 88a = ∴22a =故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理，图形类找规律，本题中找到n OA na 的规律是解题的关键． 4．B【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出DC 的长，进而求出BC 的长，即可得出答案．【详解】解：过点A 做AD⊥BC 于点D ⊥等腰三角形底边上的高为8，周长为32⊥AD=8，设DC=BD=x ，则AB=12（32﹣2x ）=16﹣x⊥AC 2=AD 2+DC 2，即（16﹣x ）2=82+x 2 解得：x=6 故BC=12则⊥ABC 的面积为：12×AD×BC=12×8×12=48．故选B ．考点：勾股定理；等腰三角形的性质． 5．B【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A 、12+22≠32，故不能组成直角三角形；B 、22+32=52，故能组成直角三角形；C 、32+42≠62，故不能组成直角三角形；D 、42+52≠62，故不能组成直角三角形．故选B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．6．A【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的“三线合一”定理，勾股定理，由等腰三角形的“三线合一”定理得到3BE =，AE BC ⊥根据勾股定理即可求出AE ．【详解】解：由作法得AE 是BAC ∠的平分线8AB AC ==116322BE CE BC ∴===⨯= AE BC ⊥ 在Rt ABE 中22228355AE AB BE =-=-=故选：A ．7．B【分析】直角三角形中30°角的性质，可得DE ，运用角平分线的性质定理，可知CD ＝DE ，再在直角三角形中运用勾股定理即可求得．【详解】⊥⊥C ＝90°⊥DC⊥AC⊥AD 平分⊥CAB ，DC⊥AC ，DE⊥AB⊥CD ＝DE在Rt⊥DEB 中，⊥B ＝30°，BD ＝2⊥DE ＝12BD ＝1，⊥CD ＝1 ⊥⊥ABC 中，⊥C ＝90°，⊥B ＝30°⊥⊥CAB ＝60°⊥AD 平分⊥CAB⊥⊥CAD ＝12⊥CAB ＝30° 在Rt⊥ACD 中，CD ＝1，⊥CAD ＝30°⊥AD ＝2，⊥AC 22AD -CD 3故选B ．【点睛】本题考查角平分线的性质、勾股定理，难度较小，需熟练掌握基础知识． 8．B【分析】根据勾股定理计算即可． 2212+5故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理，由于本题较简单，直接利用勾股定理解答即可．9．B【分析】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理及三角形中位线性质；根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理得出2AC DE =，进而利用勾股定理得出AD ，进而利用三角形面积公式解答．【详解】解：AB AC =，AD 为ABC 的中线AD BC ∴⊥ 3DC BD == DE 为ADB 的中线DE ∴是BAC 的中位线25AC DE ∴== 由勾股定理可得2222534AD AC DC -=-= ABC ∴的面积11641222BC AD =⋅=⨯⨯= 故选：B ．10．B 【分析】连接AM ，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC ，根据勾股定理求得AM 的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN 的长．【详解】解：连接AM⊥AB ＝AC ，点M 为BC 中点⊥AM⊥CM （三线合一），BM ＝CM⊥AB ＝AC ＝5，BC ＝6⊥BM ＝CM ＝3在Rt △ABM 中，AB ＝5，BM ＝3⊥根据勾股定理得：AM 22AB BM -2253-4又S △AMC ＝12MN•AC ＝12AM•MC ⊥MN ＝AM CM AC ⋅＝125＝2.4． 故选：B ．【点睛】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．11．C【分析】运用勾股定理解题即可． 226911711+所以吸管的最短整数是11cm故选C ．【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．12．A【分析】根据勾股定理求出等腰直角三角形直角边的长，求出每个图形中等腰三角形面积和，发现规律进而求出即可．【详解】解：在图⊥中，正方形的边长为4⊥等腰直角三角形⊥22⊥等腰直角三角形⊥的面积=12222=4412⨯=⨯在图⊥中，最大的正方形的边长是4，最大的等腰直角三角形⊥的直角边长是22故可得等腰直角三角形⊥和⊥的直角边长都是2⊥123114+22+22=4+2+2=84222S S S S =++=⨯⨯⨯⨯=⨯ 如图⊥，同理可求等腰直角三角形⊥⊥⊥⊥2⊥1234567+S S S S S S S S =+++++ =184222+⨯ =84+=12=43⨯由此可得规律：第n 个图形中，所有等腰直角三角形的面积和为4n故选A ．【点睛】此题主要考查了运用勾股定理求等腰直角三角形直角边的长，解题的关键是求出每个图形中等腰直角三角形面积和．13． 24.5 10.5【分析】设经x 秒后二人在B 处相遇，然后利用勾股定理列出方程即可求得甲乙两人走的步数．【详解】解：设经x 秒后二人在B 处相遇，这时乙共行3AB x =，甲共行7AC BC x += ⊥10AC =⊥710BC x =-又⊥90A ∠=︒⊥222BC AC AB =+⊥222(710)10(3)x x -=+⊥0 3.5x x ==（舍去）或⊥310.5AB x ==724.5AC BC x +==⊥甲走了24.5步，乙走了10.5步．故答案为：24.5，10.5．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 14．333或33【分析】分两种情况讨论：⊥当DE AD =时，此时点C 、点F 重合，可得AD AC CD =-；⊥当DE AE =时，此时点D 、点C 重合，可得AD AC =，即可求出答案．【详解】解：当AED △是以DE 为腰的三角形时，分两种情况：⊥当DE AD =时，如图1⊥30A ∠=︒⊥30DEA ∠=︒⊥120EDA ∠︒=⊥60EDC ∠=︒⊥=60B ∠︒，且EDF 是由EBF △沿直线EF 翻折得到根据翻折性质可得：60EDF B ∠=∠=︒⊥点C 、点F 重合⊥30CAB ∠=︒ 6AB = 90ACB ∠=︒ ⊥132BC AB == ⊥在Rt ABC △中，由勾股定理得：22226333AC AB BC =--⊥点C 、点F 重合⊥3CD BC == ⊥333AD AC CD =-=；⊥当DE AE =时，如图2⊥30A ∠=︒⊥30ADE ∠=︒⊥=60B ∠︒，且EDF 是由EBF △沿直线EF 翻折得到根据翻折性质可得：60EDF B ∠=∠=︒⊥点D 、点C 重合⊥AD AC =⊥30A ∠=︒ 6AB = ⊥132BC AB == ⊥在Rt ABC △中，由勾股定理得：22226333AC AB BC =--⊥33AD = 故答案为：333或33【点睛】本题考查了动点问题求线段长度，涉及到直角三角形的性质和勾股定理、折叠的性质和等腰三角形的性质和判定，运用分类讨论思想是解题关键．15．2652+【分析】取AC 的中点F ，连接DF ，证明出()SAS ECB DCF ≌，得到EB DF =，作点C 关于AB 的对称点G ，连接GF 与AB 的交点为D ，此时BCE 的周长最小，过点G 作GK AC ⊥交于点K ，连接AG ，然后利用等面积法和勾股定理求解即可．【详解】取AC 的中点F ，连接DF⊥4AC =⊥2CF =⊥2BC =⊥CF BC =⊥90BCA ECD ∠=∠=︒⊥ECB DCF ∠=∠⊥CDE 是等腰直角三角形⊥CE CD =⊥()SAS ECB DCF ≌⊥EB DF =⊥BCE 的周长EC CB BE CD BC DF =++=++作点C 关于AB 的对称点G ，连接GF 与AB 的交点为D由对称性可得CD DG =⊥CD DF GD DF GF +=+=，此时BCE 的周长最小过点G 作GK AC ⊥交于点K ，连接AG⊥BA 是CG 的垂直平分线⊥4AG AC ==在Rt ABC △中25AB =⊥1122ABC S AB CH AC BC =⋅=⋅△ ⊥542CH =⨯ ⊥45CH =⊥85CG =在Rt ACH 中2285AH AC CH =-=在ACG 中1122ACG SAC GK AH CG =⋅=⋅ ⊥85854GK = ⊥165GK = ⊥在Rt CGK △中2285CK CG GK =-=⊥82255KF =-= 在Rt KFG 中22265GF GK KF =+=⊥BCE 的周长的最小值为2652 故答案为：2652 【点睛】此题考查了轴对称求最短距离，勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．16．3【分析】先根据题意画出图形，先依据含30︒直角三角形的性质求得BC 的长，然后依据勾股定理可求得AC 的长．【详解】解：如图示：90C ∠=︒ 30A ∠=︒ 8AB =4BC ∴= 22228443AC AB BC ．故答案是：43【点睛】本题主要考查的是含30︒的直角三角形的性质和勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．17．9【分析】先根据勾股定理求出正方形的边长，然后再求面积即可．【详解】解：⊥2254=3-（cm ）⊥正方形的面积为32=9cm 2．故答案为9．【点睛】本题主要考查了勾股定理的定义，正确运用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键． 18．见解析.【分析】四边形ACED 的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成，应利用三角形的面积公式来进行表示.【详解】1()()2ACED S a b a b =++ 211222ACED ABC ABD BDE S S S S ab c ∆∆∆⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭ 2111()()2222a b a b ab c ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭ 222a b c +=【点睛】本题考查勾股定理的证明，利用面积的不同表示方式列出等式是解答本题的关键. 19．（1）5；（2）作图见解析 272a ；（3）作图见解析 7mn 【分析】（1）用长为4宽为3的长方形面积减去周围三个三角形的面积求解即可；（2）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积；（3）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积．【详解】（1）ABC 的面积111341422235222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= 所以，ABC 的面积为5；（25a 是直角边长分别为,2a a 10a 是直角边长分别为,3a a 的13a 是直角边长分别为3,2a a 的直角三角形的斜边长作图如下：DEF 的面积211173323232222a a a a a a a a a =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=； （3）222m n +2,2m n 22916m n +分别为3,4m n 2236m n +,6m n 的直角三角形的斜边长格点三角形OPQ 如图所示：OPQ △的面积11136223467222m n m n m n m n mn =⋅-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用及三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键．20．水的深度是15米，芦苇长为17米【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理构造方程求解即可．【详解】解：设水池里水的深度是x 米，则芦苇长为()2x +米由题意得，()22282x x +=+解得：15x =217x += 答：水池里水的深度是15米，芦苇长为17米21．(1)138米(2)160米【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．【详解】（1）解：连接AC80AB BC AD ===，且90ABC ∠=︒∴ABC 为等腰直角三角形∴22228080802AC AB BC ++ 45BAC ∠=︒；135DAB ∠=︒∴90DAC ∠=︒∴CAD 为直角三角形 ∴()222280802803138CD AD AC =++=即CD 的长为138米；（2）解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，设 P 、Q 为直线AB 上监控到的最远点⊥DP DQ EP EQ ==，；⊥135DAB ∠=︒⊥45DAE ADE ∠=∠=︒∴ADE 是等腰直角三角形2402AE DE AD ∴=== 摄像头能监控的最远距离为406 4062∴()()2240640280EP =-=2160PQ EP ∴==即被监控到的道路长度为160米．22．()3 1.6m【分析】首先由三角形外角的性质得到30ACB CBD CAB CAB ∠=∠-∠=︒=∠，然后求出()400m AB BC ==，然后利用含30︒角直角三角形的性质求出()1200m 2BD BC ==，然后利用勾股定理求解即可．【详解】由题意得：四边形AEGD 是矩形⊥60CBD ∠=︒ ()30400m CAB AB ∠=︒=，⊥30ACB CBD CAB CAB ∠=∠-∠=︒=∠⊥()400m AB BC ==⊥60CBD ∠=︒ CD AD ⊥⊥30BCD ∠=︒ ⊥()1200m 2BD BC == ⊥)222003m CD BC BD -=⊥ 1.6m AE DG == ⊥()2003 1.6m CG CD DG =+=．【点睛】此题考查了含30︒角直角三角形的性质，勾股定理，等角对等边，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．23．(1)AEF △为等腰三角形，理由见详解 (2)25cm 4AE = (3)15cm 2EF = 【分析】本题主要考查折叠的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键；（1）由折叠的性质可知AFE CFE ∠=∠，然后可得CFE AEF AFE ∠=∠=∠，进而问题可求解；（2）设AF CF x ==，则有8BF x =-，然后根据勾股定理可建立方程进行求解；（3）过点E 作EH AF ⊥于点H ，由题意易得()AAS AEH FAB ≌，然后可得9cm 2FH =，进而根据勾股定理可进行求解．【详解】（1）解：AEF △为等腰三角形，理由如下：由折叠的性质可知AFE CFE ∠=∠ AF CF =在长方形ABCD 中AD BC ∥⊥EFC AEF AFE ∠=∠=∠⊥AF AE =，即AEF △为等腰三角形；（2）解：在长方形ABCD 中 90B由（1）可设cm AE AF CF x ===，则有()8cm BF x =-在Rt ABF 中，由勾股定理得：()22268x x +-=解得：254x = ⊥25cm 4AE AF CF ===； （3）解：过点E 作EH AF ⊥于点H ，如图所示：在长方形ABCD 中90BAD B AHE ∠=∠=︒=∠ AD BC ∥⊥EAH AFB ∠=∠⊥AE FA =⊥()AAS AEH FAB ≌ ⊥7cm,6cm 4AH FB BC CF AB EH ==-=== ⊥9cm 2FH AF AH =-= ⊥2215cm 2EF EH FH =+． 24．(1)见详解(2)3【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解题关键． （1）证明BDF CDE ≌，由全等三角形的性质可得FBD C ∠=∠，然后证明结论即可； （2）证明ABC 为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得AD BC ⊥ 142BD BC == 然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：⊥D 是BC 的中点⊥BD CD =在BDF 和CDE 中BD CD BDF CDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥()SAS BDF CDE ≌ ⊥FBD C ∠=∠⊥AC BF ∥；（2）解：⊥DB 平分ABF ∠ ⊥FBD ABD由（1）可知FBD C ∠=∠ ⊥ABD C ∠=∠⊥AB AC =，即ABC 为等腰三角形 ⊥D 是BC 的中点8BC = 5AB = ⊥AD BC ⊥ 142BD BC == ⊥在Rt ABD △中2222543AD AB BD --．。
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第三章《勾股定理》复习卷（满分：100分时间：90分钟）一、选择题(每题2分，共20分)1．有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12 (单位：cm)．若从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为( )A．2，4，8 B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，12 2．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( ) A．可能是锐角三角形B．不可能是直角三角形C．仍然是直角三角形D．可能是钝角三角形3．在△ABC中，已知AB=17，AC=10．若BC边上的高AD=8，则边BC的长为( ) A．21 B．15 C．6或9 D．9或21 4．一个直角三角形的斜边长比其中一条直角边的长大2，若另一条直角边的长为6，则斜边长为( )A．4 B．8 C．10 D．12 5．如图，一架云梯长25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 m．如果梯子的顶端下滑4 m，那么梯子的底部在水平方向上滑动了( )A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m 6．如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF，BF，下列结论不正确的是( )A．△AED≌△AEF B．B E＋DC=DEC．B E＋DC>DE D．BE2+DC2=DE27．如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4．若分别用x，y表示直角三角形的两条直角边(x>y)，给出下列四个结论：①x2＋y2=49；②x－y=2；③2x y＋4=49；④x＋y=9．其中正确的结论是( )A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④8．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠．当点B的对应点B'落在∠ADC的角平分线上时，则点B'到BC的距离为( )A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5 9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A ．B ．C ．D ．10．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6．其中S 1=16，S 2=45，S 5=11，S 6=14，则S 3+S 4=（ ）A ．86B ．64C ．54D ．48二、填空题 (每题2分，共20分)11．一个三角形的两边长分别是3和5，若要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是 ．12．若等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为 ．13．如果△ABC 的三边长a ，b ，c 满足关系式 (a ＋2b －60)2＋18b -＋30c -=0，那么△ABC 的形状是 ．14．所谓的勾股数就是使等式a 2＋b 2=c 2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m ，n (m >n )，取a =m 2－n 2，b =2mn ，c =m 2＋n 2，则a ，b ，c 就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85 (三个数中最大)，84和 组成一组勾股数．15．如图，在四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B =90°，则∠A ＋∠C= °．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6 cm ．，BC=8 cm ，如果按图中所示的方法将△ACD 沿AD 折叠，使点C 落在AB 边上的C'点，那么△BDC'的面积是 ．17．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸的两个格点 (即正方形的顶点)．在这个6×6的方格纸中，找出格点C ，使△ABC 的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是 .18．如图，已知AB=12，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，垂足分别为点B ，A ，AD =5，BC =10．若点E是CD的中点，则AE的长是．19．如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20，3，2，A和B是这个台阶的两个相对的端点．若A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是．20．如图，长为12 cm的弹性皮筋拉直放置在一轴上，固定两端A和B，然后把中点C 向上拉升8 cm至D点，则弹性皮筋被拉长了cm．三、解答题(共60分)21．(本题6分) 如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC=20，BC=15，DB=9．(1) 求CD的长；(2) 求AB的长．22．(本题6分) 如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．(1) 判断△ABC是什么形状，并说明理由．(2) 求△ABC的面积．23．(本题6分) 印度数学家什迦逻(1141年—1225年) 曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅?”请用学过的数学知识回答这个问题．24．(本题8分) 如图，∠AOB=90°，OA=9 cm，OB=3 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少?25．(本题6分) 如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，折叠△ABC的一角，使点B与点A重合，展开得折痕DE，求BD的长．26．(本题8分) 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9，求AC的长．27．(本题10分) 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接P A，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．(1) 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；(2) 若P A：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．28．(本题10分) 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长的边．当a2＋b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．(1) 当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为三角形．(2) 猜想：当a2＋b2c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2c2时，△ABC为钝角三角形．(3) 当a=2，b=4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．参考答案一、选择题1．C 2．C 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．A [提示：过点B'作B'M ⊥AD ，垂足为点M ，∵ 点B'在∠ADC 的角平分线上，∴ ∠ADB'=45°，∴ B'M=DM ．设B'M=DM=x ，∵ B'M 2+AM 2=AB' 2，∴ x 2+(7－x )2=25，解得x = 3或x = 4，即B'M = 3或4 ，∴ 点B'到BC 的距离为1或2]9．D 10．A二、填空题11．16或34 12．10或90 13．直角三角形 14．13 15．180 16．6 cm 2 17．6 18．132 19．25 20．8 (提示：∵AC=CB = 6cm ，DC = 8cm ，D C ⊥AB ，∴DB = DA = 10 cm ，∴拉长的长度为D A ＋DB －AB = 10c m ＋10cm －12cm = 8cm)三、解答题21．(1) ∵ CD ⊥AB ，∴ CD 2＋BD 2=BC 2，∴ CD 2=BC 2－BD 2=152－92=122，∴ CD =12(2) ∵ CD ⊥AB ，∴ CD 2＋AD 2=AC 2，∴ AD 2=AC 2－CD 2=202－122=l62，∴ AD =16，∴ AB=AD ＋DB =16＋9=2522．(1) △ABC 是直角三角形．理由如下：∵ AC 2=12＋82=65，AB 2=22＋32=13，BC 2=42＋62=52，∴ AC 2=AB 2＋BC 2．∴ △ABC 是直角三角形，且∠ABC=90° (2) S=12×AB ×BC=12=13 23．设湖水的深为x 尺，则红莲总长为 (x ＋0．5) 尺，根据勾股定理得x 2＋22=(x ＋0．5)2，解得x=3．75，即湖水深3．75尺24．∵ 小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴ BC=CA ．设AC为x ，则OC =9－x ，由勾股定理得OB 2＋OC 2=BC 2．又∵ OA=9，OB=3，∴ 32＋(9－x )2=x 2，解得x =5，∴ 机器人行走的路程BC 是5 cm25．由题意知AD=BD ，设BD =x ，则AD =x ，CD =8－x ，在Rt △ACD 中，由AC 2＋CD 2－AD 2，得62＋(8－x )2=x 2，解得x =254．即BD 的长为25426．在AB 上截取AE=AD ，连接EC ．∵ AC 平分∠BAD ，∴ ∠DAC=∠BAC ，∴ △ADC≌△AEC ，∴ AE=AD =9，CE=CD=10=BC ．作CF ⊥AB ，垂足为点F ，∴ EF=FB=12BE =12(AB －AE )=6．在Rt △BFC (或Rt △EFC ) 中，由勾股定理得CF =8，在Rt △AFC 中，由勾股定理得AC =17，∴ AC 的长为1727．(1) 猜想：AP=CQ ．证明：∵ ∠ABP ＋∠PBC =60°，∠QBC ＋∠PBC=60°，∴ ∠ABP =∠QBC ．又∵ AB=BC ，BP=BQ ，∴ △ABP ≌△CBQ ，∴ AP=CQ (2) 由P A ：PB ：PC =3：4：5，可设P A =3a ，PB =4a ，PC =5a ．连接PQ ，在△PBQ 中，PB=BQ =4a ，且∠PBQ =60°，∴ △PBQ 为正三角形，∴ PQ =4a ．在△PQC 中，∵ PQ 2＋QC 2=16a 2＋9a 2=25a 2=PC 2，∴ △PQC 是直角三角形28．(1) 锐角 钝角 (2) ＞ ＜ (3) ∵ c 为最长的边，2＋4=6，∴ 4≤c ＜6，a 2＋b 2=22＋42=20．①a 2＋b 2＞c 2，即c 2＜20，∴ 当l6≤c 2＜20时，这个三角形是锐角三角形；②a 2＋b 2=c 2，即c 2=20，∴ 当c 2=20时，这个三角形是直角三角形；③a 2+ b 2＜c 2，即c 2 ＞20，∴ 当20＜c 2＜36时，这个三角形是钝角三角形。