3.5圆周角2优质优秀课件ppt
圆周角定理 课件
AD＝BD＝5
3 2 cm.
在 Rt△AOD 中，OD＝
OA2－AD2
＝
5 2
cm，所以
∠OAD＝30°，
所以∠AOD＝60°.
所
以
∠AOB
＝
2∠AOD
＝
120
°
，
所
以
∠ACB
＝
1 2
∠AOB＝60°.因为∠AOB＝120°，所以劣弧A︵EB的度数为
︵ 120°，优弧ACB的度数为 240°.
所以∠AEB＝12×240°＝120°. 所以此弦所对的圆周角为 60°或 120°.
所以 OG∥CF.所以∠AOB＝∠FCB，(2 分) 所以∠DAO＝90°－∠AOB， ∠FBC＝90°－∠FCB，(4 分) 所以∠DAO＝∠FBC.(6 分)
(2)连接 AB，AC， 因为 BC 为直径， 所以∠BAC＝π2， 又因为 AD⊥BC， 所以∠BAD＝∠BCA，(8 分)
︵︵ 又因为AB＝AF， 所以∠ABF＝∠BCA，(9 分) 所以∠ABF＝∠BAD， 所以 AE＝BE.(10 分)
类型 2 利用定理及推论进行证明(规范解答)
[典例 2] 如图所示，BC 是半圆 O 的直径，AD⊥BC， ︵︵
垂足为 D，AB＝AF，BF 与 AD、AO 分别交于点 E、G. (1)证明：∠DAO＝∠FBC； (2)证明：AE＝BE.
︵︵ [规范解答] (1)连接 FC，OF，因为AB＝AF，OB ＝OF， 所以点 G 是 BF 的中点， OG⊥BF. 因为 BC 是⊙O 的直径， 所以 CF⊥BF.(1 分)
反过来，弧的度数相等，它们所对圆心角的度数也相 等.2.由于圆心角的度数与它所对弧的度数相等，所以圆周 角的度数等于它所对弧的度数的一半．
圆周角优秀课件
2.半圆或直径所对的圆周角等于90° 90°的圆周角所对的弦是直径
3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相 等,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；相 等的圆周角所对的弧相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
2
∠BAD＋∠CAD＝ 1∠ BOD＋ 1∠COD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
3.第三种情况：
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得 ∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
O C
DB
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝ ห้องสมุดไป่ตู้ ∠ COD－ 1 ∠BOD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
归纳总结
A
E B
C D
E
●O
C
A⌒C所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC
∠ ADC的大小有什么关系？
B
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
D
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
练习:
1、如图，在⊙O中，ABC=50°，
则∠AOC等于（ D）
A、50°；
B、80°；
C、90°；
D、100°
A
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P
圆周角定理
C
在同圆或等圆中，同弧(或等弧）所对 的圆周角相等；同弧(或等弧）所对的 圆周角等于圆心角的一半．
D A
O·
B E
推论
C2
C1
C3
直径（或半圆）所对的圆周角是 直角， 90°的圆周角所对的弦是 A
《圆周角》课件精品 (公开课)2022年数学PPT
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°, 则∠AOB= 166°．
C
O
A
B
3.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于 点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（A ） A.30° B.40° C.50° D.60°
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准 确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角 定理.
解：当船位于安全区域时， 即船位于暗礁区域外（即 ⊙O外） ，与两个灯塔的夹 角∠α小于“危险角”.
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?
A
(2)求证：BD DE .
解:BD=CD.理由是:连接AD,
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x， ∵四边形ABCD内接于圆， ∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°， ∵2x+6x=180°， ∴ x=22.5°. ∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°， ∠D=180°-67.5°=112.5°.
当堂训练
1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ × ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ）
练一练
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝ 120°，那么∠BCD是( A )
A．120° B．100° C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝ 180°－60°＝120°，故选A.
例6 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度 数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.
《圆周角》精品课件
所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
解：∵OA=OB=OC，
C
∴△AOC,△BOC都是等腰三角形.
·
B
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
A
O
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°，
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
圆周角和直径的关系：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的
圆周角所对的弦是直径.
例 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC为 6 cm，
∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．
解：如图，连接OD，
∵AB 是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB= 90°.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.
∵△AOC和△BOC是等腰三角形,
∴∠AOD=2∠ACO,∠BOD=2∠BCO,
D
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB,
1
∴ ∠ = ∠.
2
D
②如图，当圆心O在∠ACB外时，连接CO，并
延长交圆于点D.
∵△AOC和△BOC是等腰三角形,
C
∴∠AOD=2∠ACO,∠BOD=2∠BCO,
新知探究 跟踪训练
1.如图所示，∠BAC 是圆周角的是( A
)
圆周角:顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角.
新知探究 知识点2
如图所示，圆周角∠ACB与圆心角∠AOB所对的弧相等，
那么它们之间是否存在什么关系呢？下面我们就来研究
这个问题.
①如图,当圆心O在∠ACB内时,连接CO,
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3.5圆周角2优质优秀课件ppt
3.5圆周角(2)特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.1、圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角
.一、旧知回放:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
2、圆周角定理：⑴圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
⑵推
论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径。
问题讨论问题:如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?∠B=∠D=∠E●OBACDE同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；圆周角定理的推论2：
用于证角相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
用于证弧相等例1已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,ABCDEBD=DE⌒⌒求证：练习：如图，P是△ABC的外接圆上的一点∠AP
C=∠CPB=60°。
求证：△ABC是等边三角形A··PBCO例2、如图，AB是圆的一条弦，M是圆上一点，P是圆内
一点，Q是圆外一点，点P,Q,M在直线AB的同侧。
∠AMB=α,求证：⑴∠APB＞α;⑵∠AQB＜α.αABQMP
在弦所在直线的同侧的前提下：⑴当点到弦的两端的张角大于弦所对的圆周角时，点在圆内；⑵当点到弦的两端的张角等于弦所对的圆周角时，
点在圆上；⑶当点到弦的两端的张角小于弦所对的圆周角时，点在圆外；例3:船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到
暗礁。
如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个弓形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”。
（1）当船与两
个灯塔的张角大于“危险角”时，船位于哪个区域？（2）当船与两个灯塔的张角等于“危险角”时，船位于哪个区域？思考（3）当船与两
个灯塔的张角小于“危险角”时，船位于哪个区域？ABECPO例3:船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会
遇到暗礁。
如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”。
若如图的弓形所含的圆周角∠ACB=50°,问船在航行时怎样才能保证不进
入暗礁区?例4、一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB 长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.AB
C例4、一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.ABCD
ABCOD说出命题“圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请说明理由.解：逆命题为：若圆内的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦互相平行。
原命题与逆命题都是真命题。
理由如下：21ABDGFCEO想一想：
如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是AC上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图
中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.⌒小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？⑴圆周角定理的推理；⑵判断点和圆位置关系的第二种方法。
利用圆周角定理及推论实现圆周角相等、弧相等的相互转换。